培養(yǎng)聯(lián)想能力發(fā)展學(xué)生思維

1、    培養(yǎng)聯(lián)想能力發(fā)展學(xué)生思維    周樂實g421       a2095-3089（2019）15-0298-01聯(lián)想是由一個事物想到與之相關(guān)聯(lián)的另一個事物的心理過程。偉大的數(shù)學(xué)家牛頓說過，沒有大膽的聯(lián)想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。可見，教師應(yīng)注意學(xué)生聯(lián)想能力的培養(yǎng)。筆者就基于學(xué)生發(fā)展的數(shù)學(xué)聯(lián)想能力的培養(yǎng)談幾點看法：一、類比聯(lián)想，發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維所謂類比聯(lián)想，就是根據(jù)兩種事物在某些特征上的相似，聯(lián)想到它們在其他特征上也可能相似的結(jié)論。數(shù)學(xué)問題中不乏“換湯不換藥”的類似問題，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運用所

2、學(xué)的知識和技能，對同一問題的不同知識背景之間，或者是新舊問題之間因形式相似或內(nèi)容相關(guān)而產(chǎn)生聯(lián)想，得到解題思路，從而使學(xué)生具備舉一反三、觸類旁通的能力，使其發(fā)散思維得到進一步的發(fā)展。例1 如圖1，直線上有a、b、c、d四個點，由這四個點為端點共組成的線段有_條。教師分析講解例1后，出示以下兩道練習(xí)題，讓學(xué)生觀察，并與例1比較，最后發(fā)現(xiàn)三個問題屬類似問題，于是運用同樣的方法可求解。如圖2，圓上有a、b、c、d四個點，每過兩點作直線，共有_條直線。如圖3，以o為端點的四條射線，這些射線組成_個角。例2  已知實數(shù)x、y、z，滿足x=6-y，z2=xy-9，求證：x=y分析：此題一般解法，將

3、z看作參數(shù)，解方程組證。其實由已知得x+y=6，xy=z2+9，于是聯(lián)想到根與系數(shù)的關(guān)系，將x、y視為a2-6a+z2+9=0的兩根，有=36-4（z2+9）=-4z20，因-4z2為非正數(shù)，所以=0，從而有x=y。二、換位聯(lián)想，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維數(shù)學(xué)中很多問題都可以通過換位聯(lián)想來解決，它是一種辨證思維方式，指導(dǎo)學(xué)生從換位聯(lián)想的辨證法的高度來認識某些數(shù)學(xué)思想方法，有利于思維靈活性和嚴謹性的發(fā)展，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。1.參數(shù)與主元的換位聯(lián)想。參數(shù)的角色較特殊，它一方面可視為常量，另一面又有變量的身份，將參數(shù)與主元換位，常?？梢院喕瘑栴}的解決。例3  解方程x4-10x

4、3-2（a-11）x2+2（5a-6）x+2a+a2=0分析：這是關(guān)于x的4次方程，系數(shù)中含參數(shù)a，而a的最高次為2次，于是反客為主，將x視為參數(shù)，轉(zhuǎn)化為a的二次方程：a2-2（x2-5x-1）a+（x4-10x3+22x2-12x）=0，解得a=x2-6x或a=x2-4x-2，再解關(guān)于x的二次方程，得x1=3+kf（a+9kf），x2=3-kf（a+9kf），x3=2+kf（a+6kf），x4=2-kf（a+6kf）。2.動靜換位聯(lián)想。從函數(shù)的角度看，相當(dāng)于變量與常量的換位，動與靜是相對的，同一對象根據(jù)需要隨時靈活選擇和變換其角色。例4  如圖4在矩形abcd中，ab=3，ad=4

5、，p為ad上的動點，peac于e，pfbd于f，pe+pf的值為（   ）。解：視a點為動點p運動過程中的一個點，則pe=0，pf變?yōu)閞tbad斜邊上的高。（視動為靜）ab=3，ad=4bd=kf（32+42kf）斜邊上的高為3×45=125即為所求xc77.jpg;%35%353.問題的正、反面換位聯(lián)想。有些問題從正面思考較為困難，若聯(lián)想反面去分析研究，則往往可獲得簡捷解法。例5  已知關(guān)于x的二次方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0中至少有一個不同實根，試求a、b、c應(yīng)滿足的條件。解：問題正面情況較復(fù)雜，但問題反

6、面是“三個方程都沒有不同實根”，就比較簡單。jb（102030jb）可得jb（b2-ac0（1）c2-ab0（2）a2-bc0（3） jb）（1）+（2）+（3），得a2+b2+c2-ab-bc-ac0（ a-b）2+（b-c）2+（a-c）20，由非負數(shù)性知（a-b）2+（b-c）2+（a-c）20a=b=c，又因三個方程均為關(guān)于x的二次方程，abc0，a、b、c為不都相等的非零實數(shù)，題設(shè)成立。三、數(shù)形聯(lián)想，發(fā)展學(xué)生的形象思維俗話說：“數(shù)離形時少直觀，形離數(shù)時難入微”。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生深入地觀察、聯(lián)想、由形思數(shù)、由數(shù)輔形。借助圖形特征的啟示誘發(fā)直覺，對培養(yǎng)學(xué)生形象思維的敏捷性、準

7、確性大有裨益。而且許多代數(shù)問題，若根據(jù)題設(shè)條件和問題的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造適當(dāng)?shù)膸缀螆D形，利用數(shù)與形之間的聯(lián)想，往往比純代數(shù)手段更直觀，更新穎，更簡捷。例6  設(shè)m、n、p為正實數(shù)，且m2+n2-p2=0，求pm+n的最小值。解：根據(jù)提設(shè)和勾股定理構(gòu)造如圖5所示的直角梯形abcd，由圖形易知，bcad，即m+n2p，當(dāng)m=n時，直角梯形變?yōu)榫匦危碽c=ad成立，所以pm+n的最小值為kf（2kf）2。例7 已知x、y、z均為正數(shù)，且x2+y2=z2，z=kf（x2-r2kf）=x2，求證：xy=rz分析：此題中的題設(shè)x2+y2=z2與勾股定理結(jié)論相同，故可構(gòu)造直角邊為x、y，斜邊為z的直

8、角三角形。如圖6，作cdab于d，由題設(shè)及射影定理知cd=r，所以sabc=12xy=12rz，所以xy=rz。四、關(guān)系聯(lián)想，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維在數(shù)學(xué)知識體系中，各章節(jié)之間存在著緊密的內(nèi)在聯(lián)系，當(dāng)我們遇到棘手的問題時，不妨對問題所涉及的知識加以梳理，順著知識的內(nèi)在聯(lián)系進行關(guān)系聯(lián)想，換一個角度去看問題，往往會有新的發(fā)現(xiàn)。這樣，在分析解決問題的過程中，學(xué)生的創(chuàng)造性思維得到充分地發(fā)展。例8 如圖7，在等腰abc中，ab=ac，頂角a=20°，在ab邊上取一點d，使ad=bc，求bdc的度數(shù)。分析：由條件可知三角形底角為800，200與800均不是特殊角，但它們差為60°，60&#

9、176;使我們聯(lián)想到等邊三角形，由此找到問題的突破口。解：以bc為邊長在abc內(nèi)作等邊三角形bco，連接ao，由圖形的軸對稱可知aboaco，bao=cao=10°，abo=aco=a=20°，aob=aoc=150°，又oc=bc=adacdaco，adc=150°，bdc=30°xc78.jpg;%35%35例9  不超過（kf（7kf）+kf（5kf）6的值的最大整數(shù)是_。分析：直接展開，計算復(fù)雜，聯(lián)想到（kf（7kf）+kf（5kf）與它的有理化因式（kf（7kf）-kf（5kf）的和與積均為單項式，故構(gòu)造一個與之對應(yīng)的數(shù)式，

10、然后一起參與運算，從而問題得以解決。解：令a=kf（7kf）+kf（5kf），b=kf（7kf）-kf（5kf），則a+b=2kf（7kf），a·b=2，a6+b6=（a3+b3）2-2（ab）3=（a+b）3-3ab（a+b）2-3（ab）3=13536，0<10<b6< p>五、轉(zhuǎn)換聯(lián)想，發(fā)展學(xué)生的逆向思維思維活動離不開轉(zhuǎn)換，數(shù)學(xué)解題過程實質(zhì)上是一種轉(zhuǎn)換過程，一個從未知向已知的轉(zhuǎn)換過程。正如匈牙利數(shù)學(xué)家路莎·彼得所說：“數(shù)學(xué)家們解題往往不是對問題進行正面攻擊，而是將它不斷變形，把它變?yōu)槟軌虻玫浇鉀Q的問題?！币虼私忸}時，引導(dǎo)學(xué)生展開豐富的聯(lián)想，恰到

11、好處地引入轉(zhuǎn)換機制，不僅能順利解決數(shù)學(xué)問題，而且能培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。例10  已知abc中，a、b、c的對邊分別是a、b、c，且a=2c，求證：b2=c（a+c）。聯(lián)想1：由b2=c（a+c），聯(lián)想到b/c=a+c/b，于是可把b、c、（a+c）變?yōu)橐詁為公共邊的兩個相似三角形的對應(yīng)邊，從而利用“相似三角形對應(yīng)邊成比例”得證。聯(lián)想2：由b2=c（a+c）聯(lián)想到b·b=c·（a+c），于是將b、b、c、（a+c）視為圓內(nèi)相交兩弦分成的四線段，可通過相交弦定理得證。例11  rtbcf的斜邊bc為直徑作o，a為bf上一點，且ab=af，adbc，垂足為

12、d，過a作aebf交cb延長線于e，求證：（1）ae是o的切線（2）bdcd =beec（3）若o直徑為d，則1cd +1ec=2d。解：（1）（2）易證，結(jié)論（3）可轉(zhuǎn)化為證1cd +1ec-2d =0，即（1cd-1d）-（1d 1ec-）=0，而（1cd -1d）-（1d-1ec）=d-cdd·cd-ec-dd·ec=bdd·cd -bed·ec =bd·ec-be·cdd·cd·ec。由（2）知bd· ec= be·cd，所以得證?？傊?，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng)善于鼓勵和引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題所涉及的知識進行多角度的聯(lián)想，探尋新穎而獨特的解決問題的方法，不斷摸索，總