坐標(biāo)系與參數(shù)方程

1、1. 考查參數(shù)方程與普通方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化2. 考查利用曲線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程計算某些量或討論某些量之間的關(guān)系一、直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化如圖，把直角坐標(biāo)系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位設(shè)m是平面內(nèi)的任意一點，它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x，y)和(，)，則xcos ，ysin ，2x2y2，tan yx?x0?.【特別提醒】在曲線方程進(jìn)行互化時，一定要注意變量的范圍，要注意轉(zhuǎn)化的等價性二、直線、圓的極坐標(biāo)方程(1) 直線的極坐標(biāo)方程若直線過點m(0，0)，且極軸到此直線的角為，則它的方程為：sin() 0sin(0) 幾個特殊位置直線的

2、極坐標(biāo)方程直線過極點：；直線過點m(a,0) 且垂直于極軸：cos a；直線過點mb，2且平行于極軸：sin b. (2) 幾個特殊位置圓的極坐標(biāo)方程圓心位于極點，半徑為r：r；圓心位于m(r,0) ，半徑為r：2rcos ；圓心位于mr，2，半徑為r：2rsin . 【特別提醒】當(dāng)圓心不在直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸上時，要建立圓的極坐標(biāo)方程，通常把極點放置在圓心處，極軸與x軸同向，然后運用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的變換公式三、參數(shù)方程(1) 直線的參數(shù)方程過定點m(x0，y0) ，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為xx0tcos ，yy0tsin (t為參數(shù) )(2) 圓、橢圓的參數(shù)方程圓心在點m(x0，y0)

3、，半徑為r的圓的參數(shù)方程為xx0rcos ，yy0rsin (為參數(shù)，02)橢圓x2a2y2b21 的參數(shù)方程為xacos ，ybsin (為參數(shù)) 【特別提醒】在參數(shù)方程和普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致考點一坐標(biāo)系與極坐標(biāo)例 1 【2017天津，理 11】在極坐標(biāo)系中，直線4cos()106與圓2sin的公共點的個數(shù)為 _. 【答案】 2 【變式探究】【2016年高考北京理數(shù)】在極坐標(biāo)系中，直線cos3 sin10與圓2cos交于 a，b兩點，則|ab_. 【答案】 2 【解析】直線310 xy過圓22(1)1xy的圓心，因此2.ab【變式探究】在極坐標(biāo)系中，圓2cos 的

4、垂直于極軸的兩條切線方程分別為( ) a0(r) 和cos 2 b2(r)和cos 2 c2(r)和cos 1 d0(r) 和cos 1 解析由2cos 得x2y22x0. (x1)2y21，圓的兩條垂直于x軸的切線方程為x0 和x2. 故極坐標(biāo)方程為2(r)和cos 2，故選 b. 答案b 考點二參數(shù)方程例 2 【2017江蘇】 選修 4-4 ：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 （本小題滿分 10 分）在平面坐標(biāo)系中xoy中, 已知直線l的參考方程為x82tty(t為參數(shù) ), 曲線c的參數(shù)方程為22,2 2xsys(s為參數(shù) ). 設(shè)p為曲線c上的動點，求點p到直線l的距離的最小值 . 【答案】4 55【

5、考點】參數(shù)方程化普通方程【變式探究】【2016 高考新課標(biāo) 1 卷】 （本小題滿分 10分）選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xy中, 曲線c1的參數(shù)方程為cos1sinxatyat（t為參數(shù),a0） 在以坐標(biāo)原點為極點 ,x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線c2：=4cos. （i ）說明c1是哪一種曲線 , 并將c1的方程化為極坐標(biāo)方程；（ii ）直線c3的極坐標(biāo)方程為0,其中0滿足 tan0=2, 若曲線c1與c2的公共點都在c3上, 求a【答案】（i ）圓,222sin10a（ii ）1 【變式探究】(2015重慶，15)已知直線l的參數(shù)方程為1,1xtyt(t為參數(shù)) ，以坐標(biāo)原

6、點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系， 曲線c的極坐標(biāo)方程為2cos 240，3454，則直線l與曲線c的交點的極坐標(biāo)為 _ 解析直線l的直角坐標(biāo)方程為yx2，由2cos 24 得2(cos2sin2)4，直角坐標(biāo)方程為x2y24，把yx2 代入雙曲線方程解得x2，因此交點為 ( 2，0) ，其極坐標(biāo)為 (2 ，)答案(2，)【變式探究】(2014江西，11(2) 若以直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則線段y1x(0 x1)的極坐標(biāo)方程為 ( ) a1cos sin ，02b1cos sin ，04ccos sin ，02dcos sin ，04答案a 1. 【2

7、017 天津，理 11】在極坐標(biāo)系中，直線4cos()106與圓2sin的公共點的個數(shù)為 _. 【答案】 2 【解析】直線為2 3210 xy，圓為22(1)1xy，因為314d，所以有兩個交點2. 【2017北京，理 11】在極坐標(biāo)系中，點a在圓22cos4sin40上，點p的坐標(biāo)為（ 1,0 ），則 |ap| 的最小值為 _. 【答案】 1 【解析】將圓的極坐標(biāo)方程化為普通方程為222440 xyxy，整理為22121xy，圓心1,2c，點p是圓外一點，所以ap的最小值就是2 11acr. 3. 【2017課標(biāo) 1，理 22】在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線c的參數(shù)方程為3cos ,sin,xy

8、（為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為4 ,1,xattyt（ 為參數(shù)）. （1）若a=?1，求c與l的交點坐標(biāo)；（2）若c上的點到l的距離的最大值為17，求 a. 【答案】（1）c與l的交點坐標(biāo)為3,0，21 24,25 25； （2）8a或16a. 【解析】（1）曲線c的普通方程為2219xy. 當(dāng)1a時，直線l的普通方程為430 xy. 由2243019xyxy解得30 xy或21252425xy. 從而c與l的交點坐標(biāo)為3,0，21 24,25 25. 【2017江蘇】 選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 （本小題滿分 10 分）在平面坐標(biāo)系中xoy中, 已知直線l的參考方程為x82tty(t為參

9、數(shù) ), 曲線c的參數(shù)方程為22,2 2xsys(s為參數(shù) ). 設(shè)p為曲線c上的動點，求點p到直線l的距離的最小值 . 【答案】4 55【解析】直線l的普通方程為280 xy. 因為點p在曲線c上，設(shè)22,2 2pss，從而點p到直線l的的距離222222424 28512sssd，當(dāng)2s時，min4 55d. 因此當(dāng)點p的坐標(biāo)為4,4時，曲線c上點p到直線l的距離取到最小值4 55. 1. 【2016 年高考北京理數(shù)】在極坐標(biāo)系中，直線cos3 sin10與圓2cos交于 a，b兩點，則|ab_. 【答案】 2 【解析】直線310 xy過圓22(1)1xy的圓心，因此2.ab2. 【201

10、6 高考新課標(biāo) 1 卷】 （本小題滿分 10 分）選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xy中, 曲線c1的參數(shù)方程為cos1sinxatyat（t為參數(shù),a0） 在以坐標(biāo)原點為極點 ,x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線c2：=4cos. （i ）說明c1是哪一種曲線 , 并將c1的方程化為極坐標(biāo)方程；（ii ）直線c3的極坐標(biāo)方程為0,其中0滿足 tan0=2, 若曲線c1與c2的公共點都在c3上, 求a【答案】（i ）圓,222sin10a（ii ）1 （）曲線21,cc的公共點的極坐標(biāo)滿足方程組若0，由方程組得01cossin8cos1622a，由已知2tan，可得0cossin8co

11、s162，從而012a，解得1a（舍去），1a. 1a時，極點也為21,cc的公共點，在3c上. 所以1a. 3. 【2016 高考新課標(biāo) 2 理數(shù)】選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xoy中，圓c的方程為22(6)25xy（）以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系， 求c的極坐標(biāo)方程；（）直線l的參數(shù)方程是cossinxtyt（t為參數(shù)）, l與c交于,a b兩點，|10ab，求l的斜率【答案】（）212 cos110； （）153. 4. 【2016 高考新課標(biāo) 3 理數(shù)】 （本小題滿分 10 分）選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線1c的參數(shù)方程為3co

12、s()sinxy為參數(shù)，以坐標(biāo)原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系， 曲線2c的極坐標(biāo)方程為sin()2 24（i ）寫出1c的普通方程和2c的直角坐標(biāo)方程；（ii ）設(shè)點p在1c上，點q在2c上，求pq的最小值及此時p的直角坐標(biāo) . 【答案】 （）1c的普通方程為2213xy，2c的直角坐標(biāo)方程為40 xy； （）3 1(, )2 21(2015廣東， 14)已知直線l的極坐標(biāo)方程為 2sin42，點a的極坐標(biāo)為a22，74，則點a到直線l的距離為 _解析依題已知直線l：2sin42和點a22，74可化為l：xy10 和a(2，2) ，所以點a到直線l的距離為d|2 （ 2）1|1

13、2（1）2522. 答案5222(2015北京， 11) 在極坐標(biāo)系中，點2，3到直線(cos 3sin )6 的距離為 _解析在平面直角坐標(biāo)系下， 點 2，3化為(1， 3) ，直線方程為：x3y6，點(1 ，3) 到直線的距離為d|1 336|2| 2|21. 答案1 3 (2015安徽，12)在極坐標(biāo)系中，圓8sin 上的點到直線3(r)距離的最大值是 _解析由8sin 得x2y28y， 即x2(y4)216， 由3得y3x，即3xy0，圓心(0 ，4) 到直線y3x的距離為 2，圓8sin 上的點到直線3的最大距離為 426. 答案6 4(2015江蘇， 21) 已知圓c的極坐標(biāo)方程為

14、222sin440，求圓c的半徑解以極坐標(biāo)系的極點為平面直角坐標(biāo)系的原點o，以極軸為x軸的正半軸， 建立直角坐標(biāo)系xoy. 圓c的極坐標(biāo)方程為22 222sin 22cos 40，化簡，得22sin 2cos 40. 則圓c的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圓c的半徑為6. 5(2015新課標(biāo)全國 ，23) 在直角坐標(biāo)系xoy中，直線c1：x2，圓c2：(x1)2(y2)21，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1) 求c1，c2的極坐標(biāo)方程；(2) 若直線c3的極坐標(biāo)方程為4(r)， 設(shè)c2與c3的交點為m，n， 求c2mn的面積6(2015福

15、建，21(2) 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，圓c的參數(shù)方程為13cos ,23sinxtyt (t為參數(shù) ) 在極坐標(biāo)系 (與平面直角坐標(biāo)系xoy取相同的長度單位，且以原點o為極點，以x軸非負(fù)半軸為極軸 ) 中，直線l的方程為2sin4m(mr)求圓c的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；設(shè)圓心c到直線l的距離等于 2，求m的值解消去參數(shù)t，得到圓c的普通方程為 (x1)2(y2)29. 由2sin4m，得sin cos m0. 所以直線l的直角坐標(biāo)方程為xym0. 依題意，圓心c到直線l的距離等于 2，即|1 （ 2）m|22，解得m322. 7(2015湖南，16)已知直線l：32,2132xt

16、yt(t為參數(shù) )，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c的極坐標(biāo)方程為2cos . (1) 將曲線c的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2) 設(shè)點m的直角坐標(biāo)為 (5 ， 3) ，直線l與曲線c的交點為a，b， 求|ma| |mb|的值1. 【2014高考安徽卷理第 4 題】以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，已知直線l的參數(shù)方程是13xtyt（t為參數(shù)），圓c的極坐標(biāo)方程是cos4，則直線l被圓c截得的弦長為（）a.14 b.142 c.2 d.22【答案】 d 【解析】將直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t，化成直角坐標(biāo)方程為

17、40 xy，圓c的極坐標(biāo)方程cos4兩邊同乘為24cos，化成直角坐標(biāo)方程為22(2)4xy，則圓心(2,0)到直線l的距離| 24|22d，所以直線l被圓c截得的弦長2222 2lrd，故選 d. 2. 【2014高考北京卷理第 3題】 曲線1cos2sinxy，（為參數(shù)） 的對稱中心（）a在直線2yx上 b在直線2yx上c在直線1yx上 d在直線1yx上【答案】 b 【解析】參數(shù)方程sin2cos1yx所表示的曲線為圓心在)2, 1(，半徑為 1 的圓，其對稱中心為)2, 1(，逐個代入選項可知，點)2,1(滿足xy2，故選 b. 3. 【2014高考湖北卷理第 16 題】已知曲線1c的參

18、數(shù)方程是33tytx為參數(shù)t，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系， 曲線2c的極坐標(biāo)方程是2，則1c與2c交點的直角坐標(biāo)為 . 【答案】)1 ,3(4. 【2014 高考湖南卷第 11 題】在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角為4的直線l與曲線2cos1sinxcy：， （為參數(shù)）交于a、b兩點，且2ab，以坐標(biāo)原點o為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則直線l的極坐標(biāo)方程是 _. 【答案】cossin1【解析】試題分析：利用22sincos1可得曲線c的普通方程為22211xy, 即曲線c為直角22r的圓, 因為弦長22abr, 所以圓心在直線l上, 又因為直線的斜率為1, 所以直線的

19、直角坐標(biāo)方程為1yx,則根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化可得1yxsincos1cossin1,故填cossin1. 5. 【2014 江西高考理第 12 題】若以直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則線段101yxx的極坐標(biāo)為（）a.1,0cossin2 b.1,0cossin4c.cossin,02 d.cossin,04【答案】 a 【解析】根據(jù)cos,sin,0,0,2xy，101yxx得：0,1,sin1cos ,(0cos1,0sin1,)y解得1,0cossin2，選a. 6. 【2014重慶高考理第 15 題】已知直線l的參數(shù)方程為tytx32（t為參數(shù)）

20、，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c的極坐標(biāo)方程為2sin4cos00,02，則直線l與曲線c的公共點的極徑_. 【答案】57. 【2014陜西高考理第 15 題】在極坐標(biāo)系中，點(2,)6到直線sin()16的距離是 . 【答案】 1 【解析】直線sin()16化為直角坐標(biāo)方程為311022yx，點(2,)6的直角坐標(biāo)為( 3,1)，點(3,1)到直線311022yx的距離2231|1310|22113()()22d，故答案為 1. 8. 【2014天津高考理第 13 題】在以o為極點的極坐標(biāo)系中， 圓4sinrq=和直線sinarq =相交于,a b兩點若aobd是等

21、邊三角形，則a的值為_ 【答案】 3【解析】圓的方程為()2224xy+-=，直線為ya=aobd是等邊三角形，其中一個交點坐標(biāo)為，代入圓的方程可得3a =9.【2014 高考福建理第 21（2）題】 已知直線l的參數(shù)方程為tytax42， （t為參數(shù)） ，圓c的參數(shù)方程為sin4cos4yx， （為常數(shù)） . （i ）求直線l和圓c的普通方程；（ii ）若直線l與圓c有公共點，求實數(shù)a的取值范圍 . 【答案】（i ）220 xya,2216xy; （ii ）2 52 5a試題解析：（i）直線l的普通方程為220 xya. 圓 c的普通方程為2216xy. （ii ）因為直線l與圓有公共點 ,

22、 故圓 c的圓心到直線l的距離245ad, 解得2 52 5a. 10. 【2014 高考江蘇第 21c題】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知直線l的參數(shù)方程212222xtyt（t為參數(shù)） ，直線l與拋物線24yx相交于ab兩點，求線段ab的長. 【答案】8 2【解析】直線l的普通方程為1(2)0 xy，即3yx，與拋物線方程聯(lián)立方程組解得111,2,xy229,6xy，22(91)( 62)8 2ab. 11. 【2014 高考遼寧理第 23 題】將圓221xy上每一點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼? 倍，得曲線c. （）寫出c的參數(shù)方程；( )設(shè)直線:220lxy與c的交點為12,p p

23、，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極坐標(biāo)建立極坐標(biāo)系，求過線段12pp的中點且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程. 【答案】（1）cos2sinxtyt（t 為參數(shù)） ； （2）34sin2cos. （2）由2214220yxxy解得：10 xy，或02xy. 不妨設(shè)12(1,0),(0,2)pp, 則線段12pp的中點坐標(biāo)為1(,1)2, 所求直線的斜率為12k，于是所求直線方程為111()22yx，化極坐標(biāo)方程，并整理得2cos4sin3，即34sin2cos. 12. 【2014高考全國 1 第 23題】已知曲線221:149xyc，直線l：2,22 ,xtyt（t為參數(shù)） . （i ）寫出曲線c

24、的參數(shù)方程，直線l的普通方程；（ii ）過曲線c上任意一點p作與l夾角為30的直線，交l于點a，pa的最大值與最小值【答案】（i ）2cos ,3sin ,xy260 xy； （ii ）最大值為2255，最小值為2 55. 13. 【2014 高考全國 2 第 23 題】在直角坐標(biāo)系xoy 中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓c的極坐標(biāo)方程為2cos，0,2. （）求 c的參數(shù)方程；（）設(shè)點 d在 c上，c在 d處的切線與直線:32lyx垂直，根據(jù)（ ）中你得到的參數(shù)方程，確定d的坐標(biāo).【答案】（）1 cos,(sinxy是參數(shù)，0)； （）33(,)22【解析】（1）設(shè)點 m(

25、 , )x y是 c上任意一點，則由2cos可得 c的普通方程為：222xyx，即22(1)1(01)xyy，所以 c的參數(shù)方程為1 cos,(sinxy是參數(shù)，0). 14. 【2014高考上海理科】已知曲線c的極坐標(biāo)方程為1)sin4cos3(p，則 c與極軸的交點到極點的距離是 . 【答案】13【解析】令0，則(3cos 0sin 0)1，13，所以所求距離為13. （2013新課標(biāo) i 理） （23） （本小題 10 分）選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線 c1的參數(shù)方程為x=4+5costy=5+5sint（t為參數(shù)） ，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c2的

26、極坐標(biāo)方程為 =2sin。（）把 c1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；（）求 c1與 c2交點的極坐標(biāo)（ 0,02）【答案】（1）因為45cos55sinxtyt，消去參數(shù)，得22(4)(5)25xy，即22810160 xyxy，故1c極坐標(biāo)方程為28cos10sin160；（2）2c的普通方程為2220 xyy，聯(lián)立1c、2c的方程，解得11xy或02xy，所以交點的極坐標(biāo)為( 2,),(2,)42. 【解析】（1）先得到c1的一般方程，進(jìn)而得到極坐標(biāo)方程； （2）先聯(lián)立求出交點坐標(biāo)，進(jìn)而求出極坐標(biāo). 【考點定位】本題考查極坐標(biāo)方程的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力. （2013新課標(biāo)理）

27、（23） （本小題滿分 10 分）選修 44；坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知動點p，q都在曲線 c：2cos2sinxy（為參數(shù)）上，對應(yīng)參數(shù)分別為=與=2（02） ，m為 pq的中點。（）求 m的軌跡的參數(shù)方程（）將 m到坐標(biāo)原點的距離d 表示為的函數(shù)，并判斷 m的軌跡是否過坐標(biāo)原點?！窘忸}思路與技巧】本題第（）問，由曲線 c 的參數(shù)方程 , 可以寫出其普通方程, 從而得出點 p的坐標(biāo), 求出答案 ; 第（）問，由互化公式可得. 【易錯點】對第（ ）問，極坐標(biāo)與普通方程之間的互化, 有一部分學(xué)生不熟練而出錯 ; 對第(2) 問, 不理解題意而出錯 . 【考點定位】本小題主要考查坐標(biāo)系與參數(shù)方程的基礎(chǔ)知

28、識, 熟練這部分的基礎(chǔ)知識是解答好本類題目的關(guān)鍵. （2013陜西理） c. ( 坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題) 如圖, 以過原點的直線的傾斜角為參數(shù) , 則圓220yxx的參數(shù)方程為 . 【答案】2cosx,sincosy,0.【解析】2222110,(),24xyxxy以（12,0 ）為圓心，12為半徑，且過原點的圓它的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為111,02222xcosysina，由已知，以過原點的直線傾斜角 為參數(shù) , 則0,所以022。所以所求圓的參數(shù)方程為2cosx,sincosy,0.【考點定位】本題考查與圓的參數(shù)方程有關(guān)的問題，涉及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和參數(shù)方程等知識，屬于容易題。（2013江西理）15 （1） （坐標(biāo)系與