2020屆山東省德州市夏津第一中學(xué)高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、第 1 頁 共 16 頁2020 屆山東省德州市夏津第一中學(xué)高三上學(xué)期12 月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1 已知集合260ax xx， 集合1by yx， 則rabie（） a1,3b1,3c3,d3,【答案】 c 【解析】 求出a中不等式的解集確定出a，及b中x的范圍確定出b， 確定出集合a的補(bǔ)集再求出rabie即可 . 【詳解】因?yàn)榧?6023ax xxxx，則, 23,rae，又10by yxy y，所以3,rabie. 故選：c. 【點(diǎn)睛】此題考查了交集、補(bǔ)集及其運(yùn)算, 熟練掌握交集、補(bǔ)集的定義是解本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題 . 2若復(fù)數(shù)2i1iaar為純虛數(shù)，則1i a（） a2b2 c5

2、d5【答案】 d 【解析】 把給出的復(fù)數(shù)化簡, 然后由實(shí)部等于0 ，虛部不等于0 求解a的值，最后代入模的公式求模. 【詳解】由2(2 )(1)(2)(2)1(1)(1)2aiaiiaaiiii，因?yàn)閺?fù)數(shù)2()1aiari為純虛數(shù)，第 2 頁 共 16 頁202202aa，解得2a, 所以221i12125ai故選 :d. 3下列不等式正確的是（）a30.23log 0.20.23b0.233log 0.230.2c30.230.2log 0.23d0.2333log 0.20.2【答案】 a 4已知函數(shù)fx是定義在4,00,4上的奇函數(shù)，當(dāng)0,4x時(shí)，fx的圖象如圖所示，那么滿足不等式31x

3、fx的x的取值范圍是（） a1, 22,1ub4, 20,1uc4, 22,4ud1,02,4u【答案】 b 5已知1cos33，則7sin26（） a13b13c79d79【答案】 d 6數(shù)列na，nb滿足111ab，112nnnnbaab，nn，則數(shù)列nab的前n項(xiàng)和為（） a14413nb4413nc11413nd1413n第 3 頁 共 16 頁【答案】 d 7第七屆世界軍人運(yùn)動會于2019 年 10 月 18 日在武漢舉行， 現(xiàn)有a，b，c，d，e5名志愿者分配到甲，乙，丙三個(gè)體育館參加志愿者活動，每個(gè)體育館至少安排一人且a和b是同學(xué)需分配到同一體育館，則甲體育館恰好安排了1 人的概

4、率是（） a12b13c14d15【答案】 a 8設(shè)拋物線22yx的焦點(diǎn)為f，過點(diǎn)( 3 0)m，的直線與拋物線相交于a，b兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)c，2bf，則bcfv與acfv的面積之比bcfacfssvv等于（）a45b23c47d12【答案】 a 二、多選題9定義新運(yùn)算，當(dāng)ab時(shí)，aba；當(dāng)ab時(shí)，2abb，則函數(shù)12fxx xx，2,2x的值可以等于（） a6b1 c6 d4【答案】 bcd 10已知兩條直線l，m及三個(gè)平面，則的充分條件是（） al，lbl，m，lmc，pdl，m，lm【答案】 abc 11已知函數(shù)sinfxax（其中0a，0，0的部分圖象，則下列結(jié)論正確的是（

5、） 第 4 頁 共 16 頁a函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線2x對稱b函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(diǎn),012對稱c函數(shù)fx在區(qū)間 ,3 6上單調(diào)增d函數(shù)1y與231212yfxx的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為83【答案】 bcd 12已知函數(shù)2logfxx，下列四個(gè)命題正確的是（） a函數(shù)fx為偶函數(shù)b若f af b，其中0a，0b， ab1，則1abc函數(shù)22fxx在1,3上為單調(diào)遞增函數(shù)d若01a，則11fafa【答案】 abd 三、填空題13已知向量3, 2 ,1abmrr若向量2/ /abbrrr，則m_【答案】3214某海域中有一個(gè)小島b（如圖所示） ，其周圍3.8 海里內(nèi)布滿暗礁（3.8 海里及以外

6、無暗礁） ，一大型漁船從該海域的a處出發(fā)由西向東直線航行，在a處望見小島b位于北偏東75，漁船繼續(xù)航行8 海里到達(dá)c處，此時(shí)望見小島b位于北偏東60，若漁船不改變航向繼續(xù)前進(jìn)，試問漁船有沒有觸礁的危險(xiǎn)？答：_.（填寫“有”、“無”、“無法判斷”三者之一）【答案】 無15如圖，在三棱錐sabc中，若底面abc是正三角形，側(cè)棱長第 5 頁 共 16 頁3sasbsc，m、n分別為棱sc、bc的中點(diǎn)，并且ammn，則異面直線mn與ac所成角為 _；三棱錐sabc的外接球的體積為_【答案】292【解析】 根據(jù)題意得出三棱錐是正三棱錐，易證出ac平面sbe，再根據(jù)mnsbp，可得mnac，從而得出異面直

7、線mn與ac所成角；判斷出三棱錐是正方體的一部分，從而得出球的直徑，即可得出球的體積. 【詳解】由三棱錐sabc中，若底面abc是正三角形， 側(cè)棱長3sasbsc知，三棱錐sabc是正三棱錐，則點(diǎn)s在底面abc中的投影為底面的中心o，e為ac中點(diǎn)如圖，因此,sobeosoac acbe, 所以ac平面sbe,sb平面sbe, sbac, 又m、n分別為棱sc、bc的中點(diǎn)，則mnsbp, 因此mnac，異面直線mn與ac所成角為2；,mnac,amammnacaqi, mn平面sac, 又mnsbp，則sb平面sac, 又三棱錐sabc是正三棱錐，因此三棱錐sabc可以看成正方體的一部分且,s

8、a b c為正方體的四個(gè)頂點(diǎn)，故球的直徑為2223333，則球的體積為3439322. 第 6 頁 共 16 頁故答案為：2；92. 【點(diǎn)睛】本題主要考查的是異面直線所成角，線面垂直的判定定理，以及球的體積，考查學(xué)生的理解能力，是中檔題. 16已知雙曲線c：22221(0,0)xyabab的右焦點(diǎn)為f，左頂點(diǎn)為a，以f為圓心，fa為半徑的圓交c的右支于m，n兩點(diǎn)，且線段am的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)n，則c的離心率為 _.【答案】43【解析】 先證明amn是正三角形，在mff中，由余弦定理、結(jié)合雙曲線的定義可得2222|2| cos120(| 2 )fffmfffmf mfma，化為22340caca

9、，從而可得結(jié)果. 【詳解】由題意，得(,0),0aaf c，另一個(gè)焦點(diǎn),0fc，由對稱性知，aman ，又因?yàn)榫€段am的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)n， ，則anmn，可得amn是正三角形，如圖所示，連接mf，則afmfac，由圖象的對稱性可知，1302mafnafman，又因?yàn)閍mf是等腰三角形，則120afm，在mff中，由余弦定理：2222|2|cos120(| 2 )fffmfffmf mfma，第 7 頁 共 16 頁上式可化為22214()22 ()(3)2cacc acac，整理得：22340caca，即34=0caca，由于0,0ac，則4340,3caca，故43cea，故答案為43.

10、【點(diǎn)睛】本題主要考查利用雙曲線的簡單性質(zhì)求雙曲線的離心率，屬于中檔題. 求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系. 求離心率問題應(yīng)先將e用有關(guān)的一些量表示出來，再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于e的等式，從而求出e的值 . 本題是利用點(diǎn)到直線的距離等于圓半徑構(gòu)造出關(guān)于e的等式，最后解出e的值 . 四、解答題17已知函數(shù)sin( )2xf x，將函數(shù)( )yf x的圖像上每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，再將圖像上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12，然后向左平

11、移6個(gè)單位，再向上平移32個(gè)單位，得到( )yg x的圖像 .（ 1）當(dāng)0,2x時(shí)，求( )g x的值域；（ 2） 已知銳角abc的內(nèi)角a、b、c的對邊分別為a、b、c， 若3()4f a，4a，5bc，求abc的面積 .【答案】（ 1）30,12； （2）3 34【解析】（ 1）現(xiàn)根據(jù)平移法則求得( )g x，再求( )g x值域即可；（ 2）由3( )4f a求得a，再結(jié)合正弦的面積公式，余弦定理聯(lián)立求解，即可求得面積 . 第 8 頁 共 16 頁【詳解】（ 1）sin( )2xf x，將函數(shù)( )yf x的圖像上每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2 倍，得( )sinf xx；再將圖像上每個(gè)點(diǎn)的

12、橫坐標(biāo)縮短到原來的12，得到( )sin2f xx；然后向左平移6個(gè)單位，得到( )sin23f xx；再向上平移32個(gè)單位，得到( )sin 2332g xx，當(dāng)0,2x，42,333x，3sin2,132x，33( )sin 20,2213g xx（ 2）sin3( )243af aa或23（由題意三角形為銳角三角形，故舍去23） ，1sin2abcsbca，222222cos22bcbcabcaabcbc，又4a，5bc，代入得bc=3, 則3 34abcs【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡、值域求解，三角函數(shù)圖像平移法則，正弦定理余弦定理結(jié)合求面積，屬于基礎(chǔ)題18已知na是各項(xiàng)為正數(shù)的等差

13、數(shù)列，公差為d，對任意的nn，nb是na和1na的等比中項(xiàng)（ 1）設(shè)221nnncbb，nn，求證：nc是等差數(shù)列；（ 2）若112a，1d，211nndncn，（）求數(shù)列21nnb的前2n項(xiàng)和2ns；（）求數(shù)列nd的前n項(xiàng)和nt【答案】（ 1）證明見解析(2) （）22nn（）41nn【解析】 (1) 根據(jù)等差數(shù)列定義即可證明；(2)( ) 求出數(shù)列nc的通項(xiàng)，再利用并項(xiàng)求和即可得出2ns； （）求出數(shù)列nd的第 9 頁 共 16 頁通項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)求和即可得出nt. 【詳解】（ 1）證明：nb是na和1na的等比中項(xiàng)，21nnnbaa，2211211212nnnnnnnnnnncbbaaa

14、aaaad a，122nncda，212122nnnnccd aad，nn，所以nc是等差數(shù)列（ 2）由（ 1）可得22222221234212nnnsbbbbbbl2222222143221nnbbbbbbl1321ncccl，（）知21ncn，數(shù)列21nnb的前2n項(xiàng)和2ns；22132134122nnnscccnnnl（）因?yàn)?1ncn，211nndncn，221111111444141211ndnnn nnnn，11111111111142233414141nntnnnnl. 【點(diǎn)睛】本題主要考查等差定義的應(yīng)用，等差數(shù)列通項(xiàng)公式，數(shù)列求和的并項(xiàng)求和、裂項(xiàng)求和的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，

15、是中檔題. 19如圖所示，等腰梯形abcd中，abcd，2adabbc，4cd，e為cd中點(diǎn)，ae與bd交于點(diǎn)o， 將adev沿ae折起，使點(diǎn)d到達(dá)點(diǎn)p的位置（p平面abce） 第 10 頁 共 16 頁（ 1）證明：平面pob平面abce；（ 2）若6pb，試判斷線段pb上是否存在一點(diǎn)q（不含端點(diǎn)） ，使得直線pc與平面aeq所成角的正弦值為155，若存在，求出pqob的值；若不存在，說明理由【答案】（ 1）證明見解析（2）存在，155【解析】 (1) 先利用線面垂直的判定定理證明ae平面pob，再利用面面垂直證明面pob平面abce即可；(2) 建立空間直角坐標(biāo)系求出平面aeq的法向量，再

16、利用向量所成角的關(guān)系式求出直線pc與平面aeq所成角的正弦值，建立關(guān)系式，即可得出pqob的值 . 【詳解】（ 1）證明：連接be，在等腰梯形中abcd，2adabbc，4cd，e為中點(diǎn)，四邊形abed為菱形，bdae，obae，odae，即obae，opae，且obopoi，ob平面pob，op平面pob，ae 平面pob又ae平面abce，平面pob平面abce（ 2）由（ 1）可知四邊形abed為菱形，2adde，在等腰梯形abcd中2aebc，pae正三角形，3op，同理3ob，6pb，222opobpb，opob由（ 1）可知opae，obae，以o為原點(diǎn)，oeuuu r，obuuu

17、 r，opuuu r分別為x軸，y軸， 為 z 軸， 建立空間直角坐標(biāo)系oxyz，由題意得，各點(diǎn)坐標(biāo)為0,0,3p，1,0,0a，0, 3,0b，2,3,0c，1,0,0e，第 11 頁 共 16 頁0,3,3pbuuu r，2,3,3pcuuu r，2,0,0aeuuu r，設(shè)01pqpbuuu ruuu r，1,3 ,33aqappqappbuu u ruuu ruuu ruuu ruu u r，設(shè)平面aeq的一個(gè)法向量為,nx y zr，則00n aen aquuu vruuu vr，即203330 xxy，取0 x，1y，得1z，0,1,1nr，設(shè)直線pc與平面aeq所成角為，0,2，

18、則15sincos,5pc npc npc nuu u rruuu rru uu rr，即233151510 11，化簡得：24410，解得12，存在點(diǎn)q為pb的中點(diǎn)時(shí)，使直線pc與平面aeq所成角的正弦值為155【點(diǎn)睛】本題主要考查的是線面垂直和面面垂直的證明，以及利用空間向量法求線面所成角，考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，同時(shí)考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題. 202019 年 6月 25 日， 固體廢物污染環(huán)境防治法（修訂草案）初次提請全國人大常委會審議，草案對“生活垃圾污染環(huán)境的防治”進(jìn)行了專章規(guī)定草案提出，國家推行生活垃圾分類制度為了了解人民群眾對垃圾分類的認(rèn)識，某市環(huán)保部門對該市市

19、民進(jìn)行了一次垃圾分類網(wǎng)絡(luò)知識問卷調(diào)查，每一位市民僅有一次參加機(jī)會，通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的1000 人的得分（滿分：100 分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：得分30,4040,5050,6060,7070,8080,9090,100第 12 頁 共 16 頁頻數(shù)2515020025022510050（ 1）由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分z服從正態(tài)分布,210n，近似為這 1000 人得分的平均值 （同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表），請利用正態(tài)分布的知識求3679.5pz；（ 2）在（ 1）的條件下，市環(huán)保部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：得分不低于“的可以獲贈2

20、 次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于的可以獲贈1 次隨機(jī)話費(fèi)；每次獲贈的隨機(jī)話費(fèi)和對應(yīng)的概率為：獲贈的隨機(jī)話費(fèi)（單位：元）2040概率2313現(xiàn)市民小王要參加此次問卷調(diào)查，記x（單位：元）為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費(fèi)，求x的分布列及數(shù)學(xué)期望附：21014.5；若2,xn:，則0.6826px，220.9545px，330.9974px，【答案】（ 1）0.8186（2）分布列見解析,40【解析】 (1) 先求出，再根據(jù)正態(tài)分布的知識求出3679.5pz即可；(2) 先求出x的所有可能情況20,40,60,80元，再求x的的分布列及數(shù)學(xué)期望即可. 【詳解】（ 1）根據(jù)題中所給的統(tǒng)計(jì)表，結(jié)合題中所給的條件，可

21、以求得35 0.02545 0.1555 0.265 0.2575 0.22585 0.195 0.050.8756.751116.2516.8758.565；又36652 210，79.565210，所以113679.50.95450.68260.818622pz（ 2）根據(jù)題意可以得出所得話費(fèi)的可能值有20，40，60，80 元，得 20 元的情況為低于平均值，概率121233p，第 13 頁 共 16 頁得 40 元的情況有一次機(jī)會獲得40 元，兩次機(jī)會獲得2 個(gè) 20 元，概率1112272323318p，得 60 元的情況為兩次機(jī)會，一次40 元，一次20 元，概率121222339

22、p，得 80 元的情況為兩次機(jī)會，都是40 元，概率111123318p，所以變量x的分布列為：x20 40 60 80 p1371829118所以其期望為17212040608040318918ex【點(diǎn)睛】本題主要考查的是正態(tài)分布的知識及離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望問題， 綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生的分析問題能力，是中檔題. 21已知橢圓2222:10 xycabab，四點(diǎn)11,1p，20,1p，331,2p，431,2p，恰有三點(diǎn)在橢圓c上（ 1）求c的方程；（ 2）設(shè)1f、2f為橢圓c在左、右焦點(diǎn)，p是橢圓在第一象限上一點(diǎn)，滿足1254pfpfuuu r uu u u r，求abcv面積的最

23、大值【答案】（ 1）2214xy（2）1 【解析】 (1) 根據(jù)橢圓的對稱性，得到234,p p p三點(diǎn)在橢圓上，把23,pp代入橢圓，即可求出橢圓方程；(2) 由1254pfpfuuu r uuu u r可得p點(diǎn)坐標(biāo)， 設(shè)出直線方程， 代入橢圓方程 , 利用韋達(dá)定理及弦長公式可得ab，由點(diǎn)到直線的距離公式可得三角形的高, 由三角形面積公式及基本不等式可得結(jié)論. 【詳解】第 14 頁 共 16 頁（ 1）橢圓2222:10 xycabab，四點(diǎn)11,1p、20,1p、331,2p、431,2p結(jié)合橢圓幾何特征，可得20,1p、331,2p、431,2p在橢圓上，所以1b，22232111a，解

24、得2a，橢圓c的方程為2214xy（ 2）由橢圓的方程可知：13,0f，23,0f，,0,0p x yxy，13,uuu rpfxy，23,u uu u rpfxy，由221253,3,34pfpfxyxyxyuuu r uu u u r，即2274xy，由22227414xyxy，解得132xy，則p點(diǎn)坐標(biāo)為31,2，設(shè)直線l的方程為32yxm，223214yxmxy，整理得22310 xmxm，由得22m，則123xxm，2121x xm，2744abm，74md，2142pabsmm，22211441222pabmmsmm當(dāng)且僅當(dāng)224mm，即2m時(shí)，取等號，pab面積的最大值1【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的性質(zhì)，以及直線與橢圓的位置關(guān)系、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公第 15 頁 共 16 頁式及基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是難題. 22已知函數(shù)11lnfxxmxmrxx（ 1）當(dāng)1m時(shí)，討論fx的單調(diào)性；（ 2） 設(shè)函數(shù)1mg xfxx， 若存在不相等的實(shí)數(shù)1x，2x， 使得12g xg x，證明：120mxx【答案】（ 1）見解析；（2）詳見解析 . 【解析】（ 1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得2(1)(1)( )xxmfxx，再對m分三種情況進(jìn)行討論；（ 2）先求出1( )( )lnmg xf xxmxx，再對( )g x