判別代數(shù)方程根的存在性的幾種方法(共12頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上判別代數(shù)方程根的存在性的幾種方法摘 要：代數(shù)方程通常指整式方程，即由多項式組成的方程。有時也泛指由未知數(shù)的代數(shù)式所組成的方程，包括整式方程、分式方程和無理方程。在數(shù)學學習中，常常要計算一些代數(shù)方程的解，然而在解代數(shù)方程時，我們首先就要判斷這類方程的解的存在性。本文從復變函數(shù)論、連續(xù)函數(shù)零點、多項式根的判別式、不動點定理、Kronecker定理方面判別代數(shù)方程根的存在性?？偨Y(jié)前人的研究成果，并略作一些整理，使分散的知識點匯聚在一起，以方便閱讀。關鍵詞：代數(shù)方程；根；存在性Several methods ofdetermining the existence of Alg

2、ebraic Equation Wang Sheng-feng，College of Mathematics and Computer ScienceAbstract：Algebraic equations usually mean , that is composed of polynomial equations. Sometimes it also refers to the unknown algebraic equations, including , fractional equation and irrational equation. During learning mathe

3、matics, often to calculate the number of algebraic equation, but in solving algebraic equations, we must first determine the existence of solutions of these equations. From the theory of complex functions, continuous functions zero, polynomial root discriminant, fixed point theorem, Kronecker theore

4、m of algebraic equations determine the root of the problem. We summarize previous research results, and slightly up a bit, so that brings together scattered knowledge points to facilitate reading.Key words：Algebraic equations；Root；Existence 1 引言中世紀的阿拉伯數(shù)學家把代數(shù)學看成是解代數(shù)方程的學問。直到19世紀初，代數(shù)學研究仍未超出這個范圍。不過這時數(shù)學家

5、們的注意力集中在了五次和高于五次的代數(shù)方程上。我們知道，二次方程的解法古巴比倫人就已掌握。在中世紀，阿拉伯數(shù)學家又將二次方程的理論系統(tǒng)化。而三、四次方程的求解曾在文藝復興時期的意大利引起數(shù)學家之間的激烈挑戰(zhàn)并獲得解決。三、四次代數(shù)方程的解被發(fā)現(xiàn)之后，約在1550年開始，代數(shù)學上最突出的有兩個問題：1. 任何一個幾次代數(shù)方程是否一定有根？有多少個根？2. 五次和五次以上的代數(shù)方程是否能解？怎樣去解？前一個問題吸引了許多數(shù)學家，歐拉也研究過。經(jīng)過幾代數(shù)學家的努力，用了兩百多年時間，約在1748年，這個問題被年僅29歲的法國青年數(shù)學家達朗貝爾證明了。他的結(jié)論是一個n次代數(shù)方程至少有一個根。后人稱為代

6、數(shù)基本定理。幾十年后, 德國數(shù)學家高斯發(fā)現(xiàn)達朗貝爾的證明缺乏嚴密性。在1799年高斯給出了這個定理的證明。因此，有時也把這個定理叫做達朗貝爾高斯定理。被譽稱為數(shù)學皇子的高斯，一輩子都沒有放棄對代數(shù)基本定理的研究，他一生中給出了這個定理的四種不同證明方法，而只有一種是純代數(shù)的。人們很難想象，在技術上為了解一般五次方程，不知耗去了多少枉然的精力，可以說這個問題是人類智慧的一個嚴重挑戰(zhàn)，經(jīng)過三百多年時間，幾代數(shù)學家的接力奮斗，直到19世紀初期才被解決。2 用復變函數(shù)論中有關定理判別代數(shù)方程根的存在性本節(jié)利用復變函數(shù)論中三個著名定理 Rouche定理、Cauchy積分定理和劉維爾定理論證方程根的存在性

7、。即代數(shù)基本定理：任何一個n次多項式在復平面上至少有一個根。或者說：任何一個n次多項式在復平面上有且只有n個根（幾重根就算做幾個根）。在復變在函數(shù)論中，對一般方程的根的存在性?？捎脧妥兒瘮?shù)中的有關定理：Rouche定理、Cauchy積分定理和劉維爾定理來證明它的根的存在性。2.1 有關引理引理2.1（Rouche定理） 設C是一條圍線, 函數(shù)及滿足條件：（1）它們在C的內(nèi)部均解析，且連續(xù)到C；（2）在C上，；則函數(shù)與+在C的內(nèi)部有同樣多（幾級算有幾個）的零點， 即引理2.2（Cauchy積分定理） 設D是一條可求長的約當曲線C的內(nèi)部區(qū)域。是D的解析函數(shù)，且在閉區(qū)域連續(xù)，則。定理2.3（劉維爾定

8、理） 有界整函數(shù)必為常數(shù)。2.2 用Rouche定理證明任一n次方程有且只有n個根（n重根算n個根）。證明 令=，=，當z在充分大的周圍C：上時，取有由Rouche定理定理知在圓<R內(nèi)，方程與=0有相同個數(shù)的根。而=0在<R內(nèi)有一個n重根z=0。因此原n次方程在<R內(nèi)有n個根。另外，圓周=R上， 或者在它的外部，任取一點z。則，于是 這說明原n次方程在圓周=R上及其外部都沒有根，所以原n次方程在平面上有且只有n個根。2.3 用Cauchy積分定理證明任一n次方程在復數(shù)域中至少有一個根。證明 反證法，設=，若沒有零點，則在整個復平面上解析。所以對任意充分大的R>0，有：=

9、R由Cauchy積分定理得：=0，從而 =0 （2.3.1）而=其中為整個復平面上的解析函數(shù)，且=0因而當R時0，又=，所以=與（2.3.1）式比較得n=0，與條件n1矛盾。2.4 用劉維爾定理證明在復平面上方程至少有一個根。證明 反證法，設=在z平面上無零點，在z平面上是解析的，在z平面上也解析?，F(xiàn)證在z平面上有界。不妨設=1，=取，i=0，1，n-1，則（當z時）。=0故存在充分大的正數(shù)R，i=0，1，n-1使當>R時，<1，又在閉圓R上連續(xù)，故可設M（正常數(shù)）從而，在z平面上< M +1，在整個復平面內(nèi)為整函數(shù)，由劉維爾定理，為常數(shù)。從而與是次數(shù)n1的復函數(shù)多項式矛盾。

10、在z平面上至少有一個根。3 用零點定理判別代數(shù)方程根的存在性對于一個函數(shù)，若存在實數(shù)，使= 0，則稱為函數(shù)的零點，又稱為方程=0的實根。如果函數(shù)為閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，那么我們就可以利用連續(xù)函數(shù)的零點定理來判斷函數(shù)是否存在零點，也即可用函數(shù)的零點定理來判斷方程是否有根。3.1 有關定理定理3.1.1（介值定理）設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，若c為介于、之間的任何數(shù)（< c <或> c >），則在內(nèi)至少存在一點，使= c。定理3.1.2（零點定理）若函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù),且< 0，則一定存使= 0。關于零點定理的證明, 有很多種方法。本節(jié)在這里介紹一種方法。證明（確界原理）不

11、妨設< 0，>0。定義集合V 如下：V =x |< 0， x顯然，集合V 有界、非空，所以必有上確界。令=supV，現(xiàn)證明：且= 0。由的連續(xù)性及< 0知，存在> 0,使得對任意的x，有< 0;再由>0知，存在> 0， 使得對任意的x，有> 0。于是可知a +b -，即。取V， n = 1, 2, , （n），因< 0，可以得到=0。若< 0，由在點的連續(xù)性，存在>0，使得對任意的x0，有< 0，這就與=supV 產(chǎn)生矛盾，于是必然有= 0。3.2 應用實例例3.2.1 設C且< 0（存在）。求證：在上至少有一

12、個根。證明 由是定義在上的連續(xù)函數(shù)，有= < 0故存在M > a滿足< 0。根據(jù)定理3.1.2，于至少有一個根。這個根自然也是在上的根。例3.2.2 設y =在上連續(xù)， 且。證明：存在，使得。證明 取，則在上連續(xù)且，從而有。又因為，因此，即< 0。根據(jù)定理3.1.2，存在，使得= 0，即有。例3.2.3 證明方程有一個正根。證明 設=，則在上連續(xù)，且，由定理3.1.1知存在一點，使得，即是方程的一個正根。4 用多項式根的判別式判別代數(shù)方程根的存在性一般次多項式的性質(zhì)，可以通過系數(shù)所表達的判別式進行研究，但對次多項式根的性質(zhì)卻未能找到直接通過系數(shù)所表達的判別式。本節(jié)利用V

13、ahdermonde行列式，通過對稱幕及結(jié)合Newton等已知結(jié)果，使上述要求初步得到解決，應用它們給出n次多項式有等根或異根的充要條件。設n次多項式有n個根，則 = （4.1）這里，其中是所有從中取i個乘積的總和，表達式中共有項，每項為i個數(shù)的乘積。4.1 有關引理引理4.1.1 （4.2）注意：設對應的矩陣為對稱矩陣，則=，又設對應的矩陣為，則=，則由引理4.1.1可推得 （4.3）注： 將引理4.1.1應用到=0根的研究中，當m>n時應補充意義=0， 顯然是的主子行列式序列。設 （4.4）由（4.4）式與（4.1）式比較知，=1，可得如下定理：4.2 有關定理定理4.2.1 具有等

14、根的充要條件是=0。證明 由多項式的理論可知點有等根的條件是=0，又由引理4.1知=，故=0為其充要條件，證畢。定理4.2.2 =0僅具有n個相異實根的充要條件是是正定的。證明 必要性：若=0僅有n個相異實根為，顯然是實對稱矩陣，所以由引理4.1.1的注意知=，又由定理4.2.1知，則是滿秩，故是正定的。充分性：設是正定的，則=>0，=0的n個根兩兩互異。下面證明中無虛根。設有虛根，必共扼出現(xiàn)。 設為一對共軛虛根，考慮線性非齊次方程組 （4.5）由正定知（4.5）式的系數(shù)行列式=（4.5）式有唯一的非零解。則對向量計算，。這與正定的假設矛盾，即中無虛根。定理4.2.3 =0僅有m個互異的

15、根的充要條件，是對應的行列式的左上角主子式且。注意：在n個根中僅有m個互異根的含義是若m<n個根兩兩互異, 而之中任一個必出現(xiàn)在中。證明 必要性，令，則由引理4.1.1的注意知，顯然為的左上角m級主子矩陣。（1）當k=1，2，m時，=每行（列）兩兩互異即 （k=1，2，m）（2）k>m時同理可驗證=0，（k>m時至少有一列與km中某一列相同）充分性：若中且 （4.6）則由定理4.2.1根據(jù)=0知=0有重根，其個數(shù)N滿足N<n，由已知，一定有，且 （4.7）比較(4.6)式與(4.7)式得N=m證畢。推論：=0有m個互異根之充要條件為，及。4.3 應用實例例4.3.1 研

16、究解 由定理4.2.2及（4.1）（4.2）式知，由定理4.2.2與引理4.1.1知，判別式為（1）為有重根的充要條件。（2），即且為有m=2個互異根之充要條件。5 用不動點定理判別代數(shù)方程根的存在性在自然界及生活中，有許多實際問題可以用數(shù)學方程來表示。判斷方程是否有解可以轉(zhuǎn)化為某一空間X 上的自映射是否有不動點這一抽象的問題。這里給出一些應用不動點定理來判斷方程解的存在性。在計算數(shù)學中，常常要計算一些代數(shù)方程，所用的方法是迭代法，然而我們首先就要判斷這類方程的解的存在性，用數(shù)學分析方法來解決則難度較大，下面用不動點原理來解決。5.1 基本定理定理5.1.1 (Banach不動點定理) 設是一

17、個完備的距離空間, T是到其自身的一個壓縮映射,則T在X上存在惟一的不動點。證明 1）首先證明T存在不動點取定，以遞推形式確定一序列是Cauchy列，事實上，由任取自然數(shù)m，n，不妨設m<n，那么從而知是一Cauchy列，故存在，使，且是T的不動點，因為故，即，所以是T的不動點。2）證明不動點的惟一性設T有兩個不動點，那么由及有設，則，得到矛盾，從而=，惟一性證畢。定理5.1.2 (B rouwer不動點定理) 設B是中的閉單位球，又設T：B B是一個連續(xù)映射，那么T必有一個不動點x B。定理5.1.3 ( Schaude r不動點定理) 設C是空間X中的一個閉凸子集， T: C C連續(xù)

18、而且T(C) 列緊，則T在C上必有一個不動點。定理5.1.4 若函數(shù)在連續(xù)，而且函數(shù)值的集合也是，則至少存在一點，使得，即至少有一個不動點。定理5.1.5 如果= x -是有界函數(shù)，特別地，當時，方程= 0至少有一個根。分析：設為函數(shù)空間R上的連續(xù)函數(shù)，R，如果= 0，則稱為方程= 0的根。判斷方程= 0是否有根的問題可以看成R R的映射= x - 的不動點問題，即求R滿足=。于是可知定理5.1.4實質(zhì)上說明了方程= x -= 0的根的存在問題。由定理5.1.4推出定理5.1.5，定理5.1.5直接給出了判斷方程根的存在的方法。5.2 應用實例例5.2.1 證明方程存在根。證明 令=，那么=

19、x= xx=，可得在R上有界，從而=<+，由定理5.1.5可得有根。注：以上例子說明了不動點問題可以解決代數(shù)方程的根的存在問題。6 用Kronecker定理判別代數(shù)方程根的存在性 定理6.1設n 為奇素數(shù)，是有理數(shù)域Q 上的n 次不可約多項式, 如果可根式求解，則方程= 0 或者僅有一個實根，或者有n 個實根。注：這是德國數(shù)學家克羅內(nèi)克(L. Kronecker， 1823 1891) 在上個世紀給出的重要定理。 依此定理可知：如果有理數(shù)域Q 上的不可約多項式，其次數(shù)n 為奇素數(shù)，且= 0的實根個數(shù)不為1 或n(即沒有實根，或?qū)嵏鶄€數(shù)介于1 與n 之間)，則方程= 0就不能根式求解。這就為構造根式不可解的代數(shù)方程提供了一條簡單易行的有效途徑。小結(jié)本文第一部分是引言，主要講的是代數(shù)方程有關歷史，第二部分到第六部分，列舉了判斷代數(shù)方程根的存在性的幾種方法，代數(shù)方程在各科各領域均有廣泛的應用。解代數(shù)方程之前首先要判斷代數(shù)方程是否有解，即判斷代數(shù)方程根的存在性。判斷代數(shù)方程根的存在性的方法很多，我通過查閱資料列舉了六種方法。通過這項研究使我獲益頗多，它使我更深地認識自己想弄清的對