2019年上海市華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高三模擬數(shù)學(xué)試題(含原卷和解析版)

1、1 華二附中高三模擬數(shù)學(xué)試卷一. 填空題 . 1.若復(fù)數(shù) z滿足1zii1+2i，則 z等于 _2.計(jì)算：3381nnclimn_ 3.某人 5 次上班途中所花的時(shí)間（單位：分鐘）分別為x，y，10,11,9，已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為 2，則22xy的值為. 4.關(guān)于 x，y 的二元一次方程的增廣矩陣為32111m若 dx5，則實(shí)數(shù)m_5.已知實(shí)數(shù)x、y滿足不等式組22000 xyxyy，則11ywx的取值范圍是 _ 6.在101()2xx展開式中，含x 的負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的項(xiàng)共有_項(xiàng)7.一個(gè)圓柱的軸截面是正方形，其側(cè)面積與一個(gè)球的表面積相等，那么這個(gè)圓柱的體積與這個(gè)球的體積之比為_8.

2、連續(xù)投骰子兩次得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，作向量ar（m，n） ，則ar與br（1， 1）的夾角成為直角三角形內(nèi)角的概率是_9.已知集合a （x，y）| xa|+| y 1| 1 ， b （x，y）| （x 1）2+（y1）21，若 ab ?，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 _10.在abc中，2,1bcac，以ab為邊作等腰直角三角形abd（b為直角頂點(diǎn)，cd、兩點(diǎn)在直線ab的兩側(cè)），當(dāng)c 變化時(shí)，線段cd長(zhǎng)的最大值為_11.如圖， b 是 ac 的中點(diǎn)，2beobuuu ruuu r，p 是平行四邊形bcde 內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且opxoayob xyruuu ruu u ru uu r，有以下結(jié)

3、論：當(dāng) x 0時(shí)， y2 ， 3 ；當(dāng) p 是線段 ce 的中點(diǎn)時(shí)，1522xy，；若 x+y 為定值 1，則在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)p的軌跡是一條線段；2 xy 的最大值為1；其中你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào)為_12.對(duì)任意x和0,2，恒有221(32sincos )(sincos )8xxaa，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_. 二. 選擇題13.若集合2|540 ,| 1 ax xxbx xa則“2,3a”是“ba”的( ) a. 充要條件b. 必要不充分條件c. 充分不必要條件d. 既不充分也不必要條件14.實(shí)數(shù)a，b滿足a?b0 且ab，由a、b、2ab、ab按一定順序構(gòu)成的數(shù)列（）a. 可能是等

4、差數(shù)列，也可能是等比數(shù)列b. 可能是等差數(shù)列，但不可能是等比數(shù)列c. 不可能是等差數(shù)列，但可能是等比數(shù)列d. 不可能是等差數(shù)列，也不可能是等比數(shù)列15.已知雙曲線22221xyab（0a，0b） 的兩條漸近線與拋物線22ypx（0p） 的準(zhǔn)線分別交于a、b兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，若223ba，aob的面積為3，則p（）a. 1b. 32c. 2d. 3 16.若函數(shù) f（x）滿足： f（ | x| ） | f（ x）| ，則稱 f（x）為“對(duì)等函數(shù)”，給出以下三個(gè)命題：定義域?yàn)閞 的“對(duì)等函數(shù)”，其圖象一定過(guò)原點(diǎn)；兩個(gè)定義域相同的“對(duì)等函數(shù)”的乘積一定是“對(duì)等函數(shù)”；若定義域是d 的函數(shù) yf（x

5、）是“對(duì)等函數(shù)”，則 y| yf（x） ，xd? y| y0；在上述命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）a. 0b. 1c. 2d. 3 3 三. 解答題17.在abcv中，角abc， ，對(duì)應(yīng)的三邊長(zhǎng)分別為abc， ，若4b，8ba bcu uu r uu u r（1）求22ac的值；（2）求函數(shù)23sincoscosfbbbb的值域18.如圖，三棱錐pabc 中，pc平面 abc，pcac2，abbc，d 是 pb 上一點(diǎn)，且cd平面 pab（1）求證： ab平面 pcb；（2）求二面角cpab 的大小的余弦值19.某環(huán)線地鐵按內(nèi)、外環(huán)線同時(shí)運(yùn)行，內(nèi)、外環(huán)線的長(zhǎng)均為30 千米（忽略內(nèi)、外環(huán)線長(zhǎng)度差異）

6、（1）當(dāng) 9列列車同時(shí)在內(nèi)環(huán)線上運(yùn)行時(shí)，要使內(nèi)環(huán)線乘客最長(zhǎng)候車時(shí)間為10 分鐘，求內(nèi)環(huán)線列車的最小平均速度；（2）新調(diào)整的方案要求內(nèi)環(huán)線列車平均速度為25 千米 /小時(shí)， 外環(huán)線列車平均速度為30 千米 /小時(shí) 現(xiàn)內(nèi)、外環(huán)線共有18 列列車全部投入運(yùn)行，要使內(nèi)外環(huán)線乘客的最長(zhǎng)候車時(shí)間之差不超過(guò)1 分鐘，向內(nèi)、外環(huán)線應(yīng)各投入幾列列車運(yùn)行？20.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸正半軸上，點(diǎn),4p m到其準(zhǔn)線的距離等于5（ ）求拋物線的方程；（）如圖， 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線從左到右依次與拋物線及圓2211xy交于a、c、d、b四點(diǎn)，試證明ac bd為定值 . 4 （ ）過(guò)a、b分別作拋物的切線1l

7、、2l，且1l、2l交于點(diǎn)m，求acm與bdm面積之和的最小值21.已知數(shù)列na是以d為公差的等差數(shù)列，數(shù)列nb是以q為公比的等比數(shù)列. （1）若數(shù)列nb的前n項(xiàng)和為ns，且112abd，31003252010sab，求整數(shù)q的值；（2）若*,p qn，3p，2q，試問(wèn)數(shù)列nb中是否存在一項(xiàng)kb，使得kb恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)p項(xiàng)的和？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若1rba，2srbaa，3tba（其中tsr，且()sr是()tr的約數(shù)），求證：數(shù)列nb中每一項(xiàng)都是數(shù)列na中的項(xiàng) . 華二附中高三模擬數(shù)學(xué)試卷一. 填空題 . 1.若復(fù)數(shù) z滿足1zii1+2i，則 z等于 _【答案】 1+i 【解析

8、】【分析】由題得 iz+i 1+2i，利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)即可【詳解】1ziiiz+i iz+i 1+2i z1+i 故答案為： 1+i5 【點(diǎn)睛】本題考查行列式，復(fù)數(shù)的運(yùn)算，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題2.計(jì)算：3381nnclimn_ 【答案】148【解析】【分析】由二項(xiàng)式定理得323123266nn nnnnnc，再求極限即可【詳解】323123266nn nnnnnc；33223333213216814864848nnnncnnnnnlimlimlimnnn故答案為：148【點(diǎn)睛】本題考查極限，考查二項(xiàng)式定理，是基礎(chǔ)題3.某人 5 次上班途中所花的時(shí)間（單位：分鐘）分別為x，y，10,1

9、1,9，已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為 2，則22xy的值為. 【答案】208【解析】【詳解】解：由題意可得：x+y20， （x 10）2+（y 10）28，解得則 x2+y2208，故答案為： 2084.關(guān)于 x，y 的二元一次方程的增廣矩陣為32111m若 dx5，則實(shí)數(shù)m_【答案】 -2 【解析】【分析】6 由題意， dx1232m5，即可求出m 的值【詳解】由題意，dx1232m5， m-2 ，故答案為 -2【點(diǎn)睛】 本題考查 x，y 的二元一次方程的增廣矩陣，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)5.已知實(shí)數(shù)x、y滿足不等式組22000 xyxyy，則11ywx的取值范圍是 _【答案】1,

10、12【解析】【分析】畫出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，利用w 的幾何意義即可得到結(jié)論【詳解】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）11ywx的幾何意義為陰影部分的動(dòng)點(diǎn)（x，y）到定點(diǎn)p（ 1，1）連線的斜率的取值范圍由圖象可知當(dāng)點(diǎn)與ob 平行時(shí)，直線的斜率最大，當(dāng)點(diǎn)位于a 時(shí)，直線的斜率最小，由a（1，0） ， ap 的斜率 k12又 ob 的斜率 k1 12w1則11ywx的取值范圍是：112，故答案為：112，7 【點(diǎn)睛】 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法6.在101()2xx展開式中，含x的負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的項(xiàng)共有_項(xiàng)【答案】 4 【解析

11、】【分析】先寫出展開式的通項(xiàng)：10 3211012rrrrtc x由 0r10 及 532r為負(fù)整數(shù)，可求r 的值，即可求解【詳解】1012xx展開式的通項(xiàng)為10 3211012rrrrtc x其中 r0，1，210 要使 x 的指數(shù)為負(fù)整數(shù)有r4，6，8，10 故含 x 的負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的項(xiàng)共有4 項(xiàng)故答案為： 4 【點(diǎn)睛】 本題主要考查了二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)通項(xiàng)及r 的范圍確定r 的值7.一個(gè)圓柱的軸截面是正方形，其側(cè)面積與一個(gè)球的表面積相等，那么這個(gè)圓柱的體積與這個(gè)球的體積之比為_【答案】【解析】試題分析：設(shè)圓柱的高為 2，由題意圓柱的側(cè)面積為22=4，圓柱的體積為21

12、22，則球的表面積為 4 ，故球的半徑為1；球的體積為43，這個(gè)圓柱的體積與這個(gè)球的體積之比為23423，故填考點(diǎn)：本題考查了球與圓柱的體積、表面積公式點(diǎn)評(píng)：此類問(wèn)題主要考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確利用題目條件，面積相等關(guān)系，挖掘題設(shè)中的條件，解題才能得心應(yīng)手8.連續(xù)投骰子兩次得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，作向量ar（m，n） ，則ar與br（1， 1）的夾角成為直角三角形內(nèi)角的概率是_【答案】712【解析】【分析】8 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可以得到試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件數(shù)，滿足條件的事件數(shù)通過(guò)列舉得到即可求解【詳解】由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件數(shù)66，m0，n0，ar（m，n）與br（

13、1， 1）不可能同向夾角 0 （ 0，2 ar?br0，mn0，即 mn當(dāng) m6 時(shí)， n 6，5，4，3， 2，1；當(dāng) m5 時(shí)， n 5，4，3，2， 1；當(dāng) m4 時(shí)， n 4，3，2，1；當(dāng) m3 時(shí)， n 3，2，1；當(dāng) m2 時(shí)， n 2，1；當(dāng) m1 時(shí)， n 1滿足條件的事件數(shù)6+5+4+3+2+1 概率 p65432176612故答案為：712【點(diǎn)睛】 本題考查古典概型，考查向量數(shù)量積，考查分類討論思想，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵9.已知集合a （x，y）| xa|+| y1| 1 ，b （x，y）| （x 1）2+（y1）21 ，若 ab ?，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 _【答案】 1，

14、3 【解析】【分析】先分別畫出集合a（ x，y）|xa|+|y1|1， b（x，y） |（x 1）2+（y1）21 ，表示的平面圖形，集合a 表示是一個(gè)正方形，集合b 表示一個(gè)圓再結(jié)合題設(shè)條件，欲使得ab?，只須 a 或 b 點(diǎn)在9 圓內(nèi)即可，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程建立不等式求解即可【詳解】分別畫出集合a （x，y）|xa|+|y1| 1 ，b （x，y）| （x 1）2+（y1）21 ，表示的平面圖形，集合a 表示是一個(gè)正方形，集合b 表示一個(gè)圓如圖所示其中 a（a+1，1） ，b（a 1，1） ，欲使得 ab?，只須 a 或 b 點(diǎn)在圓內(nèi)即可，（ a+11）2+（11）21 或（ a11）

15、2+（11）21，解得： 1 a1 或 1a3，即 1a3故答案為： 1， 3 【點(diǎn)睛】 本小題主要考查二元一次不等式（組）與平面區(qū)域、集合關(guān)系中的參數(shù)取值問(wèn)題、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想屬于基礎(chǔ)題10.在abc中，2,1bcac，以ab為邊作等腰直角三角形abd（b為直角頂點(diǎn)，cd、兩點(diǎn)在直線ab的兩側(cè)），當(dāng)c 變化時(shí)，線段cd長(zhǎng)的最大值為_【答案】 3 【解析】試題分析： 設(shè)cba，abbda， 則在三角形bcd中， 由余弦定理可知2222 2sincda，在 三 角 形abc 中 ， 由 余 弦 定 理 可 知21cos2 2aa， 可 得

16、4261sin2 2aaa， 所 以2242261cdaaa，令22ta，則2221017(5)8cdttttt222(5) (5)859tt，當(dāng)2(5)4t時(shí)1 0等號(hào)成立考點(diǎn)：解三角形11.如圖， b 是 ac 的中點(diǎn)，2beobuuu ruuu r，p 是平行四邊形bcde 內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且opxoayob xyruuu ruu u ru uu r，有以下結(jié)論：當(dāng) x 0時(shí)， y2 ，3 ；當(dāng) p 是線段 ce 的中點(diǎn)時(shí)，1522xy，；若 x+y 為定值 1，則在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)p的軌跡是一條線段；xy 的最大值為1；其中你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào)為_【答案】 【解析】【分析

17、】利用向量共線的充要條件判斷出 錯(cuò)， 對(duì)；利用向量的運(yùn)算法則求出opuuu r，求出 x，y 判斷出 對(duì), 利用三點(diǎn)共線解得對(duì)【詳解】對(duì)于當(dāng)opyobuuu ru uu r，據(jù)共線向量的充要條件得到p 在線段 be 上，故 1y3，故錯(cuò)對(duì)于當(dāng)p 是線段 ce 的中點(diǎn)時(shí)，132opoeepobebbcuuu ruuu ru uu ruu u ruuu ruuu r11532222obobaboaobuuu ruu u ruuu ruuu ruu u r故對(duì)對(duì)于 x+y 為定值 1 時(shí)，a，b，p 三點(diǎn)共線，又p 是平行四邊形bcde 內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，故p 的軌跡是線段，故對(duì)對(duì)，opxoayo

18、bxoayobu uu ruuu ruuu ruu u ruuu r，令obofuuu ru uu r，則xoay ofopuuu ruuu ruu u r，當(dāng), ,p a f共線，則1xy，當(dāng)af平移到過(guò)b 時(shí)， x y最大值為 1，故對(duì)1 1故答案為【點(diǎn)睛】 本題考查向量的運(yùn)算法則、向量共線的充要條件,考查推理能力，是中檔題12.對(duì)任意x和0,2，恒有221(32sincos )(sincos )8xxaa，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_. 【答案】6a或72a【解析】【分析】利用2222 abab的形 式進(jìn)行放縮 ，最終化簡(jiǎn)為1322sincosasincos或1322sincosasincos

19、，利用函數(shù)單調(diào)性，基本不等式即可求得最值【詳解】先給出公式：2222 abab，證明如下，22222222222222=+20abababababababab即2222abab則原式221(32sincos )(sincos )8xxaa可變形為22211(32sincos )(sincos )(32sincos )(sincos )28xxaaxxaa即21(32sincos )(sincos )4xxaa，2132sincos(sincos )4a1322sincosa sincos或1322sincosa sincos，0,2，12sincos,1 2由得1322sincosasinco

20、s或1322sincosasinco622sincossincossincossincossincossincos當(dāng)且僅當(dāng)62sincos時(shí)取等號(hào)，所以1322sincossincos的最小值為6，6a132522sincossincossincossincos，顯然當(dāng)5122x, fxxx為減函數(shù)（由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得），57121122maxx, fxf，由此可得132722sincossincos，即72a綜上所述：6a或72a【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題是常規(guī)處理方式，本題解題關(guān)鍵在于通過(guò)對(duì)不等式的等價(jià)變形去掉x，變形為關(guān)于的恒等式進(jìn)

21、行處理二. 選擇題13.若集合2|540 ,| 1 ax xxbx xa則“2,3a”是“ba”的 ( ) a. 充要條件b. 必要不充分條件c. 充分不必要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】 c 【解析】【分析】化簡(jiǎn) a，b ，根據(jù)ba，列出不等式，解得a，然后根據(jù)充要條件的定義判斷即可【詳解】2|540 = 1,4ax xx，| 11,1bx xaaa，q要使ba，141 1aa，解得23a剟，(2,3)aba，ba(2,3)a，所以“2,3a”是“ba”的充分不必要條件，1 3故選 c 【點(diǎn)睛】本題考查充要條件的判定，正確把握充要條件的判定是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題14.實(shí)數(shù)a，b滿足

22、a?b0 且ab，由a、b、2ab、ab按一定順序構(gòu)成的數(shù)列（）a. 可能是等差數(shù)列，也可能是等比數(shù)列b. 可能是等差數(shù)列，但不可能是等比數(shù)列c. 不可能是等差數(shù)列，但可能是等比數(shù)列d. 不可能是等差數(shù)列，也不可能是等比數(shù)列【答案】 b 【解析】【分析】由實(shí)數(shù)a，b 滿足 a?b 0 且 ab，分 a，b0 和 a，b0，兩種情況分析根據(jù)等差數(shù)列的定義和等比數(shù)列的定義，討論a、b、2ab、ab按一定順序構(gòu)成等差（比）數(shù)列時(shí)，是否有滿足條件的a，b 的值，最后綜合討論結(jié)果，可得答案【詳解】（1）若ab0 則有 a2ababb 若能構(gòu)成等差數(shù)列，則a+b=2ab+ab，得2ab=2ab，解得 a=

23、b（舍） ，即此時(shí)無(wú)法構(gòu)成等差數(shù)列若能構(gòu)成等比數(shù)列，則a?b=2abab，得22abab，解得 a=b（舍） ，即此時(shí)無(wú)法構(gòu)成等比數(shù)列（2）若 ba0，則有2ababab若能構(gòu)成等差數(shù)列，則2ababba，得 2ab=3a-b 于是 b3a 4ab=9a2-6ab+b2得 b=9a，或 b=a（舍）當(dāng) b=9a 時(shí)這四個(gè)數(shù)為-3a，a，5a，9a，成等差數(shù)列于是 b=9a0，滿足題意1 4但此時(shí)ab?b 0，a?2ab 0，不可能相等，故仍無(wú)法構(gòu)成等比數(shù)列故選 b 【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列的確定和等比數(shù)列的確定，熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵15.已知雙曲線222

24、21xyab（0a，0b） 的兩條漸近線與拋物線22ypx（0p） 的準(zhǔn)線分別交于a、b兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，若223ba，aob的面積為3，則p（）a. 1b. 32c. 2d. 3 【答案】 c 【解析】【分析】求出雙曲線的漸近線，利用三角形面積建立方程即可求解【 詳 解 】 由2222333bbbaaa， 即 漸 近 線 為3yx， 與 拋 物 線 的 準(zhǔn) 線 交 于332222ppppa,b,，所以aob 的面積為133022pp, p，解得2p故選： c 【點(diǎn)睛】本題考查拋物線，雙曲線的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型16.若函數(shù) f（x）滿足： f（ | x| ） | f（ x）| ，則稱 f

25、（x）為“對(duì)等函數(shù)” ，給出以下三個(gè)命題：定義域?yàn)閞 的“對(duì)等函數(shù)” ，其圖象一定過(guò)原點(diǎn)；兩個(gè)定義域相同的“對(duì)等函數(shù)”的乘積一定是“對(duì)等函數(shù)”；若定義域是d 的函數(shù) yf（x）是“對(duì)等函數(shù)” ，則 y| yf（ x） ，xd? y| y0；在上述命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 【答案】 b 【解析】【分析】由對(duì)等函數(shù)的定義可判斷，舉反例說(shuō)明錯(cuò)誤1 5【詳解】定義域?yàn)閞 的“對(duì)等函數(shù)” ，可令 x0，即 f（0） | f（0）| ，解得f（0） 0，或f（0） 1，故錯(cuò)誤；兩個(gè)定義域相同的“對(duì)等函數(shù)”，設(shè) yf（x）和 yg（x）均為“對(duì)等函數(shù)” ，可得 f（|

26、 x| ） | f（x）| ，g（| x| ） | g（x）| ，設(shè) f（x） f（x） g（x） ，即有 f（| x| ） f（| x| ）g（| x| ） | f（x） g（x）| | f（x）| ，則乘積一定是“對(duì)等函數(shù)，故正確”；若定義域是d 的函數(shù) yf（x）是“對(duì)等函數(shù)” ，可得 f（| x| ） | f（x）| ，可取 f（x） x| x| ， xr，可得 x0 時(shí)， f（x） 0；x0 時(shí)， f（x） 0，故錯(cuò)誤故選： b【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的新定義問(wèn)題，理解題意是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題三. 解答題17.在abcv中，角abc， ，對(duì)應(yīng)的三邊長(zhǎng)分別為abc， ，若4b，8ba bcuu

27、 u r uuu r（1）求22ac的值；（2）求函數(shù)23sincoscosfbbbb的值域【答案】（1）32； （ 2）312，【解析】試題分析：（ 1）利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，化簡(jiǎn)8ba bcuu u r uuu r，再利用余弦定理列出關(guān)系式，將化簡(jiǎn)結(jié)果及b的值代入計(jì)算即可求出22ac的值；（ 2）由基本不等式求出ac的范圍，根據(jù)cos8acb，得出1cos2b， 進(jìn)而利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求出角b的范圍，再化簡(jiǎn)1sin 262fbb， 即可求出f b的值域試題解析：（ 1）因?yàn)?ba bcuu u r uuu r，所以cos8acb，由余弦定理得222222cos16bacacbac因?yàn)?/p>

28、4b，所以2232ac（2）因?yàn)?22acac，所以16ac，所以81cos2bac，1 6因?yàn)?b，所以3xb，因?yàn)?3113sincoscossin 21cos2sin 22262fbbbbbbb，由于52666b，所以1sin 2162b，所以fb的值域?yàn)?12，考點(diǎn)：正弦定理；余弦定理18.如圖，三棱錐pabc 中，pc平面 abc，pcac2，abbc，d 是 pb 上一點(diǎn)，且cd平面 pab（1）求證： ab平面 pcb；（2）求二面角cpab的大小的余弦值【答案】（1）詳見(jiàn)解析； （2）33. 【解析】【分析】（ 1）由題設(shè)條件，易證得pcab，cdab，故可由線面垂直的判定定理

29、證得ab平面 pcb； （2）由圖形知， 取 ap 的中點(diǎn) o，連接 co、do，可證得 cod 為二面角cp ab的平面角， 在 cdo 中求 cod即可【詳解】（1）證明： pc平面 abc，ab? 平面 abc，pcabcd平面 pab，ab? 平面 pab，cdab又 pccd c， ab平面 pcb（2）取 ap的中點(diǎn) o，連接 co、do1 7pcac2， copa，co2，cd平面 pab，由三垂線定理的逆定理，得dopa cod 為二面角cpa b的平面角由（ 1）ab平面 pcb， abbc，又 abbc，ac2，求得 bc2pb6，cd2 3363cdsincodcocos

30、cod33【點(diǎn)睛】 本題考查用線面垂直的判定定理證明線面垂直，求二面角，空間角解決的關(guān)鍵是做角，由圖形的結(jié)構(gòu)及題設(shè)條件正確作出平面角，是求角的關(guān)鍵19.某環(huán)線地鐵按內(nèi)、外環(huán)線同時(shí)運(yùn)行，內(nèi)、外環(huán)線的長(zhǎng)均為30 千米（忽略內(nèi)、外環(huán)線長(zhǎng)度差異）（1）當(dāng) 9列列車同時(shí)在內(nèi)環(huán)線上運(yùn)行時(shí)，要使內(nèi)環(huán)線乘客最長(zhǎng)候車時(shí)間為10 分鐘，求內(nèi)環(huán)線列車的最小平均速度；（2）新調(diào)整的方案要求內(nèi)環(huán)線列車平均速度為25 千米 /小時(shí)， 外環(huán)線列車平均速度為30 千米 /小時(shí) 現(xiàn)內(nèi)、外環(huán)線共有18 列列車全部投入運(yùn)行，要使內(nèi)外環(huán)線乘客的最長(zhǎng)候車時(shí)間之差不超過(guò)1 分鐘，向內(nèi)、外環(huán)線應(yīng)各投入幾列列車運(yùn)行？【答案】（1）20 千米

31、 / 小時(shí)； （ 2）內(nèi)環(huán)線投入10 列列車運(yùn)行，外環(huán)線投入8列列車 . 【解析】【分析】（1） 設(shè)內(nèi)環(huán)線列車的平均速度為v 千米 /小時(shí)，根據(jù)內(nèi)環(huán)線乘客最長(zhǎng)候車時(shí)間為10 分鐘，可得3060109v，1 8從而可求內(nèi)環(huán)線列車的最小平均速度；（2）設(shè)內(nèi)環(huán)線投入x 列列車運(yùn)行，則外環(huán)線投入（18x）列列車運(yùn)行，分別求出內(nèi)、外環(huán)線乘客最長(zhǎng)候車時(shí)間130726025txx，230606030 1818txx，根據(jù)127260118ttxx，解不等式，即可求得結(jié)論【詳解】（1）設(shè)內(nèi)環(huán)線列車的平均速度為v 千米 /小時(shí)，則要使內(nèi)環(huán)線乘客最長(zhǎng)候車時(shí)間為10 分鐘，可得3060109vv20 要使內(nèi)環(huán)線乘客

32、最長(zhǎng)候車時(shí)間為10 分鐘，內(nèi)環(huán)線列車的最小平均速度是20 千米 /小時(shí)；（2）設(shè)內(nèi)環(huán)線投入x 列列車運(yùn)行，則外環(huán)線投入（18x）列列車運(yùn)行，內(nèi)、外環(huán)線乘客最長(zhǎng)候車時(shí)間分別為 t1，t2分鐘，則130726025txx，230606030 1818txx127260118ttxx221501296011412960 xxxx150173161141818022xxn+， x10 當(dāng)內(nèi)環(huán)線投入10 列列車運(yùn)行， 外環(huán)線投入8 列列車時(shí)， 內(nèi)外環(huán)線乘客的最長(zhǎng)候車時(shí)間之差不超過(guò)1 分鐘【點(diǎn)睛】 本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確求出乘客最長(zhǎng)候車時(shí)間20.已知拋物線的

33、頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸正半軸上，點(diǎn),4p m到其準(zhǔn)線的距離等于5（ ）求拋物線的方程；（ ）如圖， 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線從左到右依次與拋物線及圓2211xy交于a、c、d、b四點(diǎn)，試證明ac bd為定值 . 1 9（ ）過(guò)a、b分別作拋物的切線1l、2l，且1l、2l交于點(diǎn)m，求acm與bdm面積之和的最小值【答案】（ ）24xy； （）見(jiàn)解析；（）2. 【解析】【分析】（ ）設(shè)拋物線的方程為220 xpyp，根據(jù)已知條件得出p的值，可得出拋物線的方程；（ ） 解法一： 求出拋物線的焦點(diǎn)e的坐標(biāo)，設(shè)直線ab的方程為1ykx， 設(shè)點(diǎn)11,a x y、22,b xy，將直線ab的方程與拋物線的方程

34、聯(lián)立，并列出韋達(dá)定理，利用拋物線的定義并結(jié)合韋達(dá)定理證明出acbd是定值；解法二：設(shè)直線ab的方程為1ykx，設(shè)點(diǎn)11,a x y、22,b xy，將直線ab的方程與拋物線的方程聯(lián)立，并列出韋達(dá)定理，并利用弦長(zhǎng)公式并結(jié)合韋達(dá)定理證明acbd是定值；（ ） 利用導(dǎo)數(shù)求出切線1l、2l的方程， 并將兩切線方程聯(lián)立得出交點(diǎn)m的坐標(biāo)，并計(jì)算出點(diǎn)m到直線ab的距離d，可計(jì)算出abm和cdm的面積和， 換元211tk，利用導(dǎo)數(shù)法求出acm和bdm的面積和的最小值. 【詳解】（ ）設(shè)拋物線方程為220 xpyp，由題意得452p，得2p，所以拋物線c的方程為24xy；（ ） 解法一：拋物線的焦點(diǎn)與2211x

35、y的圓心重合，即為0,1e. 設(shè)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線方程為1ykx，設(shè)點(diǎn)11,a x y、22,b xy，2 0將直線ab的方程與拋物線的方程聯(lián)立214ykxxy，消去y并整理得2440 xkx，21610k，由韋達(dá)定理得124xxk，124x x. 由拋物線的定義可知11aey，21bey，10 x，20 x. 222121241111616x xacbdaebey y，即acbd為定值1；解法二：設(shè)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線方程為1ykx，設(shè)點(diǎn)11,a x y、22,b xy，不妨設(shè)10 x，20 x. 將直線ab的方程與拋物線的方程聯(lián)立214ykxxy，消去y并整理得2440 xkx，21610k，由韋達(dá)定理得124xxk，124x x. 221111aekxkx，222211bekxkx，22221212121111111acbdkxkxkx xkxx2224 1116111kkk，即acbd為定值1；（ ）214yxq，12yx，所以切線am的方程為2111142xyxxx，即21124x xxy，同理可得，切線bm的方程為22224x xxy，2 1聯(lián)立兩切線方程2112222424x xxyx xxy，解得12122214xxxkx xy，即點(diǎn)2 ,1mk，所以點(diǎn)m到直