蘇教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)[正方形(提高)知識(shí)點(diǎn)及重點(diǎn)題型梳理]

1、精品文檔用心整理資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用蘇教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)正方形（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解正方形的概念，了解平行四邊形、矩形及菱形與正方形的概念之間的從屬關(guān)系；2掌握正方形的性質(zhì)及判定方法【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、正方形的定義四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形. 要點(diǎn)詮釋： 既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更為特殊的平行四邊形，正方形是有一組鄰邊相等的矩形，還是有一個(gè)角是直角的菱形.要點(diǎn)二、正方形的性質(zhì)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì). 1. 邊四邊相等、鄰邊垂直、對(duì)邊平行；2. 角四個(gè)角都

2、是直角；3. 對(duì)角線相等，互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；4. 是軸對(duì)稱圖形，有4 條對(duì)稱軸；又是中心對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)稱中心. 要點(diǎn)詮釋： 正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，其對(duì)角線將正方形分為四個(gè)等腰直角三角形. 要點(diǎn)三、正方形的判定正方形的判定除定義外，判定思路有兩條：或先證四邊形是菱形，再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等（即矩形）；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直（即菱形）.要點(diǎn)四、特殊平行四邊形之間的關(guān)系或者可表示為：【典型例題】精品文檔用心整理資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用類型一、正方形的性質(zhì)1、如圖，在正方形abcd 中，對(duì)角

3、線ac 、bd相交于點(diǎn)o，e、f分別在 od 、 oc上，且decf，連接 df、ae ，ae的延長(zhǎng)線交df于點(diǎn) m 求證： am df 【思路點(diǎn)撥】根據(jù) de cf ，可得出oe of，繼而證明 aoe dof ，得出 oae odf ，然后利用等角代換可得出dme 90，即得出了結(jié)論【答案與解析】證明： abcd是正方形，od oc ，又de cf，od de oc cf，即 oe of ，在 rtaoe和 rtdof中，aodoaoddofoeof，aoe dof ，oae odf ，oae aeo 90， aeo dem ，odf dem 90，即可得 am df 【總結(jié)升華】 此題考

4、查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是通過(guò)全等的證明得出 oae odf ，利用等角代換解題舉一反三：【變式 1】如圖四邊形abcd 是正方形，點(diǎn)e、k分別在 bc ，ab上，點(diǎn) g在 ba的延長(zhǎng)線上，且 ce bk ag 以線段de、dg為邊作defg (1)求證： de dg ，且 de dg (2) 連接 kf，猜想四邊形cefk是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想【答案】證明： (1) 四邊形 abcd是正方形，精品文檔用心整理資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用 dc da ， dce dag 90又 ce ag ，dce dag ，edc gda ，de dg 又ade

5、 edc 90，ade gda 90， de dg (2)四邊形 cefk為平行四邊形證明：設(shè)ck ，de相交于 m點(diǎn)，四邊形 abcd 和四邊形defg都是正方形， ab cd ，ab cd ，ef dg ，efdg ； bk ag ， kg ab cd 四邊形 ckgd 為平行四邊形 ck dg ef，ck dg ef 四邊形 cefk為平行四邊形【 417083 正方形例 9】【變式 2】如圖，三個(gè)邊長(zhǎng)均為2 的正方形重疊在一起，o1、o2是其中兩個(gè)正方形的中心，則陰影部分的面積是_【答案】 2；提示：陰影部分面積等于正方形面積的一半. 類型二、正方形的判定2、 （2016?普寧市模擬）

6、如圖，矩形abcd 中， ad=6 ，dc=8 ，菱形 efgh 的三個(gè)頂點(diǎn)e、g 、h分別在矩形abcd 的邊 ab 、cd 、da上， ah=2 （1）已知 dg=6 ，求 ae的長(zhǎng)；（2）已知 dg=2 ，求證：四邊形efgh為正方形【思路點(diǎn)撥】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)，利用勾股定理列出表達(dá)式：hg2=dh2+dg2，he2=ah2+ae2，再根據(jù)菱形的性質(zhì)，得到等式dh2+dg2=ah2+ae2，最后計(jì)算ae的長(zhǎng)；（2）先根據(jù)已知條件，用hl 判定 rtdhg rt aeh ，得到菱形的一組鄰邊相等，進(jìn)而判精品文檔用心整理資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用定該菱形為正方形【答案與解析】解：

7、（1） ad=6 ， ah=2 dh=ad ah=4 四邊形abcd 是矩形 a=d=90 在 rt dhg 中， hg2=dh2+dg2在 rt aeh中， he2=ah2+ae2四邊形efgh 是菱形hg=he dh2+dg2=ah2+ae2即 42+62=22+ae2ae=4（2） ah=2 ，dg=2 ah=dg 四邊形efgh 是菱形hg=he 在 rt dhg 和 rtaeh中rtdhg rtaeh （hl） dhg= aeh aeh+ ahe=90 dhg+ ahe=90 ghe=90 四邊形efgh 是菱形四邊形efgh 是正方形精品文檔用心整理資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用【

8、總結(jié)升華】 本題主要考查了矩形、菱形的性質(zhì)以及正方形的判定，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握：矩形的四個(gè)角都是直角，菱形的四條邊都線段，有一組鄰邊相等的菱形是正方形在解題時(shí)注意，求直角三角形的邊長(zhǎng)時(shí)，一般都需要考慮運(yùn)用勾股定理進(jìn)行求解舉一反三：【變式】 （2015 春?上城區(qū)期末） 如圖， 矩形 abcd中，ad=6 ，dc=8 ，菱形 efgh 的三個(gè)頂點(diǎn)e，g ，h分別在矩形abcd 的邊 ab ，cd ，da上， ah=2 ，連結(jié) cf（1）若 dg=2 ，求證：四邊形efgh 為正方形；（2）若 dg=6 ，求 fcg的面積【答案】（1）證明：四邊形efgh為菱形，hg=eh，ah=2 ， dg=

9、2 ，dg=ah，在 rtdhg和aeh中，rtdhg aeh ，dhg= aeh ，aeh+ ahg=90 ，dhg+ ahg=90 ，ghe=90 ，四邊形efgh 為菱形，四邊形efgh 為正方形；（2）解：作 fq cd于 q ，連結(jié) ge ，如圖，四邊形abcd 為矩形，ab cd ，aeg= qge ，即 aeh+ heg= qgf+ fge ，四邊形efgh 為菱形，he=gf ，he gf ，heg= fge ，aeh= qgf ，在aeh和qgf中，aeh qgf ，ah=qf=2 ，精品文檔用心整理資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用dg=6 ， cd=8 ，cg=2 ，fcg的

10、面積 =cg?fq=22=2類型三、正方形綜合應(yīng)用3、e、f分別是正方形abcd 的邊 ad和 cd上的點(diǎn)，若ebf 45(1) 求證： ae cf ef(2) 若 e 點(diǎn)、 f 點(diǎn)分別是邊da 、cd的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，結(jié)論（1）仍成立嗎？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，寫(xiě)出正確結(jié)論并加以證明【答案與解析】證明： （1）延長(zhǎng) dc ，使 ch ae ，連接 bh，四邊形 abcd 是正方形，a bch 90，又 ab bc ，ch ae ， rt bae rt bch ，1 2，be bh 又1 3 490， 445，1 345， 2 345，在 ebf和 hbf中，,bebhebfhbfbfbfeb

11、f hbf ， ef fhfc ch ae cf即 ae cfef (2) 如圖所示：不成立，正確結(jié)論：efcfae 證明：在cf上截取 ch ae ，連接 bh 四邊形 abcd 是正方形，在 rt eab和 rthcb中，90aecheabhcbabbc, rt eab rthcb ， be bh ， eba hbc hbc abh 90，eba abh 90又ebf 45，hbf 45，精品文檔用心整理資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用即 ebf hbf 在 ebf和 hbf中,bebhebfhbfbfbfebf hbf ， ef fh cf ch cf ae，即 ef cfae 【總結(jié)升華

12、】 本題主要考察正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵在于用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的方法正確地作出輔助線.4、如圖所示，已知a、b為直線l上兩點(diǎn)，點(diǎn)c為直線l上方一動(dòng)點(diǎn)，連接ac 、bc ，分別以 ac 、bc為邊向 abc外作正方形cadf 和正方形cbeg ，過(guò)點(diǎn) d作1ddl于點(diǎn)1d，過(guò)點(diǎn) e作1eel于點(diǎn)1e（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)e恰好在直線l上時(shí)（此時(shí)1e與 e重合），試說(shuō)明1ddab ；（2）在圖中，當(dāng)d、e 兩點(diǎn)都在直線l的上方時(shí)，試探求三條線段1dd、1ee、ab之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)e在直線l的下方時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出三條線段1dd、1ee、 ab之間的數(shù)量關(guān)系（不需要證

13、明）【答案與解析】（1）證明：四邊形cadf 、cbeg 是正方形，ad ca ，dac abc 90，1dad cab 90，1dd ab，dd1aabc 90，1dad1add 90，1add cab ，精品文檔用心整理資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用在1add和 cab 中，11dd aabcaddcabadca，1add cab （aas ），1ddab ；（2）解： ab1dd1ee證明：過(guò)點(diǎn)c作 ch ab于 h，1dd ab，1dd a cha 90，1dad1add 90，四邊形cadf是正方形，ad ca ，dac 90，1dad cah 90，1add cah ，在1add和

14、 cah 中，11dd achaaddcahadca，1add cah （aas ），1ddah ；同理：1eebh ，ab ah bh 1dd1ee；（3）解： ab1dd1ee證明：過(guò)點(diǎn)c作 ch ab于 h，1dd ab，精品文檔用心整理資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用1dd a cha 90，1dad1add90，四邊形cadf是正方形，ad ca ，dac 90，1dad cah 90，1add cah ，在1add和 cah 中，11dd achaaddcahadca，1add cah （aas ），1ddah ；同理：1eebh ，ab ah bh 1dd1ee【總結(jié)升華】 此題考

15、查了正方形的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法舉一反三：【變式】在正方形abcd 的邊 ab上任取一點(diǎn)e，作 efab交 bd于點(diǎn) f，取 fd的中點(diǎn) g ，連接 eg 、cg ，如圖，易證eg cg ，且 eg cg (1)將 bef繞點(diǎn) b逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，如圖，則線段eg和 cg有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系 ?請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想(2) 將 bef繞點(diǎn) b逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180，如圖， 則線段 eg和 cg又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系 ?請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并加以證明【答案】解： (1)eg cg ，且 eg cg 精品文檔用心整理資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用(2)eg cg ，且 eg cg 證明：延長(zhǎng)fe交 dc延長(zhǎng)線于m