線性代數(shù)知識點總結(jié)(第3章)_2066

1、線性代數(shù)知識點總結(jié)（第3 章）（一）向量的概念及運算1、向量的內(nèi)積：（，） =T = T2、長度定義：| |=3、正交定義：（，） = T=T=a1b1+a2b2+anbn =04、正交矩陣的定義： A 為 n 階矩陣， AAT=EA-1=ATATA=E|A|= ±1（二）線性組合和線性表示5、線性表示的充要條件：非零列向量可由1， 2， ， s 線性表示(1)非齊次線性方程組（ 1， 2， ， s）（ x1，x2， ， xs）T=有解。(2)r（ 1， 2， ， s）=r（ 1， 2， ， s，）（系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，用于大題第一步的檢驗）6、線性表示的充分條件： （了解

2、即可）若 1，2， ， s 線性無關(guān)， 1， 2， ， s，線性相關(guān)，則可由 1， 2， ， s 線性表示。7、線性表示的求法：（大題第二步）設(shè) 1， 2， ， s 線性無關(guān)，可由其線性表示。（ 1， 2， ， s| ）初等行變換（行最簡形| 系數(shù)）行最簡形：每行第一個非0 的數(shù)為 1，其余元素均為0（三）線性相關(guān)和線性無關(guān)8、線性相關(guān)注意事項：（ 1）線性相關(guān) =0（ 2） 1， 2 線性相關(guān) 1， 2 成比例9、線性相關(guān)的充要條件：向量組 1， 2， ， s 線性相關(guān)（ 1）有個向量可由其余向量線性表示；（ 2）齊次方程（ 1， 2， ， s）（ x1 ，x2， ， xs）T=0 有非零解

3、；（ 3） r（ 1， 2， ， s） s 即秩小于個數(shù)特別地， n 個 n 維列向量 1， 2， ， n 線性相關(guān)（ 1） r（ 1， 2， ， n） n（ 2） | 1， 2， ， n |=0（ 3）（ 1， 2， ， n）不可逆10、線性相關(guān)的充分條件：（ 1）向量組含有零向量或成比例的向量必相關(guān)（ 2）部分相關(guān)，則整體相關(guān)（ 3）高維相關(guān)，則低維相關(guān)（ 4）以少表多，多必相關(guān)推論： n+1 個 n 維向量一定線性相關(guān)11、線性無關(guān)的充要條件向量組 1， 2， ， s 線性無關(guān)（ 1）任意向量均不能由其余向量線性表示；（ 2）齊次方程（ 1， 2， ， s）（ x1 ，x2， ， xs）

4、T=0 只有零解（ 3） r（ 1， 2， ， s）=s特別地， n 個 n 維向量 1， 2， ， n 線性無關(guān)r（ 1， 2， ， n）=n| 1， 2， ， n | 0矩陣可逆12、線性無關(guān)的充分條件：（ 1）整體無關(guān)，部分無關(guān)（ 2）低維無關(guān)，高維無關(guān)（ 3）正交的非零向量組線性無關(guān)（ 4）不同特征值的特征向量無關(guān)13、線性相關(guān)、線性無關(guān)判定（ 1）定義法（ 2）秩：若小于階數(shù)，線性相關(guān)；若等于階數(shù)，線性無關(guān)【專業(yè)知識補充】（ 1）在矩陣左邊乘列滿秩矩陣（秩 =列數(shù)），矩陣的秩不變；在矩陣右邊乘行滿秩矩陣，矩陣的秩不變。（ 2）若 n 維列向量 1，2 ，3 線性無關(guān)， 1，2， 3

5、可以由其線性表示，即（ 1， 2， 3）=（ 1， 2， 3）C，則 r（ 1， 2， 3）=r（C），從而線性無關(guān)。r（ 1， 2， 3）=3 r（ C） =3 |C| 0（四）極大線性無關(guān)組與向量組的秩14、極大線性無關(guān)組不唯一15、向量組的秩 :極大無關(guān)組中向量的個數(shù)成為向量組的秩對比：矩陣的秩 :非零子式的最高階數(shù)注 :向量組 1 ， 2， ， s 的秩與矩陣 A=（ 1， 2， ， s）的秩相等16、極大線性無關(guān)組的求法（ 1） 1， 2， ， s（ 2） 1， 2， ， s為抽象的：定義法為數(shù)字的：（ 1， 2， ， s）初等行變換階梯型矩陣則每行第一個非零的數(shù)對應(yīng)的列向量構(gòu)成極大

6、無關(guān)組（五）向量空間17、基（就是極大線性無關(guān)組）變換公式：若 1，2， ， n 與 1，2， ， n 是 n 維向量空間 V 的兩組基，則基變換公式為（ 1， 2， ， n） =（ 1， 2， ， n） Cn×n其中， C 是從基 1， 2， ， n 到 1， 2， ， n 的過渡矩陣。C=（ 1， 2， ， n ）-1（ 1， 2， ， n）18、坐標變換公式：向量在基 1，2， ， n 與基 1，2， ， n 的坐標分別為 x=（x1，x2， ，xn）T，y=（ y1，y2， ， yn）T，即 =x11 + x2 2 + +xn n =y1 1 + y22 + +ynn，則坐標變換公式為 x=Cy或 y=C-1x。其中， C 是從基 1， 2， ， n 到 1， 2， ， n