三角形三邊關(guān)系定理的應(yīng)用

1、三角形三邊關(guān)系定理的應(yīng)用關(guān)于三角形三邊關(guān)系，有下述定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊。其推論為：三角形任意兩邊之和小于第三邊。這個(gè)定理及其推論在解題中有著較為重要的應(yīng)用，下面舉例說明，希望對(duì)大家學(xué)好這部分知識(shí)能有所幫助。一、判斷三點(diǎn)是否共線例1：已知a、b、c三點(diǎn)，且ab=3，bc=5，ac=7。是判斷這三點(diǎn)是否在一條直線上？解：ab+bc=3+5=8，ac=7，ab+bc >ac故a、b、c三點(diǎn)不在同一條直線上。二、已知三條線段，判斷它們能否構(gòu)成三角形例2：下列幾組線段中，不能構(gòu)成三角形的是（ ）a3.1，4.2，7 b2.8，14.7，18 c10，6，8 d6.8，5.3，12解析

2、：根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，取較小的兩邊之和與最大邊進(jìn)行比較，只有2.8+14.7=17.5<18成立。所以本題應(yīng)選b。三、求三角形的某一條邊長(zhǎng)（或取值范圍）例3：等腰三角形的底邊長(zhǎng)為5cm，一腰上的中線把原三角形的周長(zhǎng)分成兩部分，其差為3cm，則腰長(zhǎng)為（ ）a2cm b8cm c2cm或8cm d3cm解析：設(shè)腰長(zhǎng)為acm，則根據(jù)題意有：(a+)(+5)=3或(+5)(a+)=3解之得：a=8或a=2。但當(dāng)a=2時(shí)，2+2<5，應(yīng)舍去。故本題應(yīng)選b。例4：已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別為1、2，如果第三邊的長(zhǎng)為整數(shù)，那么第三邊的長(zhǎng)為_。解：設(shè)第三邊長(zhǎng)為x，則根據(jù)三角形的三邊關(guān)系有：21&l

3、t;x<2+1，即1<x<3。x為正整數(shù)，第三邊的長(zhǎng)為2。四、討論三角形的周長(zhǎng)（或取值范圍）例5：若三角形的兩邊長(zhǎng)分別為7和1，且第三邊長(zhǎng)為整數(shù)，則此三角形的周長(zhǎng)為_。解：要求三角形的周長(zhǎng)，首先要求出第三邊的長(zhǎng)。設(shè)第三邊的長(zhǎng)為x，則據(jù)定理有：71<x<7+1，即6<x<8。又x為正整數(shù)，x=7故三角形的周長(zhǎng)為：7+7+1=15。例6：三角形兩邊分別為a、b，且a<b，則周長(zhǎng)的取值范圍是（ ）a3a<<3b b2b<<2(a+b) c2a+b<<a+2b d以上都不對(duì)解析：a+b>c，2(a+b)>a

4、+b+c，即<2(a+b) 又a+c>b，a+b+c>b+b=2b，即>2b 比較、兩式知：2b<<2(a+b)，故本題應(yīng)選b。五、判斷符合條件的三角形的個(gè)數(shù)例7：三角形的三邊長(zhǎng)都為自然數(shù)，其中一邊是4（但不是最短邊），這樣的三角形共有_個(gè)。解析：設(shè)最短邊為x，另一邊為y，則有：1x3，且4x<y<4+x。當(dāng)x=1時(shí)，y=4；當(dāng)x=2時(shí)，y=3，4，5；當(dāng)x=3時(shí)，y=3，4，5，6。故符合條件的三角形共有8個(gè)。六、討論代數(shù)式的取值范圍例8：若a、b、c是三角形的三條邊，則代數(shù)式a22abc2+b2的值是（ ）a大于零 b等于零 c小于零 d不能

5、確定解：a22abc2+b2=(a22ab+b2)c2=(ab)2c2=(ab+c)(abc)a+c>b，ab+c>0；又a<b+c，abc<0。(ab+c)(abc)<0，故本題應(yīng)選c。七、證明條件等式例9：已知在abc中，a216b2c2+6ab+10bc=0，若a、b、c是三角形的三邊。求證：a+c=2b。證明：a216b2c2+6ab+10bc=0，(a2+6ab+9b2)(25b210bc+c2)=0 (a+3b)2(5bc)2=0(a+3b)+(5bc)(a+3b)(5bc)=0，即（a+8bc）(a2b+c)=0a+b>c，a+8bc>0

6、只有a2b+c=0，即a+c=2b。八、證明不等式a例10： 如圖1，在abc中，d是bc邊上的任意一點(diǎn)，求證：ab+bc+ac>2ad。bcd 圖1證明：在abdhacd中，ab+bd>ad，ac+dc >ad，ab+(bd+dc)+ac >2adbd+dc=bc，ab+bc+ac>2ad。例11：如圖2所示，p是abc內(nèi)的任意一點(diǎn)。求證：pb+pc<ab+ac。abcpe 圖2證明：延長(zhǎng)bp交ac于e。ep+ec>pc，bp+ep+ec>bp+pc，即be+ec>bp+pc ae+ab>be，ae+ec+ab>be+ec 由

7、、可知pb+pc<ab+ac。 例12：如圖1所示，p為邊長(zhǎng)為1的等邊abc內(nèi)的任意一點(diǎn)，設(shè)=pa+pb+pc。求證：1.5<<2。amnpbc 圖3證明：ap+pb>ab，ap+pc<ac，bp+pc>bc2(ap+bp+cp)>ab+ac+bc=3，>=1.5過p作mnbc交ab、ac于m、n，pa<an，pb<bm+mp，pc<pn+ncpa+pb+pc<an+nc+mp+pn+bm=ac+mn+bm=ac+am+bm=ac+abpa+pb+pc<2，1.5<<2。練習(xí)： 長(zhǎng)度分別為2，3，4，5的四條線段可確定多少個(gè)不同的三角形？ 邊長(zhǎng)分別為4和9的三角形是等腰三角形，試確定這個(gè)等腰三角形的底邊和腰長(zhǎng)。 已知一個(gè)三角形有兩邊分別為6和8，求這個(gè)三角