湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)(武漢一中,三中,六中,十一中等六校)高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、第 1 頁 共 21 頁湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)(武漢一中， 三中，六中，十一中等六校 )高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1如果直線直線 n，且平面，那么 n 與 的位置關(guān)系是a相交bcd 或【答案】 d 【解析】 利用直線與平面平行的判定定理和直線與平面平行的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可. 【詳解】直線直線,且平面，當(dāng) 不在平面內(nèi)時(shí)，平面內(nèi)存在直線，符合線面平行的判定定理可得平面，當(dāng) 在平面內(nèi)時(shí)，也符合條件，與 的位置關(guān)系是或，故選 d . 【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理以及線面平行的性質(zhì)，意在考查對(duì)基本定理掌握的熟練程度，屬于基礎(chǔ)題. 2如果數(shù)列na的前n項(xiàng)和為332nnsa，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公

2、式是（）a221nannb2 3nnac3 2nnad 31nan【答案】 b 【解析】 根據(jù)332nnsa，當(dāng)2n時(shí)，1nnnass，再結(jié)合1n時(shí)，111332saa，可知na是以6為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，從而求出數(shù)列na的通項(xiàng)公式 . 【詳解】由332nnsa，當(dāng)2n時(shí)，1113333332222nnnnnnnassaaaa，所以13nnaa，第 2 頁 共 21 頁當(dāng)1n時(shí)，111332saa，此時(shí)16a，所以，數(shù)列na是以6為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，即16 32 3nnna. 故選： b. 【點(diǎn)睛】本題考查了利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題. 3數(shù)列na中

3、，對(duì)于任意,m nn，恒有m nmnaaa，若118a，則7a等于 ( )a712b714c74d 78【答案】 d 【解析】 因?yàn)?1,8m nmnaaaa,所以2112,4aa42122aa,3123,8aaa73478aaa.選 d. 4在三棱錐pabc中，pc平面abc，90bac，3ab，4ac，60pbc，則三棱錐pabc外接球的體積為( )a100b5003c125d 1253【答案】 b 【解析】 在三棱錐pabc中，求得5bc,又由pc底面abc，所以pcbc,在直角pbc中， 求得10pc,進(jìn)而得到三棱錐pabc外接球的直徑， 得到5r，利用體積公式，即可求解. 【詳解】由

4、題意知，在三棱錐pabc中，90baco，3ab，4ac，所以5bc, 又由pc底面abc，所以pcbc, 在直角pbc中，05,60bcpbc，所以10pc, 根據(jù)球的性質(zhì)，可得三棱錐pabc外接球的直徑為210rpc，即5r，所以球的體積為33445005333vr，故選 b. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了與球有關(guān)的組合體中球的體積的計(jì)算，其中解答中根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)特征和球的性質(zhì)，準(zhǔn)確求解球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題 . 5 九章算術(shù)中有如下問題：今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺，莞生一日，長(zhǎng)1 尺蒲生日第 3 頁 共 21 頁自半，莞生日自倍問幾何日而長(zhǎng)等？意思是：今有蒲第

5、一天長(zhǎng)高3 尺，莞第一天長(zhǎng)高1 尺，以后蒲每天長(zhǎng)高前一天的一半，莞每天長(zhǎng)高前一天的2 倍若蒲、莞長(zhǎng)度相等，則所需時(shí)間為（）（結(jié)果精確到0.1 參考數(shù)據(jù)：lg20.3010，lg30.4771 ）a2.6 天b2.2 天c2.4 天d 2.8 天【答案】 a 【解析】 設(shè)蒲的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列an，其a13，公比為12，其前n項(xiàng)和為an莞的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列bn，其b11，公比為 2，其前n項(xiàng)和為bn利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出【詳解】設(shè)蒲的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列an，其a13，公比為12，其前n項(xiàng)和為an莞的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列bn，其b1 1，公比為2，其前n項(xiàng)和為bn則an13

6、12112n，bn2121n，由題意可得：13 121212112nn，化為： 2n62n7，解得 2n6，2n1（舍去）n62lglg132lglg2.6 估計(jì) 2.6 日蒲、莞長(zhǎng)度相等，故選：a【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式在實(shí)際中的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題6設(shè)等差數(shù)列na的前n項(xiàng)和為ns，若10a，81335aa，則ns中最大的是 ( ).a10sb11sc20sd 21s【答案】 c 【解析】 分析：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，化簡(jiǎn)求得20210aa，進(jìn)而得到第 4 頁 共 21 頁20210,0aa，即可作出判定詳解：在等差數(shù)列na中，18130,35a

7、aa，則113(7 )5(12 )adad，整理得12390ad，即1119200adad，所以20210aa，又由10a，所以20210,0aa，所以前n項(xiàng)和ns中最大是20s，故選 c點(diǎn)睛：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和ns的性質(zhì)，其中解答中根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，化簡(jiǎn)求得20210aa，進(jìn)而得到20210,0aa是解答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力7如圖所示，在正四棱錐sabcd 中，,e m n分別是bc，cd，sc的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p在線段mn上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論不恒成立的是( ).aep與sd異面bep面sbdcepacd epbd【答案】 d 【解析】

8、 如圖所示，連接ac、bd相交于點(diǎn)o，連接em，en.(1) 由正四棱錐s-abcd，可得so底面abcd，acbd，soac. sobd=o，ac平面sbd，e，m，n分別是bc，cd，sc的中點(diǎn)，embd，mnsd，而emmn=n，平面emn平面sbd，ac平面emn，acep.故 c 正確(2) 由異面直線的定義可知：ep與sd是異面直線，故a 正確；第 5 頁 共 21 頁(3) 由(1)可知：平面emn平面sbd，ep平面sbd，因此 b 正確(4) 當(dāng) p 與 m 重合時(shí)，有epbd，其他情況都是異面直線即d 不正確故選 d 點(diǎn)睛：本題抓住正四棱錐的特征，頂點(diǎn)在底面的投影為底面正方

9、形的中心，即so底面abcd ，ep 為動(dòng)直線，所以要證 ep面sbd， 可先證 ep 所在的平面平行于面sbd ，要證epac可先證 ac 垂直于 ep 所在的平面，所以化動(dòng)為靜的處理思想在立體中常用 . 8將正整數(shù)排列如下：則圖中數(shù)2020出現(xiàn)在（）a第 64 行第 3 列b第 64 行 4 列c第 65 行 3 列d 第 65 行 4 列【答案】 b 【解析】 根據(jù)題意，構(gòu)造數(shù)列，利用數(shù)列求和推出2020的位置 . 【詳解】根據(jù)已知，第n行有n個(gè)數(shù)，設(shè)數(shù)列na為n行數(shù)的數(shù)列，則nan，即第1行有1個(gè)數(shù)，第2行有2個(gè)數(shù)，第n行有n個(gè)數(shù)，所以，第1行到第n行數(shù)的總個(gè)數(shù)1122nn nsnl，

10、當(dāng)63n時(shí)，數(shù)的總個(gè)數(shù)636363120162s，所以，2020為64n時(shí)的數(shù)，即64行的數(shù)為：2017，2018，2019，2020，所以，2020為64行第4列. 故選： b. 【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，構(gòu)造數(shù)列，利用數(shù)列知識(shí)求解很關(guān)鍵，屬于中檔題. 9如圖，在下列四個(gè)正方體中，p，r，q，m，n，g，h為所在棱的中點(diǎn)，第 6 頁 共 21 頁則在這四個(gè)正方體中，陰影平面與prq所在平面平行的是( )abcd【答案】 a 【解析】 根據(jù)線面平行判定定理以及作截面逐個(gè)分析判斷選擇. 【詳解】a 中，因?yàn)?1/ / /pqacac,所以可得/ /pq平面11abc,又1/ /rqa b，可得

11、/rq平面11abc，從而平面/ /pqr平面11abcb 中，作截面可得平面pqr i平面1a bnhn（h 為 c1d1中點(diǎn)） , 如圖：c 中，作截面可得平面pqr i平面hgnhn（h 為 c1d1中點(diǎn)） , 如圖：第 7 頁 共 21 頁d 中，作截面可得1,qn c m為兩相交直線，因此平面pqr與平面11a mc不平行 , 如圖：【點(diǎn)睛】本題考查線面平行判定定理以及截面，考查空間想象能力與基本判斷論證能力，屬中檔題 . 10 若兩等差數(shù)列na，nb前n項(xiàng)和分別為na，nb，滿足73416nnannnbn，則1111ab的值為 ( ).a74b32c43d 7871【答案】 b 【

12、解析】 解：因?yàn)閮傻炔顢?shù)列na、nb前n項(xiàng)和分別為na、nb，滿足73()416nnannnbn，故1121112132asbt,選 b 第 8 頁 共 21 頁11 已知fx是定義在r上不恒為 0 的函數(shù)，且對(duì)任意,a br，有fa ba fbb fa成立，22f， 令2nnaf，22nnnfb則有 ( )ana為等差數(shù)列bna為等比數(shù)列cnb為等差數(shù)列dnb為等比數(shù)列【答案】 c 【解析】 令0ab,得到00;1,fab得到10f，,22,*fabaf bbf afnn. 111112222222221122222nnnnnnnnnnnnnnffffffbbbn，, 說明nb為等差數(shù)列，故

13、c 正確，根據(jù)選項(xiàng)，排除a，d. 111122222222222nnnnnnnnnnafaffffa，. 顯然na既不是等差也不是等比數(shù)列故選 c. 12 設(shè)點(diǎn)m是棱長(zhǎng)為4的正方體1111abcda b c d的棱ad的中點(diǎn)，點(diǎn)p在面11bcc b所在的平面內(nèi)，若平面1d pm分別與平面abcd和平面11bcc b所成的銳二面角相等，則點(diǎn)p到點(diǎn)1c的最短距離是 ()a2 22b4 55c2d 2 63【答案】 b 【解析】 以d為原點(diǎn)，ad為x軸dc為y軸1dd為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算三個(gè)平面的法向量，根據(jù)夾角相等得到關(guān)系式：20 xz，再利用點(diǎn)到直線的距離公式得到答案. 【詳解】以d

14、為原點(diǎn)，ad為x軸dc為y軸1dd為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系. 則(2,0,0),(0,0,4),( ,4,)mdp xz易知：平面abcd的法向量為1(0,0,1)nu r第 9 頁 共 21 頁平面11bcc b的法向量為2(0,1,0)nuu r設(shè)平面1d pm的法向量為：3( , , )na b cu u r則3102nmdacu u r uu uu r，取1,2ca32402(2)404xznmpxbzbu u r uu ur324(2,1)4xznu u r平面1d pm分別與平面abcd和平面11bcc b所成的銳二面角相等1323132320nnnnxznnnnu r u u

15、ru u r u u ru ru u ru u ru u r或28xz看作11bcb c 平面的兩條平行直線，到1c的距離 . 根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得，點(diǎn)p到點(diǎn)1c的最短距離都是：44 555故答案為b 【點(diǎn)睛】本題考查了空間直角坐標(biāo)系，二面角，最短距離，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力 . 二、填空題13 已知數(shù)列na，22nann，若該數(shù)列是減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】,6【解析】本題可以先通過22nann得出1na的解析式，再得出1nnaa的解析式，最后通過數(shù)列是遞減數(shù)列得出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】2212211nnannann、，2212112nnaannnn ，22242

16、2nnnnn，42n，第 10 頁 共 21 頁因?yàn)樵摂?shù)列是遞減數(shù)列，所以1420nnaan，即42n，因?yàn)?26n，所以6，實(shí)數(shù)的取值范圍是,6【點(diǎn)睛】本題考察的是遞減數(shù)列的性質(zhì)，遞減數(shù)列的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)的值一定是一個(gè)負(fù)值14 已知三棱錐pabc，pa平面abc，acbc，3bcpa，1ac，則三棱錐pabc的側(cè)面積 _【答案】5 32【解析】 根據(jù)題意將三棱錐放入對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方體中，計(jì)算各個(gè)面的面積相加得到答案. 【詳解】三棱錐pabc，pa平面abc，acbc，3bcpa，1ac畫出圖像：易知：每個(gè)面都是直角三角形. 12335 33322ssss【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的側(cè)面積，將三棱錐放

17、入對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方體是解題的關(guān)鍵. 15 如圖，矩形abcd中，2ab，1bc，e是cd的中點(diǎn)，將ade沿ae折起，使折起后平面ade平面abce，則異面直線ae和cd所成的角的余弦值為第 11 頁 共 21 頁_【答案】63【解析】 取ae中點(diǎn)為m，ab中點(diǎn)為f， 連接,cf mf dm， 則異面直線ae和cd所成角為dcf . 在dcf中，利用邊長(zhǎng)關(guān)系得到余弦值. 【詳解】由題意，取ab中點(diǎn)f，連接cf，則cfaep，可得直線ae和cd所成角的平面角為dcf，（如圖）過d作dm垂直ae于m，平面dae平面abce，addedmae，dm平面abce，dmmf，且amdm22，結(jié)合平面圖形可得：f

18、m22, df221dmmf,cf2, 又2mc=2252gmgc, 2dc=223dmmc, 在dfc中，2dc=22dffc, dfc是直角三角形且dffc，第 12 頁 共 21 頁可得cos dcf2633【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線的夾角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力. 16 在數(shù)列na中，1253aa，11280nnnanann，若12nnnnbaaann，則nb的前n項(xiàng)和取得最大值時(shí)n的值為 _【答案】10【解析】 解法一：利用數(shù)列的遞推公式，化簡(jiǎn)得122nnnaaa，得到數(shù)列na為等差數(shù)列，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式313nan，得到12100aaal，1112130aaal，得

19、出所以1280bbbl，90b，100b，1112130bbbl，進(jìn)而得到結(jié)論；解法二：化簡(jiǎn)得12811nnaannn n，令1nnacn，求得11281nccn，進(jìn)而求得313nan，再由0nb，解得8n或10n，即可得到結(jié)論【詳解】解法一：因?yàn)?1280nnnana所以211280nnnana，-，得122nnnnanana即122nnnaaa，所以數(shù)列na為等差數(shù)列在中，取1n，得1280a即128a，又1253aa，則225a，所以313nan因此12100aaal，1112130aaal所以1280bbbl，99101180baaa，10101112100baaa，1112130bb

20、bl所以12389tttttl，9101112ttttl又1089108ttbbt，所以10n時(shí)，nt取得最大值解法二：由11280nnnana，得12811nnaannn n，第 13 頁 共 21 頁令1nnacn，則11111282811nnccnnnn，則11281nccn，即1211281281nccann，代入得12228 12828nnancnann a，取1n， 得1280a， 解得128a， 又1253aa， 則225a， 故1283nan所以313nan，于是12313283253nnnnbaaannn由0nb，得31 32832530nnn，解得8n或10n，又因?yàn)?8b

21、，1010b，所以10n時(shí)，nt取得最大值【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的綜合應(yīng)用，以及數(shù)列的最值問題的求解，此類題目是數(shù)列問題中的常見題型，對(duì)考生計(jì)算能力要求較高，解答中確定通項(xiàng)公式是基礎(chǔ)，合理利用數(shù)列的性質(zhì)是關(guān)鍵，能較好的考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力及基本計(jì)算能力等，屬于中檔試題 . 三、解答題17 如圖，求陰影部分繞ab旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積和體積【答案】68s表，1403v【解析】 由圖形知旋轉(zhuǎn)后的幾何體是一個(gè)圓臺(tái),從上面挖去一個(gè)半球后剩余部分,根據(jù)圖形中的數(shù)據(jù)可求出其表面積和體積. 【詳解】由題意知 ,所求旋轉(zhuǎn)體的表面積由三部分組成:圓臺(tái)下底面、側(cè)面和一個(gè)半球面，而半球面

22、的表面積1s214282，圓臺(tái)的底面積22525s，第 14 頁 共 21 頁圓臺(tái)的側(cè)面積325535s，所以所求幾何體的表面積1238253568ssss；圓臺(tái)的體積22221122554523v，半球的體積3241162323v，所以 ,旋轉(zhuǎn)體的體積為12161405233vvv，故得解 . 【點(diǎn)睛】本題考查組合體的表面積、體積,還考查了空間想象能力,能想象出旋轉(zhuǎn)后的旋轉(zhuǎn)體的構(gòu)成是本題的關(guān)鍵，屬于中檔題. 18 數(shù)列na的前n項(xiàng)和2=1003nsnnnn.(1) 求數(shù)列na的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè)nnba，求數(shù)列nb的前n項(xiàng)和nt.【答案】 (1) 102110122nnann(2) 221

23、00350100500351nnnntnnn【解析】 (1) 當(dāng)1n時(shí)，1102a，利用1nnnass得到通項(xiàng)公式，驗(yàn)證1a得到答案 . (2) 根據(jù)na的正負(fù)將和分為兩種情況，50n和51n，分別計(jì)算得到答案. 【詳解】(1) 當(dāng)1n時(shí)，11=10013=102as，當(dāng)2n時(shí)，221=10010011=101 2nnnassnnnnn. 綜上所述102110122nnann. (2) 當(dāng)50n時(shí)，nnba，所以123nntaaaa39997951012n991012331002nnnn，當(dāng)51n時(shí)，nnba，第 15 頁 共 21 頁123505152nntaaaaaaa5012312nnt

24、aaaaa5006 3100nn21005003nn. 綜上所述22100350100500351nnnntnnn. 【點(diǎn)睛】本題考查了利用1nnnass求通項(xiàng)公式，數(shù)列的絕對(duì)值和，忽略1n時(shí)的情況是容易犯的錯(cuò)誤 . 19 如圖，在三棱柱111abca b c中，各個(gè)側(cè)面均是邊長(zhǎng)為2的正方形，d為線段ac的中點(diǎn) .(1) 求證 :直線1ab平面1bc d；(2) 求直線1c b與平面11acc a所成角的余弦值；(3) 設(shè)m為線段1c b上任意一點(diǎn)，在1bc d內(nèi)的平面區(qū)域 (包括邊界 )是否存在點(diǎn)e，使cedm，并說明理由.【答案】 (1)見解析(2)104（3）存在點(diǎn)e，使cedm，詳見解

25、析【解析】 (1)設(shè)1bc與1b c的交點(diǎn)為o，證明1abdo進(jìn)而證明直線1ab平面1bc d. (2) 先證明直線1c b與平面11acc a所成角的為1bc d，再利用長(zhǎng)度關(guān)系計(jì)算1cosbc d. 第 16 頁 共 21 頁(3) 過點(diǎn)c作1cedc，證明ce平面1bc d，即cedm，所以存在 . 【詳解】(1) 設(shè)1bc與1b c的交點(diǎn)為o，顯然o為1b c中點(diǎn)，又點(diǎn)d為線段ac的中點(diǎn)，所以1abdo，doq平面1bc d，1ab平面1bc d，1ab平面1bc d. (2) 1ccq平面 acb ，bd平面 acb , 1ccbd，bdacq，ac平面11acc a，1cc平面11

26、acc a，bd平面11acc a，點(diǎn)b在平面11acc a上的投影為點(diǎn)d，直線1c b與平面11acc a所成角的為1bc d，3bdq，12 2bc，15c d，185310cos4252 2bc d. (3) 過點(diǎn)c作1cedc，又因?yàn)閎d平面11acc a，ce平面11acc a，所以cebd，bdq平面1bc d，1c d平面1bc d，ce平面1bc d，第 17 頁 共 21 頁cedm，所以存在點(diǎn)e，使cedm. 【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何線面平行，線面夾角，動(dòng)點(diǎn)問題，將線線垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直是解題的關(guān)鍵 . 20 已知數(shù)列na中，12a，124,2nnaan nnn.(1)

27、求數(shù)列na的通項(xiàng)公式 :(2) 設(shè)121nnba，求數(shù)列nb的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和nt.【答案】 (1)22nan(2) 12121nbnn，21nntn【解析】 (1) 124,2nnaan nnn利用累加法得到答案. (2) 計(jì)算111()2 2121nbnn，利用裂項(xiàng)求和得到前n項(xiàng)和nt. 【詳解】(1) 由題意可知142nnaan1246nnaan23410nnaan216aa12a左右累加得264642nann224222nn. (2) 11111()2121212 2121nnbannnn111111(1)23352121ntnn11(1)22121nnn. 【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列

28、的累加法，裂項(xiàng)求和法，是數(shù)列的常考題型. 21 如圖，三棱柱111abca b c的側(cè)面11bb c c是邊長(zhǎng)為2 的菱形，160b bc，第 18 頁 共 21 頁且1abb c.（ 1）求證：1abbabc；（ 2）若1abac，當(dāng)二面角1babc為直二面角時(shí)，求三棱錐1abb c的體積 .【答案】（1）見解析（ 2）22【解析】 （1）連結(jié)1bc，交1bc于點(diǎn)o，連結(jié)oa，推導(dǎo)出11b cbc，又1abb c，從而1b c面1abc，進(jìn)而1b coa，推導(dǎo)出1abcabb，由此能得到結(jié)論；（ 2）由題意， 可證得1b dc是二面角1babc的平面角， 進(jìn)而得190b dc，進(jìn)而計(jì)算得62oa，進(jìn)而利用棱錐的體積公式計(jì)算即可. 【詳解】（ 1）連結(jié)1bc，交1bc于點(diǎn)o，連結(jié)oa，因?yàn)閭?cè)面11bbc c是菱形，所以11b cbc，又因?yàn)?abb c，1abbcbi，所以1b c面1abc而oa平面1abc，所以，1b coa因?yàn)?ocob，所以1acab，而1bcbb，所以1abcabb，故1abbabc. 第 19 頁 共 21 頁（ 2）因?yàn)?abac，o為1bc的中點(diǎn)，則1aobc，由（ 1）可知1b coa，因?yàn)?1bcb coi，所以ao面11bcc b，作cdab，連結(jié)1b d，由（