微分的概念及運(yùn)算（課堂PPT）

1、二、微分運(yùn)算法則二、微分運(yùn)算法則三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用一、微分的概念一、微分的概念 2.32.3 微分的概念及運(yùn)算微分的概念及運(yùn)算正方形金屬薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量. .20 xA 0 x0 x,00 xxx 變到變到設(shè)邊長(zhǎng)由設(shè)邊長(zhǎng)由,20 xA 正方形面積正方形面積2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的的主主要要部部分分且且為為的的線線性性函函數(shù)數(shù)Ax .,很很小小時(shí)時(shí)可可忽忽略略當(dāng)當(dāng)?shù)牡母吒唠A階無(wú)無(wú)窮窮小小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0一一.微分的概念微分的概念 1.1.引例：

2、引例：再例如再例如, ,.,03yxxxy 求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量時(shí)時(shí)為為處的改變量處的改變量在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x .320 xxy ),()2(xox 的的高高階階無(wú)無(wú)窮窮小小是是既容易計(jì)算又是較好的近似值既容易計(jì)算又是較好的近似值問(wèn)題問(wèn)題: :這個(gè)線性函數(shù)這個(gè)線性函數(shù)( (改變量的主要部分改變量的主要部分) )是否是否所有函數(shù)的改變量都有所有函數(shù)的改變量都有? ?它是什么它是什么? ?如何求如何求? ?的的微分微分,2.2.定義定義: 若函數(shù)若函數(shù)0 x)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 的增量可表示為的

3、增量可表示為0 x)()(00 xfxxfy ( A 為不依賴于為不依賴于x 的常數(shù)的常數(shù))則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xfy 而而 稱為稱為xA 在在)(xf0 x點(diǎn)點(diǎn)記作記作yd,df或或即即xAy d定理定理: 函數(shù)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 可微的可微的充要條件充要條件是是)(xfy , )(0 xfA )( xoxA 即即xxfy )(d0在點(diǎn)在點(diǎn)0 x可微可微, ,在點(diǎn)在點(diǎn) 處可導(dǎo)處可導(dǎo), ,且且0 x3.3.可微的條件：可微的條件：定理定理 : 函數(shù)函數(shù)證證: “必要性必要性” 已知已知)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 可微可微 ,0 x則則)()(00 xfxxfy )(limlim00 xxoAx

4、yxx A 故故Axf )(0)( xoxA )(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 可導(dǎo)可導(dǎo),0 x且且)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 可微的可微的充要條件充要條件是是0 x)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 處可導(dǎo)處可導(dǎo),0 x且且, )(0 xfA 即即xxfy )(d0定理定理 : 函數(shù)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 可微的可微的充要條件充要條件是是0 x)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 處可導(dǎo)處可導(dǎo), ,0 x且且, )(0 xfA 即即xxfy )(d0“充分性充分性”已知已知)(lim00 xfxyx )(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy )(0故故)()(0 xoxxf 線性主部線性主部 即即xxfy )(d0在點(diǎn)在

5、點(diǎn) 的可導(dǎo)的可導(dǎo),0 x)0)(0時(shí)時(shí) xf則則說(shuō)明說(shuō)明: :0)(0 xf時(shí)時(shí) , ,xxfy )(d0)()(0 xoxxfy yyxdlim0 xxfyx )(lim00 xyxfx 00lim)(11 所以所以0 x時(shí)時(shí)y yd很小時(shí)很小時(shí), , 有近似公式有近似公式x yyd 與與是等價(jià)無(wú)窮小是等價(jià)無(wú)窮小, ,當(dāng)當(dāng)故當(dāng)故當(dāng))(的線性主部的線性主部y 二二. .微分的幾何意義微分的幾何意義xxfy )(d0 xx0 xyo)(xfy 0 xyydx tan當(dāng)當(dāng) 很小時(shí)很小時(shí), ,xyyd 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)xy 則有則有xxfyd)(d 從而從而)(ddxfxy 導(dǎo)數(shù)也叫作導(dǎo)數(shù)也叫作微商微商

6、切線縱坐標(biāo)的增量切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分自變量的微分,為為稱稱 x 記作記作xdxy xd 記記三三. .微分的計(jì)算微分的計(jì)算dxxfdy)( 求法求法: : 計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), ,乘以自變量的微分乘以自變量的微分. .1.1.基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式( (P57P57) )xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxarcddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadx

7、aadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2 2. .微分運(yùn)算法則微分運(yùn)算法則設(shè)設(shè) u(x) , v(x) 均可微均可微 , 則則)(d. 1vu )(d. 2uC(C 為常數(shù)為常數(shù))(d. 3vu)0()(d. 4 vvu分別可微分別可微 ,)(, )(xuufy )(xfy 的微分為的微分為xyyxdd xxufd)()( uduufyd)(d 微分形式不變性微分形式不變性5. 復(fù)合函數(shù)的微分復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)vudd uCd vuuvdd 2ddvvuuv 例例1 1解解.),

8、ln(2dyexyx求求設(shè)設(shè) ,2122xxexxey .2122dxexxedyxx duufdy)( dxxfdy)( 21xexyd )(2xexd )(122xxdedxex )(1222dxedxexxx )2(122dxxedxexxx dxexxexx2221 方法方法二二: :用微分形式的不變性用微分形式的不變性方法方法一一: :用定義用定義例例2 2解解.,cos31dyxeyx求求設(shè)設(shè) )(cos)(cos3131xdeedxdyxx dxxexdexxx)sin()31(cos3131 dxxedxxexxsincos33131 .)sincos3(31dxxxex 例例

9、3 3. . 設(shè)設(shè),0)cos(sin yxxy求求 .dy解解: 利用一階微分形式不變性利用一階微分形式不變性 , , 有有0)d(cos()sin(d yxxyxxyyxdcosdsin )sin(yx 0)d(d yxxyd d )sin(cosyxxy xyxsin)sin( 例例4. 在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立: :xxd) d()1( tt dcos) d()2( 221xt sin1C C說(shuō)明說(shuō)明: 上述微分的反問(wèn)題是不定積分要研究的內(nèi)容上述微分的反問(wèn)題是不定積分要研究的內(nèi)容. .練習(xí)練習(xí) P.60 3(1,3,5,7)dxxfdy)

10、( 2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud duufdy)( 1 1. .計(jì)算函數(shù)增量的近似值計(jì)算函數(shù)增量的近似值xxfxfxxf )()()(000)()(0 xoxxfy , 0)()(00很很小小時(shí)時(shí)且且處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)若若xxfxxfy xxfy )(0dyy 四四. .微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用2.2.計(jì)算函數(shù)的近似值計(jì)算函數(shù)的近似值;)().1(0附近的近似值附近的近似值在點(diǎn)在點(diǎn)求求xxxf )()(00 xfxxfy .)(0 xxf )(很小時(shí)很小時(shí)x 使用原則使用原則: :很很小小x )2;)(, )()1

11、00好算好算xfxf 180 x29sin的近似值的近似值 .解解:,sin)(xxf 取取,60 x則則6sin 6cos 21 23 )0175. 0( 485. 0 )180( 例例. 求求)130sin(29sin )1806sin( )1806sin( 29sin4848. 029sin .)()()(000 xxfxfxxf xxfcos)( 設(shè)設(shè)常用近似公式常用近似公式:xn11 nx1)5(xxxx 1 xsin)1( xe)3( xtan)2( )1ln()4(x很小很小)x(,)()()(000 xxfxfxxf ., 00 xxx 令令.)0()0()(xffxf 證明證

12、明(5),1)(nxxf 設(shè)設(shè),)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx 3.3.計(jì)算計(jì)算 在在 點(diǎn)附近的函數(shù)近似值點(diǎn)附近的函數(shù)近似值( )0f xx 例例.計(jì)算下列各數(shù)的近似值計(jì)算下列各數(shù)的近似值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e 35 .998)1(3)10005 . 11(1000 30015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 0)2( e.97. 0 xnxn111 xex 103. 01 35 . 11000 例例. 有一批半徑為有一批半徑為1cm 1cm 的球的球, 為了提高球面的光潔度為了提高球面的光潔度, ,解解: 已知球體體積為已知球體體積為334RV 鍍銅體積為鍍銅體積為 V V 在在01. 0,1 RR時(shí)體積的增量時(shí)體積的增量,V VVd 01. 01 RRRR 24 01. 01 RR)(cm126. 03 因此每只球需用銅約為因此每只球需用銅約為12. 1126. 09 . 8 ( g )用銅多少克用銅多少克 . . )cmg9 . 8:(3銅的密度銅的密度