理數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題：極值點偏移問題的不等式解法

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載極值點偏移問題的不等式解法我們熟知平均值不等式：,a br2221122abababab即“調(diào)和平均數(shù)”小于等于“幾何平均數(shù)”小于等于“算術(shù)平均值”小于等于“平方平均值”等號成立的條件是ab. 我們還可以引入另一個平均值：對數(shù)平均值：lnlnabab那么上述平均值不等式可變?yōu)椋簩?shù)平均值不等式,ab ab，lnln2abababab以下簡單給出證明：不妨設(shè) ab，設(shè) abx，則原不等式變?yōu)椋?(1)11,ln1xxxxxx以下只要證明上述函數(shù)不等式即可. 以下我們來看看對數(shù)不等式的作用. 題目 1： （2015 長春四模題）已知函數(shù)( )xfxeax有兩個零點12xx，則下列說

2、法錯誤的是a. aeb.122xxc.121x xd.有極小值點0 x，且1202xxx【答案】 c 【解析】函數(shù)( )f x導(dǎo)函數(shù)：( )xfxea有極值點lnxa ，而極值(ln )ln0faaaa，ae，a 正確. ( )f x 有兩個零點：110 xeax，220 xeax，即：11lnlnxax22lnlnxax學(xué)習(xí)必備歡迎下載-得：1212l nl nxxxx根據(jù)對數(shù)平均值不等式：1212121212lnlnxxxxx xxx122xx，而121x x ，121x xb 正確， c 錯誤而+得：12122lnln2lnxxax xa，即 d 成立. 題目 2： （2011遼寧理）已

3、知函數(shù)2ln(2)fxxaxa x. 若函數(shù) yfx 的圖像與x軸交于,a b 兩點，線段 ab中點的橫坐標為0 x，證明：00fx【解析】原題目有3 問，其中第二問為第三問的解答提供幫助，現(xiàn)在我們利用不等式直接去證明第三問：設(shè)11(,()a xfx，22(,()b xfx，12xx，則1202xxx，2111ln(2)0 xaxa x2222ln(2)0 xaxa x-得：12121212lnln()()(2)()0 xxa xxxxaxx，化簡得：12121210()(2)lnlnxxa xxaxx而根據(jù)對數(shù)平均值不等式：121212lnln2xxxxxx等式代換到上述不等式1201201

4、1()(2)22(2)xxxa xxaaxa根據(jù)：002(2)0axa x（由得出）式變?yōu)椋?00002(2)10(21)(1)0axa xxax0(21)0 x，01xa，0 x在函數(shù)單減區(qū)間中，即：學(xué)習(xí)必備歡迎下載0()0fx題目 3：(2010 天津理 )已知函數(shù)xfxxexr .如果12xx，且12fxfx. 證明：122xx. 【解析】原題目有3 問，其中第二問為第三問的解答提供幫助，現(xiàn)在我們利用不等式直接去證明第三問：設(shè)12()()fxf xc，則11xxce，22xxce，12()xx兩邊取對數(shù)11lnlnxxc22lnlnxxc-得：12121lnlnxxxx根據(jù)對數(shù)平均值不等

5、式12121212lnlnxxxxxx122xx題目4： （2014 江蘇南通市二模）設(shè)函數(shù)xfxeaxaar ，其圖象與x軸交于12,0,0a xb x兩點，且12xx. 證明：120fx x（ fx 為函數(shù) fx 的導(dǎo)函數(shù)） . 【解析】根據(jù)題意：110 xeaxa，220 xeaxa移項取對數(shù)得：11ln(1)lnxxa22ln(1)lnxxa-得：1212ln(1)ln(1)xxxx，即：1212(1)(1)1ln(1)ln(1)xxxx學(xué)習(xí)必備歡迎下載根據(jù)對數(shù)平均值不等式：121212(1)(1)(1)(1)1ln(1)ln(1)xxxxxx1212(1)(1)1ln(1)(1)0

6、xxxx，+得：12122lnln(1)(1)2lnxxaxxa根據(jù)均值不等式：1212ln2xxx xa函數(shù)( )f x 在 (,ln)a 單調(diào)遞減12()0fx x題目 5：已知函數(shù)( )lnf xxx與直線ym交于1122(,),(,)a x yb xy兩點. 求證：12210 x xe【解析】由11lnxxm，22lnxxm，可得：11lnmxx，22lnmxx-得：211212121212lnln()lnlnlnlnlnlnxxxxmxxmxxxxxx+得：211212(lnln)lnlnmxxxxxx根據(jù)對數(shù)平均值不等式121212()2lnlnxxmxxxx利用式可得：121212(lnln)2l