線性代數1.5學習教案

1、會計學1第一頁，共32頁。,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例如例如(lr) 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa一、余子式與代數一、余子式與代數(dish)(dish)余子式余子式2223212321221 11 21 3111213323331333132( 1)( 1)( 1)aaaaaaaaaaaaaaa 第

2、1頁/共31頁第二頁，共32頁。在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃去后，留下來的列劃去后，留下來的 階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，記作，記作nijaij1 nija.Mij ，記記ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的的代數余子式代數余子式ija例如例如(lr)44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M 定 義第2頁/共31頁第三頁，共32頁。引理引理 一個一個 階行列式，如果其

3、中第階行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都為零，那么這行列式等于外都為零，那么這行列式等于 與它的代數余子式的乘積，即與它的代數余子式的乘積，即 ijijAaD niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD .14442412422211412113333aaaaaaaaaa 第3頁/共31頁第四頁，共32頁。222111211nnnpppnpppa aa證證當當 位于第一行第一列時位于第一行第一列時,ijannnnnaaaaaaaD21222211100 即有.1111MaD 1 111111AM 又因為從而(cng r

4、)11111111.Da Ma A2221121nnnpppnpppaaa第4頁/共31頁第五頁，共32頁。nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 ,1,2,1行行對對調調第第行行第第行行行行依依次次與與第第的的第第把把 iiiD得得 nnnjnnijiiijiaaaaaaaD1, 1, 11 , 11001 再證一般再證一般(ybn)情形情形,此時此時(c sh)第5頁/共31頁第六頁，共32頁。 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 12001 ,1,2,1對對調調列列第第列列第第列列列列依依次次與與第第的的第第再再把把 jjjD得得 nnjnnjni

5、jijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1110011 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 1001 第6頁/共31頁第七頁，共32頁。nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 中的余子式中的余子式.ijM在在余余子子式式仍仍然然是是中中的的在在行行列列式式元元素素ijnnjnnjnijijiijijaaaaaaaaa1,11,1,100 ijaija第7頁/共31頁第八頁，共32頁。 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1001 .1ijijjiMa 于是有于是有nnjnnjnijijiijaaaaaaa1,

6、11, 1, 100 ,ijijMa ijaija.ijija A第8頁/共31頁第九頁，共32頁。定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素(yun s)(yun s)與其對應的代數余子式乘積之和，即與其對應的代數余子式乘積之和，即11221=niiiiininikikkDa Aa Aa Aa A ni, 2 , 1 證證nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 二、行列式按行（列）展開二、行列式按行（列）展開(zhn ki)法則法則(Laplace 定理定理)第9頁/共31頁第十頁，共32頁。nnnninaaaaaaa2111

7、121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211 ni, 2 , 1 第10頁/共31頁第十一頁，共32頁。例例13351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 0551111115) 1(33 5526)1(31 5028 .40 055026115 12rr 目的(md)：降階目的(md)：降階第11頁/共31頁第十二頁，共32頁。 證證用數學用數學(shxu)歸納法歸納法21211xxD 12xx , )(12 jijixx）式式成成立立時時

8、（當當12 n例例2證明證明(zhngmng)范德蒙德范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(第12頁/共31頁第十三頁，共32頁。，階范德蒙德行列式成立階范德蒙德行列式成立）對于）對于假設（假設（11 n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 就就有有提提出出，因因子子列列展展開開，并并把把每每列列的的公公按按第第)(11xxi 11jjrrx從最后(zuhu)一行開始，目的(md)

9、：降階第13頁/共31頁第十四頁，共32頁。)()()(211312jjininnxxxxxxxxD ).(1jjinixx 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1階范德蒙德行列式階范德蒙德行列式弄清楚ix代表的具體數值1()ijn ijxx 的確切(quqi)含義211113019pp例如(lr)，若求 的值p數學歸納法數學歸納法第14頁/共31頁第十五頁，共32頁。推論推論(tuln) (tuln) 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數余子式乘積之和等于零，即行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數余子式乘積之和

10、等于零，即. ji,AaAaAajninjiji 02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 證證行行展展開開，有有按按第第把把行行列列式式jaDij)det( 第15頁/共31頁第十六頁，共32頁。,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可得可得換成換成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,時時當當ji 11220.ijijinjna Aa Aa AD同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同第16頁/共31頁第十七頁，共32頁。1,nikjkijka AD代數余子式

11、的性質代數余子式的性質(xngzh)小結小結:1,0,;nkikjkDija Aij當當1,0,;nikjkkDija Aij當當1,0,.ijijij當，其中當1nikjkijka AD第17頁/共31頁第十八頁，共32頁。習題(xt)一 10（5）求1111111111111111xxyy11111 0 1111 01111 0111xxyy解： 原式=11111111 1110 1111111011111110111xxxyyyy1111111000111000111000 xxxyyyy降階第18頁/共31頁第十九頁，共32頁。0000000ababaa習題(xt) 13 （1）00

12、000 00 0 00 00na ba bDa bba100000( 1)000nbabbb 1( 1)nnnab 第19頁/共31頁第二十頁，共32頁。12111111111nnaaDa習題(xt) 13 （2）121111 0 111 011naaa21111 11111naa1211011011naaa21110000naa231111111111naaaa1n 階第20頁/共31頁第二十一頁，共32頁。2iina 11na DnD同理1223nini nDaa D 12223()niinininDaaaa D 1112212iiininnaaa a Daa 111121123(1)ii

13、ii ni ni nnnaaaa aaaaaa 1111 2112iiii ni ni nnnnaaaaaa aaaa 遞推歸納(gun)第21頁/共31頁第二十二頁，共32頁。122222222232222nDn習題(xt) 13 （3）2 1 2 222 0 2 222 0 2 322 0 2 2n222222222232222n1 2220222+ 0232022n012220222003200002n2(2)!n 第22頁/共31頁第二十三頁，共32頁。0112111100100100nnaaDaa習題(xt) 14 （1）0121111100100100nnaaaaa121+1110

14、0100( 1)1001000nnaaa nna D121+1110000( 1)( 1)00nnnaaa 1.2n 時成立，112101()nnniiaa aaaa121na aa1 2101()nnniia aaaaa利用歸納(gun)假設第23頁/共31頁第二十四頁，共32頁。15.1234422221234444412341111aaaaDaaaaaaaa1234222221234533333312444444312411111aaaayaaaayDaaaayaaaay記123414()()()()()ijj iy x y xy x y xxx 34 54( 1)yD3123414()

15、()ijj iyxxxxxx 4+1階，加邊升階(shn ji)比較(bjio)系數第24頁/共31頁第二十五頁，共32頁。4 54123414( 1)()()ijj iDxxxxxx 從而，由兩邊(lingbin)系數相等得即4123414()()ijj iDxxxxxx 第25頁/共31頁第二十六頁，共32頁。分塊行列式分塊行列式:1112212211121112212221220000aaaaccbbccbbAOCBAB證明(zhngmng)：左邊(zu bian)=221112111222212200aacbbcbb211 21211111221212200( 1)aacbbcbb 1

16、11211 222122bba abb111212 212122bba abb1112111221222122aabbaabbAB第26頁/共31頁第二十七頁，共32頁。例例111111111111kkkkknnnknnnaaOaaDccbbccbb設11111,kkkkaaDaa11121,nnnnbbDbb.21DDD 證明證明(zhngmng)記第27頁/共31頁第二十八頁，共32頁。證明證明(zhngmng);0111111kkkkkpppppD 設設為為化為下三角形行列式化為下三角形行列式，把，把作運算作運算對對11DkrrDji 化化為為下下三三角角形形行行列列式式把把作作運運算算

17、對對22,DkccDji .0111112nnnknqqpqqD 設設為為第28頁/共31頁第二十九頁，共32頁。,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 化化為為下下三三角角形形行行列列式式把把算算列列作作運運，再再對對后后行行作作運運算算的的前前對對DkccnkrrkDjiji, 111112kknnDppqqD D故第29頁/共31頁第三十頁，共32頁。行列式求解(qi ji)：jikrr 把行列式化為上、下三角形行列式等特殊把行列式化為上、下三角形行列式等特殊(tsh)形式；形式；2. 利用運算性質，利用運算性質，特別是性質特別是性質6：3. 利用利用Laplace展開定理，進行降階處理：展開定理，進行降階處理：1. 利