2018版高中數學第2章圓錐曲線與方程2.2.2橢圓的幾何性質(二)學案蘇教版選修2-1

1、2. 2.2 橢圓的幾何性質(二)學習目標1.鞏固橢圓的簡單幾何性質.2.掌握直線與橢圓的三種位置關系，特別是直線 與橢圓相交的有關問題.戸知識梳理自主學習知識點一點與橢圓的位置關系2 2x y點P(xo,yo)與橢圓a+b= 1(ab0)的位置關系：2 2點P在橢圓上?#+ b2= i；2 2xoyo點P在橢圓內部？a?+f1.a b知識點二直線與橢圓的位置關系2 2直線y=kx+m與橢圓?+b2= i(ab0)的位置關系判斷方法：聯(lián)立消去y得到一個關于x的一元二次方程宀護方位置大糸解的個數的取值相交兩解 0相切二解二 0相離無解 b0)或2+2= i(ab0)，直線與abab2yy22其中

2、，Xi+X2,X1X2或yi+y2,yiy2的值，可通過由直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y（或x）后得到關于x（或y）的一元二次方程求得.戸題型探究重點突破題型一直線與橢圓的位置關系2 2例 1 在橢圓X+y= 1 上求一點P,使它到直線l: 3x 2y 16= 0 的距離最短，并求出最47短距離.3解設與橢圓相切并與I平行的直線方程為y=-x+m2 2代入務,1,2 2并整理得 4x+ 3mx+m 7= 0,2 2 = 9m 16(m 7) = 02?m= 16?n= 4,33故兩切線方程為y= x+ 4 和y= qx 4,顯然y= |x 4 距I最近,|16 8|88莎d - -=,32+22

3、= 13=13，37、切點為 P 2， 4 .反思與感悟本題將求最小距離問題轉化為直線與橢圓的位置關系問題.解此類問題的常規(guī)解法是直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y或x得到關于x或y的一元二次方程，則（1）直線 與橢圓相交？ 0; 直線與橢圓相切？ = 0; 直線與橢圓相離？ 0 ,216k 8k” e1卄口又X1+X2= 1 +4R2= 4,解得k= ，滿足 0.直線方程為x+ 2y 4 = 0.方法二設弦的兩個端點分別為Rx1,y1),QX2,y2),則X1+X2= 4,中+y2= 2,由8,xy+ 3= 0,X=3，8 i 即P(-3，3)-I的方程為y 2 =k(X 4),最小距離為遲2

4、5 P(X1,y”,QX2,y2)在橢圓上，故有x2+ 4y1= 16,x2+ 4y2= 16 ,6兩式相減得(Xi+X2)(XiX2)+ 4(yi+y2)(yi-y2)= 0,/點M(2,1)是PQ的中點，故xizX2,yiy21兩邊同除(xiX2)得，(xi+X2)+4(yi+y2)=0,即 卩 4+8k=0，二k=3.i弦所在的直線方程為y i = 2(X 2),即x+ 2y 4= 0.題型三橢圓中的最值(或范圍)問題例 3 已知橢圓4X2+y2= i 及直線y=x+m(i)當直線和橢圓有公共點時，求實數m的取值范圍;(2)求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程., 2 2 “4x+y= i

5、,22解(i)由得 5x+ 2m灶m i = 0,y=x+m因為直線與橢圓有公共點,2 2所以= 4m 20(m i) 0,解得一(2)設直線與橢圓交于A(xi,yi),B(X2,y2)兩點,2 2由(i)知：5x+ 2m灶m i = 0,2mi2所以xi+X2=，xiX2= (m i),5所以AB= XiX22+yiy22=2 XiX22=1xi+X22 4XiX274mi42宦-5mV 5ji0 8mi.5 *所以當 m= 0 時，AB最大，即被橢圓截得的弦最長，此時直線方程為y=x.反思與感悟 解析幾何中的綜合性問題很多，而且可與很多知識聯(lián)系在一起出題，例如不等式、三角函數、平面向量以及

6、函數的最值問題等解決這類問題需要正確地應用轉化思想、函數與方程思想和數形結合思想.其中應用比較多的是利用方程根與系數的關系構造等式或函數關系式，這其中要注意利用根的判別式來確定參數的限制條件.跟蹤訓練 3 如圖，點A是橢圓軸下方的端點，過點A且斜率為iC的標準方程;上，且BP/ x軸，AB-XP=9.(i)若點P的坐標為(0,i)，求橢圓若點P的坐標為(0,t)，求t的取值范圍.7解直線AB的斜率為 1,./BAP=45即厶BAP是等腰直角三角形，|AB| =護|Ap./AB-AP=9,|AB|Apcos 45 =2|Ap2cos 45 = 9,IAP=3.(1) P(0,1), AlOfp=

7、1,|OA=2,即b= 2，且B(3,1).912B在橢圓上， -2+ 1，得a= 12 ,a42 2橢圓C的標準方程為冷+y= 1.124由點P的坐標為(0 ,t)及點A位于x軸下方，得點A的坐標為(0 ,t 3),t 3 = b, 即卩b= 3t.顯然點B的坐標是(3 ,t)，將它代入橢圓方程得:0-2+./t2= 1，解得a2=:j-123 2t82.2/；-13 2t22-(3 t) 0.332t3 2t，即 3 2t1= 3 2t0,3所求t的取值范圍是 ot1 且m3V =x+ 2, 解析 由x2y2? (3 +n)x2+ 4m)+ m= 0,+ = 1 、 m3 0,二 m1 或

8、 rKO.又 m0 且 m3,. m1 且 m3.2.已知橢圓的方程為 2x2+ 3y2=mm0)，則此橢圓的離心率為 _答案于95答案 32 2x yFi( c,0) ,F2(C,0)為橢圓孑 +b= 1(ab0)的兩個焦點,=C2,則此橢圓離心率的取值范圍是 答案-33, 解析設Rx,y）,則PF Pfc= ( cx, y) (cx,y) =x2c2+y2=c2,b2將y2=b2b2x2代入式解得an 2.22門222cb a ca ax=2=cc2 2 2 2 2又x 0 ,a ,.2cwa3c,e=c 亠-e=a_ 3,5.已知R、冃是橢圓的兩個焦點，滿足MFMF= 0 的點M總在橢圓

9、內部，則橢圓離心率的 取值范圍是.答案20e0,所以a2=m，b2=彳,Fi,F2,弦AB過冃，若厶ABF的內切圓周長為A B兩點的坐標分別為（xi,yi）、（X2,y2），則|屮一y2|的值為解析易知ABF的內切圓的半徑1r= 2,根據橢圓的性質結合ABF的特點，可得ABF的面積S= 2lr= JX2CX|yiy?|，其中IABF的周長，且l= 4a,代入數Iyi4.已知P為橢圓上一點，且PFPF2m6,3 3橢圓+魯=1 的左，右焦點分別為51610解析設Mx,y),/MFMF= o,點M的軌跡方程是X2+y2=C2,點M的軌跡是以原點為圓心的圓，其中FiF2為圓的直徑由題意知，橢圓上的點P總在圓外，所以OPc恒成立,由橢圓性質知0P b,.bc,.a22c2,課堂中結-1解決直線與橢圓的位置關系問題，經常