傅里葉變換和傅里葉級數(shù)的收斂問題

1、1、傅里葉變換和傅里葉級數(shù)的收斂問題由丁傅里葉級數(shù)是一個無窮級數(shù)，因而存在收斂問題。這包含兩方面的意思: 是否任何周期信號都可以表示為傅里葉級數(shù)；如果一個信號能夠表示為傅里葉級 數(shù)，是否對任何t值級數(shù)都收斂丁原來的信號。關丁傅里葉級數(shù)的收斂，有兩組 稍有不同的條件。第一組條件：如果周期信號x(t &一個周期內平方可積，即2r x ft dt <8.T0則其傅里葉級數(shù)表達式一定存在。第二組條件，與第一組條件稍有不同，就是狄里赫利條件，它包括以下三點：(1) 在任何周期內，x必須絕對可積，即I網(wǎng)機<°°I 0(2) 在任何周期內，x(t以有有限個極值點，且在

2、極值點處的級值為有限值。(3) 在任何有限區(qū)間內，x(t )只有有限個問斷點，且在這些不連續(xù)點處，x(t)為有限值。傅里葉變換的收斂問題也有兩組類似的條件：第一組條件：如果x(t正方可積，即則x(t )的傅里葉變換存在。滿足上式可以保證 X(Q )為有限值。第二組條件也稱為狄里赫利條件，這就是：(1) x(t施對可積，即qQfx(t |dt < 00-01(2) 在任何有限區(qū)間內，x(t )只有有限個極值點，且在這些極值點處的極值 是有限值。(3) 在任何有限區(qū)間內，x(t )只能有有限個問斷點，而且這些問斷點都必須 是有限值。吉布斯現(xiàn)象：當簡單地把信號頻譜截斷時，相當丁給信號頻譜加上了

3、一個矩形窗口函數(shù)， 正是由丁矩形窗口函數(shù)的時域特性導致了在問斷點處的吉布斯現(xiàn)象的產生。2、周期序列的傅里葉級數(shù)展開和傅里葉變換之間的問題假定x(t代一個長度為N的有限長序列，將x(t )以N為周期延拓而成的周期 序列為x(n ),則有:xn = ' xnrNr -：:或表小為x(n )= x (n川。丁是x(n 占x(n )的關系表小為： X n =X n Nx n = x n Rn n 將x(n族示為離散時間傅里葉級數(shù)有：.N A 1 _knx nX k Wn-N n坦N旦knX k = ' x n Wnn -0其中X (k )是傅里葉級數(shù)的系數(shù)，這樣做的目的是使其表達形式與

4、離散時間傅里 葉變換的形式相類似。如果將X (k )的主值周期記為X(k ), 0 < k < N 一1 ,由丁以上兩式中的求和范圍均取為區(qū)間 0N-1 ,在次區(qū)間內x(n )=x(n),因此可以得到：X (k ) = £ x(n WNkn ,。壬 k 壬 N 1 n -0x)=L X (k W ,0 壬n 4N 1N n z0表明時域N點有限長序列x(n )可以變換成頻域N點有限長序列X(k )。顯然,DFT與DFS之間存在以下關系：X k 】=X k NX k = X k Rn k3、頻率分辨率的問題若信號最高頻率為九，按抽樣定理，抽樣頻率應滿足fs . 2 fh也就

5、是抽樣間隔為T滿足11T =:fs 2 fh一般取fs =：i2.5 3.0 fh如果不滿足fs >2fh的要求，就會產生頻率響應的周期延拓分量相互重疊的現(xiàn) 象，也就是產生頻率響應的混疊失真。對丁 DFT來說，頻率函數(shù)也要抽樣，變成離散的序列，其抽樣間隔為F。，這 就是我們能得到得的頻率分辨力， 有它可引出時間函數(shù)的周期，也就是所取的記 錄長度To為1To = 一F。從以上T和To兩個公式來看，信號的最高頻率分量fh與頻率分辨力F。之間有著矛盾關系，要想fh增加，則時域抽樣間隔T就一定減小T =土里一，而fs t fs 2fh J（抽樣頻率）就增加，由丁抽樣點數(shù)滿足E=E=nFo T則此

6、時fs增加，若是N固定的情況下，必然要Fo增加，即分辨率下降。反之，要提高頻率分辨力（減少Fo ）,就要增加To ,當N給定時，必然導致T 的增加（fs減小）。要不產生混疊失真，則必然會減小高頻容量（信號的最高頻 率分量）fh。要想兼顧高頻容量fh與頻率分辨力Fo ,即一個性能提高而另一個性能不變（或也得以提高）的惟一辦法就是增加記錄長度的點數(shù)N,即要滿足N蘭.紅F0 Fo這個公式是未采用任何特殊數(shù)據(jù)處理（例如加窗處理）的情況下，為實現(xiàn)基 本DFT算法所必須滿足的最低條件。如果加窗處理，相當丁時域相乘，則頻域 卷積，必然加寬頻譜分量，頻率分辨力就可能變壞，為了保證頻率分辨力不變，則須增加記錄長

7、度，也就是增加數(shù)據(jù)長度 Too4、MATLAB的圖示說明：有效觀察時間與補零后的DFT之間的關系，以及與DTFT之間的關系對8點正弦離散序列求8點、32點和64點DFT,觀察頻域變化（分別用綠、 黃、紅色表示）。結果：矩形窗序列后補零的時、頻域示意圖從圖中可以看出：序列后補零可以降低柵欄效應；信號頻譜的形狀只取決丁 時域信號，與補零個數(shù)無關。補零并不能提高頻譜分辨率，因為頻譜分辨率只與 時域數(shù)據(jù)的有效長度有關。DTFT與DFT （或DFS）的關系：DFT時域序列為周期序列，周期為 N;頻 域序歹0也是周期序歹0,周期也是 N點。當N不斷增大時，頻域包絡不變，但譜 線變密；顯然，Nt 8時，時域

8、序列變?yōu)榉侵芷谛虼?,頻域為連續(xù)的頻譜，即 變化為DTFT。5、教材信號與線性系統(tǒng)，閻鴻森、王新鳳、田惠生編，西安交通大學出版社數(shù)字信號處理教程，程佩宵編，活華大學出版社（后附連續(xù)信號傅里葉變換的DFT近似計算）傅里葉變換的DFT近似計算連續(xù)時間非周期信號 x(t )的傅里葉變換對為X j” = Re，x t =上 X j”。"'"頊2"二：用DFT方法計算這一對變換的方法如下：(1)將x(t價t軸上等間隔(寬度為 T)分段，每一段用一個矩形脈沖代替，脈沖的幅度為其起始點的抽樣值x(t j±T =x(nT )=x(n ),然后把所有矩形脈沖的面積

9、相加。由于t- nTdt ，T dt = in 1 T - nTdt .T二n = ：則得頻譜密度 X (jQ )= J*x(t eQdt的近似值為adX (jQ)q x(nT ) eQT T(2) 將序列x(n )=x(nT )截斷成從t = 0開始長度為t0的有限長序列，包含有 N個抽 樣(即時域取 N個樣點)，則上式成為N -1X(jQ)&T£ x (nT )e，0T(4)n -0由于時域抽樣，抽樣頻率為 fs =l/T，則頻域產生以fs為周期的周期延拓，如果頻域是限帶信號，則可能不產生混疊，成為連續(xù)周期頻譜序列，頻域周期為fs=l/T (即時域的 抽樣頻率)。(3)

10、為了數(shù)值計算，再頻域上也要離散化(抽樣)即在頻域的一個周期( fs)中也分成N段，即取N個樣點fs =NF°，每個樣點間的間隔為 Fo。頻域抽樣，那么頻域的積分式(2)式就變成求和式，而時域就得到原已截斷的離散時間序列的周期延拓序列，其時域周期為To =i/Fo。這時Q =kQ°d'.' - k , 1 ' .、- k .' °' '0各參量的關系為1T0 =F0“01'0T- ' .)0 一 = ' .' 0fsNk _0N NTF。= 2-：F°=2二 -s曳=2二-s乜=2二fsT。這樣，經(jīng)過上面三個步驟后，時域、頻域都是離散周期的序列, 第1, 2兩步：時域抽樣、截斷推導如下:N AX (jQ )&£ x(nT ) e°T Tn z0X ejfnTd'J(6)第3步：頻域抽樣，得到N _1ki.0nT= t Xn四2 二nkx n e N =TDFT k n j Nx nT X2二 jjk"。 ejk i. 0 nTN -1= F°w X jk.k Z02j一-nk Ne=F0jMnk N efs1一