廣東省深圳實(shí)驗(yàn),珠海一中等六校2019屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題

1、2019 屆高三第一次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)廣州二中，深圳實(shí)驗(yàn)，珠海一中，中山紀(jì)念，東莞中學(xué)，惠州一中本試卷共6 頁(yè)， 23 小題，滿(mǎn)分150 分。考試用時(shí)120 分鐘。注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。2作答選擇題時(shí)，選項(xiàng)出每小題答案后，用2b 鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需要改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按

2、以上要求作答無(wú)效。4考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知集合2|11axx，|21xbx，則 (?ar)ba 1,0)b( 1,0)c(,0)d(, 1)2若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足i12iz，則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為a2ibic1d23記ns為等差數(shù)列na的前n項(xiàng)和若542ss，248aa，則5aa 6b 7c 8d104在區(qū)間 , 上隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù), a b，記向量( ,4 )oaab，(4 , )oba b，則24oa ob的概率為a18b14c12d3145已

3、知直線l的傾斜角為45 ，直線l與雙曲線2222:1xycab（0,0ab）的左、右兩支分別交于m、n兩點(diǎn)，且1mf、2nf都垂直于x軸（其中1f、2f分別為雙曲線c 的左、右焦點(diǎn)） ，則該雙曲線的離心率為a3b5c51d5126在 abc 中，d為ab的中點(diǎn)，點(diǎn)e滿(mǎn)足4ebec，則eda5463abacb4536abacc5463abacd4536abac7某幾何體的三視圖如右圖所示，數(shù)量單位為cm，它的體積是a327 3cm2b39cm2c39 3cm2d327cm28已知a是函數(shù)( )sin 2018cos 201863f xxx的最大值，若存在實(shí)數(shù)12,x x使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x總有12(

4、)( )()f xf xf x成立，則12|a xx的最小值為a2018b1009c21009d40369定義在r上的函數(shù)( )f x滿(mǎn)足( )(2)f xfx及( )()f xfx，且在0,1上有2( )f xx，則1(2019)2fa94b14c94d1410拋物線22yx上有一動(dòng)弦ab，中點(diǎn)為m，且弦ab的長(zhǎng)度為 3，則點(diǎn)m的縱坐標(biāo)的最小值為a118b54c32d111 已知三棱錐pabc 中， abbc ，2 2ab，3bc，32papb，且二面角pa bc 的大小為 150 ，則三棱錐pabc 外接球的表面積為a 100b 108c110d11112已知數(shù)列na滿(mǎn)足12323(21)

5、 3nnaaanan設(shè)4nnnba，ns為數(shù)列nb的前n項(xiàng)和若ns（常數(shù)），*nn，則的最小值是a32b94c3112d3118二、填空題：本題共4 小題，每小題 5 分，共 20 分。13若,xy滿(mǎn)足約束條件250,350,250.xyxyxy則22zxy的最大值為14若0(2sincos )axx dx，則6()axx的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為15已知點(diǎn)( 1,2)p及圓22(3)(4)4xy，一光線從點(diǎn)p出發(fā)，經(jīng)x軸上一點(diǎn)q反射后與圓相切于點(diǎn)t，則|pqqt的值為16已知函數(shù)32( )f xxaxbx滿(mǎn)足(1)(1)220fxfx，則( )f x的單調(diào)遞減區(qū)間是33324r持續(xù)里程( 公里 )頻

6、率組距01502002503003504004500.0010.0020.0030.0040.0060.005三、解答題：共70 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第1721 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60 分。17 （12 分）在 abc 中，角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，且2222coscosacbabaab（1）求角b；（2）若2 7b，3tan2c，求 abc 的面積18 （12 分）如圖甲，設(shè)正方形abcd 的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)e、f分別在ab、 cd 上，且滿(mǎn)足2aeeb，2cffd 如圖乙，將直角梯形

7、aefd沿ef折到11a efd的位置，使得點(diǎn)1a在平面 befc 上的射影 g 恰好在 bc 上（1）證明：1a e平面1cd f；（2）求平面 befc 與平面11a efd所成二面角的余弦值19 （12 分）某市大力推廣純電動(dòng)汽車(chē)，對(duì)購(gòu)買(mǎi)用戶(hù)依照車(chē)輛出廠續(xù)駛里程r的行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，予以地方財(cái)政補(bǔ)貼其補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)如下表：2017 年底隨機(jī)調(diào)査該市1000 輛純電動(dòng)汽車(chē)，統(tǒng)計(jì)其出廠續(xù)駛里程r，得到頻率分布直方圖如上圖所示用樣本估計(jì)總體，頻率估計(jì)概率，解決如下問(wèn)題：（1）求該市每輛純電動(dòng)汽車(chē)2017 年地方財(cái)政補(bǔ)貼的均值；（2）某企業(yè)統(tǒng)計(jì)2017 年其充電站100 天中各天充電車(chē)輛數(shù)，得如下的頻數(shù)分布表

8、：輛數(shù)5500,6500)6500,7500)7500,8500)8500,9500)天數(shù)20 30 40 10 （同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）2018 年 2 月，國(guó)家出臺(tái)政策，將純電動(dòng)汽車(chē)財(cái)政補(bǔ)貼逐步轉(zhuǎn)移到充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)上來(lái)該企出廠續(xù)駛里程r(公里 ) 補(bǔ)貼 （萬(wàn)元 /輛）150250r3 250350r4 350r4.5 abcdef1a1dcbgef圖甲圖乙業(yè)擬將轉(zhuǎn)移補(bǔ)貼資金用于添置新型充電設(shè)備現(xiàn)有直流、交流兩種充電樁可供購(gòu)置直流充電樁5萬(wàn)元 /臺(tái)，每臺(tái)每天最多可以充電30 輛車(chē)，每天維護(hù)費(fèi)用500 元/臺(tái)；交流充電樁1 萬(wàn)元 /臺(tái)，每臺(tái)每天最多可以充電4 輛車(chē)，每天維護(hù)費(fèi)用8

9、0 元/臺(tái)該企業(yè)現(xiàn)有兩種購(gòu)置方案：方案一：購(gòu)買(mǎi)100 臺(tái)直流充電樁和900 臺(tái)交流充電樁；方案二：購(gòu)買(mǎi)200 臺(tái)直流充電樁和400 臺(tái)交流充電樁假設(shè)車(chē)輛充電時(shí)優(yōu)先使用新設(shè)備，且充電一輛車(chē)產(chǎn)生25 元的收入，用2017 年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，分別估計(jì)該企業(yè)在兩種方案下新設(shè)備產(chǎn)生的日利潤(rùn).（日利潤(rùn)日收入日維護(hù)費(fèi)用） 20 （12 分）已知圓22:(1)36cxy與定點(diǎn)(1,0)m，動(dòng)圓i過(guò)m點(diǎn)且與圓 c 相切（1）求動(dòng)圓圓心i的軌跡e的方程；（2）若過(guò)定點(diǎn)(0,2)n的直線l交軌跡e于不同的兩點(diǎn)a、b，求弦長(zhǎng)|ab的最大值21 （12 分）已知函數(shù)ln2( )xf xx（1）求函數(shù)( )f x在1,)上的

10、值域；（2）若x1,)，ln(ln4)24xxax恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（二）選考題：共 10 分。請(qǐng)考生在第 22、23 題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22 選修 4 4 ：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10 分）在平面直角坐標(biāo)系中，將曲線1c向左平移2 個(gè)單位，再將得到的曲線上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的12，得到曲線2c，以坐標(biāo)原點(diǎn)o為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，1c的極坐標(biāo)方程為4cos（1）求曲線2c的參數(shù)方程；（2）已知點(diǎn)m在第一象限，四邊形mnpq 是曲線2c的內(nèi)接矩形，求內(nèi)接矩形mnpq 周長(zhǎng)的最大值，并求周長(zhǎng)最大時(shí)點(diǎn)m的坐標(biāo)23 選修

11、 4 5 ：不等式選講（ 10 分）已知( )|2| 2|f xxaxa ，( )23g xx（1）當(dāng)1a時(shí)，求不等式( )4f x的解集；（2）若 03a，且當(dāng),1)2ax時(shí)，( )( )f xg x 恒成立，求a的取值范圍2019 屆高三六校第一次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題1a 2 c3d4b 5d 6a7c 8b9d10a11d 12c 二、填空題13 2514 240154 316( 1,3)（注意：寫(xiě)閉區(qū)間也給分）三、解答題17解析 ： （ 1）因?yàn)?222coscosacbabaab，由余弦定理，得22coscoscosacbabaab，所以2 分2 coscoscoscb

12、baab，由正弦定理，得2sincossincossincossin()sincbbaababc，4 分又(0,)c，sin0c，所以1cos2b，(0, )b，5 分所以3b6 分（ 2）由3tan2c，(0, )c，得21sin7c，2 7cos7c，7 分所以3 2 71213 21sinsin()sincoscos sin272714abcbcbc，8 分由正弦定理sinsinabab，得sin2 73 216sin1432baab，10 分所以 abc 的面積為1121sin6 2 76 3227abc12 分18解析 ： （ 1）在圖甲中，易知/ /aedf ，從而在圖乙中有11/

13、 /a ed f，1ae平面1cd f，1d f平面1cd f，1a e平面1cd f4 分（2）法一：（傳統(tǒng)幾何法）略解如下：過(guò)點(diǎn) g 作 ghef 于h，連接1a h，易證（略），1a h g即為所求二面角的平面角，易求得：110bgag，3105ah，2105ghagah，在1rt agh中，12cos3a hg12 分法二：（向量法）如圖，在圖乙中作ghef , 垂足為h, 連接1a h, 由于1ag平面 ebcf ，則1agef, ef平面1agh, 則1efa h，圖甲中有efah，又 efgh ，則a、 g 、h三點(diǎn)共線 設(shè) cf 的中點(diǎn)為m, 則1mf, 可證abgemf ，1

14、bgmf，則10ag，又由abgahe ，得，1610ab aea hahag，于是 , 410hgagah，在1rt agh中, 22112a ga hhg，8 分作/ /gtbe 交ef于點(diǎn)t，則 tggc 以點(diǎn) g 為原點(diǎn) , 分別以 gc 、 gt 、1ga所在直線為x、y、z軸, 建立如圖丙所示的空間直角坐標(biāo)系，則(0,0,0)g,( 1,1,0)e , (2,2,0)f , 1(0,0,2)a，則(1 ,3,0)ef,1( 1,1,2)ea ,1ga是平面 befc 的一個(gè)法向量，易求得平面11a efd的一個(gè)法向量(3, 1,22)n, 10 分設(shè)平面 befc 與平面11a e

15、fd所成二面角為，可以看出，為銳角，12cos|cos,|3n ga，所以，平面befc 與平面11a efd所成二面角的余弦值為2312 分19解析 ： （ 1）依題意可得純電動(dòng)汽車(chē)地方財(cái)政補(bǔ)貼的分布列為：補(bǔ)貼（萬(wàn)元 / 輛）3 4 4.5 概 率0.2 0.5 0.3 3 分純電動(dòng)汽車(chē)2017 年地方財(cái)政補(bǔ)貼的平均數(shù)為30.240.54.50.33.95( 萬(wàn)元 ) 4 分（2）由充電車(chē)輛天數(shù)的頻數(shù)分布表得每天需要充電車(chē)輛數(shù)的分布列：輛 數(shù)6000 7000 8000 9000 概 率0.2 0.3 0.4 0.1 若采用方案一，100 臺(tái)直流充電樁和900 臺(tái)交流充電樁每天可充電車(chē)輛數(shù)為

16、3010049006600( 輛） ；6 分可得實(shí)際充電車(chē)輛數(shù)的分布列如下表：實(shí)際充電輛數(shù)6000 6600 概 率0.2 0.8 于是方案一下新設(shè)備產(chǎn)生的日利潤(rùn)均值為()2560000.26600.850010080900400000( 元） ；8 分若采用方案二，200 臺(tái)直流充電樁和400 臺(tái)交流充電樁每天可充電車(chē)輛數(shù)為3020044007600( 輛） ；10 分可得實(shí)際充電車(chē)輛數(shù)的分布列如下表：實(shí)際充電輛數(shù)6000 7000 7600 概 率0.2 0.3 0.5 于是方案二下新設(shè)備產(chǎn)生的日利潤(rùn)均值為2560000.270000.376000.55002008040045500()(

17、 元) 12 分20解析 ： （ 1）設(shè)圓i的半徑為r，題意可知，點(diǎn)i滿(mǎn)足：|6icr ， |imr ，所以，| 6icim，3 分由橢圓定義知點(diǎn)m的軌跡為以,c a為焦點(diǎn)的橢圓，且3,1ac丙圖進(jìn)而2 2b，故軌跡e方程為：2219xy 5 分（2）當(dāng) 直線l斜率不存在時(shí)，(0,1)a，(0, 1)b或(0, 1)a，(0,1)b，此時(shí) 弦長(zhǎng)|2ab6 分當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為：2ykx，由22219ykxxy消去y得：22(19)36270kxkx，由22(36 )108(19)0kk得213k，設(shè)11(,)a xy、22(,)b xy，可得：1223619kxxk，122271

18、2x xk，7 分22222122226 3(1)(31)3627|1|14191219kkkabkxxkkkk， 9 分令219kt，則4t，222226 3(1)(31)43211|2 12324119kkabktttt，110,4t，當(dāng)1116t時(shí)，此時(shí)153k，max3 2|2ab11 分綜上， 弦長(zhǎng)|ab的最大值為3 2212 分21解析 ： （1）易知21ln( )0 (1)xfxxx，1 分( )f x在1,)上單調(diào)遞減，max( )2f x，3 分1x時(shí)，( )0f x，4 分( )f x在1,)上的值域?yàn)?0, 25 分（2）令( )lnln424g xxxax，則ln2(

19、)2xg xax，6 分若0a，則由（ 1）可知，( )0g x，( )g x在1,)上單調(diào)遞增，(e)12 e0ga，與題設(shè)矛盾，0a不符合要求；7 分若2a，則由（ 1）可知，( )0g x，( )g x在1,)上單調(diào)遞減，( )1240g xga，2a符合要求；8 分若 02a，則0(1,)x，使得00ln2xax，且( )g x在0(1,)x上單調(diào)遞增，在0(,)x上單調(diào)遞減，0000maxlnln424g xg xxxax，9 分00ln2xax，000000max=222424g xg xaxaxaxaxax由題：max0g x，即00240axax，024ax，即2002ln24