江蘇2018高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)圓錐曲線

1、橢圓考試要求1.橢圓的實(shí)際背景，橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用，A級(jí)要求；2.橢圓的定義，幾何圖形，標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，B級(jí)要求知 識(shí) 梳 理1橢圓的定義(1)第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于定長(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓這兩個(gè)定點(diǎn)叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作橢圓的焦距用符號(hào)表示為PF1PF22a(2a>F1F2)(2)第二定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線l(F不在定直線l上)的距離之比是一個(gè)常數(shù)e(0<e<1)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì)橢圓1(a>b>0)的離心率e(0<e<1)，離心

2、率e等于橢圓上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離與M到F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離的比橢圓越扁，離心率e越大；橢圓越圓，離心率越小.條件2a>2c，a2b2c2，a>0，b>0，c>0標(biāo)準(zhǔn)方程及圖形1(a>b>0)1(a>b>0)范圍|x|a，|y|b|y|a，|x|b對(duì)稱性曲線關(guān)于原點(diǎn)、x軸、y軸對(duì)稱頂點(diǎn)長軸頂點(diǎn)(±a,0) 短軸頂點(diǎn)(0，±b)長軸頂點(diǎn)(0，±a) 短軸頂點(diǎn)(±b,0)焦點(diǎn)(±c,0)(0，±c)長、短軸的長度長軸長2a，短軸長2b焦距F1F22c(c2a2b2)準(zhǔn)線方程x±y

3、±離心率e(0,1)，e越大，橢圓越扁，e越小，橢圓越圓診 斷 自 測1判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“×”)(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓()(2)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓()(3)橢圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形()(4)方程mx2ny21(m>0，n>0，mn)表示的曲線是橢圓()(5)1(a>b>0)與1(a>b>0)的焦距相同()解析(1)由橢圓的定義知，當(dāng)該常數(shù)大于F1F2時(shí)，其軌跡才是橢圓，而常數(shù)等于F1F2時(shí)，其軌跡為線段F1F2，常數(shù)小于F1F2時(shí)，不存在這樣的圖形(2)因?yàn)閑，

4、所以e越大，則越小，橢圓就越扁答案(1)×(2)×(3)(4)(5)2(2015·廣東卷改編)已知橢圓1(m>0)的左焦點(diǎn)為F1(4,0)，則m_.解析依題意有25m216，m>0，m3.答案33已知橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)若AF1B的周長為4，則C的方程為_解析由橢圓的定義可知AF1B的周長為4a，所以4a4，故a，又由e，得c1，所以b2a2c22，則C的方程為1.答案14(2016·江蘇卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓1(ab0)的右焦點(diǎn)，直線y與橢圓交于B，

5、C兩點(diǎn)，且BFC90°，則該橢圓的離心率是_解析聯(lián)立方程組解得B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)為B，C，又F(c,0)，則，又由BFC90°，可得·0，代入坐標(biāo)可得：c2a20，又因?yàn)閎2a2c2.代入式可化簡為，則橢圓離心率為e.答案5已知點(diǎn)P是橢圓1上y軸右側(cè)的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_解析設(shè)P(x，y)，由題意知c2a2b2541，所以c1，則F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，由題意可得點(diǎn)P到x軸的距離為1，所以y±1，把y±1代入1，得x±，又x0，所以x，P點(diǎn)坐標(biāo)為或.答案或考點(diǎn)一橢圓的定義及其應(yīng)

6、用【例1】(1)如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是_(2)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且F1PF260°，SPF1F23，則b_.解析(1)連接QA.由已知得QAQP.所以QOQAQOQPOPr.又因?yàn)辄c(diǎn)A在圓內(nèi)，所以，OAOP，根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)，r為長軸長的橢圓(2)由題意得PF1PF22a，又F1PF260°，所以PFPF2PF1PF2cos 60°F1F，所以(PF1PF2)23PF1PF

7、24c2，所以3PF1PF24a24c24b2，所以PF1PF2b2，所以SPF1F2PF1PF2sin 60°×b2×b23，所以b3.答案(1)橢圓(2)3規(guī)律方法(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：一是判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為橢圓；二是利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長、面積、弦長、最值和離心率等(2)橢圓的定義式必須滿足2aF1F2.【訓(xùn)練1】 (1)已知橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在該橢圓上，若PF1PF22，則PF1F2的面積是_(2)(2017·保定一模)與圓C1：(x3)2y21外切，且與圓C2：(x3)2y281內(nèi)切的動(dòng)圓圓心P

8、的軌跡方程為_解析(1)由橢圓的方程可知a2，c，且PF1PF22a4，又PF1PF22，所以PF13，PF21.又F1F22c2，所以有PFPFF1F，即PF1F2為直角三角形，且PF2F為直角，所以SPF1F2F1F2PF2×2×1.(2)設(shè)動(dòng)圓的半徑為r，圓心為P(x，y)，則有PC1r1，PC29r.所以PC1PC210C1C2，即P在以C1(3,0)，C2(3,0)為焦點(diǎn)，長軸長為10的橢圓上，得點(diǎn)P的軌跡方程為1.答案(1)(2)1考點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】 (1)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)，(，)，則橢圓方程為_(2)過點(diǎn)(，)，且與

9、橢圓1有相同焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析(1)設(shè)橢圓方程為mx2ny21(m，n>0，mn)由解得m，n.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)法一橢圓1的焦點(diǎn)為(0，4)，(0,4)，即c4.由橢圓的定義知，2a，解得a2.由c2a2b2可得b24.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.法二設(shè)所求橢圓方程為1(k<9)，將點(diǎn)(，)的坐標(biāo)代入可得1，解得k5(k21舍去)，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.答案(1)1(2)1規(guī)律方法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，先定形，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組，如果焦點(diǎn)位置不確定，可設(shè)橢圓方程為mx2ny21(m0，n0，mn)

10、，求出m，n的值即可【訓(xùn)練2】 (1)(2017·常州監(jiān)測)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率e，且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y24x的焦點(diǎn)重合，則此橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為_(2)已知橢圓的長軸長是短軸長的3倍，且過點(diǎn)A(3,0)，并且以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析(1)依題意，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，由已知可得拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，所以c1，又離心率e，解得a2，b2a2c23，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)法一若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為1(ab0)由題意得解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為1(ab0)由題意得解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.綜上所述，橢圓

11、的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21或1.法二設(shè)橢圓的方程為1(m0，n0，mn)，則由題意知或解得或橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21或1.答案(1)1(2)y21或1考點(diǎn)三橢圓的幾何性質(zhì)【例3】 (1)(2016·全國卷改編)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：1(a>b>0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，且PFx軸過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為_(2)已知橢圓1(abc0，a2b2c2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若以F2為圓心，bc為半徑作圓F2，過橢圓上一點(diǎn)P作此圓的切線，切點(diǎn)為T，且|PT|的最小值不小于(ac)，

12、則橢圓的離心率e的取值范圍是_解析(1)設(shè)M(c，m)，則E，OE的中點(diǎn)為D，則D，又B，D，M三點(diǎn)共線，所以，所以a3c，所以e.(2)因?yàn)镻T(bc)，而PF2的最小值為ac，所以PT的最小值為.依題意，有(ac)，所以(ac)24(bc)2，所以ac2(bc)，所以ac2b，所以(ac)24(a2c2)，所以5c22ac3a20，所以5e22e30.又bc，所以b2c2，所以a2c2c2，所以2e21.聯(lián)立，得e.答案(1)(2)規(guī)律方法(1)求橢圓離心率的方法直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程

13、(或不等式)求解(2)利用橢圓幾何性質(zhì)求值或范圍的思路求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)問題時(shí)，要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系【訓(xùn)練3】 (2017·鹽城模擬)已知橢圓：1(0b2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若BF2AF2的最大值為5，則b的值是_解析由橢圓的方程可知a2，由橢圓的定義可知，AF2BF2AB4a8，所以AB8(AF2BF2)3，由橢圓的性質(zhì)可知過橢圓焦點(diǎn)的弦中，通徑最短，則3.所以b23，即b.答案考點(diǎn)四直線與橢圓的位置關(guān)系【例4】 (2015·江蘇卷)如圖，在平面直角坐

14、標(biāo)系xOy中，已知橢圓1(ab0)的離心率為，且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P，C，若PC2AB，求直線AB的方程解(1)由題意，得且c3，解得a，c1，則b1，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)當(dāng)ABx軸時(shí)，AB，又CP3，不合題意當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將AB的方程代入橢圓方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0，則x1,2，C的坐標(biāo)為，且AB.若k0，則線段AB的垂直平分線為y軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意從而k0，

15、故直線PC的方程為y，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而PC.因?yàn)镻C2AB，所以，解得k±1.此時(shí)直線AB的方程為yx1或yx1.【例5】 (2017·南通調(diào)研)如下圖，已知橢圓1(ab0)的右頂點(diǎn)為A(2,0)，點(diǎn)P在橢圓上(e為橢圓的離心率)(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)B，C(C在第一象限)都在橢圓上，滿足，且·0，求實(shí)數(shù)的值解(1)由條件，a2，e，代入橢圓方程，得1.b2c24，b21，c23.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)設(shè)直線OC的斜率為k，則直線OC方程為ykx，代入橢圓方程y21，即x24y24，得(14k2)x24，xC.則C.又直線AB方程為yk(x

16、2)，代入橢圓方程x24y24，得(14k2)x216k2x16k240.xA2，xB，則B.·0，··0.k2，C在第一象限，k0，k.，由，得.k，.規(guī)律方法與橢圓有關(guān)的綜合問題，往往與其他知識(shí)相結(jié)合，解決這類問題的常規(guī)思路是聯(lián)立直線方程與橢圓方程，解方程組求出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)所給的向量條件再建立方程，解決相關(guān)問題涉及弦中點(diǎn)問題用“點(diǎn)差法”解決往往更簡單【訓(xùn)練4】 (2017·南京、鹽城模擬)已知橢圓1(a>b>0)的離心率e，一條準(zhǔn)線方程為x2.過橢圓的上頂點(diǎn)A作一條與x軸、y軸都不垂直的直線交橢圓于另一點(diǎn)P，P關(guān)于x軸的

17、對(duì)稱點(diǎn)為Q.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線AP，AQ與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m，n，求證：mn為常數(shù)，并求出此常數(shù)(1)解因?yàn)椋?，所以a，c1，所以b1.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)證明法一設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)因?yàn)閗AP，所以直線AP的方程為yx1.令y0，解得m.因?yàn)閗AQ，所以直線AQ的方程為yx1.令y0，解得n.所以mn·.又因?yàn)?x1，y1)在橢圓y21上，所以y1，即1y，所以2，即mn2，所以mn為常數(shù)，且常數(shù)為2.法二設(shè)直線AP的斜率為k(k0)，則AP的方程為ykx1，令y0得m.聯(lián)立方程組消去y得(12k2)x24kx

18、0，解得xA0，xP，所以yPk·xP1，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以kAQ，故直線AQ的方程為yx1.令y0得n2k，所以mn·(2k)2.所以mn為常數(shù)，常數(shù)為2.思想方法1橢圓的定義揭示了橢圓的本質(zhì)屬性，正確理解、掌握定義是關(guān)鍵，應(yīng)注意定義中的常數(shù)大于F1F2，避免了動(dòng)點(diǎn)軌跡是線段或不存在的情況2求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系數(shù)法)先“定位”，就是先確定橢圓和坐標(biāo)系的相對(duì)位置，以橢圓的中心為原點(diǎn)的前提下，看焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，確定標(biāo)準(zhǔn)方程的形式；再“定量”，就是根據(jù)已知條件，通過解方程(組)等手段，確定a2，b2的值，代入所設(shè)的方程，即可求出橢圓的標(biāo)

19、準(zhǔn)方程若不能確定焦點(diǎn)的位置，這時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)方程?？稍O(shè)為mx2ny21(m0，n0且mn)易錯(cuò)防范1判斷兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的方法為比較標(biāo)準(zhǔn)形式中x2與y2的分母大小2在解關(guān)于離心率e的二次方程時(shí)，要注意利用橢圓的離心率e(0,1)進(jìn)行根的取舍，否則將產(chǎn)生增根3橢圓的范圍或最值問題常常涉及一些不等式例如，axa，byb,0e1等，在求橢圓相關(guān)量的范圍時(shí)，要注意應(yīng)用這些不等關(guān)系.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、填空題1橢圓1的焦距為2，則m的值等于_解析當(dāng)m>4時(shí)，m41，m5；當(dāng)0<m<4時(shí)，4m1，m3.答案32(2017·蘇州調(diào)研)已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1

20、,0)，離心率等于，則C的方程是_解析依題意，所求橢圓的焦點(diǎn)位于x軸上，且c1，ea2，b2a2c23，因此其方程是1.答案13若橢圓1上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離為6，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離是_解析由橢圓定義知PF1PF210，又PF16，PF24.答案44(2017·揚(yáng)州期末)設(shè)橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF2F1F2，PF1F230°，則C的離心率為_解析在RtPF2F1中，令PF21，因?yàn)镻F1F230°，所以PF12，F(xiàn)1F2.故e.答案5(2016·全國卷改編)直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓

21、中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為_解析如圖，由題意得，BFa，OFc，OBb，OD×2bb.在RtOFB中，OF×OBBF×OD，即cba·b，即a2c，故橢圓離心率e.答案6(2016·南京師大附中模擬)橢圓ax2by21(a0，b0)與直線y1x交于A，B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為，則的值為_解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則axby1，axby1，即axax(byby)，1，1，×(1)×1，.答案7(2017·昆明質(zhì)檢)橢圓1上的一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的乘積為m，當(dāng)m取最

22、大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是_解析記橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，有PF1PF22a10.則mPF1·PF2225，當(dāng)且僅當(dāng)PF1PF25，即點(diǎn)P位于橢圓的短軸的頂點(diǎn)處時(shí)，m取得最大值25.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,0)或(3,0)答案(3,0)或(3,0)8(2017·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)已知F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)為橢圓1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且·c2，則此橢圓離心率的取值范圍是_解析設(shè)P(x，y)，則·(cx，y)·(cx，y)x2c2y2c2，將y2b2x2代入式解得x2，又x20，a2，2c2a23c2，e.答案二、解答題

23、9設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.(1)若直線MN的斜率為，求C的離心率；(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且MN5F1N，求a，b.解(1)根據(jù)c及題設(shè)知M，2b23ac.將b2a2c2代入2b23ac，解得或2(舍去)故C的離心率為.(2)由題意，知原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，MF2y軸，所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2)是線段MF1的中點(diǎn)，故4，即b24a.由MN5F1N，得DF12F1N.設(shè)N(x1，y1)，由題意知y10，則即代入C的方程，得1. 將及c代入得1.解得a7，b24a28，故a7，b2

24、 .10(2017·蘇北四市調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：1(a>b>0)的右準(zhǔn)線方程為x4，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F，斜率為2的直線l經(jīng)過點(diǎn)A，且點(diǎn)F到直線l的距離為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)將直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，它與橢圓C相交于另一點(diǎn)P，當(dāng)B，F(xiàn)，P三點(diǎn)共線時(shí)，試確定直線l的斜率解(1)由題意知，直線l的方程為y2(xa)，即2xy2a0，所以右焦點(diǎn)F到直線l的距離為，所以ac1.又橢圓C的右準(zhǔn)線方程為x4，即4，所以c，將此代入上式解得a2，c1，所以b23，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)法一由(1)知B(0，)，F(xiàn)(1,0)所以直線BF的

25、標(biāo)準(zhǔn)方程為y(x1)，聯(lián)立方程組，得解得或(舍)即P，所以直線l的斜率k.法二由(1)知B(0，)，F(xiàn)(1,0)，所以直線BF的方程為y(x1)，由題意知A(2,0)，顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為yk(x2)，聯(lián)立方程組得解得代入橢圓解得k或k，又由題意知，y<0得k>0或k<，所以k.能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)11(2016·蘇州調(diào)研)橢圓C：1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，若F關(guān)于直線xy0的對(duì)稱點(diǎn)A是橢圓C上的點(diǎn)，則橢圓C的離心率為_解析設(shè)F(c,0)關(guān)于直線xy0的對(duì)稱點(diǎn)A(m，n)，則m，nc，代入橢圓方程可得1，并把b2a2c

26、2代入，化簡可得e48e240，解得e24±2，又0e1，e1.答案112(2017·鹽城中學(xué)模擬)已知直線l：ykx2過橢圓1(ab0)的上頂點(diǎn)B和左焦點(diǎn)F，且被圓x2y24截得的弦長為L，若L，則橢圓離心率e的取值范圍是_解析依題意，知b2，kc2.設(shè)圓心到直線l的距離為d，則L2，解得d2.又因?yàn)閐，所以，解得k2.于是e2，所以0e2，解得0e.答案13橢圓y21的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，若F1PF2為鈍角，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是_解析設(shè)橢圓上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則(x，y)，(x，y)F1PF2為鈍角，·<0，即x

27、23y2<0，y21，代入得x231<0，即x2<2，x2<.解得<x<，x.答案14(2017·南京模擬)已知橢圓C：1(ab0)過點(diǎn)P(1，1)，c為橢圓的半焦距，且cb.過點(diǎn)P作兩條互相垂直的直線l1，l2與橢圓C分別交于另兩點(diǎn)M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l1的斜率為1，求PMN的面積；(3)若線段MN的中點(diǎn)在x軸上，求直線MN的方程解(1)由條件得1，且c22b2，所以a23b2，解得b2，a24.所以橢圓C的方程為1.(2)設(shè)l1的方程為y1k(x1)，聯(lián)立消去y得(13k2)x26k(k1)x3(k1)240.因?yàn)镻為(1

28、，1)，解得M.當(dāng)k0時(shí)，用代替k，得N，將k1代入，得M(2,0)，N(1,1)因?yàn)镻(1，1)，所以PM，PN2，所以PMN的面積為××22.(3)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則兩式相減得(x1x2)(x1x2)3(y1y2)(y1y2)0，因?yàn)榫€段MN的中點(diǎn)在x軸上，所以y1y20，從而可得(x1x2)(x1x2)0.若x1x20，則N(x1，y1)因?yàn)镻MPN，所以·0，得xy2.又因?yàn)閤3y4，所以解得x1±1，所以M(1,1)，N(1，1)或M(1，1)，N(1,1)所以直線MN的方程為yx.若x1x20，則N(x1，y1)，因?yàn)镻

29、MPN，所以·0，得y(x11)21.又因?yàn)閤3y4，所以解得x1或1，經(jīng)檢驗(yàn)：x1滿足條件，x11不滿足條件綜上，直線MN的方程為xy0或x.第6講雙曲線考試要求雙曲線的定義，幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線)，A級(jí)要求知 識(shí) 梳 理1雙曲線的定義(1)第一定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值為正常數(shù)2a(小于兩定點(diǎn)之間的距離2c)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線(2)雙曲線的定義用代數(shù)式表示為|MF1MF2|2a，其中2a<F1F22c.(3)當(dāng)MF1MF22a時(shí)，曲線僅表示靠近焦點(diǎn)F2的雙曲線的一支；當(dāng)MF1MF22a時(shí)，曲線僅表示

30、靠近焦點(diǎn)F1的雙曲線的一支；當(dāng)2aF1F2時(shí)，軌跡為以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)2a>F1F2時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在(4)第二定義：平面內(nèi)，到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離之比等于常數(shù)e(e>1)的動(dòng)點(diǎn)軌跡叫作雙曲線2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì)圖形標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)幾何性質(zhì)范圍|x|a|y|a焦點(diǎn)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱實(shí)、虛軸長實(shí)軸A1A22a，虛軸B1B22b離心率e(也等于

31、雙曲線上任意一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)F與到這個(gè)焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離之比)準(zhǔn)線方程x±y±漸近線方程y±xy±x3(1)等軸雙曲線：實(shí)軸和虛軸長度相等的雙曲線叫作等軸雙曲線，也叫等邊雙曲線(2)等軸雙曲線離心率e兩條漸近線垂直(位置關(guān)系)實(shí)軸長虛軸長(3)雙曲線的離心率e與都是刻畫雙曲線開口的大小的量診 斷 自 測1判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“×”)(1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4)，F(xiàn)2(0，4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線()(2)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4)，F(xiàn)2(0，4)距離之差等于6的點(diǎn)的軌跡是雙曲線()(3)方程1(mn>0)表示焦點(diǎn)

32、在x軸上的雙曲線()(4)雙曲線方程(m>0，n>0，0)的漸近線方程是0，即±0.()(5)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.()解析(1)因?yàn)閨MF1MF2|8F1F2，表示的軌跡為兩條射線(2)由雙曲線的定義知，應(yīng)為雙曲線的一支，而非雙曲線的全部(3)當(dāng)m0，n0時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，而m0，n0時(shí)則表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線答案(1)×(2)×(3)×(4)(5)2(2016·全國卷改編)已知方程1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是_解析方程1表示雙曲線，(m2n)·(3m2n)&

33、gt;0，解得m2<n<3m2，由雙曲線性質(zhì)，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c2×2|m|4，解得|m|1，1<n<3.答案(1,3)3(2017·南京調(diào)研)已知雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線的方程為2xy0，則該雙曲線的離心率為_解析由題意得雙曲線的一條漸近線方程為yx2x，所以2，則雙曲線的離心率為e.答案4(2017·南通調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線1(a>0，b>0)過點(diǎn)P(1,1)，其一條漸近線方程為yx，則該雙曲線的方程為_解析由于雙曲線過點(diǎn)P(1,1)

34、，則有1，又雙曲線的漸近線方程為y±x，則有，與1聯(lián)立解得a2，b21，故所求的雙曲線的方程為2x2y21.答案2x2y215(選修11P41習(xí)題6改編)經(jīng)過點(diǎn)A(3，1)，且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線方程為_解析設(shè)雙曲線的方程為：x2y2(0)，把點(diǎn)A(3，1)代入，得8，故所求方程為1.答案1考點(diǎn)一雙曲線的定義及其應(yīng)用【例1】 (1)(2017·鹽城中學(xué)模擬)設(shè)雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e，過F2的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，若F1AB是以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則e2_.(2)(2015·全國卷)已知F是雙曲

35、線C：x21的右焦點(diǎn)，P是C左支上一點(diǎn)，A(0,6)，當(dāng)APF周長最小時(shí)，該三角形的面積為_解析(1)如圖所示，因?yàn)锳F1AF22a，BF1BF22a，BF1AF2BF2，所以AF22a，AF14a.所以BF12a，所以BF22a2a.因?yàn)镕1FBFBF，所以(2c)2(2a)2(2a2a)2，所以e252.(2)設(shè)左焦點(diǎn)為F1，PFPF12a2，PF2PF1，APF的周長為AFAPPFAFAP2PF1，APF周長最小即為APPF1最小，當(dāng)A，P，F(xiàn)1在一條直線時(shí)最小，過AF1的直線方程為1.與x21聯(lián)立，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)，此時(shí)SSAF1FSF1PF12.答案(1)52、(2)12規(guī)律

36、方法“焦點(diǎn)三角形”中常用到的知識(shí)點(diǎn)及技巧(1)常用知識(shí)點(diǎn)：在“焦點(diǎn)三角形”中，正弦定理、余弦定理、雙曲線的定義經(jīng)常使用(2)技巧：經(jīng)常結(jié)合|PF1PF2|2a，運(yùn)用平方的方法，建立它與PF1、PF2的聯(lián)系提醒利用雙曲線的定義解決問題，要注意三點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值2aF1F2.焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的位置【訓(xùn)練1】 (1)如果雙曲線1上一點(diǎn)P到它的右焦點(diǎn)的距離是8，那么點(diǎn)P到它的左焦點(diǎn)的距離是_(2)(2017·揚(yáng)州模擬)已知點(diǎn)P為雙曲線1右支上一點(diǎn)，點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，M為PF1F2的內(nèi)心，若SPMF1SPMF28，則MF1F2的面積為_解析(1)由雙曲線方程，得a2，c4.

37、設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義PF1PF2±2a，PF1PF2±2a8±4，PF112或PF14.(2)設(shè)內(nèi)切圓的半徑為R，a4，b3，c5，因?yàn)镾PMF1SPMF28，所以(PF1PF2)R8，即aR8，所以R2，所以SMF1F2·2c·R10.答案(1)4或12(2)10考點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)(多維探究)命題角度一與雙曲線有關(guān)的范圍問題【例21】 (1)(2017·蘇、錫、常、鎮(zhèn)、宿遷五市調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知方程1表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(2)(2015·全國卷改編

38、)已知M(x0，y0)是雙曲線C：y21上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若·<0，則y0的取值范圍是_解析(1)由題意可得(4m)(2m)>0，解得2<m<4.(2)因?yàn)镕1(，0)，F(xiàn)2(，0)，y1，所以·(x0，y0)·(x0，y0)xy30，即3y10，解得y0.答案(1)(2,4)(2)命題角度二與雙曲線的離心率、漸近線相關(guān)的問題【例22】 (1)(2016·全國卷改編)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sinMF2F1，則E的離心率為_.(2)(2017·鹽城模擬)以

39、雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F為圓心，a為半徑的圓恰好與雙曲線的兩條漸近線相切，則該雙曲線的離心率為_解析(1)設(shè)F1(c,0)，將xc代入雙曲線方程，得1，所以1，所以y±.因?yàn)閟inMF2F1，所以tan MF2F1，所以e2e10，所以e.(2)由題意可得右焦點(diǎn)(c,0)到漸近線yx的距離為a，則ba，該雙曲線的離心率為e.答案(1)(2)規(guī)律方法與雙曲線有關(guān)的范圍問題的解題思路(1)若條件中存在不等關(guān)系，則借助此關(guān)系直接變換轉(zhuǎn)化求解(2)若條件中沒有不等關(guān)系，要善于發(fā)現(xiàn)隱含的不等關(guān)系或借助曲線中不等關(guān)系來解決【訓(xùn)練2】 (1)(2017·蘇北四市調(diào)

40、研)設(shè)雙曲線C的中心為點(diǎn)O，若有且只有一對(duì)相交于點(diǎn)O，所成的角為60°的直線A1B1和A2B2，使A1B1A2B2，其中A1，B1和A2，B2分別是這對(duì)直線與雙曲線C的交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是_(2)(2017·南京模擬)已知雙曲線x21的左頂點(diǎn)為A1，右焦點(diǎn)為F2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，則·的最小值為_解析(1)因?yàn)橛星抑挥幸粚?duì)相交于點(diǎn)O，所成的角為60°的直線A1B1和A2B2，所以直線A1B1和A2B2關(guān)于x軸對(duì)稱，并且直線A1B1和A2B2與x軸的夾角為30°，雙曲線的漸近線與x軸的夾角大于30°且小于等于60&#

41、176;，否則不滿足題意可得tan 30°，即，所以e.同樣的，當(dāng)tan 60°，即3時(shí)，3，即4a2c2，e24，e1，所以1e2.所以雙曲線的離心率的范圍是.(2)由題可知A1(1,0)，F(xiàn)2(2,0)設(shè)P(x，y)(x1)，則(1x，y)，(2x，y)，·(1x)(2x)y2x2x2y2x2x23(x21)4x2x5.因?yàn)閤1，函數(shù)f(x)4x2x5的圖象的對(duì)稱軸為x，所以當(dāng)x1時(shí)，·取得最小值2.答案(1)(2)2考點(diǎn)三雙曲線的綜合問題【例3】 (1)(2017·揚(yáng)州質(zhì)檢)已知F是橢圓C1：y21與雙曲線C2的一個(gè)公共焦點(diǎn)，A，B分別是

42、C1，C2在第二、四象限的公共點(diǎn)若·0，則C2的離心率是_(2)(2015·江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為雙曲線x2y21右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)若點(diǎn)P到直線xy10的距離大于c恒成立，則實(shí)數(shù)c的最大值為_解析(1)設(shè)另一個(gè)公共焦點(diǎn)為F2，AFm，AF2n，由橢圓的定義可得mn2a14，根據(jù)對(duì)稱性知AF2BF，且AF2BF，由·0可知AFBF，所以AFAF2，則有m2n2(2c1)212，與mn4聯(lián)立，解得m2，n2(或m2，n2)根據(jù)雙曲線的定義可得2a2|mn|2，即a2，而c2c1，故雙曲線的離心率為e.(2)設(shè)P(x，y)(x1)，因?yàn)橹本€xy10平行于漸

43、近線xy0，所以c的最大值為直線xy10與漸近線xy0之間的距離，由兩平行線間的距離公式知，該距離為.答案(1)(2)規(guī)律方法解決與雙曲線有關(guān)綜合問題的方法(1)解決雙曲線與橢圓、圓、拋物線的綜合問題時(shí)，要充分利用橢圓、圓、拋物線的幾何性質(zhì)得出變量間的關(guān)系，再結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)求解(2)解決直線與雙曲線的綜合問題，通常是聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，消元求解一元二次方程即可，但一定要注意數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖形注意取舍【訓(xùn)練3】 (2016·天津卷改編)已知雙曲線1(b>0)，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點(diǎn)，四邊形ABCD的面積為

44、2b，則雙曲線的方程為_解析由題意知雙曲線的漸近線方程為y±x，圓的方程為x2y24，聯(lián)立解得或即第一象限的交點(diǎn)為.由雙曲線和圓的對(duì)稱性得四邊形ABCD為矩形，其相鄰兩邊長分別為，故2b，得b212.故雙曲線的方程為1.答案1思想方法1與雙曲線1 (a>0，b>0)有公共漸近線的雙曲線的方程可設(shè)為t (t0)2已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的漸近線方程時(shí)，只要令雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中“1”為“0”就得到兩漸近線方程，即方程0就是雙曲線1 (a>0，b>0)的兩條漸近線方程易錯(cuò)防范1雙曲線方程中c2a2b2，說明雙曲線方程中c最大，解決雙曲線問題時(shí)不要忽視了這個(gè)結(jié)論，

45、不要與橢圓中的知識(shí)相混淆2求雙曲線離心率及其范圍時(shí)，不要忽略了雙曲線的離心率的取值范圍是(1，)這個(gè)前提條件，否則很容易產(chǎn)生增解或擴(kuò)大所求離心率的取值范圍致錯(cuò)3雙曲線1 (a>0，b>0)的漸近線方程是y±x，1 (a>0，b>0)的漸近線方程是y±x.4直線與雙曲線交于一點(diǎn)時(shí)，不一定相切，例如：當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)，但不是相切；反之，當(dāng)直線與雙曲線相切時(shí)，直線與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn).基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、填空題1(2016·江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線1的焦距是_解析由已知，得a2

46、7，b23，則c27310，故焦距為2c2.答案22(2017·南京模擬)設(shè)雙曲線1(a0，b0)的虛軸長為2，焦距為2，則雙曲線的漸近線方程為_解析因?yàn)?b2，所以b1，因?yàn)?c2，所以c，所以a，所以雙曲線的漸近線方程為y±x±x.答案y±x3(2015·廣東卷改編)已知雙曲線C：1的離心率e，且其右焦點(diǎn)為F2(5,0)，則雙曲線C的方程為_解析因?yàn)樗箅p曲線的右焦點(diǎn)為F2(5,0)且離心率為e，所以c5，a4，b2c2a29，所以所求雙曲線方程為1.答案14(2017·蘇北四市聯(lián)考)已知雙曲線C：1(a0，b0)，右焦點(diǎn)F到漸近

47、線的距離為2，點(diǎn)F到原點(diǎn)的距離為3，則雙曲線C的離心率e為_解析右焦點(diǎn)F到漸近線的距離為2，F(xiàn)(c,0)到y(tǒng)x的距離為2，即2，又b0，c0，a2b2c2，b2，又點(diǎn)F到原點(diǎn)的距離為3，c3，a，離心率e.答案5(2017·南通、揚(yáng)州、泰州三市調(diào)研)已知雙曲線1(a>0，b>0)的左頂點(diǎn)為M，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作垂直于x軸的直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且滿足MAMB，則該雙曲線的離心率是_解析由題意可得AFMF，且AF，MFac，則ac，即b2a2acc2a2，所以e2e20(e>1)，解得e2.答案26(2017·南京師大附中模擬)已知雙曲線1(a&g

48、t;0，b>0)的漸近線與圓x2(y2)21沒有公共點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍為_解析雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線y±x，即bx±ay0與圓x2(y2)21沒有公共點(diǎn)，則>1,2a>c，故該雙曲線的離心率滿足1<e<2，即雙曲線的離心率的取值范圍為(1,2)答案(1,2)7(2017·泰州模擬)已知雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為(3,4)，則此雙曲線的方程為_解析由題意知，圓的半徑為5，又點(diǎn)(3,4)在經(jīng)過第一、三象限的漸近線yx上，因此有解得

49、所以此雙曲線的方程為1.答案18(2016·山東卷)已知雙曲線E：1(a0，b0)若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上，AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且2AB3BC，則E的離心率是_解析由已知得AB，BC2c，2×3×2c.又b2c2a2，整理得：2c23ac2a20，兩邊同除以a2得22320，即2e23e20，解得e2或e1(舍去)答案2二、解答題9(2017·鎮(zhèn)江期末)已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點(diǎn)P(4，)(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證：·0.(1)解e，可設(shè)雙曲線的方程

50、為x2y2(0)雙曲線過點(diǎn)(4，)，1610，即6.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)證明法一由(1)可知，ab，c2，F(xiàn)1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1·kMF2.點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，9m26，m23，故kMF1·kMF21，MF1MF2.·0.法二由(1)可知，ab，c2，F(xiàn)1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，(23，m)，(23，m)，·(32)×(32)m23m2，點(diǎn)M(3,0)在雙曲線上，9m26，即m230，·0.10已知雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線方程為2xy0，且頂點(diǎn)到漸近線的距離為.(1)求

51、此雙曲線的方程；(2)設(shè)P為雙曲線上一點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、二象限，若AP，求AOB的面積解(1)依題意得解得故雙曲線的方程為x21.(2)由(1)知雙曲線的漸近線方程為y±2x，設(shè)A(m,2m)，B(n,2n)，其中m0，n0，由AP得點(diǎn)P的坐標(biāo)為.將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入x21，整理得mn1.設(shè)AOB2，tan2，則tan ，從而sin 2.又OAm，OBn，SAOBOA·OBsin 22mn2.能力提升題組(建議用時(shí)：20分鐘)11(2016·北京卷)雙曲線1(a0，b0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn)，若正方形OABC的邊長為2，則a_.解析取B為雙曲線右焦點(diǎn)，如圖所示四邊形OABC為正方形且邊長為2，cOB2，又AOB，tan1，即ab.又a2b2c28，a2.答案212(2017·蘇、錫、