廣義積分的收斂判別法（課堂PPT）

1、二、無(wú)界函數(shù)廣義積分的二、無(wú)界函數(shù)廣義積分的收斂判別法收斂判別法廣義積分無(wú)窮限的廣義積分無(wú)界函數(shù)的廣義積分一、無(wú)窮限廣義積分的收斂判別法一、無(wú)窮限廣義積分的收斂判別法2 2 廣義積分的收斂判別法廣義積分的收斂判別法定理定理1.,0)(, ),)(xfaCxf且設(shè)若函數(shù)xattfxFd)()( )d.af xx則廣義積分收斂,),上有上界在a證證:,0)(xf,),)(上單調(diào)遞增有上界在axF根據(jù)極限收斂準(zhǔn)則知 xaxxttfxFd)(lim)(lim存在 ,( )d.af xx即廣義積分收斂（Cauchy收斂原理）定理定理 2.2.( )af x dx廣義積分收斂000,AaA AA使 對(duì)都

2、有|( )|.AAfx dx證：利用無(wú)窮限廣義積分收斂的定義以及極限存在的Cauchy準(zhǔn)則即得。 柯西（Cauchy，Augustin Louis1789-1857）， 十九世紀(jì)前半世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家。1789年8月21日生 于巴黎。在大學(xué)畢業(yè) 后當(dāng)土木工程師，因數(shù)學(xué)上的成 就被推薦為科學(xué)院院士，同時(shí)任工科大學(xué)教授。后來(lái) 在巴黎大學(xué)任教授，一直到逝世。在代數(shù)學(xué) 上，他有 行列式論和群論的創(chuàng)始性的功績(jī)；在理論物理學(xué)、光 學(xué)彈性理論等方面，也有顯著的貢獻(xiàn)。他的特長(zhǎng)是在 分析學(xué)方面，他對(duì)微積分給出了嚴(yán)密的基礎(chǔ)。他還證明了復(fù)變函數(shù)論的主要定理以及在實(shí)變數(shù)和復(fù)變數(shù)的情況下微分方程解的存在定理。 1821年

3、，在拉普拉斯和泊松的鼓勵(lì)下，柯西出版了分析教程、無(wú)窮小計(jì)算講義、無(wú)窮小計(jì)算在幾何中的應(yīng)用這幾部劃時(shí)代的著作。他給出了分析學(xué)一系列基本概念的嚴(yán)格定義?？挛鞯臉O限定義至今還在普遍使用，連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)的和等概念也建立在較為堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上。, ),)(aCxf設(shè)有分大的x且對(duì)充)()(0 xgxf, 則收斂xxgad)(收斂xxfad)(發(fā)散xxfad)(發(fā)散xxgad)(證證: 不失一般性 ,),時(shí)設(shè) ax)()(0 xgxf,d)(收斂若xxga有則對(duì)at xxftad)(xxgtad)(xxgad)(的是故txxftad)(因此 單調(diào)遞增有上界函數(shù) , xxfxxfatatd)(

4、d)(lim.d)(收斂即廣義積分xxfa,d)(發(fā)散若xxfa時(shí)有因?yàn)閍t xxgxxftatad)(d)(0,t令.d)(必發(fā)散可見廣義積分xxga說(shuō)明說(shuō)明: 已知xxapd11,p收斂1,p發(fā)散)0( a,)0()(作比較函數(shù)故常取AxAxgp得下列比較判別法.極限存在 ,),)(aCxf設(shè)非負(fù)函數(shù),0) 1M若存在常數(shù)有使對(duì)充分大的xpxMxf)(;d)(收斂則xxfa,0)2N若存在常數(shù)有使對(duì)充分大的xpxNxf)(.d)(發(fā)散則xxfa, 1p, 1p. )0( axxxd1sin1342解解:的收斂性 .3421sin0 xx341x341x由比較判別法 1 可知原積分收斂 .思

5、考題思考題: 討論廣義積分xxd11133的收斂性 .提示提示: 當(dāng) x1 時(shí), 利用 11) 1(1113333xxx可知原積分發(fā)散 .,0)(, ),)(xfaCxf且若;d)(收斂時(shí)xxfa.d)(發(fā)散時(shí)xxfalp0, 1lp0, 1lxfxpx)(lim則有: 1) 當(dāng)2) 當(dāng)證證: 1) ,1時(shí)當(dāng) p根據(jù)極限定義, 對(duì)取定的,0當(dāng) x 充分大時(shí), 必有l(wèi)xfxp)(, 即pxMxf)(0)(lM;d)(收斂可見xxfa滿足.d)(發(fā)散可見xxfa,1時(shí)p可取,0必有l(wèi)xfxp)(即pxlxf)()(lNxN,0l使時(shí)用任意正l (, )lN 代替數(shù)pxxpxxfxfx1)(lim)

6、(lim注意注意: 此極限的大小刻畫了.0)(的快慢程度趨于時(shí)xfx121dxxx的收斂性 . 解解:2211limxxxx11lim21xx1根據(jù)極限判別法 1 , 該積分收斂 . 例例3. 判別廣義積分xxxd11223的收斂性 . 解解:21lim2321xxxx221limxxx1根據(jù)極限判別法 1 , 該積分發(fā)散 . ,d, ),)(收斂）（且若axxfaCxf.收斂則廣義積分adxf(x)證：證：, )()()(21xfxfx令則)()(0 xfx ,d 收斂）（axxf,d)(也收斂axx)()(2)(xfxxfxxfxxxxfaaad)(d)(2d)(而.d)(收斂可見廣義積分

7、xxfa,d)(收斂xxfaxxfad)(,d)(收斂若axxf則稱絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 ; xxfad)(,d)(發(fā)散若axxf則稱條件收斂條件收斂 . 例例4. 判斷廣義積分)0,(dsine0abaxbxxa為常數(shù)的收斂性 .解解:,esinexaxaxb因,de0收斂而xxa根據(jù)比較判別法知0esindaxbxx 收 斂，故由定理6知所給積分收斂 (絕對(duì)收斂) .無(wú)界函數(shù)的廣義積分可轉(zhuǎn)化為無(wú)窮限的廣義積分.,)(, ,()(的瑕點(diǎn)為設(shè)xfabaCxf由定義 babaxxfxxfd)(limd)(0則有令,1tax例如1120d)1(limd)(abtttafxxfbaabtttaf12d)

8、1(因此無(wú)窮限廣義積分的收斂判別法完全可平移到無(wú)界函數(shù)的廣義積分中來(lái) .定理3 ( )( , ,f xC a b a設(shè)非負(fù)函數(shù)為,0) 1M若存在常數(shù)qaxMxf)()(;d)(收斂則xxfba,0)2N若存在常數(shù)axNxf)(.d)(發(fā)散則xxfba, 1q瑕點(diǎn) ,有有利用xaxbaqd)(11,q收斂1,q發(fā)散類似定理 4 與定理 5，有如下的收斂判別法. 使對(duì)一切充分接近 a 的 x ( x a) .，且若0)(, ,()(xfbaCxf;d)(,收斂時(shí)xxfba.d)(,發(fā)散時(shí)xxfbalq0, 10lq0, 1lxfaxqx)()(lim則有: 1) 當(dāng)2) 當(dāng)例例5. 判別廣義積分

9、.lnd31的斂散性xx解解:,1為瑕點(diǎn)此處x利用洛必達(dá)法則得xxxln1) 1(lim1xx111lim1根據(jù)極限判別法2 , 所給積分發(fā)散 .定理4 ) 1()1)(1 (d210222kxkxx斂性 . 解解:,1為瑕點(diǎn)此處x由于 1limx的收12(1) x)1)(1 (1222xkx)1)(1 (1lim221xkxx)1 (212k根據(jù)極限判別法 2 , 橢圓積分收斂 . ,d)(baxxf收斂為瑕點(diǎn))(a若廣義積分例例7. 判別廣義積分xxxdln10的收斂性 .解解:,d)(baxxf收斂稱為絕對(duì)收斂 . ,0為瑕點(diǎn)此處x,0lnlim410 xxx因, 1ln,41xxx 有

10、的故對(duì)充分小從而 1434lnlnxxxxx341x據(jù)比較判別法2, 所給積分絕對(duì)收斂 .則廣義積分 1. 定義定義:函數(shù)下面證明這個(gè)特殊函數(shù)在0s內(nèi)收斂 . 1121011de,dexxIxxIxsxs.) 11I討論)0(de)(01sxxsxs令;,11是定積分時(shí)當(dāng)Is ,10時(shí)當(dāng) sxsxsxxe11e11sx11, 11s而.1收斂知2根據(jù)比較判別法I)(的廣義積分s含參變量)e(1xsxxsxxelim1.)22I討論2lim xx0112dexxIxs.12收斂根據(jù)極限判別法I知綜上所述 , 21)(IIs.0上收斂在s(1) 遞推公式證證: 0de) 1(xxsxs)0()()

11、 1(ssss(分部積分)0dexsx01dee0 xxsxxsxs)(ss注意到:0de) 1 (xx1有,Nn)() 1(nnn) 1() 1(nnn) 1 (!n!n證證: ,) 1()(sss.)(,0ss時(shí)當(dāng)1) 1 (,0)(連續(xù)在且可證明ss)(,0ss時(shí)(3) 余元公式: ) 10()sin()1 ()(ssss有時(shí)當(dāng),21s)(21(證明略)得令,2ux 的其他形式)(s)0(de)(01sxxsxs)0(de2)(0122suussu,12ts再令,21 ts即得應(yīng)用中常見的積分) 1(2121de02ttuuut這表明左端的積分可用 函數(shù)來(lái)計(jì)算.例如,0de2uu2121

12、2四、*A-D判別法定理定理 9條滿若下列件之一足，(1)(Abel判別法)(2)(Dirichlet判別法)( ) ( ):af x g x dx收斂都有( ),af x dx斂收( )g x 在,a單調(diào)+ 上有界；()( )AaF Af x dx ,)a 在上有界，(),)gxa 在上 單 調(diào) 且lim( )0.xg x阿阿 貝貝 爾爾（Abel,Niels Henrik,1802-1829） 挪威數(shù)學(xué)家。挪威數(shù)學(xué)家。1802年年8月月5日生于芬島，日生于芬島，1829年年4月月 6日卒于弗魯蘭。是克里斯蒂安尼亞（現(xiàn)在的奧斯陸）日卒于弗魯蘭。是克里斯蒂安尼亞（現(xiàn)在的奧斯陸） 教區(qū)窮牧師的六

13、個(gè)孩子之一。教區(qū)窮牧師的六個(gè)孩子之一。 阿貝爾在他的所有著作中都打下了天才的烙印和阿貝爾在他的所有著作中都打下了天才的烙印和 表現(xiàn)出了不起的思維能力。我們可以說(shuō)他能夠穿透一表現(xiàn)出了不起的思維能力。我們可以說(shuō)他能夠穿透一 切障礙深入問(wèn)題的根底，具有似乎無(wú)堅(jiān)不摧的氣勢(shì)切障礙深入問(wèn)題的根底，具有似乎無(wú)堅(jiān)不摧的氣勢(shì).。 他又以品格純樸高尚以及罕見的謙遜精神出眾，使他他又以品格純樸高尚以及罕見的謙遜精神出眾，使他人品也像他的天才那樣受到人們不同尋常的愛(ài)戴。人品也像他的天才那樣受到人們不同尋常的愛(ài)戴。” 數(shù)學(xué)家們有法紀(jì)念他們中的數(shù)學(xué)家們有法紀(jì)念他們中的偉人，我們常說(shuō)阿貝爾積分、阿貝爾積分方程、阿貝爾函數(shù)、

14、阿貝爾群、阿貝爾偉人，我們常說(shuō)阿貝爾積分、阿貝爾積分方程、阿貝爾函數(shù)、阿貝爾群、阿貝爾級(jí)數(shù)、阿貝爾部分和公式、阿貝爾收斂判別法、阿貝爾可和性。很少有幾個(gè)數(shù)學(xué)級(jí)數(shù)、阿貝爾部分和公式、阿貝爾收斂判別法、阿貝爾可和性。很少有幾個(gè)數(shù)學(xué)家能使他的名字同數(shù)學(xué)中的這么多概念和定理聯(lián)系在一起。家能使他的名字同數(shù)學(xué)中的這么多概念和定理聯(lián)系在一起。 狄利克萊（狄利克萊（Dirichlet）（1805-1859） 德國(guó)數(shù)學(xué)家。解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一。在數(shù)論方面關(guān)于 Fermat方程 ，先后給出了n=5,n=14時(shí)無(wú)整數(shù)解的證明。他著 有數(shù)論講義（1863，遺著），對(duì)Gauss的算術(shù)研究作 出了清楚的解釋并有自己的獨(dú)創(chuàng)

15、。他證明了在任何算術(shù)序列 a+nb (其中a與b互素)中，必存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)，這就是著 名的Dirichlet定理。 他在分析學(xué)和數(shù)學(xué)物理方面也有很多重大貢獻(xiàn)。在1892年的論文“關(guān)于三角級(jí)數(shù)的收斂性”中得到給定函數(shù)f(x)的Fourier級(jí)數(shù)收斂的第一充分條件.這一研究還促使他將函數(shù)作了一般化推廣。1829，他給出了具有典型意義的函數(shù)： 稱為Dirichlet函數(shù)。這一工作使得數(shù)學(xué)從研究函數(shù)的計(jì)算轉(zhuǎn)變到研究函數(shù)的概念，性質(zhì)和結(jié)構(gòu)。他在1837年證明了：對(duì)一個(gè)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)，可以把它的項(xiàng)加以組合重新排列，而不改變?cè)?jí)數(shù)的和，并舉例說(shuō)明對(duì)一個(gè)條件收斂級(jí)數(shù)則不然。他修改了Gauss關(guān)于位函數(shù)論的一個(gè)

16、原理，引入了所謂Dirichlet原理。還論述了著名的第一邊值問(wèn)題（現(xiàn)稱為Dirichlet問(wèn)題）。 Dirichlet是Gauss的學(xué)生和繼承人。他畢生敬仰Gauss.他說(shuō)Gauss的講課是“一生所聽過(guò)的最好，最難忘的課?！?855年，Gauss逝世后，他作為Gauss的繼承者被哥丁根大學(xué)聘為教授，接替Gauss原任的職務(wù)，直到逝世。 例例 81sin.xdxx判別廣義積分的收斂性解解1sincos1 cosAxdxA顯然有界，11lim0,xxx單調(diào)且Dirichlet由判別法得，1sin xdxx收斂。例例 91sin arctan.xxdxx判別廣義積分的收斂性解解1sin8,xdxx由例 ，收斂arctan1,)x又在單調(diào)有解，Abel由判別法得，1sin arctan.xxdxx收斂與定理9類似，我們有若下列兩個(gè)條件之一滿足，(1)(Abel判別法)(2)(Dirichlet判別法)( ) ( ):baf x g x dx收斂都有( ),baf x dx收斂( )g x 在 , )a b 上單調(diào)有界；( )( )baFf x dx , )a b在上有界，(),)gxa b在上 單 調(diào) 且lim( )0.xbg x10定定理理 1. 兩類廣義積分的比較判別法比較判別法和極限判別法極限判別法 . 2. 若在同一積分式中出現(xiàn)兩類廣義積分,習(xí)題課 可