高中數(shù)學(xué)立體幾何學(xué)科老師輔導(dǎo)講義

1、 最受信賴的教育品牌北辰教育學(xué)科老師輔導(dǎo)講義學(xué)員姓名： 年 級(jí)： 高二 輔導(dǎo)科目： 數(shù)學(xué) 學(xué)科教師：授課日期 3月19日授課時(shí)段 授課主題幾何體表面積與體積教學(xué)內(nèi)容 知識(shí)回顧： 知識(shí)梳理一要求：了解球、棱柱、棱錐表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）。二考點(diǎn)總結(jié)：考試中不僅有直接求多面體、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積問題，也有已知面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關(guān)系問題。即使考查空間線面的位置關(guān)系問題，也常以幾何體為依托.因而要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)以及它們的求積公式.同時(shí)也要學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，會(huì)把組合體求積問題轉(zhuǎn)化為基本幾何體的求積問題，會(huì)等體積轉(zhuǎn)化求解問題，會(huì)把立體問題轉(zhuǎn)化為

2、平面問題求解，會(huì)運(yùn)用“割補(bǔ)法”等求解。三考點(diǎn)精講1多面體的面積和體積公式名稱側(cè)面積(S側(cè))全面積(S全)體 積(V)棱柱棱柱直截面周長(zhǎng)×lS側(cè)+2S底S底·h=S直截面·h直棱柱chS底·h棱錐棱錐各側(cè)面積之和S側(cè)+S底S底·h正棱錐ch表中S表示面積，c、c分別表示上、下底面周長(zhǎng)，h表斜高，h表示斜高，l表示側(cè)棱長(zhǎng)。2旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球S側(cè)2rlrl(r1+r2)lS全2r(l+r)r(l+r)(r1+r2)l+(r21+r22)4R2Vr2h(即r2l)r2hh(r21+r1r2+r22)R3表中l(wèi)、h分別表示母線、高

3、，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，r1、r2分別表示圓臺(tái) 上、下底面半徑，R表示半徑。4 題型解析：題型1：柱體的體積和表面積例1一個(gè)長(zhǎng)方體全面積是20cm2，所有棱長(zhǎng)的和是24cm，求長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng). 點(diǎn)評(píng)：涉及棱柱面積問題的題目多以直棱柱為主，而直棱柱中又以正方體、長(zhǎng)方體的表面積多被考察。我們平常的學(xué)習(xí)中要多建立一些重要的幾何要素（對(duì)角線、內(nèi)切）與面積、體積之間的關(guān)系。例2如圖1所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，ABAD，A1AB=A1AD=。（1）求證：頂點(diǎn)A1在底面ABCD上的射影O在BAD的平分線上；（2）求這個(gè)平行六面體的體積。圖1

4、 圖2 題型2：柱體的表面積、體積綜合問題例3一個(gè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是，這個(gè)長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng)是（ ）A2 B3 C6 D 點(diǎn)評(píng)：解題思路是將三個(gè)面的面積轉(zhuǎn)化為解棱柱面積、體積的幾何要素棱長(zhǎng)。例4如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分別為AB、AC 的中點(diǎn)，平面EB1C1將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分，那么V1V2= _ _。 點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵是棱柱、棱臺(tái)間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立起求解體積的幾何元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。最后用統(tǒng)一的量建立比值得到結(jié)論即可。題型3：錐體的體積和表面積例5在四棱錐PABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，DAB60，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，PO平面ABC

5、D，PB與平面ABCD所成的角為60，求四棱錐PABCD的體積？ 點(diǎn)評(píng)：本小題重點(diǎn)考查線面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱錐的體積。在能力方面主要考查空間想象能力。例6在三棱錐SABC中，SAB=SAC=ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5。（如圖所示）（）證明：SCBC；（）求側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大??；（）求三棱錐的體積VSABC。 點(diǎn)評(píng)：本題比較全面地考查了空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。要求對(duì)圖形必須具備一定的洞察力，并進(jìn)行一定的邏輯推理。題型4：錐體體積、表面積綜合問題例7ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GB垂直于正方形ABCD所在

6、的平面，且GC2，求點(diǎn)B到平面EFC的距離？ 點(diǎn)評(píng)：該問題主要的求解思路是將點(diǎn)面的距離問題轉(zhuǎn)化為體積問題來求解。構(gòu)造以點(diǎn)B為頂點(diǎn)，EFG為底面的三棱錐是解此題的關(guān)鍵，利用同一個(gè)三棱錐的體積的唯一性列方程是解這類題的方法，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算。例8如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（與四個(gè)面都相切的球）球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐ABEFD與三棱錐AEFC的表面積分別是S1，S2，則必有（ ）AS1<S2 BS1>S2CS1=S2 DS1，S2的大小關(guān)系不能確定 點(diǎn)評(píng)：該題通過復(fù)合平面圖形的分割過程，增加了題目處理

7、的難度，求解棱錐的體積、表面積首先要轉(zhuǎn)化好平面圖形與空間幾何體之間元素間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 題型6：圓柱的體積、表面積及其綜合問題例11一個(gè)圓柱的側(cè)面積展開圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（ ）A B C D 例12如圖99，一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個(gè)半徑為r的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高r，則= 。 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)知識(shí)以及計(jì)算能力和分析、解決問題的能力。題型7：圓錐的體積、表面積及綜合問題例13（1）在ABC中，AB=2，BC=1.5，ABC=120°（如圖所示），若將ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是（ ）A BC

8、 D（2）若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個(gè)圓錐的全面積是（ ）A3 B3 C6 D9 點(diǎn)評(píng)：通過識(shí)圖、想圖、畫圖的角度考查了空間想象能力。而對(duì)空間圖形的處理能力是空間想象力深化的標(biāo)志，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向。例14如圖所示，OA是圓錐底面中心O到母線的垂線，OA繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成相等的兩部分，則母線與軸的夾角的余弦值為（ ）A B C D 點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查柱體、錐體的體積公式及靈活的運(yùn)算能力。題型8：球的體積、表面積例15已知過球面上三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半，且，求球的表面積。 點(diǎn)評(píng)： 正確應(yīng)用球的表面積公式，建立平面圓與球的半徑之間

9、的關(guān)系。例16如圖所示，球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，如果PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，求這個(gè)球的表面積。 點(diǎn)評(píng)：本題也可用補(bǔ)形法求解。將PABC補(bǔ)成一個(gè)正方體，由對(duì)稱性可知，正方體內(nèi)接于球，則球的直徑就是正方體的對(duì)角線，易得球半徑R=a,下略。題型9：球的面積、體積綜合問題例17如圖，正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)在球面上，如果，則球的表面積是（ ）A B C D（2）半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，正方體的一個(gè)面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體棱長(zhǎng)為，求球的表面積和體積。 點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查球截面的性質(zhì)以及球面積公式，解題的關(guān)鍵是將多面體的幾何要素轉(zhuǎn)化成球的幾何要素

10、。例18（1）表面積為的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是，求這個(gè)正四棱柱的表面積。 （2）正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，球O是內(nèi)切球，球O1是與正四面體的三個(gè)面和球O都相切的一個(gè)小球，求球O1的體積。 點(diǎn)評(píng)：正四面體的內(nèi)切球與各面的切點(diǎn)是面的中心，球心到各面的距離相等。題型10：球的經(jīng)緯度、球面距離問題例19（1）我國首都靠近北緯緯線，求北緯緯線的長(zhǎng)度等于多少？（地球半徑大約為）（2）在半徑為的球面上有三點(diǎn)，求球心到經(jīng)過這三點(diǎn)的截面的距離。 例20在北緯圈上有兩點(diǎn)，設(shè)該緯度圈上兩點(diǎn)的劣弧長(zhǎng)為（為地球半徑），求兩點(diǎn)間的球面距離。 點(diǎn)評(píng)：要求兩點(diǎn)的球面距離，必須先求出兩點(diǎn)的直線距離，再求出這兩點(diǎn)的球心角，進(jìn)

11、而求出這兩點(diǎn)的球面距離。五思維總結(jié)1正四面體的性質(zhì) 設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則這個(gè)正四面體的(1)全面積：S全=a2；(2)體積：V=a3；(3)對(duì)棱中點(diǎn)連線段的長(zhǎng)：d=a；(4)內(nèi)切球半徑：r=a；(5)外接球半徑 R=a；(6)正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值(等于正四面體的高)。2直角四面體的性質(zhì) 有一個(gè)三面角的各個(gè)面角都是直角的四面體叫做直角四面體.直角四面 體有下列性質(zhì)：如圖，在直角四面體AOCB中，AOB=BOC=COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c。則：不含直角的底面ABC是銳角三角形；直角頂點(diǎn)O在底面上的射影H是ABC的垂心；體積 V=abc；底面AB

12、C=；S2ABC=SBHC·SABC；S2BOC=S2AOB+S2AOC=S2ABC=+; 外切球半徑 R=；內(nèi)切球半徑 r=3圓錐軸截面兩腰的夾角叫圓錐的頂角.如圖，圓錐的頂角為，母線與下底面所成角為，母線為l，高為h，底面半徑為r，則 sin=cos = ，+=90° cos=sin = . 球的截面 用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是圓面.(1)過球心的截面截得的圓叫做球的大圓；不經(jīng)過球心的截面截得的圓叫做球的小圓；(2)球心與截面圓圓心的連線垂直于截面；(3)球心和截面距離d,球半徑R，截面半徑r有關(guān)系：r=.4經(jīng)度、緯度：經(jīng)線：球面上從北極到南極的半個(gè)大圓；緯線：與赤道

13、平面平行的平面截球面所得的小圓；經(jīng)度：某地的經(jīng)度就是經(jīng)過這點(diǎn)的經(jīng)線與地軸確定的半平面與經(jīng)線及軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)。緯度：某地的緯度就是指過這點(diǎn)的球半徑與赤道平面所成角的度數(shù)。5. 兩點(diǎn)的球面距離：球面上兩點(diǎn)之間的最短距離，就是經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度，我們把這個(gè)弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)的球面距離兩點(diǎn)的球面距離公式：（其中R為球半徑，為A,B所對(duì)應(yīng)的球心角的弧度數(shù)）課后作業(yè)1、如圖，中， ，在三角形內(nèi)挖去一個(gè)半圓（圓心在邊上，半圓與、分別相切于點(diǎn)、，與交于點(diǎn)），將繞直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體。（1）求該幾何體中間一個(gè)空心球的表面積的大??；（2）求圖中陰影部分繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積2、如圖，四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，平面，（1）求三棱錐的體積；（2）求異面直線與所成角的大小3、（本題滿分12分）在正四棱錐中，側(cè)棱的長(zhǎng)為，與所成的角的大小等于（1）求正四棱錐的體積；（2）若正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，求此球的半徑4、（本題滿分12分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分 如圖，在三棱錐中，平面，,分別是的中點(diǎn)（1）求三棱錐的體積；（2）若異面直線與所成