2020屆蘭州市高三年級(jí)一診理科數(shù)學(xué)試卷含答案

1、1 / 7 2020 年蘭州市高三診斷考試（理數(shù)）第 i 卷一、 選擇題（本大題共12 小題，每小題5 分，共 60 分）1.已知集合0,1,2,3,4,5a=，*2 ,bx xn nn=，則ab =（）. 0,2,4a. 2,4b. 1,3,5c. 1,2,3,4,5d2.已知復(fù)數(shù)522izi=+-，則z =（）. 5a.5b.13c. 13d3.已知非零向量,a b，給定:pr，使得ab=，:q abab+=+，則p是q的（）.a充分不必要條件.b必要不充分條件.c充要條件.d既不充分也不必要條件4.若21tan5722sincos1212tan2-=，則tan=（）.4a.3b.4c -

2、.3d -5.已知雙曲線()222210,0 xyabab-=的一條漸近線過(guò)點(diǎn)()2, 1-，則它的離心率是（）5.2a. 3b. 5c.2 3d6.已知集合46911,55555a=，從a中任選兩個(gè)角，其正弦值相等的概率是（）1.10a2.5b3.5c3.10d7.已知函數(shù)( )()2ln1fxx=+，且()0.20.2af=，()3log 4bf=，13log 3cf=，則, ,a b c的大小關(guān)系為（）.a abc.b cab.c cba.d bca8.近五年來(lái)某草場(chǎng)羊只數(shù)量與草場(chǎng)植被指數(shù)兩變量間的關(guān)系如表1 所示，繪制相應(yīng)的散點(diǎn)圖，如圖1 所示：2 / 7 -101030507000.

3、511.52羊只數(shù)量（萬(wàn)只）草場(chǎng)植被指數(shù)表 1 圖 1 根據(jù)表 1 及圖 1 得到以下判斷：羊只數(shù)量與草場(chǎng)植被指數(shù)成減函數(shù)關(guān)系；若利用這五組數(shù)據(jù)得到的兩變量間的相關(guān)系數(shù)為1r，去掉第一年數(shù)據(jù)后得到的相關(guān)系數(shù)為2r，則12rr；可以利用回歸直線方程，準(zhǔn)確地得到當(dāng)羊只數(shù)量為2 萬(wàn)只時(shí)草場(chǎng)植被指數(shù)。以上判斷中正確的個(gè)數(shù)是（）.0a.1b.2c.3d9.已知圓錐的頂點(diǎn)為a，高和底面圓的半徑相等，be是底面的一條直徑，點(diǎn)d為底面圓周上的一點(diǎn)，且60oabd =，則異面直線ab與de所成角的正弦值為（）3.2a2.2b3.3c1.3d10.已知函數(shù)( )()()sinsincos0fxxxx=+，若函數(shù)(

4、 )fx的圖象與直線1y =在()0,上有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則的范圍是（）1 3.,2 4a1 5.,2 4b5 3.,4 2c5 5.,4 2d11.已知點(diǎn)()4, 2m -，拋物線24xy=，f為拋物線的焦點(diǎn)，l為拋物線的準(zhǔn)線，p為拋物線上一點(diǎn)， 過(guò)p做pql，點(diǎn)q為垂足，過(guò)p做拋物線的切線1l，1l與l交于點(diǎn)r，則qrmr+的最小值為（）.12 5a+.25b. 17c.5d12.對(duì)于定義域?yàn)閐的函數(shù)( )yfx=，如果存在區(qū)間(),a bd ab滿足( )fx是,a b上的單調(diào)函數(shù)，且( )fx在區(qū)間,a b上的值域也為, a b，則稱(chēng)函數(shù)( )fx為區(qū)間,a b上的 “ 保值函數(shù) ”

5、，,a b為“ 保值區(qū)間 ” 。 根據(jù)此定義給出下列命題：函數(shù)( )22fxxx=-是0,1上的 “ 保值函數(shù) ” ； 若函數(shù)( )21xg x =-是,a b上的 “ 保值函數(shù) ” ，則1ab+=；對(duì)于函數(shù)( )2xh xx e=存在區(qū)間0,m，且1,12m，使函數(shù)( )h x為0,m上的 “ 保值函數(shù) ” ，其中所有真命題的序號(hào)為（）.a.b.c.d年份1 2 3 4 5 羊只數(shù)量（萬(wàn)只）1.4 0.9 0.75 0.6 0.3 草地植被指數(shù)1.1 4.3 15.6 31.3 49.7 3 / 7 第 ii 卷二、 填空題（本大題共4 小題，每小題5 分，共 20 分）13.已知函數(shù)( )

6、2 ,121,1xxfxxx=+，則23log2ff=_. 14.已知向量, a b滿足2b =，向量,a b夾角為120o，且()abb+，則向量ab+=_. 15.大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房，蜂房的結(jié)構(gòu)如圖所示，開(kāi)口為正六邊形abcdef，側(cè)棱aa、bb、cc、dd、ee、ff相互平行且與平面abcdef垂直，蜂房底部由三個(gè)全等的菱形構(gòu)成，瑞士數(shù)學(xué)家克尼格利用微積分的方法證明了蜂房的這種結(jié)構(gòu)是在相同容積下所用材料最省的，因此，有人說(shuō)蜜蜂比人類(lèi)更明白如何用數(shù)學(xué)方法設(shè)計(jì)自己的家園.英國(guó)數(shù)學(xué)家麥克勞 林 通 過(guò) 計(jì) 算 得 到109 2816ob c d =.已 知 一 個(gè) 蜂 房

7、中5 3bb =，2 6ab =，tan54 44082o=，則此蜂房的表面積是_. 16.在abc中，, ,a b c分別為角,a b c所對(duì)的邊，已知7,5,3abc=，點(diǎn)i是abc的內(nèi)心，則ib =_. 三、解答題17.（本小題滿分12 分）在等差數(shù)列na中，18a = -，243aa=. （1）求數(shù)列na的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)()()*414nnbnnna=+，nt為數(shù)列nb的前n項(xiàng)和，若1715nt =，求n的值 . 4 / 7 18.（本小題滿分12 分）如圖，在四棱錐pabcd-中，底面abcd為平行四邊形， 點(diǎn)p在面abcd內(nèi)的射影為a，1paab=，點(diǎn)a到平面pbc的距離為33

8、，且直線ac與pb垂直 . （1）在棱pd上找一點(diǎn)e，使直線pb與平面ace平行，并說(shuō)明理由；（2）在（ 1）的條件下，求二面角bace-的大小 . 19.（本小題滿分12 分）甘肅省是土地荒漠化較為嚴(yán)重的省份，一代代治沙人為了固沙、治沙，改善生態(tài)環(huán)境，不斷地進(jìn)行研究與實(shí)踐， 實(shí)現(xiàn)了沙退人進(jìn).2019 年， 古浪縣八步沙林場(chǎng)“ 六老漢 ” 三代人治沙群體作為優(yōu)秀代表，被中宣部授予“ 時(shí)代楷模 ” 稱(chēng)號(hào)， 在治沙過(guò)程中為檢測(cè)某種固沙方法的效果，治沙人在某一實(shí)驗(yàn)沙丘的坡頂和坡腰各布設(shè)了50個(gè)風(fēng)蝕插釬，以測(cè)量風(fēng)蝕值.（風(fēng)蝕值是測(cè)量固沙效果的指標(biāo)之一，數(shù)值越小表示該插釬處被風(fēng)吹走的沙層厚度越小，說(shuō)明固

9、沙效果越好，數(shù)值為0 表示該插釬處沒(méi)有被風(fēng)蝕）.通過(guò)一段時(shí)間的觀測(cè)，治沙人記錄了坡頂和坡腰全部插釬測(cè)得的風(fēng)蝕值（所測(cè)數(shù)據(jù)均不為整數(shù)），并繪制了相應(yīng)的頻率分布直方圖. （1）根據(jù)直方圖估計(jì)“ 坡腰處一個(gè)插釬風(fēng)蝕值小于30” 的概率；5 / 7 （2）若一個(gè)插釬的風(fēng)蝕值小于30，則該數(shù)據(jù)要標(biāo)記“ * ” ，否則不標(biāo)記 .根據(jù)以上直方圖，完成列聯(lián)表：標(biāo)記不標(biāo)記合計(jì)坡腰坡頂合計(jì)并判斷是否有95%的把握認(rèn)為數(shù)據(jù)標(biāo)記“ * ” 與沙丘上插釬所布設(shè)的位置有關(guān)？（3）坡頂和坡腰的平均風(fēng)蝕值分別為1x和2x，若1220 xxcm-，則可認(rèn)為此固沙方法在坡頂和坡腰的固沙效果存在差異，試根據(jù)直方圖計(jì)算1x和2x（同

10、一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表），并判斷該固沙效果方法在坡頂和坡腰的固沙效果是否存在差異. 附：()()()()()22n adbckabcdacbd-=+，20.（本小題滿分12 分）已知點(diǎn)f為橢圓()222210,0 xyabab+=的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)a為橢圓的右頂點(diǎn)，點(diǎn)b為橢圓的下頂點(diǎn)，橢圓上任意一點(diǎn)到點(diǎn)f距離的最大值為3，最小值為1. （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若,m n在橢圓上但不在坐標(biāo)軸上，且直線am/ /直線bn，直線an、bm的斜率分別為1k和2k，求證：2121kke=-（e為橢圓的離心率）. ()2p kk0.050 0.010 0.001 k3.841 6.635

11、10.828 6 / 7 21.（本小題滿分12 分）已知函數(shù)( )2112 3ln22fxxaxx=-+（ar且0a）. （1）當(dāng)2 3a =時(shí)，求曲線( )yfx=在點(diǎn)( )()1,1f處的切線方程；（2）討論函數(shù)( )fx的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間；（3）若( )yfx=有兩個(gè)極值點(diǎn)12,x x，證明：( )( )129lnfxfxa+-. 22.【選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】 （本小題滿分10 分）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線l的參數(shù)方程為212222xtyt= -=+（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)o為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線1c的極坐標(biāo)方程為2 2cos4=+，曲線2c的直

12、角坐標(biāo)方程為24yx=-. （1）若直線l與曲線1c交于,mn兩點(diǎn)，求線段mn的長(zhǎng)度；（2）若直線l與x軸，y軸分別交于,a b兩點(diǎn)，點(diǎn)p在曲線2c上，求ab ap的取值范圍 . 7 / 7 23. 【選修 4-5：不等式選講】 （本小題滿分10 分）已知函數(shù)( )122fxxx=-+，( )22g xxxaa=+-+. （1）求不等式( )4fx的解集；（2）對(duì)1xr，2xr，使得( )( )12fxg x成立，求a的取值范圍 . 2020年高三診斷考試試題答案數(shù) 學(xué)（理科）1b2 a3b4c5 a6b7d8b9a10c1112d11 【解析】設(shè)200(,)4xp x，則過(guò) p 的切線斜率為

13、02xk =，q 點(diǎn)坐標(biāo)為0(, 1)x -02fqkx= -1fqkk = -根據(jù)拋物線定義pfpq=1l為 fq 的垂直平分線rfrq=5qr + mr = frmrfm+3=故選 d.12 【解析】由 “ 保值函數(shù) ” 定義可知）（xf為區(qū)間ba,上的 “ 保值函數(shù) ” 則）（xf在ba,上是單調(diào)函數(shù)且在區(qū)間ba,時(shí)其值域也為ba,，那么當(dāng)函數(shù)）（xf為增函數(shù)時(shí)滿足條件xfx= （ ）在ba,上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解ba,的函數(shù)）（xf就是 “ 保值函數(shù) ” ，命題中xxxf2)(2-，雖滿足在10，上單調(diào)但值域?yàn)?1 ，不是10，故為假命題；中由1-）（xxg2的圖象可知其為區(qū)間10，上的

14、 “ 保值函數(shù) ” 故為真命題；中xexxh2）（則由mxxexhx，在）（）（0022成立，所以）（xh為m，0上的增函數(shù)，再由xexx2解得有兩個(gè)根2211,0 xexx，構(gòu)造函數(shù)xexxk-）（1，易知01,021）（）（kk，由零點(diǎn)存在性定理知存在xexmxx22121），使，（成立，故為真命題 .綜上所有真命題的序號(hào)為，答案為d.1341461521621615 【解析】連接dbbd、，則/dbbd，26dbbddcob為菱形，2 084454tan, 1628109dcb62232 084454tan212dboc33cb3422bccbbbcc2272)3435(62ccbbs梯

15、形722162662132276表s.16 【解析】由余弦定理得120a，1413cosc,故2812sinc.3029022acb,得150bic,在bic中，由正弦定理得72sin14cib.17 【解析】（）設(shè)等差數(shù)列na的公差是d，由4213,8aaa得：)38(38dd解得2d，所以nan210.6 分（）設(shè)211)42(4)14(4nnnnanbnn，51172111211nntn得到4n.12 分18 【解析】（）點(diǎn)e為pd中點(diǎn)時(shí)直線pb與平面ace平行 .證明：連接bd，交ac于點(diǎn)o,則點(diǎn)o為bd的中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)e為pd中點(diǎn)，故oe為pdb的 中位 線 ，則pboe /,oe平

16、面ace,pb平 面ace, 所 以pb與 平 面ace平行.5 分（）根據(jù)題意pbac，pa底面abcd,ac底面abcd，則有paac，ppbpa,所以ac平面pab,設(shè)xac，3321221311121312xxvvpbcaacbp，得1ac法一：由（）可知pboe /，又pbac，所以acoe，ac平面pab，ab平面pab,所以acab，如圖二面角為鈍角，那么aboe，所成的角即為二面角eacb的補(bǔ)角，4pba,pboe /，所以aboe，所成的角為4，因此二面角eacb的大小為43.12 分cabpdeo法二：以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，ab，ac，ap分別為zyx,軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則

17、)21,21,21(),1 ,0 ,0(),0 , 1 , 1(),0 ,1 ,0(),0 ,0 , 1(),0, 0, 0(epdcba顯然平面abc的法向量是)1 ,0,0(ap設(shè)平面ace的一個(gè)法向量n=）（zyx,)0, 1 ,0(),21,21,21(acae則00acnaen即00212121yzyx，令1x，得 n=），（101，設(shè)二面角eacb的大小為，則22,coscosnapnapnap如圖二面角為鈍角，因此二面角eacb的大小為43.12 分19 【解析】（）設(shè) “ 坡腰處一個(gè)插釬風(fēng)蝕值小于30” 為事件 c()0.80.160.360.6p c ?+=.2 分（）完成列

18、聯(lián)表如下：標(biāo)記不標(biāo)記合計(jì)坡腰302050坡頂203050合計(jì)5050100根據(jù)列聯(lián)表，計(jì)算得：841.3450505050)20203030(10022k所以有 95%的把握認(rèn)為， 數(shù)據(jù)標(biāo)記 “*”與沙丘上插釬所布設(shè)的位置有關(guān).7 分（）10.0850.16 150.36250.24350.12450.045527.8()xcm= +=20.0450.12150.24250.32350.20450.085532.6()xcm= +=1220 xx-該固沙方法在坡頂和坡腰的固沙效果沒(méi)有差異.12 分20 【解析】cabpdexyz（）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：22143xy+=.4 分（）由可知(2,0

19、),(0,3)ab-，設(shè) am 的斜率為k，則 bn 斜率也為k故直線 am 的方程為(2)yk x=-，直線 bn 的方程為3ykx=-由223412(2)xyyk x+=?=-?得22234(2)12xkx+-=，即2222(34)1616120kxk xk+-+-=解得2x =或2281634kxk-=+22281612()3434kkmkk-+，由2234123xyykx+=?=-?得2234(3)12xkx+-=，即22(34)8 30kxkx+-=解得0 x =或28 334kxk=+2228 34 33 3()3434kknkk-+，2221222222224 33 33(43)

20、348 32(44 33)2341233(44 33)34862(43)34kkkkkkkkkkkkkkkk-+=-+-+-+-+=-+212314kke = -=-.12 分21 【解析】()因?yàn)?2a時(shí)，,2121ln32322xxxxf）（所以，xxxf3232）（那 么32111）（，）（ff， 所 以 曲 線）（xf在）（，（11f處 的 切 線 方 程 為 ：），（1132xy即：0132yx.4分（）由題可知函數(shù)）（xf的定義域?yàn)椋?因?yàn)?32322xaxxxxaxf-）（由0322axx可得 :當(dāng)0412a即3a時(shí),有2121,33,33xxaxax又當(dāng))3 ,0(a時(shí)，滿足0

21、21xx,所以有, 0,012）（）時(shí)）和（，（xfxxx即）上）和（，）在（,012xxxf為減函數(shù) ;,0,12）（）時(shí)（xfxxx即）上，）在（12xxxf為增函數(shù) .0,0021xxa時(shí)，有當(dāng),）（）（）時(shí)，（則xfxfxx,001為增函數(shù) ,)(,0,1xfxfxx）（）時(shí)（為減函數(shù) ;當(dāng)003）（，時(shí)，xfa恒成立，所以），）在（0 xf為減函數(shù)綜上可知：時(shí)當(dāng)0a，在），（a330上，）（xf為增函數(shù)，在）（,33a上，）（xf為減函數(shù)；當(dāng)30a時(shí)，在）和（，（,33330aa上，）（xf為減函數(shù)，在）（aa33,33上，）（xf為增函數(shù)；當(dāng)3a時(shí)，在），（0上，）（xf為減函數(shù) . .8分（）因?yàn)椋▁fy有兩個(gè)極值點(diǎn)，21xx則0322xaxxxf）（有兩個(gè)正根，21xx則有，0,32,04122121axxxxa即），（30a,所以7ln121ln322221212121aaaxxxxaxxxfxf）（）（）（）（）（若要，）（）（axfxfln921即要02lnlnaaaa構(gòu)造函數(shù) :