三角函數(shù)與解三角函數(shù)知識點總結(jié)教案

1、必修四 初等函數(shù)（二）1.任意角2、象限角 角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角第一象限角的集合為第二象限角的集合為第三象限角的集合為第四象限角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為3、與角終邊相同的角的集合為4、象限角的確定： 已知是第幾象限角，確定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再從軸的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則原來是第幾象限對應(yīng)的標(biāo)號即為終邊所落在的區(qū)域 例題: (1)如果是第三象限角，那么是第幾象限角？1、3、4象限 (2)如果是第三象限角，那么是第幾象限角？ (3)若是第

2、三象限角，且cos<0，則是 （ ）a第一象限角 b第二象限角 c第三象限角 d第四象限角 5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做弧度6、半徑為的圓的圓心角所對弧的長為，則角的弧度數(shù)的絕對值是7、弧度制與角度制的換算公式：，8、弧長公式 ， 扇形周長 ， 扇形面積 9、任意角 設(shè)是一個任意大小的角，的終邊上任意一點的坐標(biāo)是，它與原點的距離是，則，10、.三角函數(shù)在各象限的符號：（一全二正弦，三切四余弦） 11 三角函數(shù)線 正弦線：mp; 余弦線：om; 正切線： at.12、 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：（1） 平方關(guān)系：（也是由前式子化簡得到） “1”活用（2）商數(shù)關(guān)系：（用于切化弦）平方

3、關(guān)系一般為隱含條件，直接運用。注意“1”的代換 (3)13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：1.誘導(dǎo)公式（把角寫成形式，看的倍數(shù)，考察倍數(shù)的奇偶性，利用口訣：奇變偶不變，符號看象限） ） ） ） ） ） 2、和差化積：（用于三角函數(shù)的整理）；（）；（） 3、積化和差（用于三角函數(shù)的整理） 4、二倍角的正弦、余弦和正切公式：（用于將已知式子化成同次冪的三角函數(shù)） 5、公式的變形：（不需要死記硬背，會用原公式推導(dǎo)即可），；例題（1）(07全國) 是第四象限角，則（2）（09北京文）若，則 .（3）（09全國卷文）已知abc中，則 .(4) 是第三象限角，則= = 6、輔助角公式（提斜公式，經(jīng)常用于求三角函數(shù)的

4、最值），其中例題（09江西文）函數(shù)的最大值為 （09上海）函數(shù)的最小值是 .14、 函數(shù)-的變換： 1、左加右減 上加下減 2、加減對x乘內(nèi)變換，乘除單獨對x變化 3、變換可以分兩種。先加減后乘除例如：例：以變換到為例向左平移個單位 （左加右減） 橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變） 縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標(biāo)不變） 橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變）向左平移個單位 （左加右減） 縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標(biāo)不變）例題1、（2010全國卷2理）（7）為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像 （a）向左平移個長度單位 （b）向右平移個長度單位（c）向左平移個長度單位 （d）向右平移個長度單位【答案】b

5、2、（2010四川理）（6）將函數(shù)的圖像上所有的點向右平行移動個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖像的函數(shù)解析式是（a） （b） （c） （d）解析：將函數(shù)的圖像上所有的點向右平行移動個單位長度，所得函數(shù)圖象的解析式為ysin(x) 再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖像的函數(shù)解析式是.【答案】c 函數(shù)的性質(zhì)：周期：（重點記憶，其他為了解）；振幅：；頻率：；相位：；初相：理解記憶：函數(shù)，當(dāng)時，取得最小值為 ；當(dāng)時，取得最大值為，則，15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：（和圖像一同理解記憶）函數(shù)性質(zhì) 圖象定義域值域最值當(dāng)時，；當(dāng)

6、 時，當(dāng)時， ；當(dāng)時，既無最大值也無最小值周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)對稱性對稱中心對稱軸對稱中心對稱軸對稱中心無對稱軸三角函數(shù)值域總結(jié)：注意：定義域的取值1、應(yīng)用提斜公式，形如可直接用公式。 形如，逆用倍角公 式化成提斜的形式。 形如或的的函數(shù)（式中也可以是同名函數(shù)），先 、 用和差化積公式展開，化歸為例1、例2的形式求最值. 形如的函數(shù)可將看作參數(shù)，利用提斜公式。2、利用倍角公式、半角公式、化同名三角函數(shù)，然后配方3、“1”的妙用，形如sinxcosx sinxcosx 在關(guān)系式中時，可以應(yīng)用換元處理，令t=sinxc

7、osx，則 sinxcosx = 把三角問題化為代數(shù)為題來處理。4.形如的函數(shù)用分離變量法分離常數(shù)，利用sinx的有界性求解.5、形如的函數(shù)可將看作參數(shù)，化歸為例1的形式求解6、求同時含有與（或）的函數(shù)的值域，一般令(或) 可以化歸為求在區(qū)間上的值域，要注意的取值范圍.例：函數(shù)的定義域為，值域為，求常數(shù).解; 1、求的最小值，并求使取最小值時的集合.2、求的值域。3、求的值域.4、若函數(shù)的最大值為1，則= 5、函數(shù)的有最大值2，最小值-1，求實數(shù)的值。6、若函數(shù)的定義域為，值域為，求常數(shù)的值。7、求函數(shù)的最大值和最小值.8、求函數(shù)的值域； 9、求函數(shù)的值域。10、函數(shù)的最小值是 11、求函數(shù)的

8、最大值。12、函數(shù)的定義域為，值域為，求常數(shù)的值。13、函數(shù)的最大值為3，求的值。三角函數(shù)的單調(diào)性的基本方法：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的確定 1、首先要看a、是否為正，若為負(fù)，則先應(yīng)用誘導(dǎo) 公式化為正 2、然后將x+看作一個整體，化為最簡式，再結(jié)合a的正負(fù)，在和兩個區(qū)間內(nèi)分別確定函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間。例題：1、求函數(shù)在區(qū)間-2，2的單調(diào)增區(qū)間。解：利用誘導(dǎo)公式把函數(shù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)（）的形式：把標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)轉(zhuǎn)化為最簡函數(shù)（）的形式：令，原函數(shù)變?yōu)橛懻撟詈喓瘮?shù)的單調(diào)性：從函數(shù)的圖像可以看出，的單調(diào)增區(qū)間為，。所以，即， ， 計算k=0,k=±1時的單調(diào)增區(qū)間：當(dāng)k=0時，當(dāng)k=1時，當(dāng)k=-1時，在要求

9、的區(qū)間內(nèi)-2，2確定函數(shù)的最終單調(diào)增區(qū)間：因為，所以該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和各類題型演練一.最值1.（09福建）函數(shù)最小值是= 。2.（08全國二）函數(shù)的最大值為 。（08上海）函數(shù)f(x)sin x +sin(+x)的最大值是 （09江西）若函數(shù)，則的最大值為 二.單調(diào)性1.（04天津）函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是 （ ）. a. b. c. d. 2.函數(shù)的一個單調(diào)增區(qū)間是 （ ） abcd3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 （ ）a b c d4（07天津卷） 設(shè)函數(shù)，則 （ ）a在區(qū)間上是增函數(shù)b在區(qū)間上是減函數(shù)c在區(qū)間上是增函數(shù)d在區(qū)間上是減函數(shù)三、周期（周期性以及其他各個性質(zhì)的綜合應(yīng)用）1（07江蘇卷

10、）下列函數(shù)中，周期為的是 （ ）a b c d2.（08江蘇）的最小正周期為，其中，則= 3.（04全國）函數(shù)的最小正周期是（ ）.4.（1）（04北京）函數(shù)的最小正周期是 .（2）（04江蘇）函數(shù)的最小正周期為（ ）.5.（1）函數(shù)的最小正周期是 (2)（09江西文）函數(shù)的最小正周期為 (3). （08廣東）函數(shù)的最小正周期是 (4)（04年北京卷.理9）函數(shù)的最小正周期是 .6.(09年廣東文)函數(shù)是 ( ) a最小正周期為的奇函數(shù) b. 最小正周期為的偶函數(shù) c. 最小正周期為的奇函數(shù) d. 最小正周期為的偶函數(shù) 7.（浙江卷2）函數(shù)的最小正周期是 .8函數(shù)的周期與函數(shù)的周期相等，則等于

11、（ ）(a)2 (b)1 (c) ( d)四、對稱性1.（08安徽）函數(shù)圖像的對稱軸方程可能是 （ ）abcd2下列函數(shù)中，圖象關(guān)于直線對稱的是 （ ）a b c d3（07福建）函數(shù)的圖象 （） 關(guān)于點對稱關(guān)于直線對稱 關(guān)于點對稱關(guān)于直線對稱五、圖像1（07寧夏、海南卷）函數(shù)在區(qū)間的簡圖是 （）2（浙江卷7）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象和直線的交點個數(shù)是（a）0 （b）1 （c）2 （d）43.已知函數(shù)y=2sin(x+)(>0)在區(qū)間0，2的圖像如下：那么= （ ）a. 1 b. 2c. 1/2 d. 1/34（2006年四川卷）下列函數(shù)中，圖象的一部分如右圖所示的是 （ ）（

12、a） （b） （c） （d）5.若，則的取值范圍是： ( )（） （） （） （）六、綜合1. （04年天津）定義在r上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若的最小正周期是，且當(dāng)時，則的值為 2(04年廣東)函數(shù)f(x)是 （ ）a周期為的偶函數(shù) b周期為的奇函數(shù) c 周期為2的偶函數(shù) d.周期為2的奇函數(shù) 3（ 09四川）已知函數(shù)，下面結(jié)論錯誤的是 ( ) a. 函數(shù)的最小正周期為2 b. 函數(shù)在區(qū)間0，上是增函數(shù) c.函數(shù)的圖象關(guān)于直線0對稱 d. 函數(shù)是奇函數(shù)4(07安徽卷) 函數(shù)的圖象為c, 如下結(jié)論中正確的是 圖象c關(guān)于直線對稱; 圖象c關(guān)于點對稱;函數(shù))內(nèi)是增函數(shù);由的圖象向右平移個單位

13、長度可以得到圖象c.5.（08廣東卷）已知函數(shù)，則是 （ ）a、最小正周期為的奇函數(shù) b、最小正周期為的奇函數(shù)c、最小正周期為的偶函數(shù) d、最小正周期為的偶函數(shù)6.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象和直線的交點個數(shù)是c（a）0 （b）1 （c）2 （d）47若是第三象限角，且cos<0，則是 （ ）a第一象限角 b第二象限角 c第三象限角 d第四象限角8已知函數(shù)對任意都有，則等于 （ ）a、2或0 b、或2 c、0 d、或0總結(jié)：1、重點注意三角函數(shù)和向量的結(jié)合 2、重點把握三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合。 3、解三角形實質(zhì)是對正余弦定理的考查，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，最后解方程。

14、化式子時候注意化異為同。（2） 解三角形 已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形?？梢岳谜叶ɡ?和余弦定理等求解。三基定理：（正。余 。面積）a、 正弦定理：其中是三角形外接圓半徑.b、余弦定理： 由此可得：.（做題出現(xiàn)余弦，角換邊）c、三角形面積公式：（1）（此為常用公式） （2） 其中，為內(nèi)切圓半徑，為外接圓半徑.d、在三角形中大邊對大角，反之亦然.（用來判定三角形是否成立，去根） 1）在abc中，a+b+c=180° 2）大邊對大角，即 a>b a>be、射影定理（了解）： f、有關(guān)三角形內(nèi)角的幾個常用公式 （當(dāng)常用a+b+c=pai）g、解三角形常見

15、的四種類型 應(yīng)用余弦定理：1、已知兩邊與其夾角，由，求出，再由余弦定理， 求出角。 2、已知三邊，由余弦定理可求出。 應(yīng)用正弦定理： 3、已知兩角與一邊：由及正弦定理， 可求出，再求。 4、已知兩邊及其中一邊的對角，由正弦定理，求出另一邊的 對角，由，求出，再由求出，而通過 求時，可能出一解，兩解或無解的情況，其判斷方法，如下表：90°90°90°一解一解一解無解無解一解兩解無解無解一解無解 h、對于三角形的分類或三角形形狀判斷，主要從邊或角兩方面入手。1、大題第一問，求邊，或者邊之間的關(guān)系，求角或者角或之間的關(guān)系。利用正余弦定理，正弦定理和余弦定理是相通的，用正

16、弦定理可解的題，用余弦定理也可解，主要是看怎樣解題更簡單.如果求邊，首先余弦定理。如果求關(guān)于角，首選正弦定理。2、第二問求函數(shù)的最值，單調(diào)區(qū)間，或者三角形的面積等問題。 1.注意利用第一步得到的結(jié)合。 2、求最值注意定義域。例題1.設(shè)的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a,b,c，且a=，c=3b.求：（）的值；（）cotb +cot c的值.2.已知函數(shù)（）的最小正周期為（）求的值；（）求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍3.（2009湖北卷文） 在銳角abc中，a、b、c分別為角a、b、c所對的邊，且()確定角c的大?。?（）若c,且abc的面積為,求ab的值。4.（08全國二17）在中， （）求的值；（）設(shè)，求的面積課外延伸:波利亞解題法 喬治·波利亞(george polya,18871985)是20世紀(jì)舉世公認(rèn)的數(shù)學(xué)家，著名的數(shù)學(xué)教育家，他專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成怎樣解題一書。這本書的核心是他分解解題的思維過程得到的一張怎樣解題表。 怎樣解題表的主要內(nèi)容是： 第一步：你必須弄清問題。 1.已知是什么？未知是什么？要確定未知