蘇教版八年級下冊數學[正方形(提高)知識點及重點題型梳理]

1、精品文檔用心整理資料來源于網絡僅供免費交流使用蘇教版八年級下冊數學重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習正方形（提高）【學習目標】1理解正方形的概念，了解平行四邊形、矩形及菱形與正方形的概念之間的從屬關系；2掌握正方形的性質及判定方法【要點梳理】要點一、正方形的定義四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形. 要點詮釋： 既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更為特殊的平行四邊形，正方形是有一組鄰邊相等的矩形，還是有一個角是直角的菱形.要點二、正方形的性質正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質. 1. 邊四邊相等、鄰邊垂直、對邊平行；2. 角四個角都

2、是直角；3. 對角線相等，互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；4. 是軸對稱圖形，有4 條對稱軸；又是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心. 要點詮釋： 正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質，其對角線將正方形分為四個等腰直角三角形. 要點三、正方形的判定正方形的判定除定義外，判定思路有兩條：或先證四邊形是菱形，再證明它有一個角是直角或對角線相等（即矩形）；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或對角線互相垂直（即菱形）.要點四、特殊平行四邊形之間的關系或者可表示為：【典型例題】精品文檔用心整理資料來源于網絡僅供免費交流使用類型一、正方形的性質1、如圖，在正方形abcd 中，對角

3、線ac 、bd相交于點o，e、f分別在 od 、 oc上，且decf，連接 df、ae ，ae的延長線交df于點 m 求證： am df 【思路點撥】根據 de cf ，可得出oe of，繼而證明 aoe dof ，得出 oae odf ，然后利用等角代換可得出dme 90，即得出了結論【答案與解析】證明： abcd是正方形，od oc ，又de cf，od de oc cf，即 oe of ，在 rtaoe和 rtdof中，aodoaoddofoeof，aoe dof ，oae odf ，oae aeo 90， aeo dem ，odf dem 90，即可得 am df 【總結升華】 此題考

4、查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是通過全等的證明得出 oae odf ，利用等角代換解題舉一反三：【變式 1】如圖四邊形abcd 是正方形，點e、k分別在 bc ，ab上，點 g在 ba的延長線上，且 ce bk ag 以線段de、dg為邊作defg (1)求證： de dg ，且 de dg (2) 連接 kf，猜想四邊形cefk是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想【答案】證明： (1) 四邊形 abcd是正方形，精品文檔用心整理資料來源于網絡僅供免費交流使用 dc da ， dce dag 90又 ce ag ，dce dag ，edc gda ，de dg 又ade

5、 edc 90，ade gda 90， de dg (2)四邊形 cefk為平行四邊形證明：設ck ，de相交于 m點，四邊形 abcd 和四邊形defg都是正方形， ab cd ，ab cd ，ef dg ，efdg ； bk ag ， kg ab cd 四邊形 ckgd 為平行四邊形 ck dg ef，ck dg ef 四邊形 cefk為平行四邊形【 417083 正方形例 9】【變式 2】如圖，三個邊長均為2 的正方形重疊在一起，o1、o2是其中兩個正方形的中心，則陰影部分的面積是_【答案】 2；提示：陰影部分面積等于正方形面積的一半. 類型二、正方形的判定2、 （2016?普寧市模擬）

6、如圖，矩形abcd 中， ad=6 ，dc=8 ，菱形 efgh 的三個頂點e、g 、h分別在矩形abcd 的邊 ab 、cd 、da上， ah=2 （1）已知 dg=6 ，求 ae的長；（2）已知 dg=2 ，求證：四邊形efgh為正方形【思路點撥】（1）先根據矩形的性質，利用勾股定理列出表達式：hg2=dh2+dg2，he2=ah2+ae2，再根據菱形的性質，得到等式dh2+dg2=ah2+ae2，最后計算ae的長；（2）先根據已知條件，用hl 判定 rtdhg rt aeh ，得到菱形的一組鄰邊相等，進而判精品文檔用心整理資料來源于網絡僅供免費交流使用定該菱形為正方形【答案與解析】解：

7、（1） ad=6 ， ah=2 dh=ad ah=4 四邊形abcd 是矩形 a=d=90 在 rt dhg 中， hg2=dh2+dg2在 rt aeh中， he2=ah2+ae2四邊形efgh 是菱形hg=he dh2+dg2=ah2+ae2即 42+62=22+ae2ae=4（2） ah=2 ，dg=2 ah=dg 四邊形efgh 是菱形hg=he 在 rt dhg 和 rtaeh中rtdhg rtaeh （hl） dhg= aeh aeh+ ahe=90 dhg+ ahe=90 ghe=90 四邊形efgh 是菱形四邊形efgh 是正方形精品文檔用心整理資料來源于網絡僅供免費交流使用【

8、總結升華】 本題主要考查了矩形、菱形的性質以及正方形的判定，解決問題的關鍵是掌握：矩形的四個角都是直角，菱形的四條邊都線段，有一組鄰邊相等的菱形是正方形在解題時注意，求直角三角形的邊長時，一般都需要考慮運用勾股定理進行求解舉一反三：【變式】 （2015 春?上城區(qū)期末） 如圖， 矩形 abcd中，ad=6 ，dc=8 ，菱形 efgh 的三個頂點e，g ，h分別在矩形abcd 的邊 ab ，cd ，da上， ah=2 ，連結 cf（1）若 dg=2 ，求證：四邊形efgh 為正方形；（2）若 dg=6 ，求 fcg的面積【答案】（1）證明：四邊形efgh為菱形，hg=eh，ah=2 ， dg=

9、2 ，dg=ah，在 rtdhg和aeh中，rtdhg aeh ，dhg= aeh ，aeh+ ahg=90 ，dhg+ ahg=90 ，ghe=90 ，四邊形efgh 為菱形，四邊形efgh 為正方形；（2）解：作 fq cd于 q ，連結 ge ，如圖，四邊形abcd 為矩形，ab cd ，aeg= qge ，即 aeh+ heg= qgf+ fge ，四邊形efgh 為菱形，he=gf ，he gf ，heg= fge ，aeh= qgf ，在aeh和qgf中，aeh qgf ，ah=qf=2 ，精品文檔用心整理資料來源于網絡僅供免費交流使用dg=6 ， cd=8 ，cg=2 ，fcg的

10、面積 =cg?fq=22=2類型三、正方形綜合應用3、e、f分別是正方形abcd 的邊 ad和 cd上的點，若ebf 45(1) 求證： ae cf ef(2) 若 e 點、 f 點分別是邊da 、cd的延長線上的點，結論（1）仍成立嗎？若成立，請證明，若不成立，寫出正確結論并加以證明【答案與解析】證明： （1）延長 dc ，使 ch ae ，連接 bh，四邊形 abcd 是正方形，a bch 90，又 ab bc ，ch ae ， rt bae rt bch ，1 2，be bh 又1 3 490， 445，1 345， 2 345，在 ebf和 hbf中，,bebhebfhbfbfbfeb

11、f hbf ， ef fhfc ch ae cf即 ae cfef (2) 如圖所示：不成立，正確結論：efcfae 證明：在cf上截取 ch ae ，連接 bh 四邊形 abcd 是正方形，在 rt eab和 rthcb中，90aecheabhcbabbc, rt eab rthcb ， be bh ， eba hbc hbc abh 90，eba abh 90又ebf 45，hbf 45，精品文檔用心整理資料來源于網絡僅供免費交流使用即 ebf hbf 在 ebf和 hbf中,bebhebfhbfbfbfebf hbf ， ef fh cf ch cf ae，即 ef cfae 【總結升華

12、】 本題主要考察正方形的性質，全等三角形的性質和判定，關鍵在于用“截長補短”的方法正確地作出輔助線.4、如圖所示，已知a、b為直線l上兩點，點c為直線l上方一動點，連接ac 、bc ，分別以 ac 、bc為邊向 abc外作正方形cadf 和正方形cbeg ，過點 d作1ddl于點1d，過點 e作1eel于點1e（1）如圖，當點e恰好在直線l上時（此時1e與 e重合），試說明1ddab ；（2）在圖中，當d、e 兩點都在直線l的上方時，試探求三條線段1dd、1ee、ab之間的數量關系，并說明理由；（3）如圖，當點e在直線l的下方時，請直接寫出三條線段1dd、1ee、 ab之間的數量關系（不需要證

13、明）【答案與解析】（1）證明：四邊形cadf 、cbeg 是正方形，ad ca ，dac abc 90，1dad cab 90，1dd ab，dd1aabc 90，1dad1add 90，1add cab ，精品文檔用心整理資料來源于網絡僅供免費交流使用在1add和 cab 中，11dd aabcaddcabadca，1add cab （aas ），1ddab ；（2）解： ab1dd1ee證明：過點c作 ch ab于 h，1dd ab，1dd a cha 90，1dad1add 90，四邊形cadf是正方形，ad ca ，dac 90，1dad cah 90，1add cah ，在1add和

14、 cah 中，11dd achaaddcahadca，1add cah （aas ），1ddah ；同理：1eebh ，ab ah bh 1dd1ee；（3）解： ab1dd1ee證明：過點c作 ch ab于 h，1dd ab，精品文檔用心整理資料來源于網絡僅供免費交流使用1dd a cha 90，1dad1add90，四邊形cadf是正方形，ad ca ，dac 90，1dad cah 90，1add cah ，在1add和 cah 中，11dd achaaddcahadca，1add cah （aas ），1ddah ；同理：1eebh ，ab ah bh 1dd1ee【總結升華】 此題考

15、查了正方形的性質與全等三角形的判定與性質注意數形結合思想的應用，注意掌握輔助線的作法舉一反三：【變式】在正方形abcd 的邊 ab上任取一點e，作 efab交 bd于點 f，取 fd的中點 g ，連接 eg 、cg ，如圖，易證eg cg ，且 eg cg (1)將 bef繞點 b逆時針旋轉90，如圖，則線段eg和 cg有怎樣的數量關系和位置關系 ?請直接寫出你的猜想(2) 將 bef繞點 b逆時針旋轉180，如圖， 則線段 eg和 cg又有怎樣的數量關系和位置關系 ?請寫出你的猜想，并加以證明【答案】解： (1)eg cg ，且 eg cg 精品文檔用心整理資料來源于網絡僅供免費交流使用(2)eg cg ，且 eg cg 證明：延長fe交 dc延長線于m