泰勒公式與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、 泰勒公式與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用名稱 主要內(nèi)容泰勒公式泰勒中值定理：如果在含有的某個開區(qū)間內(nèi)具有階的導(dǎo)數(shù)，則對任一，有，此公式稱為階泰勒公式；其中（介于于之間），稱為拉格朗日型余項；或，稱為皮亞諾型余項。階麥克勞林公式：其中（）或。常用的初等函數(shù)的麥克勞林公式：1）2）3）4）5）6）鞏固練習(xí)1.按的冪展開多項式。知識點：泰勒公式。思路：直接展開法。求按的冪展開的階泰勒公式，則依次求直到階的導(dǎo)數(shù)在處的值，然后帶代入公式即可。解：，；，；，；將以上結(jié)果代入泰勒公式，得。2.求函數(shù)按的冪展開的帶有拉格朗日型余項的三階泰勒公式。知識點：泰勒公式。思路：同1。解：，；，；，；將以上結(jié)果代入泰勒公式，得，（介于與

2、4之間）。3.把在點展開到含項，并求。知識點：麥克勞林公式。思路：間接展開法。為有理分式時通常利用已知的結(jié)論。解：；又由泰勒公式知前的系數(shù)，從而。4.求函數(shù)按的冪展開的帶有皮亞諾型余項的階泰勒公式。知識點：泰勒公式。思路：直接展開法，解法同1；或者間接展開法，為對數(shù)函數(shù)時，通常利用已知的結(jié)論。方法一：（直接展開），；，；，；，；將以上結(jié)果代入泰勒公式，得。方法二：。5.求函數(shù)按的冪展開的帶有拉格朗日型余項的階泰勒公式。知識點：泰勒公式。思路：直接展開法，解法同1；或者間接展開法，為有理分式時通常利用已知的結(jié)論。方法一：，；，；，；將以上結(jié)果代入泰勒公式，得 （介于與之間）。方法二： （介于與之

3、間）。6.求函數(shù)的帶有皮亞諾型余項的階麥克勞林展開式。知識點：麥克勞林公式。思路：直接展開法，解法同1；間接展開法。中含有時，通常利用已知結(jié)論。方法一：，；，；，將以上結(jié)果代入麥克勞林公式，得 。方法二： 。7.驗證當(dāng)時，按公式計算的近似值時，所產(chǎn)生的誤差小于，并求的近似值，使誤差小于。知識點：泰勒公式的應(yīng)用。思路：利用泰勒公式估計誤差，就是估計拉格朗日余項的范圍。解：；。8.用泰勒公式取，求的近似值，并估計其誤差。知識點：泰勒公式的應(yīng)用。解：設(shè)，則，從而；其誤差為：。9.利用函數(shù)的泰勒展開式求下列極限：（1） ； （2） 。知識點：泰勒展開式的應(yīng)用。思路：間接展開法。利用已知的結(jié)論將函數(shù)展開

4、到適當(dāng)?shù)男问剑缓罄脴O限的運算性質(zhì)得到結(jié)果。解：（1）。（2）。10.設(shè)，證明：。知識點：泰勒公式。思路：用泰勒公式證明不等式是常用的一種方法。特別是不等式的一邊為某個函數(shù)，另一邊為其冪級數(shù)展開的一部分時，可考慮用泰勒公式。解：（介于與之間）， ，從而，結(jié)論成立。（也可用§3.4函數(shù)單調(diào)性的判定定理證明之）11.證明函數(shù)是次多項式的充要條件是。知識點：麥克勞林公式。思路：將按照麥克勞林公式形式展開，根據(jù)已知條件，得結(jié)論。解：必要性。易知，若是次多項式，則有。充分性。，的階麥克勞林公式為：，即是次多項式，結(jié)論成立。12.若在上有階導(dǎo)數(shù)，且證明在內(nèi)至少存在一點，使。知識點：泰勒中值定理

5、、拉格朗日中值定理。思路：證明，可連續(xù)使用拉格朗日中值定理，驗證在上滿足羅爾中值定理；或者利用泰勒中值定理，根據(jù)在處的泰勒展開式及已知條件得結(jié)論。方法一： 在上可導(dǎo)，且，由羅爾中值定理知，在內(nèi)至少存在一點，使得； 在上可導(dǎo)，且，由羅爾中值定理知，在內(nèi)至少存在一點，使得；依次類推可知，在 上可導(dǎo)，且，由羅爾中值定理知，在內(nèi)至少存在一點，使得。方法二：根據(jù)已知條件，在處的泰勒展開式為：，從而得，結(jié)論成立。內(nèi)容概要名稱 主要內(nèi)容函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)單調(diào)性的判別法：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則（1）若在內(nèi)，則在上單調(diào)增加；（2）若在內(nèi)，則在上單調(diào)減少。1） 曲線凹凸性的概念：設(shè)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，如果

6、對上任意兩點，恒有，則稱在上的圖形是凹的；如果恒有，則稱在上的圖形是凸的。2）拐點的概念：連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點成為曲線的拐點。曲線凹凸性的判別法：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，則（1）若在內(nèi)，則在上的圖形是凹的；（2）若在內(nèi)，則在上的圖形是凸的。鞏固練習(xí)1.證明函數(shù)單調(diào)增加。知識點：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：利用一階導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)的單調(diào)性是常用的方法。在某個區(qū)間上，（），則在單調(diào)增加（減少）。證明：（僅在處），在內(nèi)是單調(diào)增加的。2.判定函數(shù)的單調(diào)性。解：（僅在處），是單調(diào)增加的。3.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1） ； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）。知識點：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路

7、：利用一階導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)的單調(diào)性。求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，用導(dǎo)數(shù)為零的點及不可導(dǎo)點，將定義域劃分成若干個區(qū)間，然后在每個區(qū)間上判斷函數(shù)的單調(diào)性；如果劃分定義域的點有兩個或以上，可列表討論，使得思路更清晰一些。解：（1） 的定義域為；令，得，。列表討論如下：由上表可知，在、內(nèi)嚴(yán)格單增，而在內(nèi)嚴(yán)格單減。（2） 在內(nèi)，令，得；當(dāng) 時，有；當(dāng) 時，有；在內(nèi)嚴(yán)格單增，在內(nèi)嚴(yán)格單減。（3）的定義域為；令，得；為不可導(dǎo)點。列表討論如下：由上表可知，在、內(nèi)嚴(yán)格單增，而在內(nèi)嚴(yán)格單減。（4）的定義域為，在內(nèi)嚴(yán)格單增。（5）的定義域為，在上嚴(yán)格單增。（6）的定義域為，令，得；當(dāng)時，；當(dāng)時，；在內(nèi)嚴(yán)格單增，在內(nèi)嚴(yán)格單減。

8、4.證明下列不等式：（1） 當(dāng)時，； （2）當(dāng)時，；（3）當(dāng)時，； （4）時，。知識點：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用或者泰勒公式的應(yīng)用。思路：利用泰勒公式可以證明一些不等式（見習(xí)題3-3第10題），利用函數(shù)單調(diào)性也是證明不等式常用的方法。解：（1）方法一：令，則當(dāng)時，在上嚴(yán)格單增；從而，即，結(jié)論成立。方法二：由泰勒公式，得（），從而得，結(jié)論成立。（2）方法一：令，則當(dāng)時，在內(nèi)嚴(yán)格單增，從而，在內(nèi)嚴(yán)格單增，在內(nèi)，結(jié)論成立。注：利用的符號判斷的單調(diào)性，利用的單調(diào)性判斷其在某區(qū)間上的符號，從而得出在某區(qū)間上的單調(diào)性，也是常用的一種方法。方法二：令，當(dāng)時，在內(nèi)嚴(yán)格單增， ，從而有，即，結(jié)論成立。（3）令，則當(dāng)時有（僅在

9、時，），在上嚴(yán)格單增，從而有，即，結(jié)論成立。（4）令，則當(dāng)時，有從而在內(nèi)嚴(yán)格單增，即在內(nèi)；再令，則當(dāng)時，從而在內(nèi)嚴(yán)格單增，即在內(nèi)，結(jié)論成立。5.試證方程只有一個實根。知識點：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而討論方程的根是常用的方法。解：易知，即是方程的一個根；令，則（僅在處），在內(nèi)嚴(yán)格單增，從而只有一個零點，即方程只有一個實根。6.單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是否必為單調(diào)函數(shù)？研究例子：。知識點：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：利用一階導(dǎo)數(shù)符號判斷單調(diào)性，從而證明結(jié)論。解：單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不一定為單調(diào)函數(shù)。（僅在處），在內(nèi)嚴(yán)格單增；而在內(nèi)嚴(yán)格單減，在內(nèi)嚴(yán)格單增，從而在上不單調(diào)。7.求下列函數(shù)圖形的

10、拐點及凹凸區(qū)間：（1）； （2） ； （3） ；（4）； （5） ； （6） 。知識點：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：利用二階導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的凹凸性；求拐點和凹凸區(qū)間，用二階導(dǎo)數(shù)為零的點及不可導(dǎo)點，將定義域劃分成若干個區(qū)間，然后在每個區(qū)間上判斷函數(shù)的凹凸性；如果劃分定義域的點有兩個或以上，可列表討論，使得思路更清晰一些。解：（1），當(dāng)時，在上為凹函數(shù)，沒有拐點。（2）的定義域為；，令，得；當(dāng)或時，；當(dāng)或時，；的凹區(qū)間為、，凸區(qū)間為、；拐點為。（3） 的定義域為，在整個定義域上為凹函數(shù)，沒有拐點。（4）的定義域為，在整個定義域上為凹函數(shù)，沒有拐點。（5） 的定義域為，令，得；列表討論如下：由上表可知，的

11、凸區(qū)間為、，凹區(qū)間為，拐點為及。（6）的定義域為，令，得；當(dāng)時，；當(dāng)時，；的凹區(qū)間為，凸區(qū)間為，拐點為。8.利用函數(shù)圖形的凹凸性，證明不等式：（1）； （2）。知識點：函數(shù)凹凸性的概念。思路：利用函數(shù)凹凸性的概念可證明一些不等式，特別是不等式中含不同變量的線性組合及其函數(shù)值的線性組合時可考慮利用函數(shù)的凹凸性。證明：（1）令，在內(nèi)是凹的。利用凹函數(shù)的定義，有，結(jié)論成立。（2）令，在內(nèi)，在內(nèi)是凸的。利用凸函數(shù)的定義，有，結(jié)論成立。9.求曲線的拐點。知識點：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：同7。解：的定義域為，令，得，；現(xiàn)列表討論如下：由上表可知，拐點為、。10.問及為何值時，點為曲線的拐點？知識點：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。

12、思路：拐點通常是二階導(dǎo)數(shù)的零點或者是不可導(dǎo)點。又高階可導(dǎo)的函數(shù)的拐點一定是二階導(dǎo)數(shù)的零點。解：的定義域為，；將代入中，得：；將代入中，得：；由得，。11.試確定曲線中的、，使得在處曲線有水平切線，為拐點，且點在曲線上。知識點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：利用可導(dǎo)函數(shù)的拐點一定是二階導(dǎo)數(shù)的零點，在某點處的導(dǎo)數(shù)值等于該點處切線的斜率，以及已知條件，建立方程組，確定函數(shù)中的待定參數(shù)。解：，； 將代入，得 將分別代入與中，得 ； 將代入中，得 由得，。12.試確定中的值，使曲線的拐點處的法線通過原點。知識點：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：可導(dǎo)的拐點必為二階導(dǎo)數(shù)為零的點；依此求出拐點坐標(biāo)，寫出法線方程，根據(jù)已

13、知條件，求出值。解：的定義域為；，；令，得。易知，當(dāng)?shù)娜≈低ㄟ^的兩側(cè)時，會變號，與均為的拐點；，兩拐點處法線方程分別為：，；又兩法線過原點，將代入法線方程，得，解得。13.設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有三階導(dǎo)數(shù)，如果，而，試問是否為拐點，為什么？知識點：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：根據(jù)極限的保號性和拐點的定義得結(jié)論。方法一：，不妨設(shè)，即；由極限的保號性知，必存在，使得，均有；從而當(dāng)時，有，當(dāng)時，有；為拐點。內(nèi)容概要名稱 主要內(nèi)容函數(shù)的極值與最大值最小值極值的概念：設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，若對該鄰域內(nèi)任意一點（），恒有（或），則稱在點處取得極大值（或極小值），而成為函數(shù)的極大值點（或極小值點）。函數(shù)極值的判

14、別法第一充分條件：設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)（可以不存在），（1）若在的左鄰域內(nèi)，；在在的右鄰域內(nèi)，則在處取得極大值；（2）若在的左鄰域內(nèi)，；在在的右鄰域內(nèi)，則在處取得極小值；（3）若在的左鄰域內(nèi)，不變號，則在處沒有極值。注：第一充分條件利用一階導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性。第二充分條件：設(shè)在處具有二階導(dǎo)數(shù)，且，則（1）當(dāng)時，函數(shù)在處取得極大值；（2）當(dāng)時，函數(shù)在處取得極小值。注：利用駐點處二階導(dǎo)數(shù)符號判斷駐點是否為極值點。函數(shù)的最大值和最小值：注意函數(shù)極值和最值的區(qū)別和聯(lián)系五、練習(xí)五1.求下列函數(shù)的極值：（1） ； （2）； （3） ； （4） ； （5） ； （6）。知識點：極值的充分條件

15、。思路：求的點或者不存在的點，然后利用極值的第一或者第二充分條件進(jìn)行判斷。當(dāng)所有的極值可疑點多于兩個時，若利用第一充分條件，可列表討論；第二充分條件僅用來對駐點是否為極值點進(jìn)行判斷。解：（1）方法一： 的定義域為，令，得，；現(xiàn)列表討論如下：極大值點極小值點由上表知，在處取得極大值為，在處取得極小值為。方法二：令，得，；由得， ，由極值的第二充分條件知，在處取得極大值為，在處取得極小值為。（2）方法一：的定義域為，令，得；當(dāng)時，有；當(dāng)時，有，由極值的第一充分條件知，在處取得極小值為。方法二：的定義域為，令，得；又由，得，由極值的第二充分條件知，在處取得極小值為。（3） 方法一：的定義域為，令，得，；現(xiàn)列表討論如下：極小值點極大值點由上表知，在處取得極小值為，在處取得極大值為。方法二：的定義域為，令，得，；由，得，；由極值的第二充分條件知，在處取得極小值為，在處取得極大值為。（4） 的定義域為，令，得；當(dāng)時，有；當(dāng)時，有，由極值的第一充分條件知，在處取得極大值為。注：此題中的表達(dá)式比較繁瑣，所以優(yōu)先考慮第一充分條件。（5） 的定義域為，令，得，；由 ，得， ， ；由極值的第二充分條件知，在處取得極大值為，在處取得極小值為，。 注：此題的單調(diào)區(qū)間有無窮多個，所以優(yōu)先考慮第二充分條件。（6）的定義域為，令，得；為不可導(dǎo)點；現(xiàn)列表討論如下：極大值點極小值點由上