2020上海市上中、交附、七寶數(shù)學(xué)自招試卷

1、上中自招1、有足夠多的紅球和籃球，取其中10 個(gè)球排成一列，要求：每個(gè)紅球至少與一個(gè)紅球相鄰，至少有多少種排法？解析：431nnnnaaaa紅紅紅藍(lán)紅藍(lán)藍(lán)藍(lán)，134014nnnnaaaaan124015nnnaaaan，11235nnnnnaaaaan12325nnnnaaaan，0123451,1,2,4,7,12aaaaaa67891021,37,65,114,200aaaaa2、黑板上有2020 個(gè)數(shù)，分別是1 111,2 32020，每次操作，選兩個(gè)數(shù)a和b，計(jì)算得到abab，再把a(bǔ)和b擦掉，把計(jì)算的數(shù)寫上，這樣操作2019 次最后得到的數(shù)是多少？解析：記這2020 個(gè)數(shù)為122020

2、,a aa，則易知，操作前后1ia是不變量則最后一個(gè)數(shù)是3420212120202320203、請(qǐng)根據(jù)右圖寫出一個(gè)關(guān)于整數(shù)n的等式解析：12311111+122222nn4、求證：1111112212221nnnn解析：1211111111=122122212222nnnnnnnnn個(gè)5、給定一個(gè)邊長(zhǎng)為32的正方形，有邊長(zhǎng)為1 11,2 3的正方形，設(shè)計(jì)把這些正方形全放到大正方形內(nèi)，畫出具體配法，并用語(yǔ)言具體描述解析：如圖，邊長(zhǎng)為1 的放入大正方形的左上角，邊長(zhǎng)為1 1,2 3的緊貼在邊長(zhǎng)為1 的右邊，邊長(zhǎng)為11,47的放在下圖中標(biāo)記“14”的矩形區(qū)域內(nèi)；邊長(zhǎng)為11,815的放在圖中標(biāo)記“18

3、”的矩形區(qū)域內(nèi)；邊長(zhǎng)為11,631的放在圖中標(biāo)記“116”的矩形區(qū)域內(nèi)；.6、定義：黃金梯形是指一條對(duì)角線能將自己分為兩個(gè)等腰三角形的等腰梯形，則黃金梯形的上下底（上底小于下底）比為多少？解析：等腰梯形內(nèi)接于圓，由托勒密定理得：22aabb251511022aaaabbbb或（舍）七寶自招1、菱形oabc中，obac、相交于00,kmxyyx，過(guò)點(diǎn)mc、，024x，求菱形oabc的面積最大值解析：直線的om斜率為00yx，由菱形對(duì)角線互相垂直可得：ac的斜率為00 xy0000:xacyxxyy令0y，所以222000000yxyxxxx，所以22000,0 xyax，220000,2xycy

4、x又因?yàn)閙c、在同一反比例函數(shù)上，所以222200000000002222xyyx yxyyxx所以22202000000033 22222xxysyxxxx所以2max3 2424 22s2、二次函數(shù)2yaxbxc，其圖像都在x軸及其上方，設(shè)212abcta，則t的最值為多少？解析：由已知2240400baabacac，所以2221221221133333bcbbbtaaaaa當(dāng)且僅當(dāng)11,336bcaa時(shí)，等號(hào)成立，令c趨于無(wú)窮，滿足條件，此時(shí)t趨于無(wú)窮，故t無(wú)最大值綜上：min23t，無(wú)最大值3、對(duì)于各數(shù)互不相同的數(shù)列123,ka aaa，若1,nmmnk aa，則,nmaa稱為一個(gè)逆序

5、，數(shù)列中逆序的總數(shù)稱為該數(shù)列的逆序數(shù)，如3,2,1中23， 則稱3,2為一個(gè)逆序， 同理3,1 , 2,1也為逆序，逆序數(shù)為213，現(xiàn)有一各數(shù)互不相同的數(shù)列123100,a a aa， 逆序數(shù)為k， 則該數(shù)列顛倒后得到的100991,aaa， 逆序數(shù)為多少？解析：:,iji j和, j i中恰有一個(gè)逆序所以123100,a a aa與100991,aaa，共有21004950c個(gè)逆序所以100991,aaa的逆序數(shù)為4950k4、已知實(shí)數(shù)t，使得231,2,3,nttttn都成立，求正整數(shù)n的最大值解析：依題意得：233312 2323,3434ttttt，一般有：1iiiti對(duì)1,2,3,i

6、n都成立， 題目要求找到最大的n，也就是， 在n大于某個(gè)數(shù)的時(shí)候，前面的不等式組會(huì)產(chǎn)生矛盾，換句話說(shuō)，應(yīng)當(dāng)存在兩個(gè)正整數(shù),m k，且mk，滿足1mkmk，此時(shí)1nk應(yīng)當(dāng)就是最大的如果2m，考慮22121kkkk，這個(gè)不等式左邊是指數(shù)型，右邊是二次型，所以在k大于某個(gè)數(shù)時(shí)， 必定成立，可以估一下6k即可，所以此時(shí)5n， 表明343412,23,34,45tttt，5556t，再寫下去后會(huì)產(chǎn)生矛盾，在考慮3m，要使得333131kkkk，這個(gè)不等式在5k時(shí)是成立的，即5363，所以4n，驗(yàn)證一下即可所以最大值是n4交附自招1、直線1234/ / / /llll，其中12,ll之間距離和34,ll之

7、間距離均為1，23,ll之間距離為2，正方形abcd的四個(gè)頂點(diǎn)分別在1234, ,l lll上，則_abcds解析：易證abebcfaas，所以13aebfbecf，所以1010abcdabs，2、設(shè)1xfxx，則1112399_99982ffffff解析：1xfxx，則111111111xxxfxfxxxxx所以：原式1 98983、設(shè)第n行第m個(gè)數(shù)為, n ma，滿足,1,1,1,11nn mnmnmaaaan，求12,11_a解析：因?yàn)?1,1111,112,1212,112,1111,1112,121111111121112132aaaaaaa，4、設(shè)1122,p xyq xy、，定義

8、pq的“xx距離”為1212xxyy，求下列情況中pq的“xx距離”的最小值 .（1）2,2pq，在1yx上；（2）2,2pq，在21yx上；（3）p在1yx上，q在21yx上；解析： （1）5（2）23（3）05、試用直尺、圓規(guī)在下圖中作出90acbcacb，的acb，其中a在線段a上，b在線段b上.解析：法一：第一步：如圖下左圖，過(guò)c向ba、分別作高交另一邊與點(diǎn)de、（de、分別為所在邊中點(diǎn)）第二步：作daceebcd、（左右兩側(cè)均可）第三步：聯(lián)結(jié)cacbab、（全取左側(cè)或者全取右側(cè)均可），abc為所求三角形。法二：第一步：過(guò)c作cdb于d第二步：如圖，在b上作decd第三步：過(guò)e作eab

9、交a于a第四步：聯(lián)結(jié)ca，以c為圓心ca為半徑畫弧交b于b，聯(lián)結(jié)ab，abc為所求三角形的正整數(shù)rst、 、，其中rst，使得222rsrtst解析：先證明：滿足兩兩互素的abc、 、有無(wú)窮多組（本源勾股數(shù)，2018 年交附也考了本源勾股數(shù)）取互素的兩數(shù)mn、，使22222amnbmncmn，此時(shí)abc、 、兩兩互素且222abc，由于互素的正整數(shù)組,m n有無(wú)窮多組，故存在無(wú)窮多組滿足的, ,a b c然后基于abc、 、構(gòu)造rst、 、不妨設(shè)abc，取rabsactbc，此時(shí)rst且rst、 、的最大公約數(shù)為1，此時(shí)2422rsa b c，2242rta b c，2224sta b c，故

10、222rsrtst7、矩形34abcdabbc，聯(lián)結(jié)ac，若以b為圓心，r為半徑的圓與線段acadcd，都有公共點(diǎn)，則r的取值范圍是 _解析：如圖，rbc時(shí)，和cd無(wú)交點(diǎn)rbc時(shí)，和ac無(wú)交點(diǎn)所以4rbc附加題：1、解關(guān)于x的方程11301aa xx解析：方程整理為：2211332011a xaaxxxx當(dāng)0a時(shí)，23203xx當(dāng)98a時(shí)，方程無(wú)解當(dāng)98a時(shí)，方程的解為32xa當(dāng)98a且0a時(shí)，方程的解為13982axa或23982axa6、我們知道存在無(wú)窮多組最大公約數(shù)為1 的正整數(shù)a、b、c使a2b2c2，求證：存在無(wú)窮多組最大公約數(shù)為12、 （1）如圖 1、求證：2aodacd（2）如圖 2、acbd，m是ab中點(diǎn)； 求證：emcd；2cdom解析： （1）聯(lián)結(jié)oc，則ocdodcoacoca，2aodacddaacd（2）延長(zhǎng)me交cd于f因?yàn)閙是ab中點(diǎn)，9