電子科技大學(xué)電氣測量2013第二章

1、University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 現(xiàn)代測試技術(shù)第二章第二章測量誤差及其分析測量誤差及其分析University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 測量誤差的基本概念；測量誤差的基本概念；系統(tǒng)誤差的消除；系統(tǒng)誤差的消除；隨機(jī)誤差的處理；隨機(jī)誤差的處理；粗大誤差的剔除；粗大誤差的剔除；測量結(jié)果的估計(jì)；測量結(jié)果的估計(jì)；測量結(jié)果的表示；測量結(jié)果的表示；微小誤差準(zhǔn)則與對比標(biāo)準(zhǔn)的選取微小誤差準(zhǔn)則與對比標(biāo)準(zhǔn)的選取本章主要內(nèi)容Universi

2、ty of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 2.12.1測量誤差基本概念測量誤差基本概念2.1.1 2.1.1 測量誤差的幾個(gè)名詞術(shù)測量誤差的幾個(gè)名詞術(shù)語 1、真值：真值：被測量本身客觀存在的實(shí)際值。真值是客觀存在，但是不可測量的。在實(shí)際計(jì)量和測量中，經(jīng)常使用“約定真值”、“理論真值”和“相對真值”。約定真值：按照國際公認(rèn)的單位定義，利用科學(xué)技術(shù)發(fā)展的最高水平所復(fù)現(xiàn)的單位基準(zhǔn)。以法律形式規(guī)定的?？梢院雎缘?。理論真值：理論上推導(dǎo)分析出來的。相對真值（實(shí)際值）：是在滿足規(guī)定準(zhǔn)確度時(shí)用來代替真值使用的值。（儀表校準(zhǔn)）Univers

3、ity of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 2、標(biāo)稱值：計(jì)量或測量器具上標(biāo)注的量值。3、示值：由測量儀器給出的量值，也稱測量值。4、準(zhǔn)確度：表示測量結(jié)果與真值的一致程度，是一個(gè) 定性概念。與其相近的另一個(gè)概念是不確定度。5、重復(fù)性：在相同條件下，對同一被測量進(jìn)行多次連續(xù)測量所得結(jié)果之間的一致性。6、誤差公理：一切測量都具有誤差，誤差自始自終存在于一切科學(xué)實(shí)驗(yàn)之中。University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 2.1.2 2.1.2 測量誤差

4、的表示測量誤差的表示 1 1 絕對誤差：絕對誤差： A=Ax-A0 絕對誤差的負(fù)值稱之為修正值修正值，也叫補(bǔ)值補(bǔ)值，一般用c表示，即c=-A=A0-Ax 儀器的修正值一般是計(jì)量部門檢定給出。示值加上修正值可獲得真值，即實(shí)際值。2 2 相對誤差：相對誤差： 因真值A(chǔ)0是無法知道，往往用測量值代替，即 在實(shí)際測量中，相對誤差常常用來評(píng)價(jià)測量結(jié)果的準(zhǔn)確度，相對誤差越小準(zhǔn)確度愈高。 00100%AA100%xAA絕對誤差相對誤差引用誤差容許誤差University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) University of E

5、lectronic Science and Technology of China (UESTC) 3 3 引用誤差：引用誤差：絕對誤差與測量儀表量程之比，用百分?jǐn)?shù)表示，即最大引用誤差：最大引用誤差： 確定測量儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)應(yīng)用最大引用誤差。 電測量儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)指數(shù)準(zhǔn)確度等級(jí)指數(shù)a a分為：0.1、 0.2、 0.5、1.0 1.5、 2.5、 5.0等7級(jí)。 最大引用誤差不能超過儀表準(zhǔn)確度等級(jí)指數(shù)a的百分?jǐn)?shù)，即 電測量儀表在使用時(shí)所產(chǎn)生的最大可能誤差可由下式求出 ： 100%nmAA|100%mnmmAA%nma%mmAA a(/) %xmxAAa University of Elec

6、tronic Science and Technology of China (UESTC) 例 某1.0級(jí)電壓表，量程為300V,當(dāng)測量值分別為U1=300V,U2=200V， U3=100V時(shí)，試求出測量值的(最大)絕對誤差和示值相對誤差。 解解： UU1 1=U=U2 2=U=U3 3= =3003001.0%=1.0%=3V3V U U1 1=(U=(U1 1U U1 1) )100%=(100%=(3/300)3/300)100%=100%=1.0%1.0% U U2 2=(U=(U2 2U U2 2) )100%=(100%=(3/200)3/200)100%=100%=1.5%1

7、.5% U U3 3=(U=(U3 3U U3 3) )100%=(100%=(3/100)3/100)100%=100%=3.0%3.0% 測量儀表產(chǎn)生的示值測量誤差測量儀表產(chǎn)生的示值測量誤差x x不僅與所選儀表等級(jí)指不僅與所選儀表等級(jí)指數(shù)數(shù)a a有關(guān)，而與所選儀表的量程有關(guān)。一般不小于滿度值的有關(guān)，而與所選儀表的量程有關(guān)。一般不小于滿度值的2/32/3。University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 課堂練習(xí)題 用最大量限為用最大量限為30A30A，準(zhǔn)確度等級(jí)為，準(zhǔn)確度等級(jí)為1.5 1.5 級(jí)的安培表，級(jí)的安

8、培表，在規(guī)定工作條件下測得某電流為在規(guī)定工作條件下測得某電流為10A10A，求測量時(shí)可，求測量時(shí)可能出現(xiàn)的最大相對誤差？能出現(xiàn)的最大相對誤差？ 檢定一個(gè)檢定一個(gè)1.5 1.5 級(jí)級(jí)100mA 100mA 的電流表，發(fā)現(xiàn)在的電流表，發(fā)現(xiàn)在50mA50mA處的處的誤差最大，為誤差最大，為1.4mA,1.4mA,其他刻度處的誤差均小于其他刻度處的誤差均小于1.4mA,1.4mA,問這個(gè)電流表是否合格？問這個(gè)電流表是否合格？University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 作業(yè)（1）1.欲測一250V 的電壓，要求測量的相

9、對誤差不超過 那么應(yīng)選其準(zhǔn)確度等級(jí)為哪一級(jí)？如果選用量程為300V和500V的電壓表，則其準(zhǔn)確度等級(jí)又應(yīng)選用哪一級(jí)？2.檢定量程為100A的2.0級(jí)電流表，在50 A刻度上，標(biāo)準(zhǔn)表讀數(shù)為49 A，問此電流表是否合格？%5 . 0University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 指測量儀器在使用條件下可能產(chǎn)生的最大誤差范圍，可用工作誤差、固有誤差、影響誤差、穩(wěn)定性誤差工作誤差、固有誤差、影響誤差、穩(wěn)定性誤差來描述。 容許誤差通常用絕對誤差表示： = =(A(Ax x%+A%+Am m%)%) 模擬儀表使用，例：電位差

10、計(jì) 可忽略 = =(A(Ax x%+n%+n個(gè)字個(gè)字) ) 數(shù)字式儀表 一般常用 式中式中 A Ax x 測量值或示值；測量值或示值； A Am m 量限或量程值；量限或量程值； 誤差的相對項(xiàng)系數(shù)；誤差的相對項(xiàng)系數(shù)； 固定項(xiàng)系數(shù)。固定項(xiàng)系數(shù)。 當(dāng)當(dāng)5 5 項(xiàng)可忽略項(xiàng)可忽略 “n個(gè)字”所表示的誤差值是數(shù)字儀表在給定量限下的分辨力的n倍，即末位一個(gè)字所代表的被測量量值的n倍。 例如，某例如，某3 3位數(shù)字電壓表，當(dāng)位數(shù)字電壓表，當(dāng)n n為為5 5，在，在1V1V量限時(shí)，量限時(shí)，“n n個(gè)字個(gè)字”表示的電壓誤差是表示的電壓誤差是5mV5mV，而在，而在10V10V量限時(shí)量限時(shí),n,n個(gè)字個(gè)字”表示的

11、電壓誤表示的電壓誤差差是是50mV50mV。4 容許誤差：University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 例：某四位半數(shù)字電壓表，量程為2V，工作誤差為= 0.025%UX 1個(gè)字，用該表測量時(shí)，讀數(shù)分別為0.0012V和1.9888V，試求兩種情況下的絕對誤差和相對誤差。解：四位半表 分辨率為0.0001V.9999414111424222(0.025%0.00120.00011)1.0030101.003010100%100%8.36%0.0012(0.025%1.98880.00011)5.9720105.

12、972010100%100%0.030%1.9888xxVAVA University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 2.1.3 測量誤差的分類 1 1 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 ：大小、方向恒定不變或按一定規(guī)律變化，可預(yù)知、可修正。 2 2 隨機(jī)誤差：隨機(jī)誤差：誤差是隨機(jī)的、可變的，不可預(yù)知、不可修正，但可用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法處理。3 3 粗大誤差：粗大誤差：明顯偏離真值（異常值、壞值），應(yīng)剔除。 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差粗大誤差粗大誤差基本誤差:測量設(shè)備不準(zhǔn)確或準(zhǔn)確度等級(jí)不高。附加誤差:超過正常工作范圍帶來的誤差。理論誤

13、差（方法誤差）:測量方法、理論不完善所帶來的誤差人員誤差：試驗(yàn)人員疏忽大意、測量素質(zhì)不高產(chǎn)生的人員誤差。University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 1.系統(tǒng)誤差n定義：在同一測量條件下，多次重復(fù)測量同一量時(shí)，測量誤差的絕對值和符號(hào)都保持不變，或在測量條件改變時(shí)按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。例如儀器的刻度誤差和零位誤差，或值隨溫度變化的誤差。n 產(chǎn)生的主要原因是儀器的制造、安裝或使用方法不正確，環(huán)境因素（溫度、濕度、電源等）影響，測量原理中使用近似計(jì)算公式，測量人員不良的讀數(shù)習(xí)慣等。n 系統(tǒng)誤差表明了一個(gè)

14、測量結(jié)果偏離真值或?qū)嶋H值的程度。系差越小，測量就越準(zhǔn)確。n 系統(tǒng)誤差的定量定義是：在重復(fù)性條件下，對同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的平均值與被測量的真值之差。即0 xAUniversity of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 2.隨機(jī)誤差 隨機(jī)誤差主要由對測量值影響微小但卻互不相關(guān)的大量因素共同造成。這些因素主要是噪聲干擾、電磁場微變、零件的摩擦和配合間隙、熱起伏、空氣擾動(dòng)、大地微震、測量人員感官的無規(guī)律變化等。University of Electronic Science and Technology of Chi

15、na (UESTC) 例：對一不變的電壓在相同情況下，多次測量得到 1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。n 單次測量的隨差沒有規(guī)律;n 但多次測量的總體卻服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律;n 可通過數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法來處理,即求算術(shù)平均值。u隨機(jī)誤差定義：測量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對同隨機(jī)誤差定義：測量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的平均值之差一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的平均值之差 iixx()nUniversity of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 3.3.粗大

16、誤差：粗大誤差： n 定義：粗大誤差是一種顯然與實(shí)際值不符的誤差。n 產(chǎn)生粗差的原因有：測量操作疏忽和失誤 如測錯(cuò)、讀錯(cuò)、記錯(cuò)以及實(shí)驗(yàn)條件未達(dá)到預(yù)定的要求而匆忙實(shí)驗(yàn)等。測量方法不當(dāng)或錯(cuò)誤 如用普通萬用表電壓檔直接測高內(nèi)阻電源的開路電壓測量環(huán)境條件的突然變化 如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾、機(jī)械沖擊等引起測量儀器示值的劇烈變化等。n 含有粗差的測量值稱為壞值或異常值，在數(shù)據(jù)處理時(shí)，應(yīng)剔除掉。 University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 2.1.4 2.1.4 有效數(shù)字有效數(shù)字1 1 數(shù)據(jù)的舍入規(guī)則數(shù)據(jù)的舍入

17、規(guī)則 小于5舍去； 大于5進(jìn)1； 等于5則應(yīng)用偶數(shù)法則，末位是偶數(shù)，則末位不變；末位是奇數(shù)，則末位增加1。例如，將下列數(shù)據(jù)舍入到小數(shù)第二位。 25.325 025.32 （0.005 0=0.005，末位為偶數(shù)舍去） 17.695 517.70 （0.005 5=0.005，末位為奇數(shù)進(jìn)1） 123.105123.10 （0.005 0=0.005，末位為0，按偶數(shù)處理，舍去） 2 2 有效數(shù)字有效數(shù)字 若截取得到的近似數(shù)，其截取或舍入誤差的絕對值不超過近似數(shù)末位的半個(gè)單位，則該近似數(shù)從左邊第一個(gè)非零數(shù)字到最末一位數(shù)字為止的全部數(shù)字，稱之為有效數(shù)字。3 3 測量結(jié)果有效數(shù)字位數(shù)的確定測量結(jié)果有

18、效數(shù)字位數(shù)的確定 University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 數(shù)據(jù)記錄、運(yùn)算的準(zhǔn)確性要和數(shù)據(jù)記錄、運(yùn)算的準(zhǔn)確性要和測量的準(zhǔn)確性相適應(yīng)！測量的準(zhǔn)確性相適應(yīng)！ cm674. 1 xcm04. 0 xcm04. 067. 1 x測量值的末位數(shù)與誤差的末位數(shù)對齊測量值的末位數(shù)與誤差的末位數(shù)對齊 有效數(shù)字有效數(shù)字: :所有準(zhǔn)確數(shù)字和一位欠準(zhǔn)確數(shù)字所有準(zhǔn)確數(shù)字和一位欠準(zhǔn)確數(shù)字 cm?04. 0674. 1 xUniversity of Electronic Science and Technology of China

19、(UESTC) 數(shù)學(xué)：2500. 025. 0 物理測量：cm00.25m25.0 有效數(shù)字位數(shù)越多，測量精度越高有效數(shù)字位數(shù)越多，測量精度越高University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 數(shù)字取舍規(guī)則數(shù)字取舍規(guī)則,m/s755. 92 g如如29.74500m/s ,g 如29.74501m/s ,g 如29.74m/s ,g 29.75m/s ,g 29.76 m/s ,g 運(yùn)算結(jié)果運(yùn)算結(jié)果( (測量值測量值) )的末位數(shù)應(yīng)與誤差的末位數(shù)對齊的末位數(shù)應(yīng)與誤差的末位數(shù)對齊。 p 小于5舍去；p 大于5進(jìn)1；p

20、 等于5則應(yīng)用偶數(shù)法則，末位是偶數(shù)，則末位不變； 末位是奇數(shù)，則末位增加1。25.325 025.3217.695 517.70University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 作業(yè)（2）3.將下列各數(shù)據(jù)根據(jù)舍入原則保留四位有效數(shù)字 3.14159 2.71729 4.51050 3.21550 6.378501 7.691499 5.43460University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 2.2 2.2 系統(tǒng)誤差的消除系統(tǒng)誤差的消

21、除2.2.1 2.2.1 從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的來源上消除從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的來源上消除q基本誤差：選擇準(zhǔn)確度等級(jí)高的儀器設(shè)備；q附加誤差：使儀器設(shè)備工作在其規(guī)定的工作條件下，使用前正確調(diào)零、預(yù)熱以消除儀器設(shè)備的；q方法誤差和理論誤差：選擇合理的測量方法，設(shè)計(jì)正確的測量步驟；q人員誤差：提高測量人員的測量素質(zhì)，改善測量條件(選用智能化、數(shù)字化儀器儀表等)。University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 2.2 2.2 系統(tǒng)誤差的消除系統(tǒng)誤差的消除2.2.2 2.2.2 利用修正的方法來消除利用修正的方法來消除 C稱為修正值

22、，由計(jì)量部門檢定時(shí)給出 2.2.3 2.2.3 利用特殊的測量方法消除利用特殊的測量方法消除 u 替代法； u 差值法；u 正負(fù)誤差補(bǔ)償法；u 對稱觀測法 ；u 迭代自校法 00AxxCAAAAC University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 替代法替代法 在測量條件不變的情況下，用一已知的標(biāo)準(zhǔn)量去替代未知的被測量，通過調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)量而保持替代前后儀器的示值不變，標(biāo)準(zhǔn)量的值等于被測量值。 替替 代代 法法 的的 測測 量量 原原 理理xs0 0- - v v+ + v v2 2K KK K1 1（ b b ) )

23、零零 示示 法法( ( a a ) ) 偏偏 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 法法xs0 0- - v v+ + v v2 2K KK K1 1r rUniversity of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 交換法交換法p 通過交換被測量和標(biāo)準(zhǔn)量的位置，從前后兩次換位測量結(jié)果的處理中，削弱或消除系統(tǒng)誤差。p 特別適用于平衡對稱結(jié)構(gòu)的測量裝置中，并通過交換法可檢查其對稱性是否良好。第一次平衡第一次平衡 第二次平衡第二次平衡 上兩式相乘、開方得：上兩式相乘、開方得：12121()2xWWWWW11 2xW lW l 22 1xW lW l ( (a a

24、) ) 天天平平稱稱重重xWW1l1l2xWW2l1l2University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 例：在電橋中采用交換法測電阻12121()2xssssRRRRRUniversity of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 正負(fù)誤差補(bǔ)償法補(bǔ)償法測電阻消除熱電勢的影響xENENRNU1xU1NUxRxUIxxxEUU1NNNEUU1第一次第一次第二次第二次xxxEUU2NxNEUU22/ )(21xxxUUU2/ )(21NNNUUUNNxx

25、RUUR University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 對稱觀測法 工作電流下降曲線I1I2I3I1t2t3ttxxRIU11第一步，第一步，t1t1時(shí)刻時(shí)刻第二步，第二步，t2t2時(shí)刻時(shí)刻N(yùn)NRIU22第三步，第三步，t3t3時(shí)刻時(shí)刻xxRIU33xxxxRIUUU23122/ )(NNxxRUUR22III21III23University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 迭代自校正法迭代自校正法測量框圖測量環(huán)節(jié)測量環(huán)節(jié)處理環(huán)節(jié)處理

26、環(huán)節(jié)逆向環(huán)節(jié)逆向環(huán)節(jié)輸出輸出輸入輸入XYx0 xyxAy)(xy)1 (University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 輸入xxy)1 (0 存儲(chǔ)y0 y0 x0 輸入x0 xy)1 (000)1 (xy 求差值00yyy 迭代求解xy)1 (21測量環(huán)節(jié)測量環(huán)節(jié)處理環(huán)節(jié)處理環(huán)節(jié)逆向環(huán)節(jié)逆向環(huán)節(jié)輸出輸出輸輸入入XYx0 xyiiiiixy) 1() 1(1 1University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 2.3 2.3 隨機(jī)誤差的

27、處理隨機(jī)誤差的處理 2.3.1 2.3.1 隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性和概率分布隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性和概率分布1 測量誤差的數(shù)學(xué)表達(dá)根據(jù)誤差理論，任何一次測量中，一般都含有系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，即 A=+=Ax-A0在一般工程測量中，在一般工程測量中，系統(tǒng)誤差遠(yuǎn)大于隨機(jī)誤差，即，相對來講隨機(jī)誤差可以忽略不計(jì)，此時(shí)只需處理和估計(jì)系統(tǒng)誤差即可。在精密測量中，在精密測量中，系統(tǒng)誤差已經(jīng)消除或小得可以忽略不計(jì)時(shí)，即0。University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 2 隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性)( xfx1lim 0ninix Unive

28、rsity of Electronic Science and Technology of China (UESTC) （1）正態(tài)分布的隨機(jī)誤差，其概率密度函數(shù) 式中 和2隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差和方差 22/ 2()1()()2e 3 隨機(jī)誤差的概率分布University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 特點(diǎn)特點(diǎn)：在某一區(qū)域內(nèi)，隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率處處相等，而在該區(qū)域外隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率為零。均勻分布的概率密度函數(shù)()為式中 a隨機(jī)誤差的極限值。)|(|0)(21)(aaaa儀器度盤刻度差引起的誤差；儀器度盤刻度差引起的誤差

29、；儀器最小分辨率限制引起的誤儀器最小分辨率限制引起的誤差差數(shù)字儀表的量化數(shù)字儀表的量化( (1)1)誤差誤差數(shù)字計(jì)算中的舍入誤差數(shù)字計(jì)算中的舍入誤差對于一些只知道誤差出現(xiàn)的大對于一些只知道誤差出現(xiàn)的大致范圍，而不知其分布規(guī)律的致范圍，而不知其分布規(guī)律的誤差，在處理時(shí)經(jīng)常按均勻分誤差，在處理時(shí)經(jīng)常按均勻分布的誤差對待。布的誤差對待。 （2）均勻分布均勻分布 University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 主要用來處理小樣本(即測量數(shù)據(jù)比較少)的測量數(shù)據(jù)。正態(tài)分布理論只適合于大樣本的測量數(shù)據(jù)。t分布的概率密度函數(shù)(t

30、)為 ： 222()2( ,)(1)()2nktt kkkk和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形類似；特點(diǎn)是分布與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值無關(guān)，但與自由度(n-1)有關(guān)；當(dāng)n較大(n30)時(shí)，t分布和正態(tài)分布的差異就很小了，當(dāng)n時(shí)，兩者就完全相同了。（3 3）t t分布分布University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 隨機(jī)變量通常有兩個(gè)重要特征參數(shù)，即數(shù)學(xué)期望和方差數(shù)學(xué)期望和方差( (標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差) )。數(shù)學(xué)期望體現(xiàn)了隨機(jī)變量分布中心的位置；方差反映了隨機(jī)變量對分布中心的離散程度。1 1 測量數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望測量數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望 式中

31、n測量次數(shù)； Ai第i次的測量讀數(shù). 2 隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)偏差（簡稱標(biāo)準(zhǔn)差）：niinAnAM1)(1)(2221111()()()nniiiiAAMAnnn )(1)(12nnAnii4 隨機(jī)變量中幅值的特征參量University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 1 1 算術(shù)平均值原理算術(shù)平均值原理 測量列的算術(shù)平均值測量列的算術(shù)平均值是最佳可信賴值，是被測量A數(shù)學(xué)期望(真值)M(A)的最佳估計(jì)，這一原理被稱之為算術(shù)平均值原理。算術(shù)平均值的數(shù)學(xué)表達(dá)為 ：算術(shù)平均值具有以下特點(diǎn)：一致性

32、一致性: :隨著測量次數(shù)隨著測量次數(shù)n n的增加，趨于被測參數(shù)的的增加，趨于被測參數(shù)的 無偏性：估計(jì)值無偏性：估計(jì)值A(chǔ) A圍繞圍繞M(A)M(A)擺動(dòng)，且擺動(dòng)，且 有效性有效性:A:A擺動(dòng)幅度比單個(gè)測量值??；擺動(dòng)幅度比單個(gè)測量值?。?充分性：充分性：A A包含了樣本包含了樣本( (測量列測量列) )的全部信息的全部信息 niiAnA11)()(AMAM)(AM2.3.2 2.3.2 隨機(jī)誤差的估計(jì)隨機(jī)誤差的估計(jì)University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 2 2 標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)：標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)：式中 i剩余誤差

33、，其定義是 (i=1,2,n)方差估計(jì)值的實(shí)用算法和遞推公式分別為： niivn12211niivn1211AAvii)(1112112niiniiAnAn21212)(112nnnnAAnnnUniversity of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 3 3 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 實(shí)際測量中，測量次數(shù)一般取1020次。若要進(jìn)一步提高測量準(zhǔn)確度，需從選擇更高準(zhǔn)確度的測量儀器、更合理的測量方法、更好的控制測量條件等方面入手。( )( )/AAnnA/)(22算術(shù)平均值的方差估計(jì)值 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值Uni

34、versity of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 【例】【例】 用溫度計(jì)重復(fù)測量某個(gè)不變的溫度，得用溫度計(jì)重復(fù)測量某個(gè)不變的溫度，得1111個(gè)測量值個(gè)測量值的序列（見下表）。求測量值的平均值及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。的序列（見下表）。求測量值的平均值及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。解：解：平均值平均值 用公式用公式 計(jì)算各測量值殘差列于上表中計(jì)算各測量值殘差列于上表中實(shí)驗(yàn)偏差實(shí)驗(yàn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差)( 1 .530)531530532530529533531527529531528(11111Cxnxonii xxii )(767.111)(12C

35、nxsonii )(53.011767.1)()(Cnxsxso University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 4 4 測量結(jié)果的置信度測量結(jié)果的置信度（1 1）置信度的概念）置信度的概念表征測量數(shù)據(jù)或結(jié)果可信賴程度的一個(gè)參數(shù) 置信區(qū)間 M(A)-K(A),M(A)+K(A) K置信因子 置信概率 Ai在置信區(qū)間中的概率P。 置信概率 可信度（2 2）置信度的幾何意義：）置信度的幾何意義： 在同一分布下，置信區(qū)間愈寬，置信概率(概率曲線、置信區(qū)間和橫軸圍成的圖形面積)也就愈大，反之亦然。 在不同的分布下當(dāng)置信區(qū)

36、間給定時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差愈小，置信因子和相應(yīng)的置信概率也就愈大，反映出測量數(shù)據(jù)的可信度就愈高。 University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 置信概率是圖中置信概率是圖中陰影部分面積陰影部分面積內(nèi)包含真值的概率稱為置信概率內(nèi)包含真值的概率稱為置信概率 k ()xM AkUniversity of Electronic Science and Technology of China (UESTC) （3）正態(tài)分布的置信概率當(dāng)分布和k值確定之后，則置信概率可定 正態(tài)分布,當(dāng)k=3時(shí)置信因子k置信概率Pc10.6826920

37、.9545030.99730 kkdpkPkxExP)()(997.0)2exp(21)()3(223333 ddpP區(qū)間越寬，區(qū)間越寬，置信概率越大置信概率越大University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) （4） t分布的置信限ut分布與測量次數(shù)有關(guān)。當(dāng)n足夠大時(shí)，t分布趨于正態(tài)分布。正態(tài)分布是t分布的極限分布。u給定置信概率和測量次數(shù)n，查表得置信因子kt。 自由度：v=n-1U

38、niversity of Electronic Science and Technology of China (UESTC) University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) （5）非正態(tài)分布的置信因子 由于常見的非正態(tài)分布都是有限的，設(shè)其置信限為誤差極限 ，即誤差的置信區(qū)間為 置信概率為100。（P=1)反正弦均勻三角分布236k k a 3a 3akka 3 k- -a aa aP P( (x x) )x x0 0University of Electronic Science and Technology

39、of China (UESTC) University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 例 對某電容進(jìn)行了8次等精度、無系差、獨(dú)立測量，測量值如下(單位為F): Ci 75.01, 75.04, 75.07, 75.03, 75.09, 75.06, 75.02, 75.08 試求被測電容的估計(jì)值和當(dāng)P=0.99時(shí)被測電容真值的置信區(qū)間。 解：根據(jù)平均值原理，被測電容的估計(jì)值是測量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值，即 測量列的方差估計(jì)值為 測量列的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值為 niniCCnCCnC11)(11F05.7505. 000.75)08

40、. 002. 006. 009. 003. 007. 004. 001. 0(8100.7522228122)02. 0()02. 0()01. 0()04. 0(7111)(ivnC22222851000.0)03.0()03.0()01.0()04.0(FFCc029. 0)()(2University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 測量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值為 當(dāng)P=0.99,k=7,由表2-2查得Kt=3.50,于是可得被測電容置信區(qū)間為故被測電容真值C0以0.99的置信概率可能處在75.0175.09F范圍

41、內(nèi)。 09.75,01.7501.050.305.75,01.050.305.75)(),(FFCKCCKCttFnC01.0)(University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) （6）計(jì)算：要會(huì)通過查表由K求P，或由P求K 在正態(tài)分布下，n20次。 K=1 P=68.27% K=2 P=95.45% K=3 P=99.73%表示： K3時(shí) 區(qū)間內(nèi)置信率為99.73%。( )3 ( )M AAUniversity of Electronic Science and Technology of China (UEST

42、C) 2.4 2.4 粗大誤差的剔除粗大誤差的剔除p大誤差出現(xiàn)的概率很小，列出可疑數(shù)據(jù)，分析是否是粗大誤差，若是，則應(yīng)將對應(yīng)的測量值剔除。p 1. 粗大誤差產(chǎn)生原因 測量人員的主觀原因： 操作失誤或錯(cuò)誤記錄； 客觀外界條件的原因： 測量條件意外改變、受較大的電磁干擾，或測量儀器偶然失效等。University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 2. 2. 粗大誤差的判別準(zhǔn)則粗大誤差的判別準(zhǔn)則統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法的統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法的基本思想基本思想是：給定一置信概率，確定相應(yīng)的是：給定一置信概率，確定相應(yīng)的置信區(qū)間，凡超過置信區(qū)間的誤

43、差就認(rèn)為是粗大誤差，并予置信區(qū)間，凡超過置信區(qū)間的誤差就認(rèn)為是粗大誤差，并予以剔除。以剔除。拉依達(dá)準(zhǔn)則拉依達(dá)準(zhǔn)則格羅布斯準(zhǔn)則格羅布斯準(zhǔn)則3im ax0(,)gn aUniversity of Electronic Science and Technology of China (UESTC) （1 1） 拉依達(dá)準(zhǔn)則拉依達(dá)準(zhǔn)則拉依達(dá)準(zhǔn)則：設(shè)測量數(shù)據(jù)中，測量值A(chǔ)k的隨機(jī)誤差為K，當(dāng) K3(A)時(shí)，則測量值A(chǔ)K是含有粗大誤差的異常值，應(yīng)予以剔除。在實(shí)際應(yīng)用中，則使用剩余誤差和標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值，即 （2 2）格羅布斯）格羅布斯(Grubbs)(Grubbs)準(zhǔn)則準(zhǔn)則 格羅布斯準(zhǔn)則是由數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法推導(dǎo)出的

44、比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)論，具有明確的概率意義。當(dāng)測量數(shù)據(jù)中，測量值A(chǔ)K的剩余誤差K滿足 則測量值A(chǔ)k是含有粗大誤差的異常值，應(yīng)予以剔除。)(3|AvK)(),(|0AangvKUniversity of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 3 應(yīng)注意的問題 所有的檢驗(yàn)法都是人為主觀擬定的，至今無統(tǒng)一的規(guī)定。當(dāng)偏離正態(tài)分布和測量次數(shù)少時(shí)檢驗(yàn)不一定可靠。 若有多個(gè)可疑數(shù)據(jù)同時(shí)超過檢驗(yàn)所定置信區(qū)間，應(yīng)逐個(gè)剔除，重新計(jì)算，再行判別。若有兩個(gè)相同數(shù)據(jù)超出范圍時(shí)，應(yīng)逐個(gè)剔除。 在一組測量數(shù)據(jù)中，可疑數(shù)據(jù)應(yīng)很少。反之，說明系統(tǒng)工作不正常。Univers

45、ity of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 粗大誤差剔除的小結(jié)：粗大誤差剔除的小結(jié)： 無系統(tǒng)誤差（準(zhǔn)確度較高的表）等精度多次測量得Ai , i=1,2,3n（1）求平均值：（2）求標(biāo)準(zhǔn)差：（3）剔除粗大誤差A(yù)K，若有重復(fù)（1）、（2）；（4）計(jì)算其算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差：（5）給出置信概率下結(jié)果： 單位niiAnA1121ivn()/AAn ()AkAUniversity of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 例：用準(zhǔn)確度較高的測量儀器對某電阻進(jìn)行16次等精

46、度測量，測量結(jié)果：34.86, 35.21, 34.97, 35.14, 35.35, 35.21, 35.16, 35.22, 35.30, 35.71, 35.94, 35.63, 35.65, 35.70, 35.24, 35.36，求被測量電阻的測量結(jié)果。解：a. 無系統(tǒng)誤差； b. c. d.第13次，36.65-35.30=1.35 該值應(yīng)剔除。 e.重新計(jì)算15次測量的 f.i35.30 , viRAA20 .4 4 31ivn35.21 ( ) 0.34RR0.34( )/0.0915 R=3 ( )35.210.27RnRR測量結(jié)果：)(3RUniversity of Ele

47、ctronic Science and Technology of China (UESTC) 【例】 對某電壓進(jìn)行了16次等精度測量，測量數(shù)據(jù)中已記入修正值，列于表中。要求給出包括誤差在內(nèi)的測量結(jié)果表達(dá)式。1205.300.090.099205.710.410.410.50.52204.94-0.4-0.4-0.27-0.2710204.7-0.6-0.6-0.51-0.513205.630.330.330.420.4211204.86-0.44-0.44 -0.35-0.354205.24-0.1-0.10.030.0312205.350.050.050.140.145206.651.35

48、1.3513205.21-0.09-0.09 06204.97-0.3-0.3-0.24-0.2414205.19-0.11-0.11 -0.02-0.027205.360.060.060.150.1515205.21-0.09-0.09 08205.16-0.1-0.1-0.05-0.0516205.320.020.020.110.11殘殘 差差殘殘 差差測量值測量值序號(hào)序號(hào)殘殘 差差 殘殘 差差序號(hào)序號(hào)測量值測量值University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) University of Electronic

49、 Science and Technology of China (UESTC) University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 2.5 2.5 測量結(jié)果誤差的估計(jì)測量結(jié)果誤差的估計(jì)2.5.1 2.5.1 直接測量結(jié)果的誤差估計(jì)直接測量結(jié)果的誤差估計(jì)1.已知儀表的量程和準(zhǔn)確度等級(jí)，測量結(jié)果表示： A=aAm% 式中 A，A測量結(jié)果Ax的絕對誤差和相對誤差，Ax為測量結(jié)果； a, Am分別為儀器儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)和量程。%aAAxmAUniversity of Electronic Science and Techn

50、ology of China (UESTC) 2.已知儀器儀表的基本誤差或允許誤差的測量結(jié)果(數(shù)字表)： A= =(Ax%+n個(gè)字) A=(/Ax)100%式中 儀器儀表的基本誤差或允許誤差 3.若進(jìn)行了多次測量，則還應(yīng)考慮隨機(jī)誤差的影響。若多次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值為，則測量誤差為 A=(aAm%+K) A=(+K)式中 K置信因子。 University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 2.5.2 2.5.2 間接測量結(jié)果的誤差估計(jì)間接測量結(jié)果的誤差估計(jì)（誤差合成誤差合成）問題：問題： 用間接法測量電阻消耗的功率時(shí)

51、，需測量電阻R、端電壓V和電流I三個(gè)量中的兩個(gè)量，如何根據(jù)電阻、電壓或電流的誤差來推算功率的誤差呢？1 1 誤差合成的一般公式誤差合成的一般公式設(shè)測量結(jié)果y是n個(gè)獨(dú)立變量A1,A2，An的函數(shù)，即y=f(A1,A2,An) 絕對誤差： 相對誤差：* * 重點(diǎn)是要確定傳遞函數(shù)重點(diǎn)是要確定傳遞函數(shù)C和C。iFyiFy函數(shù)總誤差等于各誤差分量的代數(shù)和University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 2 2 誤差傳遞系數(shù)的確定誤差傳遞系數(shù)的確定 確定誤差傳遞系數(shù)是誤差合成的關(guān)鍵。傳遞系數(shù)確定的常用方法有微分微分確定法確定法、計(jì)算機(jī)仿真確定法計(jì)算機(jī)仿真確定法和實(shí)驗(yàn)確定法。實(shí)驗(yàn)確定法。 (1)(1)微分確定法微分確定法 條件：適合于確切知道函數(shù)的關(guān)系式，已知y=f(A1,A2,An) 。 結(jié)論：結(jié)論：（2）計(jì)算機(jī)仿真確定法計(jì)算機(jī)仿真確定法（3 3）實(shí)驗(yàn)確定法