2020-2021學年上海市黃浦區(qū)光明中學高二(下)期中數學試卷(解析版)

1、2020-2021 學年上海市黃浦區(qū)光明中學高二（下）期中數學試卷一、填空題（共12 小題） .1復數 z 1+i 的共軛復數是2已知正方體abcda1b1c1d1的棱長為1，則點 c1到直線 bc 的距離為3復數 z 23i2021對應的點在復平面內位于第象限4 3 的平方根是5若 z8+8i，則 |z|6底面邊長為a 的正四棱錐體積與棱長為a 的正方體體積相等，則正四棱錐的側棱與底面所成角大小為7若 z c 且|z+3+4i|2，則 |z|的取值范圍為8若一圓柱的側面積為6 ，則經過圓柱的軸的截面積為9地球（地球半徑為r）表面上從a 地（北緯 45，東經 120）到 b 地（北緯 45，東

2、經 30）的球面距離為10在直三棱柱abca1b1c1中， acb 90， aa12，acbc1，則異面直線a1b與 ac1所成角的余弦值是11 如 圖 ， 已 知 三 棱 柱abc a1b1c1的 體 積 為4 ， 則 四 面 體c a1bc1的 體 積為12如圖， ab 是底面圓o 的直徑，點c 是圓 o 上異于 a、b 的點， po 垂直于圓o 所在的平 面 ， 且po ob 1， bc， 點e 在 線 段pb 上 ， 則ce+oe的 最 小 值為二、選擇題13以下命題中，正確的是（）a若 a，b r，復數 a+bi 中，實部為a，虛部為bib若 a，b r，當 a+bi 是虛數時，則a

3、0 且 b0c若 a，b r，當 a0 時，復數a+bi 為純虛數d若 a，b r，當 b0 時，復數a+bi 為實數14“兩條直線沒有公共點”是“兩條直線為異面直線”的（）a充分非必要條件b必要非充分條件c充要條件d既非充分又非必要條件15已知直線l 和平面 ，無論直線l 與平面 具有怎樣的位置關系，在平面內總存在一條直線與直線l（）a相交b平行c垂直d異面16在下列四個正方體中，a、b 為正方體的兩個頂點，m、n、q 為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線ab 與平面 mnq 不平行的是（）abcd三、解答題17已知，試求實數x， y 的值18如圖，直三棱柱內接于高為的圓柱中，已知acb

4、90， aa，bcac 1，o 為 ab 的中點求：（1）圓柱的全面積和體積；（2）求直線 ac 與平面 abba所成的角的大小19設 m，n r，關于 x 的方程 x2+mx+n0 的兩個根分別是和 （1）當 1+i 時，求 與 m、n 的值；（2）當 m2，n 4 時，求 | |+| |的值20如圖， 某種水箱用的 “浮球” ，是由兩個半球和一個圓柱筒組成已知球的直徑是6cm，圓柱筒長2cm（1）這種“浮球”的體積是多少cm3（結果精確到0.1）？（2）要在這樣2500 個“浮球”表面涂一層膠質，如果每平方米需要涂膠100 克，共需膠多少？21如圖，在直角梯形pbcd 中， pbdc，dc

5、bc，pbbc 2cd2，點 a 是 pb 的中點，現沿ad 將平面 pad 折起，設 pab （1）當 為直角時，求異面直線pc 與 bd 所成角的大小；（2）當 為多少時，三棱錐pabd 的體積為？（3）剪去梯形中的pad，留下長方形紙片abcd ，在 bc 邊上任取一點e，把紙片沿ae 折成直二面，問e 點取何處時，使折起后兩個端點b、d 間的距離最短參考答案一、填空題1復數 z 1+i 的共軛復數是1i解：由共軛復數的定義可得，復數z 1+i 的共軛復數是1 i故答案為：1i2已知正方體abcda1b1c1d1的棱長為1，則點 c1到直線 bc 的距離為1解：如圖所示，幾何體是正方體，

6、所以cc1是點 c1到直線 bc 的距離距離為1故答案為： 13復數 z 23i2021對應的點在復平面內位于第三象限解： z 2 3i202123i，對應的點（2， 3）位于第三象限故答案為：三4 3 的平方根是解：設（ a+bi）2 3，其中 a，b r化為 a2b2+2abi 3，解得 a0，b 3 的平方根為：i故答案為：5若 z8+8i，則 |z|8解：因為z8+8i，則 |z|8故答案為： 86底面邊長為a 的正四棱錐體積與棱長為a 的正方體體積相等，則正四棱錐的側棱與底面所成角大小為解：設正四棱錐的高為h，則 vh?a2a3， h3a，設正四棱錐的側棱與底面所成角為 ，則 tan

7、 3，正四棱錐的側棱與底面所成角為arctan3故答案為： arctan37若 z c 且|z+3+4i|2，則 |z|的取值范圍為3， 7解： |z+3+4i|2 的幾何意義為復平面內動點z 到定點a（ 3， 4）的距離小于等于2的點的集合，如圖所示：|oa|，|z|min52 3，|z|max 5+2 7|z|的取值范圍為3，7故答案為： 3， 78若一圓柱的側面積為6 ，則經過圓柱的軸的截面積為6解：設圓柱的底面半徑為r，高為 h，則 2h6 ，所以 rh3，所以經過圓柱的軸的截面積為：2rh6故答案為： 69地球（地球半徑為r）表面上從a 地（北緯 45，東經 120）到 b 地（北緯

8、 45，東經 30）的球面距離為解：地球表面上從a 地（北緯45，東經120）到 b 地（北緯 45，東經 30），b 的緯圓半徑是，經度差是90，所以 abr，球心角是，則 a、 b 兩地的球面距離是故答案為：10在直三棱柱abca1b1c1中， acb 90， aa12，acbc1，則異面直線a1b與 ac1所成角的余弦值是解：以 c 為原點， ca 為 x 軸， cb 為 y 軸， cc1為 z 軸，建立空間直角坐標系，則 a（1，0， 0）， b（0，1，0）， a1（1，0，2）， c1（0，0，2），（ 1，1， 2），（ 1， 0，2），設異面直線a1b 與 ac1所成角為 ，則

9、 cos 異面直線a1b 與 ac1所成角的余弦值是故答案為：11如圖，已知三棱柱abca1b1c1的體積為4，則四面體ca1bc1的體積為解：如圖，在三棱柱abca1b1c1中，而，又三棱柱abca1b1c1的體積為 4，則四面體ca1bc1的體積為故答案為：12如圖， ab 是底面圓o 的直徑，點c 是圓 o 上異于 a、b 的點， po 垂直于圓o 所在的平面，且 poob 1， bc， 點 e 在線段 pb 上， 則 ce+oe 的最小值為解：如圖，po底面 ocb，則 po ob，pooc，由 poob1，得 pb，由 pooc，得 pc，又 bc， pbc 為等邊三角形，則pbc6

10、0，又 pbo45，沿 pb 翻折平面pbc，使平面pbc 與平面 pab 重合，則 obc 105，ce+oe 的最小值oc，在 obc中，由余弦定理可得：故答案為：二、選擇題13以下命題中，正確的是（）a若 a，b r，復數 a+bi 中，實部為a，虛部為bib若 a，b r，當 a+bi 是虛數時，則a0 且 b0c若 a，b r，當 a0 時，復數a+bi 為純虛數d若 a，b r，當 b0 時，復數a+bi 為實數解：復數a+bi 中，實部為a，虛部為 b，a 錯誤；a+bi 是虛數時，則b0，b 錯誤；當 a0， b0 時，復數a+bi 為純虛數， c 錯誤；b 0 時，復數a+b

11、i 為實數， d 正確故選： d14“兩條直線沒有公共點”是“兩條直線為異面直線”的（）a充分非必要條件b必要非充分條件c充要條件d既非充分又非必要條件解：由“兩條直線沒有公共點“得“兩條直線為異面直線或兩直線平行“，不是充分條件，由“兩條直線為異面直線“得“兩條直線沒有公共點”，是必要條件，故選： b15已知直線l 和平面 ，無論直線l 與平面 具有怎樣的位置關系，在平面內總存在一條直線與直線l（）a相交b平行c垂直d異面解：當直線l 與平面 平行時，在平面內至少有一條直線與直線l 垂直，當直線 l? 平面 時，在平面內至少有一條直線與直線l 垂直，直線 l 與平面 相交時，在平面內至少有一

12、條直線與直線l 垂直，無論直線l 與平面 具有怎樣的位置關系，在平面內總存在一條直線與直線l 垂直故選： c16在下列四個正方體中，a、b 為正方體的兩個頂點，m、n、q 為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線ab 與平面 mnq 不平行的是（）abcd解：對于選項b，由于 abmq，結合線面平行判定定理可知b 不滿足題意；對于選項c，由于 abmq，結合線面平行判定定理可知c 不滿足題意；對于選項d，由于 abnq，結合線面平行判定定理可知d 不滿足題意；所以選項a 滿足題意，故選： a三、解答題17已知，試求實數x， y 的值解：，1+i，解得 x1，y1118如圖，直三棱柱內接于高為的

13、圓柱中，已知acb90， aa，bcac 1，o 為 ab 的中點求：（1）圓柱的全面積和體積；（2）求直線 ac 與平面 abba所成的角的大小解：（ 1）直三棱柱內接于高為的圓柱中，acb90， aa，bcac1，o 為 ab 的中點圓柱的半徑rab，圓柱的全面積s+3 圓柱的體積為v（2）以 c 為原點， ca 為 x 軸， cb 為 y 軸， cc為 z 軸，建立空間直角坐標系，a（ 1， 0，）， c（ 0，0，0）， a（1，0，0）， b（0，1，0），（ 1，0，），（ 0，0，），（ 1， 1，0），設平面 abba的法向量（ x，y，z），則，取 x1，得（ 1，1，0），

14、設直線 ac 與平面 abba所成的角為 ，則 sin ，直線 ac 與平面 abba所成的角的大小為19設 m，n r，關于 x 的方程 x2+mx+n0 的兩個根分別是和 （1）當 1+i 時，求 與 m、n 的值；（2）當 m2，n 4 時，求 | |+| |的值解：（ 1）由題意得 1+i 是關于 x 的方程 x2+mx+n0 的一個根，（ 1+i）2+m（1+i）+n0，整理得： m+n+（m+2）i0，m，n r，解得：，故關于 x 的方程為x22x+20，根據根與系數的關系得： + 2，故 2 2（ 1+i） 1i，綜上， 1i，m 2，n2；（2）當 m2，n 4 時，方程為x

15、2+2x+40，解得： x 1i，不妨設 1i， 1+i，則| |+| |1i|+|1+i|+4，綜上： | |+| |420如圖， 某種水箱用的 “浮球” ，是由兩個半球和一個圓柱筒組成已知球的直徑是6cm，圓柱筒長2cm（1）這種“浮球”的體積是多少cm3（結果精確到0.1）？（2）要在這樣2500 個“浮球”表面涂一層膠質，如果每平方米需要涂膠100 克，共需膠多少？解：（ 1）該“浮球”的圓柱筒直徑d6cm，半球的直徑也是6cm，可得半徑r3cm，兩個半球的體積之和為cm3而cm3該“浮球”的體積是：vv球+v圓柱36 +18 54 169.6cm3（2）根據題意，上下兩個半球的表面積

16、是cm2而“浮球”的圓柱筒側面積為：s圓柱側 2 rh2 3 212 cm21 個“浮球”的表面積為m2因此， 2500 個“浮球”的表面積的和為m2每平方米需要涂膠100 克，總共需要膠的質量為：10012 1200 （克）答：這種浮球的體積約為169.6cm3；供需膠1200克21如圖，在直角梯形pbcd 中， pbdc，dcbc，pbbc 2cd2，點 a 是 pb 的中點，現沿ad 將平面 pad 折起，設 pab （1）當 為直角時，求異面直線pc 與 bd 所成角的大??；（2）當 為多少時，三棱錐pabd 的體積為？（3）剪去梯形中的pad，留下長方形紙片abcd ，在 bc 邊上任取一點e，把紙片沿ae 折成直二面，問e 點取何處時，使折起后兩個端點b、d 間的距離最短解：（ 1）取 pa 中點 n，連接 ac 交 bd 于 o，連接 on、nb，由題意知四邊形abcd 為矩形，所以aooc，所以 onpc，因為 ab1，bc2，所以 ac，又因為pa1，所以 pc，于是 on，oboa， nb，所以 cosbon，于是 bon arccos，所以當 為直角時，異面直