直線與雙曲線位置關(guān)系典例精析

1、直線和雙曲線的位置關(guān)系一、要點(diǎn)精講1直線和雙曲線的位置關(guān)系有三種：相交、相切、相離.2弦長公式：設(shè)直線ykxb 交雙曲線于P1 x1 , y1， P2x2 , y2 ，則 P1P2x1x2 1 k 21 k 2x1x224x1 x2 ，或 P1P2y1y2 1111y1y224 y1 y2 k 0 k2k 2二、基礎(chǔ)自測1經(jīng)過點(diǎn) P 1 ,22(A)4條且與雙曲線4x2y 21僅有一個公共點(diǎn)的直線有（）(B)3條(C)2條(D)1條2直線 y= kx 與雙曲線 4x2y216 不可能（）（A）相交（ B）只有一個交點(diǎn)（C）相離（ D）有兩個公共點(diǎn)3 過雙曲線的一個焦點(diǎn)且與雙曲線的實(shí)軸垂直的弦叫

2、做雙曲線的通徑，則雙曲線y2x2的通徑長是1619(A)99(C) 9(D) 104(B)24若一直線l 平行于雙曲線的一條漸近線，則l 與雙曲線的公共點(diǎn)個數(shù)為解：與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線有且只有一個公共點(diǎn)，應(yīng)注意直線與雙曲線不是相切5 經(jīng) 過 雙曲 線 x2y28的右焦點(diǎn)且斜率為 2 的直線被雙曲線截得的線段的長是x 2y 24，且 l 的斜率為2，求直線 l 的方程6直線 l 在雙曲線1上截得的弦長為321 /9三、典例精析題型一：直線與雙曲線的位置關(guān)系1. 如果直線 ykx 1 與雙曲線 x2y 24 沒有公共點(diǎn)，求k 的取值范圍有兩個公共點(diǎn)呢？解，所以 = (b ) 24 0

3、， 所以 b2 ， eca2b21( b )25 ，故選 D.aaaaa2 (2010 安·徽 )若直線 y kx2與雙曲線 x2y2 6 的右支交于不同的兩點(diǎn)，則k 的取值范圍是 ()A.15 ,15B.0,15C.15 ,0D.15, 1333331k 20y kx2，得(1 k2 )x2 4kx10 0，16k 24 1k 2100解：由x2 y2 6，解得x1x20x1 x20 153 <k< 1.x2y21 有且只有一個公共點(diǎn)的直線有幾條，分別求出它們3、過點(diǎn) P( 7,5) 與雙曲線257的方程。高中數(shù)學(xué)題型二：直線與雙曲線的相交弦問題4. 過雙曲線 x2y

4、21的左焦點(diǎn) F1 ，作傾斜角為的弦 AB ，求 AB ；F2 AB 的周36長（ F2 為雙曲線的右焦點(diǎn)） 。5. 已知雙曲線方程為3x2y23 ，求以定點(diǎn)A(2,1)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程解圓錐曲線與直線相交所得的中點(diǎn)弦問題，一般不求直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，而是利用根與系數(shù)的關(guān)系或“平方差法” 求解此時，若已知點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部，則中點(diǎn)弦一定存在，所求出的直線可不檢驗(yàn)，若已知點(diǎn)在雙曲線的外部，中點(diǎn)弦可能存在，也可能不存在， 因而對所求直線必須進(jìn)行檢驗(yàn)，以免增解，若用待定系數(shù)法時，只需求出k 值對判別式>0 進(jìn)行驗(yàn)證即可6. 雙曲線方程為3x2y 23 .問：以定點(diǎn)B(1,1)為中點(diǎn)

5、的弦存在嗎？若存在，求出其所在直線的方程；若不存在，請說明高中數(shù)學(xué)理由7、已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)1 2 在 x 軸上，離心率為21 的雙曲線經(jīng)過點(diǎn) P(6,6)A , A3（）求雙曲線的方程；（） 動直線 l 經(jīng)過 A1PA2 的重心 G ，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)M , N ，問是否存在直線 l使 G 平分線段 MN 。試證明你的結(jié)論。題型三：求雙曲線方程8. 已知焦點(diǎn)在x 軸上的雙曲線上一點(diǎn)P ，到雙曲線兩個焦點(diǎn)的距離分別為4 和 8，直線yx2 被雙曲線截得的弦長為202 ，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程9、設(shè)雙曲線 C : x2y 221 a 0 與直線 l : xy 1 相交于不同的點(diǎn)A、 B.a

6、求雙曲線 C 的離心率 e 的取值范圍；高中數(shù)學(xué)設(shè)直線 l與 y 軸的交點(diǎn)為 P ，且 PA5 PB ，求 a 的值。x212解： (1)將 y x 1 代入雙曲線由題設(shè)條2 y2 1 中得 (1 a2)x2 2a2x 2a2 0a件知，20，解得 0<a<2且 a1， 又雙曲線的離心率e21 1，1a1 a21 a4a4 8a2>0aa2 0<a< 2且 a1， e> 6且 e 2.2(2)設(shè) A(x 1，y1)，B(x2 ，y2) ，P(0,1) 5， (x5 PA12PB1，y11) 12(x2，y2 1) x15 12x2， x1、 x2 是方程的兩

7、根，且217x2 2a2522a2，1 a 0，12，12x2 1 a21 a2消去 x2 得， 2a2 289， a>0， a 17.1 a2 601310. 已知雙曲線的焦點(diǎn)為F1 c,0 ， F2c,0 ，過 F2 且斜率為3 的直線交雙曲線于P 、 Q5兩點(diǎn)，若 OPOQ(其中 O 為原點(diǎn)）， PQ4 ，求雙曲線方程。11. 雙曲線的中心為原點(diǎn)O ，焦點(diǎn)在 x 軸上，兩條漸近線分別為l1， l 2 ，經(jīng)過右焦點(diǎn)F 垂直于 l1 的直線分別交l1， l 2 于 A， B 兩點(diǎn)已知OA 、AB 、OB 成等差數(shù)列，且BF 與 FA 同向（）求雙曲線的離心率；（）設(shè) AB 被雙曲線所截

8、得的線段的長為4，求雙曲線的方程解 ：（ ） 設(shè) OA m d ， AB m ， OB m d由勾股定理可得：( m d)2m2(m d )21m ， tan AOFbAOB tan 2 AOFAB4得： d， tanOA34a高中數(shù)學(xué)2 b4b15由倍角公式a2，解得b3a,則離心率 e122a（）過F直線方程為ya (x c),與雙曲線方程x2y21聯(lián)立，將a 2b c5bba2b2，代入，化簡有152 x28 5 x 21 04bba2a24 1x1x21( x1 x2 )24x1 x2bb325b24 28b2將數(shù)值代入，有45,解 得 b 3故所求的雙曲線方程為155x2y2361。

9、9x2y212、已知雙曲線 a2 b21(b>a>0) ，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 離心率 e 2，點(diǎn) M(5， 3)在雙曲線上(1)求雙曲線的方程； (2) 若直線 l 與雙曲線交于 P，Q 兩點(diǎn)，且 OP OQ0.求 12 12|OP|OQ|的值(1) e 2， c 2a， b2 c2 a2 3a2，雙曲線方程為x2y2解：a22 1，即 3x2 y2 3a2.3a點(diǎn) M( 5，3)在雙曲線上， 153 3a2. a2 4.x2y2所求雙曲線的方程為4121.22x y 1，得(2)設(shè)直線 OP 的方程為 ykx(k 0)，聯(lián)立 412x212212 k2 113k2 |OP|2x2

10、y2 3 k2 .則 OQ 的方程為 y kx，y212k3k 21211k212 k2 1113k2 3k2 122k22同理有 |OQ|13k2 1 ，|OP|2|OQ|212 k2 112 k2 132k1 6.高中數(shù)學(xué)13 (2012 上海 )在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，已知雙曲線 C1： 2x2y21.(1) 過 C1 的左頂點(diǎn)引 C1 的一條漸近線的平行線， 求該直線與另一條漸近線及x 軸圍成的三角形的面積；(2) 設(shè)斜率為 1 的直線 l 交 C1 于 P、 Q 兩點(diǎn)若 l 與圓 x2 y2 1 相切，求證： OPOQ ；(3) 設(shè)橢圓 C2：4x2 y2 1.若 M、 N 分別

11、是 C1 、C2 上的動點(diǎn)，且 OM ON，求證： O 到直線MN 的距離是定值解： (1) 雙曲線 C1： x2y21，左頂點(diǎn) A2,0，漸近線方程為：y ± 2x.122過點(diǎn) A 與漸近線 y2x 平行的直線方程為y2 x2 ，即 y2x 1.22y2xy12解方程組，得4y2 x11.所求三角形的面積為S2|OA|y| 8 .y2(2)證明：設(shè)直線PQ 的方程是 y x b，直線 PQ 與已知圓相切，|b| 1，即 b222.y xb得 x2 2bx b2 1 0.設(shè) P(x1， y1)、 Q( x2， y2)，則x1 x22b由y2x1x21 b22x21又 y1y2 (x1

12、b)( x2 b)， OP OQ x1x2 y1 y2 2x1x2 b(x1 x2) b2 2( 1 b2) 2b2 b2 b2 2 0.故OPOQ.23(3)證明：當(dāng)直線 ON 垂直于 x 軸時， |ON| 1，|OM| 2，則 O到直線MN 的距離為3 .當(dāng)直線 ON 不垂直于 x 軸時，設(shè)直線ON 的方程為 y kx(顯然 k2)，2則直線 OM 的方程為 y 1x.ykxx241k2由得y2k4 x21y2k24k2 |ON|21 k21 k2設(shè) O 到直線 MN 的距離為 d.4 k2.同理 |OM |22.2k 1 (|OM |2 |ON|2)d2 |OM |2|ON|2，1121

13、3k2 33222 3，即 d3.d|OM|ON|k 1綜上， O 到直線 MN 的距離是定值高中數(shù)學(xué)五、能力提升1若不論 k 為何值，直線y=k(x-2)+b 與雙曲線 x2y21 總有公共點(diǎn)，則 b 的取值范圍是（）(A)3,3(B)3,3(C)2,2(D)2,22過雙曲線 x2y2A、B 兩點(diǎn)，若 |AB|=4 ，則這樣的1的右焦點(diǎn) F 作直線 l 交雙曲線于2直線 l 有（）(A)1 條(B)2 條(C)3 條(D)4 條3過點(diǎn) P1, b的直線 l 與雙曲線 x2y 21 a 0, b 0 有且僅有一個公共點(diǎn)， 且這aa 2b2個公共點(diǎn)恰是雙曲線的左頂點(diǎn)，則雙曲線的實(shí)軸長等于（）(A

14、)2(B)4(C) 1或 2(D) 2 或 44. 已知雙曲線x 2y2ab的右焦點(diǎn)為 F，若過點(diǎn) F 且傾斜角為45 的直線與a 2b210,0雙曲線的右支有且只有一個交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是（）(A) (1， 2(B)（1， 2)(C) 2， + )(D) (2，+ )6 直線 l : ykx2 與雙曲線 C : x2y 26 的右支交于不同兩點(diǎn)，則k 的取值范圍是7. 已知傾斜角為的直線 l 被雙曲線x24y 260 截得的弦長AB8 2 ，求直線 l 的方4程8. 設(shè)直線 l : yx2y 21 a0, b 0 相交于 A、B 兩點(diǎn)，且弦 AB 中3x 1 與雙曲線于b2a2高中數(shù)學(xué)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1 2a2(1)求 b2 的值； (2)求雙曲線離心率x 2y2