線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第一頁，共42頁。引言(ynyn) 狀態(tài)方程反映了控制輸入對狀態(tài)的影響；輸出方程反映系統(tǒng)輸出對控制輸入和狀態(tài)的依賴 能控性揭示系統(tǒng)輸入對狀態(tài)的制約能力；能觀性反映從外部對系統(tǒng)內(nèi)部的觀測能力；能控性和能觀性的概念(ginin)是卡爾曼在1960年提出，成為現(xiàn)代控制理論中最重要的概念(ginin)，是最優(yōu)控制設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。狀態(tài)(zhungti)空間模型建立了輸入、狀態(tài)(zhungti)、輸出之間的關(guān)系xAxBuyCxDu第1頁/共41頁第二頁，共42頁。3引 言可控性?？捎^測(gunc)性。確定(qudng)終態(tài)。各狀態(tài)。第2頁/共41頁第三頁，共42頁。4引 言第3頁/共41頁第四頁，共4

2、2頁。5xyuxxxx6021500421212116 4xyuxx1x2x2x1xuxx2522引 言終點(diǎn)(zhngdin),所以完全可控。第4頁/共41頁第五頁，共42頁。3.1 能控性3.1.1 定義(dngy) 若線性連續(xù)定常系統(tǒng)：如果存在一個(gè)無約束的輸入u(t)，能在有限時(shí)間區(qū)間 內(nèi)，使系統(tǒng)由某一初始狀態(tài)(zhungti)x(t0) = x0，轉(zhuǎn)移到指定的任意終端狀態(tài)(zhungti)x(tf) = xf，則稱此狀態(tài)(zhungti)是能控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)(zhungti)都是能控的，則稱系統(tǒng)是完全能控的，或簡稱系統(tǒng)是能控的。 有時(shí)也稱矩陣（A，B）是能控的。xAxBu0 ,ft

3、 t 若系統(tǒng)存在某一個(gè)狀態(tài)x(t0)不滿足上述條件(tiojin)，則此系統(tǒng)稱為不能控系統(tǒng)。第5頁/共41頁第六頁，共42頁。3.1 能控性3.1.1 定義(dngy)0 ,ft t時(shí)間段內(nèi)存在(cnzi)控制輸入u1(),fnx tPP0( )x tP第6頁/共41頁第七頁，共42頁。3.1.2 線性定常系統(tǒng)(xtng)的能控性判別1 從A與B判定(pndng)能控性（能控性判據(jù)）定理3.1-1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)(xtng)(A，B)其狀態(tài)完全能控的充要條件是其能控性矩陣的秩為n，即21nMB AB A BAB rankMn3.1 能控性第7頁/共41頁第八頁，共42頁。證明(zhngmng

4、) 定理已知狀態(tài)方程的解為ffftttttfdetet00)()()()(0)(BuxxAA在以下討論中，不失一般性，可設(shè)初始(ch sh)時(shí)刻為零，即t0 = 0以及終端狀態(tài)為狀態(tài)空間的原點(diǎn)，即x(tf ) = 0。則有ftde0)()0(BuxA利用(lyng)凱萊-哈密爾頓（CayleyHamilton）定理()( )0(0)( )ffftAtA tfox texeBud3.1.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別3.1 能控性第8頁/共41頁第九頁，共42頁。證明(zhngmng) 定理利用(lyng)凱萊-哈密爾頓（CayleyHamilton）定理10)(nkkkAAe100(0)( )

5、( )fntkkkxA Baud 進(jìn)而(jn r)得到因tf 是固定的，所以每一個(gè)積分都代表一個(gè)確定的量，令0( ) ( )ftkkaud3.1.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別3.1 能控性第9頁/共41頁第十頁，共42頁。證明(zhngmng) 定理011101(0)nk2nkknxA BBABA BAB 若系統(tǒng)是能控的，那么對于任意(rny)給定的初始狀態(tài)x(0)都應(yīng)從上述方程中解出 0，1，n 1來。這就要求系統(tǒng)能控性矩陣的秩為n，即rank B AB A2B An 1B = n3.1.2 線性定常系統(tǒng)(xtng)的能控性判別3.1 能控性第10頁/共41頁第十一頁，共42頁。12例3-1

6、 試判斷下列(xili)系統(tǒng)的狀態(tài)可控性。(1)(2)110001010110 xxu uxx1100410201223.1.2 線性定常系統(tǒng)(xtng)的能控性判別3.1 能控性第11頁/共41頁第十二頁，共42頁。139414212102bAAbbScnrankSScc31（1） 該系統(tǒng)(xtng)可控。 解： 2101112102bAAbbSc（2） 32nrankSc該系統(tǒng)(xtng)不可控。 3.1.2 線性定常系統(tǒng)(xtng)的能控性判別3.1 能控性第12頁/共41頁第十三頁，共42頁。14uxx1111123100202313.1.2 線性定常系統(tǒng)(xtng)的能控性判別3.1

7、 能控性第13頁/共41頁第十四頁，共42頁。rank =2t0內(nèi)，能夠根據(jù)輸出量y(t)在t0，tf內(nèi)的測量值，唯一地確定系統(tǒng)在時(shí)刻t0的初始狀態(tài)x(t0)，則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)是完全能觀測的，或簡稱系統(tǒng)能觀測的。討論線性系統(tǒng)的能觀測性?？紤](kol)零輸入時(shí)的狀態(tài)空間表達(dá)式xAxyCx第20頁/共41頁第二十一頁，共42頁。3.2.1 定義(dngy)能觀測性的概念非常重要，這是由于在實(shí)際問題中，狀態(tài)反饋控制遇到的困難是一些狀態(tài)變量不易直接量測。因而在構(gòu)造控制器時(shí)，必須首先估計(jì)(gj)出不可量測的狀態(tài)變量。在“系統(tǒng)綜合”部分我們將指出，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)是能觀測時(shí)，才能對系統(tǒng)狀態(tài)變量進(jìn)行觀測或估計(jì)(

8、gj)。3.2 能觀性第21頁/共41頁第二十二頁，共42頁。1 從A與C判定(pndng)能觀性（能觀性判據(jù)）定理3.2-1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)(xtng)(A，C)其狀態(tài)完全能觀的充要條件是其能觀性矩陣1nCCANCArankNn3.2 能觀性3.2.2 線性定常系統(tǒng)(xtng)的能觀性判別的秩為n，即)(1TnTTTTTCACACNrankNnT第22頁/共41頁第二十三頁，共42頁。證明(zhngmng) 定理已知系統(tǒng)(xtng)(A，C)狀態(tài)方程的解為在以下討論中，不失(b sh)一般性，可設(shè)初始時(shí)刻為零，即t0 = 0則有利用凱萊-哈密爾頓（CayleyHamilton）定理( )(

9、0)( )(0)AtAtx te xy tCe x00()()0( )( )( )tA t tA ttx tex teBud10)(nkkktteAA3.2.2 線性定常系統(tǒng)的能觀性判別1 從A與C判定能觀性（能觀性判據(jù)）第23頁/共41頁第二十四頁，共42頁。證明(zhngmng) 定理所以(suy)因?yàn)橐话?ybn)m n，此時(shí)，方程無唯一解。要使方程有唯一解，可以在不同時(shí)刻進(jìn)行觀測，得到y(tǒng)(t1)，y(t2)，y(tf )，此時(shí)把方程個(gè)數(shù)擴(kuò)展到n個(gè)，即)0()()(10 xCAttyknkk10110111( )( )(0)( )(0)( )(0)( )( )( )(0)nnmmnmny

10、 tt Cxt CAxt CAxCCAt It It IxCA1 從A與C判定能觀性（能觀性判據(jù)）3.2.2 線性定常系統(tǒng)的能觀性判別第24頁/共41頁第二十五頁，共42頁。證明(zhngmng) 定理)0()()()()()()()()()()()(111021212011111021xCACACIIIIIIIIImmmmmmmmmnfnffnnfttttttttttytyty）上式表明(biomng)，根據(jù)在（0，tf）時(shí)間間隔的測量值y(t1)，y(t2)，y(tf)，能將初始狀態(tài)x(0)唯一地確定下來的充要條件是能觀測性矩陣N滿秩。1 從A與C判定(pndng)能觀性（能觀性判據(jù)）3.

11、2.2 線性定常系統(tǒng)的能觀性判別第25頁/共41頁第二十六頁，共42頁。例3.2-1 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為判斷(pndun)其狀態(tài)能觀性。)(0101)()(11)(3112)(tttttxyuxx 10102121CNCArankN = 2 = n 所以系統(tǒng)是能觀測的。3.2.2 線性定常系統(tǒng)(xtng)的能觀性判別第26頁/共41頁第二十七頁，共42頁。解：0501310112CACACVnVrank3該系統(tǒng)(xtng)可觀測。 321321321011102101110221xxxyuxxxxxx, 05V3.2.2 線性定常系統(tǒng)(xtng)的能觀性判別第27頁/共41頁第二十八頁，共42

12、頁。xyxbax11,01解：baCACV111101ababV ，系統(tǒng)(xtng)可觀測。 3.2.2 線性定常系統(tǒng)(xtng)的能觀性判別第28頁/共41頁第二十九頁，共42頁。2.可觀測(gunc)性對角型判據(jù)3.2.2 線性定常系統(tǒng)(xtng)的能觀性判別第29頁/共41頁第三十頁，共42頁。 321321100050007xxxxxx 32121130023xxxyy例3.2-3: 試判別以下系統(tǒng)(xtng)的狀態(tài)可觀測性。 （1）可觀測(gunc)2.可觀測(gunc)性對角型判據(jù)3.2.2 線性定常系統(tǒng)的能觀性判別（1）7( )5( )1 ( )045( )tty ttxxx（2

13、）（2）不可觀測第30頁/共41頁第三十一頁，共42頁。3.可觀測(gunc)性約當(dāng)型判據(jù)3.2.2 線性定常系統(tǒng)(xtng)的能觀性判別第31頁/共41頁第三十二頁，共42頁。例3.2-4: 試判別下列(xili)系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測性。 432143213001320012)1xxxxxxxx 43212111100110 xxxxyyuxxxxxx 101200120001)2321321 321011xxxy1) 不可(bk)觀測2) 可觀測(gunc)3.2.2 線性定常系統(tǒng)的能觀性判別第32頁/共41頁第三十三頁，共42頁。3.3 能控性與能觀性的對偶(du u)關(guān)系 從前面幾節(jié)的討論

14、中可以看出控制系統(tǒng)的能控性和能觀測性，無論從定義或其判據(jù)方面都是很相似的。這種相似關(guān)系決非偶然的巧合，而是有著內(nèi)在的必然(brn)聯(lián)系，這種必然(brn)的聯(lián)系即為對偶性原理：設(shè)系統(tǒng)(xtng)1的狀態(tài)空間表達(dá)式為設(shè)系統(tǒng)2的狀態(tài)空間表達(dá)式為)()()()()(11111tttttCxyBuAxx )()()()()(22222tttttTTTxByuCxAx 稱系統(tǒng)1和系統(tǒng)2是互為對偶的，即2是1的對偶系統(tǒng)，反之， 1是2的對偶系統(tǒng)。第33頁/共41頁第三十四頁，共42頁。nranknpnnB BA AB BA AABABB B12 控的充要條件是其狀態(tài),對于系統(tǒng)1可nranknpnnB BA

15、 AB BA AA AB BB B12 的充要條件是觀狀態(tài),對于系統(tǒng)2測可3.3 能控性與能觀性的對偶(du u)關(guān)系nranknqnnT TT TT TT TT TT TT TC CA AC CA AC CA AC C12 控的充要條件是其狀態(tài),對于系統(tǒng)2可nranknqnnT TT TT TT TT TC CA AC CA AC C1 的充要條件是觀狀態(tài),對于系統(tǒng)1測可第34頁/共41頁第三十五頁，共42頁。結(jié)論(jiln)：系統(tǒng)S1可控的充要條件恰是其對偶系統(tǒng)S2可觀測的充要條件；系統(tǒng)S1可觀測的充要條件又是其對偶系統(tǒng)S2可控的充要條件。3.3 能控性與能觀性的對偶(du u)關(guān)系第35

16、頁/共41頁第三十六頁，共42頁。buAxxCxy )()()()()(1sDsNbASIASIadjCbASICsG 對于單輸入單輸出(shch)系統(tǒng):3.4 零極點(diǎn)對消(duxio)與能控性和能觀性的關(guān)系第36頁/共41頁第三十七頁，共42頁。5 . 25 . 15 . 2) 1)(5 . 2(5 . 2)(2sssssssGuxx105 . 15 . 210 xy15 . 215 . 215 . 2CACV1 Vrank不可(bk)觀測3.4 零極點(diǎn)對消(duxio)與能控性和能觀性的關(guān)系第37頁/共41頁第三十八頁，共42頁。uxx15 . 25 . 115 . 20 xy102.52.5,111CcSBABrankS不可控3.4 零極點(diǎn)對消(duxio)與能控性和能觀性的關(guān)系第38頁/共41頁第三十九頁，共42頁。uxx015 . 200110yx不可(bk)控不可(bk)觀測2x3.4 零極點(diǎn)(jdin)對消與能控性和能觀性的關(guān)系第39頁/共41頁第四十頁，共42頁。1 理解能控性、能觀性的基本概念。2 掌握能控性、能觀性秩判據(jù)(pn j)的內(nèi)容。3 熟練掌握能控性、能觀性秩判據(jù)(pn j)的使用。4 掌握能控性、能觀性對角型、約旦型判據(jù)(pn j)。本章(bn zhn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第40