線性代數(shù)課件pptPPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第一頁(yè)，共91頁(yè)。第1頁(yè)/共90頁(yè)第二頁(yè)，共91頁(yè)。某航空公司在某航空公司在A,B,C,D四城市之四城市之間開辟間開辟(kip)了若干航線了若干航線 ,如圖所如圖所示表示了四城市間的航班圖示表示了四城市間的航班圖,如果如果從從A到到B有航班有航班,則用帶箭頭的線連則用帶箭頭的線連接接 A 與與B.四城市間的航班圖情況可用表格四城市間的航班圖情況可用表格(biog)來(lái)來(lái)表示表示:一、矩陣一、矩陣(j zhn)概概念的引入念的引入 C 到站 A B C D 發(fā)站 A B D CCABD第2頁(yè)/共90頁(yè)第三頁(yè)，共91頁(yè)。ABCDABCD0110101010010100011010101001

2、0100第3頁(yè)/共90頁(yè)第四頁(yè)，共91頁(yè)。 由由 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)排成的排成的 行行 列的數(shù)表列的數(shù)表nm mn njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211稱為稱為m行行n列矩陣列矩陣(j zhn)，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱mXn矩陣矩陣(j zhn)。記作。記作第4頁(yè)/共90頁(yè)第五頁(yè)，共91頁(yè)。111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa簡(jiǎn)記簡(jiǎn)記(jin j)(jin j)為為 .ijnmijnmaaAA 元元的的矩陣矩陣nmA,.,簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱為為元元的的元元素素個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)稱稱為為這這Anm 元素是實(shí)數(shù)的矩陣元素是實(shí)數(shù)的矩陣(j zhn)稱為實(shí)矩陣

3、稱為實(shí)矩陣(j zhn),元素元素(yun s)是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.主對(duì)角線主對(duì)角線副對(duì)角線副對(duì)角線第5頁(yè)/共90頁(yè)第六頁(yè)，共91頁(yè)。11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb 例例1:1:線性方程組線性方程組11121121222212nnmmmnmaaabaaabaaab線性方程組的系數(shù)線性方程組的系數(shù)(xsh)與常數(shù)項(xiàng)按原位置可排為與常數(shù)項(xiàng)按原位置可排為的解取決于系數(shù)的解取決于系數(shù) 與常數(shù)項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)ijaib對(duì)線性方程組的對(duì)線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對(duì)研究可轉(zhuǎn)化為對(duì)這個(gè)矩陣的研究這個(gè)矩陣的研究

4、. .第6頁(yè)/共90頁(yè)第七頁(yè)，共91頁(yè)。例例2 2： 假設(shè)要將民用煤從假設(shè)要將民用煤從3個(gè)產(chǎn)地運(yùn)往個(gè)產(chǎn)地運(yùn)往4個(gè)銷售地。如果個(gè)銷售地。如果用用ija表示由產(chǎn)地表示由產(chǎn)地) 3 , 2 , 1( iPi運(yùn)到銷售地運(yùn)到銷售地)4 , 3 , 2 , 1( jSj的數(shù)量（單位：的數(shù)量（單位： ）：）：t23a12a1S2S3S4S1P3P2P11a13a14a21a22a24a31a32a33a34a343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa第7頁(yè)/共90頁(yè)第八頁(yè)，共91頁(yè)。三、幾種三、幾種(j zhn)特殊矩陣特殊矩陣1、當(dāng)、當(dāng)m=1時(shí)，只有一行時(shí)，只有一行(yxng

5、)的矩陣：的矩陣： ,21naaaA 稱為稱為(chn wi)行矩陣行矩陣(或行向量或行向量)。2、當(dāng)、當(dāng)n=1時(shí)，只有一列的矩陣：時(shí)，只有一列的矩陣：,21maaaB稱為稱為列矩陣列矩陣(或列向量或列向量)。3、當(dāng)、當(dāng)m=n時(shí)，時(shí)，n階方陣，記作階方陣，記作 。nA當(dāng)當(dāng)m=n=1時(shí)，可看做一個(gè)時(shí)，可看做一個(gè)數(shù)數(shù)。第8頁(yè)/共90頁(yè)第九頁(yè)，共91頁(yè)。4 4、主對(duì)角線以外的所有主對(duì)角線以外的所有元素全為零的方陣稱為元素全為零的方陣稱為對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣. . n 00000021O不全為不全為0 0O注注(1)(1). .當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣 稱為稱為數(shù)量矩?cái)?shù)量矩陣陣. . 12n AA12

6、1n (2).(2).當(dāng)當(dāng)時(shí)，對(duì)角矩陣時(shí)，對(duì)角矩陣稱為稱為單位矩陣單位矩陣, , 記做記做 .nE第9頁(yè)/共90頁(yè)第十頁(yè)，共91頁(yè)。5 5、形如、形如形如形如 11121222nnnnaaaaaa 11212212nnnnaaaaaa 的矩陣的矩陣(j zhn)(j zhn)稱為上三角矩陣稱為上三角矩陣(j zhn).(j zhn).的矩陣稱為的矩陣稱為(chn wi)下三角矩陣下三角矩陣.上三角上三角(snjio)(snjio)矩陣與下三角矩陣與下三角(snjio)(snjio)矩陣統(tǒng)稱為三角矩陣統(tǒng)稱為三角(snjio)(snjio)矩陣矩陣. .第10頁(yè)/共90頁(yè)第十一頁(yè)，共91頁(yè)。 6

7、6、元素全為零的矩陣稱為、元素全為零的矩陣稱為零矩陣零矩陣， 零零矩陣記作矩陣記作 或或 . .nm nmo o注意注意(zh y)不同不同(b tn)階數(shù)的零矩陣是不階數(shù)的零矩陣是不相等的相等的. .00000000000000000000 例例如如第11頁(yè)/共90頁(yè)第十二頁(yè)，共91頁(yè)。 2.2.兩個(gè)矩陣兩個(gè)矩陣 為同型矩陣為同型矩陣, ,并且對(duì)應(yīng)元素相等并且對(duì)應(yīng)元素相等, ,即即 ijijAaBb與 , 2 , 1;, 2 , 1njmibaijij 則稱矩陣則稱矩陣 相等相等, ,記作記作BA與與.BA 例如例如 9348314736521與與為為同型矩陣同型矩陣.四、同型矩陣四、同型矩

8、陣(j zhn)與矩與矩陣陣(j zhn)相等相等 1.兩個(gè)(lin )矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)相等時(shí),稱為同型矩陣.第12頁(yè)/共90頁(yè)第十三頁(yè)，共91頁(yè)。例例3: 設(shè)設(shè),131,213321 zyxBA.,zyxBA求求已知已知 解解:,BA . 2, 3, 2 zyx第13頁(yè)/共90頁(yè)第十四頁(yè)，共91頁(yè)。第14頁(yè)/共90頁(yè)第十五頁(yè)，共91頁(yè)。、定義、定義(dngy) mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111設(shè)有兩個(gè)設(shè)有兩個(gè) 矩陣矩陣 那么矩陣那么矩陣 與與 的的和和記作記作 ，規(guī)定為，規(guī)定為nm ,bB,aAijij AB

9、BA 第15頁(yè)/共90頁(yè)第十六頁(yè)，共91頁(yè)。說(shuō)明說(shuō)明 只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能(cinng)進(jìn)進(jìn)行加法運(yùn)算行加法運(yùn)算.例如例如(lr) 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 第16頁(yè)/共90頁(yè)第十七頁(yè)，共91頁(yè)。2 2、 矩陣矩陣(j zhn)(j zhn)加法的運(yùn)算規(guī)律加法的運(yùn)算規(guī)律 ;1ABBA .2CBACBA mnmmnnaaaaaaaaaA1122221112113 ., 04BABAAA ,ija .負(fù)矩陣負(fù)矩陣的的稱為矩陣稱為矩陣A第17頁(yè)/共90頁(yè)第十八頁(yè)，共91頁(yè)。1 1

10、、定義、定義(dngy)(dngy).112222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 規(guī)定為規(guī)定為或或的乘積記作的乘積記作與矩陣與矩陣數(shù)數(shù), AAA第18頁(yè)/共90頁(yè)第十九頁(yè)，共91頁(yè)。 ;1AA ;2AAA .3BABA 2 2、數(shù)乘矩陣、數(shù)乘矩陣(j zhn)(j zhn)的運(yùn)算規(guī)律的運(yùn)算規(guī)律矩陣矩陣(j zhn)(j zhn)相加與數(shù)乘矩陣相加與數(shù)乘矩陣(j zhn)(j zhn)合起來(lái)合起來(lái), ,統(tǒng)統(tǒng)稱為矩陣稱為矩陣(j zhn)(j zhn)的線性運(yùn)算的線性運(yùn)算. .（設(shè)（設(shè) 為為 矩陣，矩陣， 為數(shù)）為數(shù)） ,nm BA、第19頁(yè)/共90頁(yè)第二十頁(yè)，共91頁(yè)。例例1

11、1：已知已知 32 751043 ,6802A 20145176,4219B 求求32 .AB 32AB 136197722211028224 32752014310432517668024219 962115402830129102141218240684218 解：解：第20頁(yè)/共90頁(yè)第二十一頁(yè)，共91頁(yè)。三、矩陣三、矩陣(j zhn)的的乘法乘法引例引例(yn l)：某校明后兩年計(jì)劃某校明后兩年計(jì)劃(jhu)建筑教學(xué)樓和宿舍樓。建筑面積及材料耗用量如表：建筑教學(xué)樓和宿舍樓。建筑面積及材料耗用量如表：教學(xué)樓教學(xué)樓宿舍樓宿舍樓明年明年2010后年后年3020建筑面積（單位：建筑面積（單位：

12、100平方米）平方米）材料（每材料（每100平方米耗用量，單位：噸）平方米耗用量，單位：噸）鋼材鋼材水泥水泥鋁材鋁材教學(xué)樓教學(xué)樓2180.4宿舍樓宿舍樓1.5150.5 明后兩年三種建筑材料的耗用量（單位：噸）明后兩年三種建筑材料的耗用量（單位：噸） 鋼材鋼材水泥水泥鋁材鋁材明年明年后年后年1.510220151018200.5100.4201.520230152018300.5200.430第21頁(yè)/共90頁(yè)第二十二頁(yè)，共91頁(yè)。20301020A5 . 0155 . 14 . 0182B5 . 0204 . 030152018305 . 1202305 . 0104 . 020151018

13、205 . 110220C C稱為(chn wi)A與B的乘積第22頁(yè)/共90頁(yè)第二十三頁(yè)，共91頁(yè)。、定義、定義(dngy) skkjiksjisjijiijbabababac12211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi 并把此乘積并把此乘積(chngj)記作記作.ABC 設(shè)設(shè) 是一個(gè)是一個(gè) 矩陣，矩陣， 是一個(gè)是一個(gè) 矩陣，那么規(guī)定矩陣矩陣，那么規(guī)定矩陣 與矩陣與矩陣 的乘積的乘積是一個(gè)是一個(gè) 矩陣矩陣 ，其中，其中 ijaA sm ijbB ns nm ijcC AB第23頁(yè)/共90頁(yè)第二十四頁(yè)，共91頁(yè)。nmskkjiknmijbacCAB)()(1注：注：1、只有當(dāng)左邊矩陣、只

14、有當(dāng)左邊矩陣A的列數(shù)和右邊矩陣的列數(shù)和右邊矩陣B的行數(shù)相等時(shí)，的行數(shù)相等時(shí)，A與與B才能相乘，簡(jiǎn)稱才能相乘，簡(jiǎn)稱(jinchng)為為行乘列規(guī)則；行乘列規(guī)則；2、矩陣、矩陣C中第中第i行第行第j列的元素列的元素(yun s)等于左矩陣等于左矩陣A的第的第i行元素行元素(yun s)與右矩陣與右矩陣B的第的第j列對(duì)應(yīng)元列對(duì)應(yīng)元素乘積之和；素乘積之和；3、AB仍為矩陣。它的行數(shù)等于仍為矩陣。它的行數(shù)等于(dngy)A的行數(shù)，它的列數(shù)等于的行數(shù)，它的列數(shù)等于(dngy)B的列數(shù)，矩陣乘法的的列數(shù)，矩陣乘法的示意圖如下：示意圖如下：第J列mxssxnmxnijc第i行第24頁(yè)/共90頁(yè)第二十五頁(yè)，共9

15、1頁(yè)。例例2：222263422142 C22 16 32 816設(shè)設(shè) 415003112101A 121113121430B例例3 3：?第25頁(yè)/共90頁(yè)第二十六頁(yè)，共91頁(yè)。故故 121113121430415003112101ABC. 解解 ,43 ijaA , 34 ijbB .33 ijcC5 671026 2 17 10第26頁(yè)/共90頁(yè)第二十七頁(yè)，共91頁(yè)。對(duì)于對(duì)于(duy)線性方程組線性方程組 ,22112222212111212111 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211設(shè)設(shè),21 nxxx

16、X,21mbbbB第27頁(yè)/共90頁(yè)第二十八頁(yè)，共91頁(yè)。根據(jù)矩陣的乘法，根據(jù)矩陣的乘法， nmnmmnnxxxaaaaaaaaaAX21212222111211它是一個(gè)它是一個(gè)m行一列的矩陣，根據(jù)矩陣相等行一列的矩陣，根據(jù)矩陣相等(xingdng)的定義的定義可得可得 ,21221122221211212111 mnmnmmnnnnbbbxaxaxaxaxaxaxaxaxa 所以方程組可以所以方程組可以(ky)用矩陣的乘法來(lái)表示方用矩陣的乘法來(lái)表示方程組中系數(shù)組成的矩陣程組中系數(shù)組成的矩陣A稱為系數(shù)矩陣，稱為系數(shù)矩陣， 第28頁(yè)/共90頁(yè)第二十九頁(yè)，共91頁(yè)。方程組中系數(shù)方程組中系數(shù)(xsh

17、)與常數(shù)組成的矩陣與常數(shù)組成的矩陣 mmnmmnnbaaabaaabaaa21222221111211稱為增廣稱為增廣(zn un)矩陣，記為矩陣，記為 )(AA第29頁(yè)/共90頁(yè)第三十頁(yè)，共91頁(yè)。例例4 :4 :利用利用(lyng)(lyng)矩陣表示線性方程組矩陣表示線性方程組 14322243232414324321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx,1432214332144321 A解解：設(shè)設(shè),1221 B,4321 xxxxX第30頁(yè)/共90頁(yè)第三十一頁(yè)，共91頁(yè)。所以所以(suy)方程組可表示為方程組可表示為 ： 122114322143321443214

18、321xxxx第31頁(yè)/共90頁(yè)第三十二頁(yè)，共91頁(yè)。例例5：求AB和BA130412A(1)，10897B(2)321A，654B(3)1111A，1111B第32頁(yè)/共90頁(yè)第三十三頁(yè)，共91頁(yè)。解解:(1)10897130412ABBABA無(wú)意義無(wú)意義(yy)(yy)(2)654321AB321654BABAAB BAAB (3)11111111AB11111111BABAAB 1713362828221815121210865432)32(00002222第33頁(yè)/共90頁(yè)第三十四頁(yè)，共91頁(yè)。注注 只有當(dāng)左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)只有當(dāng)左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)(

19、lin )矩陣才能矩陣才能相乘。相乘。 矩陣乘法不滿足交換律矩陣乘法不滿足交換律,AB稱稱B右乘右乘A，BA稱稱B左乘左乘A。 當(dāng)當(dāng)AB有意義時(shí)有意義時(shí),BA不一定有意義。不一定有意義。 即使即使BA有意義，有意義，AB也不一定與也不一定與BA相等相等 兩個(gè)兩個(gè)(lin )非零矩陣的乘積可能是零矩陣。非零矩陣的乘積可能是零矩陣。 即當(dāng)即當(dāng)AB=O時(shí)，不能推出時(shí)，不能推出A=O或或B=O （與實(shí)數(shù)乘法相區(qū)別）（與實(shí)數(shù)乘法相區(qū)別） 再例如：再例如： 故當(dāng)故當(dāng)AB=AC，且，且AO時(shí)，不能推出時(shí)，不能推出B=C。 00000000dcbaAB000000000dbaAC若若AO，BO且且AB=O時(shí)，

20、時(shí)，A是是B的左零因子的左零因子(ynz)，B是是A的右零因子的右零因子(ynz)。零因子零因子(ynz)不唯一。不唯一。第34頁(yè)/共90頁(yè)第三十五頁(yè)，共91頁(yè)。,100010001,333231232221131211EaaaaaaaaaA100010001333231232221131211aaaaaaaaaAE.EAAE和求;333231232221131211Aaaaaaaaaa 333231232221131211100010001aaaaaaaaaEA.333231232221131211Aaaaaaaaaa 單位矩陣單位矩陣E在矩陣的乘法在矩陣的乘法(chngf)中與數(shù)中與數(shù)1在

21、數(shù)中的乘法在數(shù)中的乘法(chngf)中所起的作用相中所起的作用相似似例例6 6：解：解：第35頁(yè)/共90頁(yè)第三十六頁(yè)，共91頁(yè)。若兩個(gè)若兩個(gè)(lin )矩陣矩陣A與與B滿足滿足AB=BA，則稱，則稱A與與B是可交換的。是可交換的。 由于矩陣乘法不滿足交換律，所以由于矩陣乘法不滿足交換律，所以(suy)在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，千萬(wàn)在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，千萬(wàn)要注意，不能把左、右次序顛倒要注意，不能把左、右次序顛倒 可以交換。與驗(yàn)證設(shè)BABA,2141,3140 21413140AB證：證： 10284 31402141BA 10284因?yàn)橐驗(yàn)锳B=BA，所以，所以(suy)A 與與B 可交換可交換 .例例7 7：第

22、36頁(yè)/共90頁(yè)第三十七頁(yè)，共91頁(yè)。、矩陣乘法的運(yùn)算、矩陣乘法的運(yùn)算(yn sun)規(guī)律規(guī)律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB3（其中（其中 為數(shù)）為數(shù)）; (5)若若A是是 階矩陣，則階矩陣，則 為為A的的 次冪，即次冪，即 并且并且 nkAk 個(gè)個(gè)kkAAAA ,AAAkmkm .mkkmAA 為為正正整整數(shù)數(shù)k,m注矩陣注矩陣(j zhn)不滿足交換律，即：不滿足交換律，即：,BAAB .BAABkkk nmnmmnnmAAEEA)4(第37頁(yè)/共90頁(yè)第三十八頁(yè)，共91頁(yè)。定義定義 把矩陣把矩陣 的行換成列得到的新矩陣，叫做的行換成列得到的新矩陣，

23、叫做 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 .AA或AA例例8：,854221 A;825241 TA ,618 B.618 TB、轉(zhuǎn)置、轉(zhuǎn)置(zhun zh)矩陣矩陣第38頁(yè)/共90頁(yè)第三十九頁(yè)，共91頁(yè)。2、轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算、轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算(yn sun)性質(zhì)性質(zhì) ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 第39頁(yè)/共90頁(yè)第四十頁(yè)，共91頁(yè)。例例9 9： 已知已知,102324171,231102 BA .TAB求求解法解法(ji f)1 102324171231102AB,1013173140 .1031314170 TAB第40頁(yè)/共90頁(yè)第四十一頁(yè)，共91頁(yè)。解

24、法解法(ji f)2 TTTABAB 213012131027241.1031314170 第41頁(yè)/共90頁(yè)第四十二頁(yè)，共91頁(yè)。矩陣(j zhn)的初等變換與矩陣(j zhn)的秩第42頁(yè)/共90頁(yè)第四十三頁(yè)，共91頁(yè)。 1232323231425xxxxxxx2；123123132314254226xxxxxxxx1232332315318xxxxxx1232323231542xxxxxxx4一、消元法解線性方程組123916xxx 第43頁(yè)/共90頁(yè)第四十四頁(yè)，共91頁(yè)。6202452413125110214013121232323231425xxxxxxx)2() 1(1231231

25、32314254226xxxxxxxx2131011504121232323231542xxxxxxx2； 第44頁(yè)/共90頁(yè)第四十五頁(yè)，共91頁(yè)。21310115041221310115003181232323231542xxxxxxx1232332315318xxxxxx )4(100901010016123916xxx 4第45頁(yè)/共90頁(yè)第四十六頁(yè)，共91頁(yè)。1 1、上述、上述(shngsh)(shngsh)解方程組的方法稱為高斯消元法解方程組的方法稱為高斯消元法2 2、把方程組看作一個(gè)整體變形、把方程組看作一個(gè)整體變形(bin xng)(bin xng)，用三種變換，用三種變換(1)

26、 (1) 交換方程交換方程(fngchng)(fngchng)次序；次序；(2) (2) 以非零的數(shù)乘某個(gè)方程；以非零的數(shù)乘某個(gè)方程；(3) (3) 一個(gè)方程的一個(gè)方程的 倍加到另一個(gè)方程倍加到另一個(gè)方程k第46頁(yè)/共90頁(yè)第四十七頁(yè)，共91頁(yè)。下面三種變換稱為矩陣下面三種變換稱為矩陣(j zhn)(j zhn)的初等行變換的初等行變換. .jirr (1) (1) 互換兩行：互換兩行：jikrr (3) (3) 用一個(gè)數(shù)乘某一行加到另一行上用一個(gè)數(shù)乘某一行加到另一行上：kri (2) (2) 以數(shù)以數(shù) 乘某一行中的所有元素乘某一行中的所有元素:0k 定義定義 矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱

27、為矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為 矩矩陣陣 的的初等變換初等變換 同理，把同理，把 換成換成 可定義矩陣的可定義矩陣的初等列變換初等列變換. .rc第47頁(yè)/共90頁(yè)第四十八頁(yè)，共91頁(yè)。9876543212121321;)3(3)2() 1 (rrrrrrr98765432145612378998765432112345621242798765432157945678998765432112357978998765432133345678912rr121 rr121rr 33r12rr12rr12rr12( 1)rr 第48頁(yè)/共90頁(yè)第四十九頁(yè)，共91頁(yè)。階梯(jit)型矩陣(1)每一

28、行第一個(gè)非零元的列標(biāo)隨行標(biāo)的增加(zngji)而嚴(yán)格增加(zngji)(2)零行(若有的話)位于矩陣的最下方0000790040101032010032100012000002304120053105000004200400400002023051202第49頁(yè)/共90頁(yè)第五十頁(yè)，共91頁(yè)。定理定理 任何一個(gè)矩陣都可以經(jīng)過(guò)若干次初等行變換任何一個(gè)矩陣都可以經(jīng)過(guò)若干次初等行變換(binhun)(binhun)化為階化為階梯型矩陣。梯型矩陣。例例1541401310211001A100102020101045010010101010104501001010100000054100101010054

29、0000注注 階梯型矩陣階梯型矩陣(j zhn)(j zhn)不唯一，但所有化成的階梯型矩陣不唯一，但所有化成的階梯型矩陣(j (j zhn)zhn)都具有相同個(gè)數(shù)的非零行。都具有相同個(gè)數(shù)的非零行。12rr 313rr41rr212r32rr424rr43rr 第50頁(yè)/共90頁(yè)第五十一頁(yè)，共91頁(yè)。定義(dngy) 矩陣A對(duì)應(yīng)的階梯型矩陣中非零行的行數(shù)r稱為矩陣的秩，記作R(A).規(guī)定 零矩陣的秩為0.例：43333320126624220121A1210200062032010963212102032010006209632121020320100062000311210203201000

30、3100031121020320100031000003)(AR122rr 312rr413rr23rr423rr213r43rr第51頁(yè)/共90頁(yè)第五十二頁(yè)，共91頁(yè)。第52頁(yè)/共90頁(yè)第五十三頁(yè)，共91頁(yè)。, 111 aaaa,11EAAAA 則矩陣則矩陣 稱為稱為 的可逆矩陣或逆陣的可逆矩陣或逆陣.A1 A在數(shù)的運(yùn)算在數(shù)的運(yùn)算(yn sun)中，中，當(dāng)數(shù)當(dāng)數(shù) 時(shí)，時(shí)，0 a有有aa11 a其中其中 為為 的倒數(shù)，的倒數(shù)，a （或稱（或稱 的逆）；的逆）； 在矩陣在矩陣(j zhn)的運(yùn)算中，的運(yùn)算中，E單位陣單位陣 相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中 的的1，A那么，對(duì)于矩陣那么，

31、對(duì)于矩陣 ，1 A如果存在一個(gè)矩陣如果存在一個(gè)矩陣 ,使得使得第53頁(yè)/共90頁(yè)第五十四頁(yè)，共91頁(yè)。 定義定義 對(duì)于對(duì)于 階矩陣階矩陣 ，如果有一個(gè)，如果有一個(gè) 階矩陣階矩陣 則說(shuō)矩陣則說(shuō)矩陣 是是可逆可逆的，并把矩陣的，并把矩陣 稱為稱為 的的逆矩陣逆矩陣.nAB,EBAAB BAnA使得使得.1 AA的逆矩陣記作的逆矩陣記作例例 設(shè)設(shè),21212121,1111 BA,EBAAB .的一個(gè)逆矩陣的一個(gè)逆矩陣是是AB第54頁(yè)/共90頁(yè)第五十五頁(yè)，共91頁(yè)。說(shuō)明說(shuō)明 若若 是可逆矩陣，則是可逆矩陣，則 的逆矩陣是唯一的的逆矩陣是唯一的.AA若設(shè)若設(shè) 和和 是是 的可逆矩陣，的可逆矩陣，BCA

32、則有則有,ECAACEBAAB 可得可得EBB BCA ABC .CCE 所以所以 的逆矩陣是唯一的的逆矩陣是唯一的,即即A.1 ACB注注 若方陣若方陣A A，B B滿足滿足(mnz)AB=E(mnz)AB=E，則，則A A，B B互為互為逆矩陣。逆矩陣。第55頁(yè)/共90頁(yè)第五十六頁(yè)，共91頁(yè)。 且且可逆可逆則則數(shù)數(shù)可逆可逆若若, 0,2AA 且且亦可逆亦可逆則則為同階方陣且均可逆為同階方陣且均可逆若若,3ABBA 1ABB1 1 A .111 AA .,1111AAAA 且且亦可逆亦可逆則則可逆可逆若若逆矩陣逆矩陣(j zhn)的運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)算性質(zhì)第56頁(yè)/共90頁(yè)第五十七頁(yè)，共91頁(yè)。

33、TTTAAAA11 TE ,E .11TTAA 證明證明(zhngmng) .1212 AA推推廣廣1AmA1 mA1 1A .,4AAAAT 且且亦可逆亦可逆則則可逆可逆若若TT1 1 1111 ABBAABAB1 AEA,1EAA .111 ABAB證明證明(zhngmng)第57頁(yè)/共90頁(yè)第五十八頁(yè)，共91頁(yè)。定義定義 由單位矩陣 經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣. .E三種初等三種初等(chdng)變換對(duì)應(yīng)著三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等(chdng)方陣方陣. 矩陣的初等變換是矩陣的一種矩陣的初等變換是矩陣的一種(y zhn)基基本運(yùn)算，應(yīng)用廣泛本運(yùn)算，應(yīng)用廣泛. 行（列）上去行

34、（列）上去乘某行（列）加到另一乘某行（列）加到另一以數(shù)以數(shù)乘某行或某列；乘某行或某列；以數(shù)以數(shù)對(duì)調(diào)兩行或兩列；對(duì)調(diào)兩行或兩列；kk. 30. 2. 1第58頁(yè)/共90頁(yè)第五十九頁(yè)，共91頁(yè)。，得得初初等等方方陣陣兩兩行行，即即中中第第對(duì)對(duì)調(diào)調(diào))(,jirrjiE對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)兩兩行行或或兩兩列列、1,1101111011i jP行行第第i行行第第 j第59頁(yè)/共90頁(yè)第六十頁(yè)，共91頁(yè)。 02乘某行或某列乘某行或某列、以數(shù)、以數(shù) k).()(0 kiEkriki矩陣矩陣，得初等，得初等行行乘單位矩陣的第乘單位矩陣的第以數(shù)以數(shù) ( )1111i kPk行行第第i第60頁(yè)/共90頁(yè)第六十一頁(yè)，共91頁(yè)。

35、上去上去列列加到另一行加到另一行列列乘某行乘某行、以數(shù)、以數(shù))()(03 k，列列上上列列加加到到第第的的第第乘乘或或以以行行上上行行加加到到第第的的第第乘乘以以)()( ijjikccjiEkkrrijEk ( )1111ij kkP行行第第i行行第第j第61頁(yè)/共90頁(yè)第六十二頁(yè)，共91頁(yè)。343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaAA31rr 313233342122232411121314aaaaaaaaaaaa111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa313233342122232411121314aaaaaaaaaaaa1

36、A1A交換矩陣A的第一行和第三行相當(dāng)于用初等矩陣 左乘矩陣A1,3P0010101001,3P A 第62頁(yè)/共90頁(yè)第六十三頁(yè)，共91頁(yè)。343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaAA13cc111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa2A2A交換矩陣A的第一列和第三列相當(dāng)于用初等矩陣 右乘矩陣A1,3P131211142322212433323134aaaaaaaaaaaa131211142322212433323134aaaaaaaaaaaa00100100100000011,3AP第63頁(yè)/共90頁(yè)第六十四頁(yè)，共91頁(yè)。 定理定

37、理1 1 設(shè)設(shè) 是一個(gè)是一個(gè) 矩陣，對(duì)矩陣，對(duì) 施行一施行一次初等行變換，相當(dāng)于在次初等行變換，相當(dāng)于在 的左邊乘以相應(yīng)的的左邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣；對(duì)階初等矩陣；對(duì) 施行一次初等列變換，相當(dāng)施行一次初等列變換，相當(dāng)于在于在 的右邊乘以相應(yīng)的的右邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣階初等矩陣. .nm mnAAAAA定理定理(dngl)2 (dngl)2 可逆矩陣可經(jīng)過(guò)一系列初等行變可逆矩陣可經(jīng)過(guò)一系列初等行變換化為單位矩陣。換化為單位矩陣。第64頁(yè)/共90頁(yè)第六十五頁(yè)，共91頁(yè)。那么用同樣的那么用同樣的初等行變換就把單位陣初等行變換就把單位陣 E E變成變成 1.A 于是得到用初等(chdng)行變換

38、求逆陣的方法： 1A EE A 一一系系列列初初等等行行變變換換 A可逆EAPPPPss12111121ssP PP PAAEA1121ssP PP PEA可見(jiàn)可見(jiàn), , 當(dāng)當(dāng)A A經(jīng)過(guò)一系列初等經(jīng)過(guò)一系列初等(chdng)(chdng)行變換變成單位行變換變成單位陣陣E E ，第65頁(yè)/共90頁(yè)第六十六頁(yè)，共91頁(yè)。 例例 用初等行變換求矩陣用初等行變換求矩陣的逆矩陣的逆矩陣. . 123221343A 解：解： 123100221010343001A E 123100025210026301 113235322111A 10211002521000111 1 100132020365001

39、111 10013235010322001111 122rr 313rr12rr32rr235rr 132rr 212r 3( 1)r 第66頁(yè)/共90頁(yè)第六十七頁(yè)，共91頁(yè)。 例例 用初等行變換求矩陣用初等行變換求矩陣的逆矩陣的逆矩陣. . 123456789A 解：解： 123100456010789001A E 12310 00364 1 006127 0 1 123100036410000121 214rr317rr322rrA不可逆第67頁(yè)/共90頁(yè)第六十八頁(yè)，共91頁(yè)。線性方程組解的判定線性方程組解的判定(pndng)(pndng)第68頁(yè)/共90頁(yè)第六十九頁(yè)，共91頁(yè)。設(shè)含有設(shè)含

40、有(hn yu)n(hn yu)n個(gè)未知量、有個(gè)未知量、有m m個(gè)方程式組成的方個(gè)方程式組成的方程組程組，mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（1 1）其中系數(shù)，常數(shù)其中系數(shù)，常數(shù) 都是已知數(shù)，都是已知數(shù)， 是未是未知量知量( (也稱為未知數(shù)也稱為未知數(shù)) )當(dāng)右端常數(shù)項(xiàng)當(dāng)右端常數(shù)項(xiàng) ，不全為不全為0 0時(shí)，稱方程組（時(shí)，稱方程組（1)1)為為非齊次線性方非齊次線性方程組程組；當(dāng)；當(dāng) 時(shí)時(shí)021mbbbijaibjx1b2bmb第69頁(yè)/共90頁(yè)第七十頁(yè)，共91頁(yè)。(2)(2)000221122221211212111nxaxa

41、xaxaxaxaxaxaxamnmmnnnn，稱為稱為(chn wi)(chn wi)齊次線性方程組齊次線性方程組即即n2k1k由個(gè)數(shù)，由個(gè)數(shù)，組成的一個(gè)有序，組成的一個(gè)有序數(shù)組，如果數(shù)組，如果(rgu)(rgu)將它們依次替將它們依次替代方程組代方程組(1)(1)中的，中的，后，后，(1)(1)中的中的每個(gè)方程都變成恒等式，則稱這個(gè)有序數(shù)組每個(gè)方程都變成恒等式，則稱這個(gè)有序數(shù)組為方程組為方程組(1)(1)的一個(gè)解的一個(gè)解nk1x2xnx),(21nkkk),(21nkkk第70頁(yè)/共90頁(yè)第七十一頁(yè)，共91頁(yè)。顯然由，顯然由，組成的有，組成的有序數(shù)組是齊次線性方程組序數(shù)組是齊次線性方程組(2

42、)(2)的一的一個(gè)解，稱之為齊次線性方程組個(gè)解，稱之為齊次線性方程組(2)(2)的的零解零解，而，而當(dāng)齊次線性方程組的未知量取值不全為零時(shí)，當(dāng)齊次線性方程組的未知量取值不全為零時(shí)，稱之為稱之為非零解非零解01x02x0nx)0 , 0 , 0(非齊次線性方程組非齊次線性方程組(1)的矩陣表示的矩陣表示(biosh)形式為形式為:BAX 齊次線性方程組齊次線性方程組(2)的矩陣表示的矩陣表示(biosh)形式為形式為:OAX 第71頁(yè)/共90頁(yè)第七十二頁(yè)，共91頁(yè)。BA7511211251311315051802412131501260518131501260011221232333526112

43、2xxxxxx123122xxx 100101020012122rr 31rr)2(3r23rr235rr 752253321321321xxxxxxxxx例例1 解線性方程組第72頁(yè)/共90頁(yè)第七十三頁(yè)，共91頁(yè)。131501260011221315012600121307010200121001010200123111r322rr 13rr123rr行簡(jiǎn)化階梯(jit)型矩陣若階梯(jit)型矩陣滿足：(1)各非零行首非零元均為1；(2)各非零行首非零元所在列其他元素均為0稱此矩陣為行簡(jiǎn)化的階梯(jit)型矩陣。= R(AR(A B)未知量的個(gè)數(shù)=唯一(wi y)解R(A)R(A) =3第

44、73頁(yè)/共90頁(yè)第七十四頁(yè)，共91頁(yè)。BA2743511236312112532115342711250171602145211250171600020無(wú)解無(wú)解無(wú)解=R(A B)R(A)=2321rr 123rr 315rr232rr 27435123632321321321xxxxxxxxx例例2 解線性方程組解線性方程組矛盾(modn)方程第74頁(yè)/共90頁(yè)第七十五頁(yè)，共91頁(yè)。例例3 3 解線性方程組解線性方程組1222430235124321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx，(3)(3)，解解先寫出增廣矩陣先寫出增廣矩陣 ，再用初等，再用初等行變換將其逐步化成階

45、梯形矩陣，即行變換將其逐步化成階梯形矩陣，即)(BA第75頁(yè)/共90頁(yè)第七十六頁(yè)，共91頁(yè)。1334057740111401121111122241130235111211)(BA12) 1(rr13)3(rr142rr 2220066600111401121123rr 24) 1(rr000006660011140112113431rr 第76頁(yè)/共90頁(yè)第七十七頁(yè)，共91頁(yè)。 最后一個(gè)增廣矩陣最后一個(gè)增廣矩陣(j zhn)(j zhn)表示的線性方程組為表示的線性方程組為6661412434324321xxxxxxxxx，61將最后一個(gè)方程乘，再將項(xiàng)移至等將最后一個(gè)方程乘，再將項(xiàng)移至等號(hào)的

46、右端，得號(hào)的右端，得4x143xx，第77頁(yè)/共90頁(yè)第七十八頁(yè)，共91頁(yè)。將其代入第二個(gè)方程將其代入第二個(gè)方程(fngchng)(fngchng)，解得，解得5 . 02x，再將，代入第一個(gè)方程，解得再將，代入第一個(gè)方程，解得2x3x5 . 041xx因此因此(ync)(ync)，方程組，方程組(3)(3)的解為的解為其中可以任意取值其中可以任意取值(4)(4)4x15 . 05 . 043241xxxxx, ,，第78頁(yè)/共90頁(yè)第七十九頁(yè)，共91頁(yè)。顯然，只要未知量任意取定一個(gè)值，如顯然，只要未知量任意取定一個(gè)值，如 ，代入表示，代入表示(biosh)(biosh)式式(4)(4)，可以

47、得到一組，可以得到一組相應(yīng)的值：，從而得相應(yīng)的值：，從而得到方程組到方程組(3)(3)的一個(gè)解的一個(gè)解: :4x14x5 . 01x5 . 02x03x105 . 05 . 04321xxxx，第79頁(yè)/共90頁(yè)第八十頁(yè)，共91頁(yè)。由于未知量的取值是任意實(shí)數(shù)，故方程由于未知量的取值是任意實(shí)數(shù)，故方程組組(3)(3)的解有無(wú)窮多個(gè)由此可知的解有無(wú)窮多個(gè)由此可知, ,表示式表示式(4)(4)表表示了方程組示了方程組(3)(3)的所有解表示式的所有解表示式(4)(4)中等號(hào)右端中等號(hào)右端的未知量稱為的未知量稱為(chn wi)(chn wi)自由未知量，用自自由未知量，用自由未知量表示其他未知量的表

48、示式由未知量表示其他未知量的表示式(4)(4)稱為稱為(chn wi)(chn wi)方程組方程組(3)(3)的一般解，當(dāng)表示式的一般解，當(dāng)表示式(4)(4)中的未知量取定一個(gè)值中的未知量取定一個(gè)值( (如如 ), ),得到方程組得到方程組(3)(3)的一個(gè)解，的一個(gè)解， ，稱之為方程組，稱之為方程組(3)(3)的特解的特解4x4x4x14x5 . 01x5 . 02x03x14x第80頁(yè)/共90頁(yè)第八十一頁(yè)，共91頁(yè)。注意：注意：自由未知量的選取不是唯一的自由未知量的選取不是唯一的如如例例3 3也可以將取作自由未知量即在也可以將取作自由未知量即在3x6661412434324321xxxxx

49、xxxx，中將最后一個(gè)方程乘，再將項(xiàng)移至等號(hào)的中將最后一個(gè)方程乘，再將項(xiàng)移至等號(hào)的右端，得右端，得613x134xx，第81頁(yè)/共90頁(yè)第八十二頁(yè)，共91頁(yè)。將其代入第二個(gè)方程，解出后，再將將其代入第二個(gè)方程，解出后，再將 ，代入第一個(gè)方程，解出最后可得，代入第一個(gè)方程，解出最后可得方程組方程組(3)(3)的一般解為的一般解為2x2x4x1x其中是自由未知量其中是自由未知量(5)(5)3x15 . 05 . 034231xxxxx，第82頁(yè)/共90頁(yè)第八十三頁(yè)，共91頁(yè)。用消元法解線性方程組的過(guò)程中，當(dāng)增用消元法解線性方程組的過(guò)程中，當(dāng)增廣矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換化成階梯形矩陣后，廣矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換化成階梯形矩陣后，要寫出相應(yīng)的方程組，然后再用回代的方法要寫出相應(yīng)的方程組，然后再用回代的方法(fngf)(fngf)求出解如果用矩陣將回代的過(guò)程表示出來(lái)，這個(gè)過(guò)求出解如果用矩陣將回代的過(guò)程表示出來(lái)，這個(gè)過(guò)程實(shí)際上就是對(duì)階梯形矩陣進(jìn)一步簡(jiǎn)化，使其最終化程實(shí)際上就是對(duì)階梯形矩陣進(jìn)一步簡(jiǎn)化，使其最終化成一個(gè)行簡(jiǎn)化的階梯型矩陣，從這個(gè)行簡(jiǎn)化的矩陣中，成一個(gè)行簡(jiǎn)化的階梯型矩陣，從這個(gè)行簡(jiǎn)化的矩陣中，就可以直接解出或就可以直接解出