整式的乘除與因式分解知識點及題型匯編

1、整式的乘除及因式分解知識點及題型匯編 同底數(shù)冪的乘法【知識盤點】若m、n均為正整數(shù)，則am·an=_，即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)_，指數(shù)_【應(yīng)用拓展】1計算：（1）64×（6）5 （2）a4（a）4（3）x5·x3·（x）4 （4）（xy）5·（xy）6·（xy）72計算：（1）（b）2·（b）3+b·（b）4 （2）a·a6+a2·a5+a3·a4（3）x3mn·x2m3n·xnm（4）（2）·（2）2·（2）3··（2）1007

2、已知ax=2，ay=3，求ax+y的值8已知4·2a·2a+1=29，且2a+b=8，求ab的值積的乘方【知識盤點】積的乘方法則用字母表示就是：當(dāng)n為正整數(shù)時，（ab）n=_【應(yīng)用拓展】1計算： （1）（2×103）3 （2）（x2）n·xmn （3）a2·（a）2·（2a2）3（4）（2a4）3+a6·a6 （5）（2xy2）2（3xy2）22先完成以下填空： （1）26×56=（ ）6=10( ) （2）410×2510=（ ）10=10( ) 你能借鑒以上方法計算下列各題嗎？（3）（8）10

3、5;0.12510（4）0.252019×42019（5）（9）5·（）5·（）53已知xn=2，yn=3，求（x2y）2n的值4一個立方體棱長為2×103厘米，求它的表面積（結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示）【綜合提高】10觀察下列等式： 13=12； 13+23=32； 13+23+33=62； 13+23+33+43=102； （1）請你寫出第5個式子：_ （2）請你寫出第10個式子：_ （3）你能用字母表示所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？試一試!冪的乘方【知識盤點】若m、n均為正整數(shù)，則（am）n=_，即冪的乘方，底數(shù)_，指數(shù)_【應(yīng)用拓展】1計算：（1）（y2a+1）2 （

4、2）（5）3 4（54）3 （3）（ab）（ab）2 52計算：（1）（a2）5·aa11 （2）（x6）2+x10·x2+2（x）3 48用冪的形式表示結(jié)果： （1）（23）2=_； （22）3=_； （2）（35）7=_； （37）5=_； （3）（53）4=_； （54）3=_你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？用式子表示出來同底數(shù)冪的除法知識點：1. 同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減： 底數(shù)a可以是一個具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式。強調(diào)a0的必要性2、a0=1(a0)練習(xí)：一、填空題1.計算：=，=.2.在橫線上填入適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式：，.3.計算： = ， =4.計算：=.5.計算：

5、_二、解答題1.計算：1、； 2、；3、； 4、.2.計算：1、； 2、； 3、 ； 4、.3.地球上的所有植物每年能提供人類大約大卡的能量，若每人每年要消耗大卡的植物能量，試問地球能養(yǎng)活多少人？4.觀察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，則89的個位數(shù)字是（ ）A.2 ； B4； C8； D6.5.如果，則=.6. 解方程：（1）； （2）.7. 已知,求的值.8.已知,求(1)；(2).零指數(shù)冪及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪知識點：1、零指數(shù)冪任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于1.零的零次冪沒有意義！”50=1，100=1，a0=1（a0）:

6、2.負(fù)整數(shù)指數(shù)冪任何不等于零的數(shù)的n （n為正整數(shù)）次冪，等于這個數(shù)的n 次冪的倒數(shù).例題（1）3-2（2）計算：（1）（-0.1）0；（2）；（3）2-2；（4）.知識點：科學(xué)記數(shù)法科學(xué)計數(shù)法：把一個數(shù)記作a×10n形式（其中1 a 10，n為正整數(shù)。）將一個數(shù)用科學(xué)計數(shù)法表示的時候，10的指數(shù)比原數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1，例如原數(shù)有6位，則10的指數(shù)為5。確定a值的時候，一定要注意a的范圍1 a 10。將一個用科學(xué)計數(shù)法表示的數(shù)寫出原數(shù)的時候，10n=1000（共有n個0）即a×10n= a×1000（共有n個0）1、3.65×10175是位數(shù)，0

7、.12×1010是位數(shù)；2、把3900000用科學(xué)記數(shù)法表示為，把1020000用科學(xué)記數(shù)法表示為；3、用科學(xué)記數(shù)法記出的數(shù)5.16×104的原數(shù)是，2.236×108的原數(shù)是；4、比較大小：3.01×104 9.5×103；3.01×104 3.10×104；5、地球的赤道半徑是6371千米， 用科學(xué)記數(shù)法記為千米22、已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，求 的值.（4分）23、已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的絕對值為2，求的值.（4分） 24、若， 求的值. （4分）單項式的乘法知識點一、單項式及單項式相乘單

8、項式相乘，把它們的系數(shù)相乘，字母部分的同底數(shù)冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個因式?；A(chǔ)鞏固1. (2a4b2)(3a)2的結(jié)果是( ) A.18a6b2 B.18a6b2C.6a5b2D.6a5b22.若(am+1bn+2)·(a2n1b2m)=a5b3,則m+n等于( ) A.1B.2 C.3D.3 3.式子( )·(3a2b)=12a5b2c成立時，括號內(nèi)應(yīng)填上( ) A.4a3bcB.36a3bcC.4a3bcD.36a3bc4.下面的計算正確的是( )Aa2·a4a8 B(2a2)36a6 C(an1)2a2n1 Dan

9、·a·an1a2n5. 3x3y·2x2y2am1·a2m6. 3x3y(5x3y2)=_ (a2b3c)·(ab)=_ 5×108·(3×102)=_ 3xy(2x)3·(y2)2=_ ym1·3y2m1=_ 4m(m2+3n+1)=_;(y22y5)·(2y)=_ 5x3(x2+2x1)=_;7. 計算：(1)(2xy2)·(xy); (2)(2a2b3)·(3a);(3)(4×105)·(5×104); (4)(3a2b3)2&#

10、183;(a3b2)5;(5)(a2bc3)·(c5)·(ab2c)8. 計算：(1)2ab(5ab2+3a2b) (2)(ab22ab)·ab(3)6x(x3y) (4)2a2(ab+b2).能力拓展9. 2x2y·(3xy+y3)的計算結(jié)果是( )A.2x2y46x3y2+x2y B.x2y+2x2y4C.2x2y4+x2y6x3y2 D.6x3y2+2x2y410下列計算中正確的是( )A.3b2·2b3=6b6 B.(2×104)×(6×102)=1.2×106C.5x2y·(2xy2)

11、2=20x4y5 D.(am+1)2·(a)2m=a4m+2(m為正整數(shù))11計算4m(m2+3n+1)=_;(y22y5)·(2y)=_;5x3(x2+2x1)=_.12式子( )·(3a2b)=12a5b2c成立時，括號內(nèi)應(yīng)填上的代數(shù)式是。13. (教材課內(nèi)練習(xí)第3題變式)計算：（1）(a2b3c)2(2a3b2c4) （2）(ab22ab+b)(ab)（3）(a2n+1bn1)(2.25an2bn+1) 14. (一題多解)已知ab2=6,求ab(a2b5ab3b)的值.25、（4分）（1）據(jù)統(tǒng)計，全球每分鐘約有8500000 t污水排入江河湖海，這個排污量

12、用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為多少？（2）自從掃描隧道顯微鏡發(fā)明后，世界上便誕生了一門新學(xué)科，這就是“納米技術(shù)”.已知52個納米長為0.000000052 m，用科學(xué)記數(shù)法表示此數(shù)為多少米？多項式乘多項式知識點：多項式及多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。練習(xí)一、選擇題1. 計算(2a3b)(2a3b)的正確結(jié)果是( )A4a29b2B4a29b2C4a212ab9b2 D4a212ab9b22. 若(xa)(xb)x2kxab，則k的值為( ) AabBabCabDba3. 計算(2x3y)(4x26xy9y2)的正確結(jié)果是( )A(2x3y)2B(2x3y

13、)2C8x327y3D8x327y34. (x2px3)(xq)的乘積中不含x2項，則( )ApqBp±qCpqD無法確定5. 若0x1，那么代數(shù)式(1x)(2x)的值是( )A一定為正B一定為負(fù)C一定為非負(fù)數(shù)D不能確定6. 計算(a22)(a42a24)(a22)(a42a24)的正確結(jié)果是( )A2(a22)B2(a22)C2a3D2a67. 方程(x4)(x5)x220的解是( )Ax0Bx4Cx5Dx408. 若2x25x1a(x1)2b(x1)c，那么a，b，c應(yīng)為( )Aa2，b2，c1Ba2，b2，c1Ca2，b1，c2Da2，b1，c29. 若6x219x15(axb

14、)(cxd)，則acbd等于( )A36B15C19D2110. (x1)(x1)及(x4x21)的積是( )Ax61Bx62x31Cx61Dx62x31二、填空題1. (3x1)(4x5)_2. (4xy)(5x2y)_3. (x3)(x4)(x1)(x2)_4. (y1)(y2)(y3)_5. (x33x24x1)(x22x3)的展開式中，x4的系數(shù)是_6. 若(xa)(x2)x25xb，則a_，b_7. 若a2a12，則(5a)(6a)_8. 當(dāng)k_時，多項式x1及2kx的乘積不含一次項9. 若(x2ax8)(x23xb)的乘積中不含x2和x3項，則a_，b_10. 如果三角形的底邊為(

15、3a2b)，高為(9a26ab4b2)，則面積_三、解答題1、計算下列各式(1)(2x3y)(3x2y) (2)(x2)(x3)(x6)(x1)(3)(3x22x1)(2x23x1) (4)(3x2y)(2x3y)(x3y)(3x4y)2、求(ab)2(ab)24ab的值，其中a2009，b20193、求值：2(2x1)(2x1)5x(x3y)4x(4x2y)，其中x1，y24、解方程組四、探究創(chuàng)新樂園1、若(x2axb)(2x23x1)的積中，x3的系數(shù)為5，x2的系數(shù)為6，求a，b2、根據(jù)(xa)(xb)x2(ab)xab，直接計算下列題(1)(x4)(x9) (2)(xy8a)(xy2a

16、).五、數(shù)學(xué)生活實踐一塊長acm，寬bcm的玻璃，長、寬各裁掉1 cm后恰好能鋪蓋一張辦公桌臺面(玻璃及臺面一樣大小)，問臺面面積是多少?六、思考題：請你來計算：若1xx2x30，求xx2x3x2019的值乘法公式的復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí):(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a3b3歸納小結(jié)公式的變式，準(zhǔn)確靈活運用公式： 位置變化，(x+y)(-y+x)=x2-y2 符號變化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2 指數(shù)變化，(x2+y2)(x2-y2)

17、=x4-y4 系數(shù)變化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2 換式變化，xy+(z+m)xy-(z+m)=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2 增項變化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2 連用公式變化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4 逆用公式變化，(x-y+z)2-(x+y-z)2=(x-y+z)+(x+y-z)(x-y+z)-(x+y-z)=2x(-2y+2z

18、)=-4xy+4xz例1已知，求的值。例2已知，求的值。例3：計算20192-2000×2019例4：已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a-b)2的值。例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x2-z2的值。例6：判斷（2+1）（22+1）（24+1）（22048+1）+1的個位數(shù)字是幾？例7運用公式簡便計算（1）1032 （2）1982例8計算（1）(a+4b-3c)(a-4b-3c) （2）(3x+y-2)(3x-y+2)例9解下列各式（1）已知a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a-b)2的值。（2）已知(a+b)2=7，(a-b)2=4，求a2+b

19、2，ab的值。（3）已知a(a-1)-(a2-b)=2，求的值。（4）已知，求的值。例10四個連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1，一定是平方數(shù)嗎？為什么？例11計算 （1）(x2-x+1)2 （2）(3m+n-p)2二、乘法公式的用法(一)、套用:例1. 計算：(二)、連用:連續(xù)使用同一公式或連用兩個以上公式解題。例2. 計算：例3. 計算：三、逆用:學(xué)習(xí)公式不能只會正向運用，有時還需要將公式左、右兩邊交換位置，得出公式的逆向形式，并運用其解決問題。例4. 計算：四、變用: 題目變形后運用公式解題。例5. 計算：五、活用: 把公式本身適當(dāng)變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例，經(jīng)過變形或重新組合，可得如

20、下幾個比較有用的派生公式：靈活運用這些公式，往往可以處理一些特殊的計算問題，培養(yǎng)綜合運用知識的能力。例6. 已知，求的值。例7. 計算：例8. 已知實數(shù)x、y、z滿足，那么（）三、學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意的問題 （一）、注意掌握公式的特征，認(rèn)清公式中的“兩數(shù)”例1 計算(-2x2-5)(2x2-5)例2計算(-a2+4b)2（二）、注意為使用公式創(chuàng)造條件例3計算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)例4計算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2例5計算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)（三）、注意公式的推廣計算多項式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推廣得到：(

21、a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc可敘述為：多項式的平方，等于各項的平方和，加上每兩項乘積的2倍例6計算(2x+y-3)2下列各題，難不倒你吧？！1、若a+=5，求（1）a2+，（2）（a）2的值2、求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1的末位數(shù)字五、乘法公式應(yīng)用的五個層次乘法公式：(ab)(ab)=a2b2，(a±b)=a2±2abb2，(a±b)(a2±abb2)=a3±b3第一層次正用即根據(jù)所求式的特征，模仿公式進行直接、簡單的套用例1計算(2)(2xy)(2x

22、y)第二層次逆用，即將這些公式反過來進行逆向使用例2計算(1)201922019·399420192； 第三層次活用 ：根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，探尋規(guī)律，連續(xù)反復(fù)使用乘法公式；有時根據(jù)需要創(chuàng)造條件，靈活應(yīng)用公式例3化簡：(21)(221)(241)(281)1例4計算：(2x3y1)(2x3y5)第四層次變用 ：解某些問題時，若能熟練地掌握乘法公式的一些恒等變形式，如a2b2=(ab)22ab，a3b3=(ab)33ab(ab)等，則求解十分簡單、明快例5已知ab=9，ab=14，求2a22b2和a3b3的值第五層次綜合后用 ：將(ab)2=a22abb2和(ab)2=a22abb2綜

23、合，可得 (ab)2(ab)2=2(a2b2)；(ab)2(ab)2=4ab；等，合理地利用這些公式處理某些問題顯得新穎、簡捷例6計算：(2xyz5)(2xyz5)因式分解的常用方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、運用公式法.在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2-a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)(a±b)2=a2±2ab+b2a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)(a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3- a3+b3=(a

24、+b)(a2-ab+b2)；(4)(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再補充兩個常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知是的三邊，且，則的形狀是（ ）A.直角三角形 B等腰三角形 C 等邊三角形 D等腰直角三角形三、分組分解法.（一）分組后能直接提公因式例1、分解因式：解：原式= = 每組之間還有公因式！ 例2、分解因式：解法一：第一、二項為一組； 解法二：第一、四項為一組；第三、四項為一組。 第二、三

25、項為一組。解：原式= 原式=練習(xí)：分解因式1、 2、（二）分組后能直接運用公式例3、分解因式：例4、分解因式：練習(xí)：分解因式3、 4、綜合練習(xí)：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11）（12）四、十字相乘法.（一）二次項系數(shù)為1的二次三項式直接利用公式進行分解。特點：（1）二次項系數(shù)是1； （2）常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；（3）一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。思考：十字相乘有什么基本規(guī)律？例.已知05，且為整數(shù)，若能用十字相乘法分解因式，求符合條件的.解析：凡是能十字相乘的二次三項 式ax2+bx+c，都要求>0而且是一個完全平方數(shù)。于是為完全平方數(shù)，例5、分解因式：分析：將6分成兩個數(shù)相