2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析蘇教版精品

1、二一年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明：1評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)選擇題只設(shè)6 分和 0 分兩檔，填空題只設(shè) 9分和 0 分兩檔；其它各題的評(píng)閱，請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評(píng)分檔次給分，不要再 增加其他中間檔次2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評(píng)卷時(shí)請(qǐng)參 照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分，可以 5 分為一個(gè)檔次，不要再增加其它中間檔次一、選擇題（本題滿分 36分，每小題 6 分）本題共有 6 小題，每題均給出（ A）、（ B）、（C）、（D）四個(gè)結(jié)論，其中有且僅有一個(gè) 是正確的請(qǐng)將正確答案的代表字母填在題后的括號(hào)內(nèi)每小題選對(duì)得 6 分；不選、選 錯(cuò)或選出

2、的代表字母超過一個(gè)（不論是否寫在括號(hào)內(nèi)） ，一律得 0 分 1已知 a為給定的實(shí)數(shù)，那么集合 M= x| x2-3x-a2+2=0，xR的子集的個(gè)數(shù)為（A） 1（ B） 2（ C） 4（ D） 不確定【答】（ C ）【解】 方程 x2-3 x- a2+2=0 的根的判別式 =1+4a2>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù) 根由 M有 2個(gè)元素，得集合 M有 22=4個(gè)子集2 命題 1 長方體中，必存在到各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn) ;命題 2 長方體中，必存在到各棱距離相等的點(diǎn) ;命題 3 長方體中，必存在到各面距離相等的點(diǎn) .以上三個(gè)命題中正確的有（A） 0 個(gè)（B） 1 個(gè)（ C） 2 個(gè) （D） 3

3、 個(gè)【答】（ B ）【解】 只有命題 1 對(duì)3在四個(gè)函數(shù) y=sin| x| ，y=cos| x| ，y=|ctg x| ，y=lg|sin x| 中以 為周期、 在 （0， ）2 上單調(diào)遞增的偶函數(shù)是（ A） y=sin| x|（ B）y =cos| x| （C）y=|ctg x|（ D） y=lg|sin x|【答】（ D ）【解】 y=sin| x| 不是周期函數(shù) y=cos| x|=cos x 以 2 為周期 y=|ctg x| 在（ 0，）上單調(diào)遞減只有 y=lg|sin x| 滿足全部條件24如果滿足 ABC=60°， AC=12， BC=k的 ABC恰有一個(gè)，（A） k

4、=8 3B) 0<k12C) k 12那么 k 的取值范圍是（D） 0< k 12 或 k=8 3【答】（ D ）【解】 根據(jù)題設(shè)， ABC 共有兩類如圖易得 k=8 3或 0<k12本題也可用特殊值法，2）1000 的展開式為 a0 a1x a2x2a1998 的值為B） 36665若 (1 x x 則 a0 a3排除（ A）、（ B）、（C） a2000 x2000 ，令 x=其中A）a63333a9C）3999D) 32001答】（ C ）解】可得 0=a0令 x=1可得 31000=a02 a1a2a13a3a2a3a2000a2000 ；2000；21 23i ，則

5、 3=1且2+1=0)2可得 0=a0 a1 以上三式相加可得 31000 =3（ a0 a3令 x=2 a2 4a3a20004000a6 所以 a0 a3 a6 a9a1998 =3 6已知 6 枝玫瑰與 3 枝康乃馨的價(jià)格之和大于a9a1998 )24 元，而 4 枝玫瑰與5 枝康乃馨的價(jià)格之和小于 22元，則 2 枝玫瑰的價(jià)格和 3 枝康乃馨的價(jià)格比較結(jié)果是A）2 枝玫瑰價(jià)格高 （B）3 枝康乃馨價(jià)格高C）價(jià)格相同D）不確定答】（ A ）解】 設(shè)玫瑰與康乃馨的單價(jià)分別為 x、 y元/枝則 6x+3y>24,4 x+5y<22. 令 6x+3y=a>24,4x+5y=b

6、<22, 解出 x= 1 (5a 1813b),y=91(3b 2a).所以 2x-3y= 2 3 等價(jià)于 1 2 3 或 1log1 x 2 log1x 2 log1 x(11a 12b) 1(11 24 12 22)=0，即 2x>3y也可以根據(jù)二元一次不等式所表示的區(qū)域來研究二、填空題(本題滿分 54分，每小題 9 分) 本題共有 6 小題，要求直接將答案寫在橫線上 7橢圓1 的短軸長等于 2 3 2 cos 3【解】(0) a c 1, ( )a c 1.故 a 2,c 1 b3從而 2b23333338若復(fù)數(shù)z1，z2滿足 | z1|=2 ，|z2|=3 ， 3z1-2z

7、2= 3i ，則 z1·z2=3072 i21313【解】 由 3z1-2z2=1z2 z2 z11z1 z1 z221z1z263(2z23z1)3可得 z1z26(3z12z2)6(3z12z2 ) 6i23072i 本題也可設(shè)三角形式2z23z12z23z13i13132進(jìn)行運(yùn)算69正方體 ABCDA1B1C1D1 的棱長為 1，則直線 A1C1與 BD1 的距離是 6 6【解】 作正方體的截面 BB1D1D，則 A1C1面 BB1D1D設(shè) A1C1 與 B1D1交于點(diǎn) O，在面 BB1D1D內(nèi)作 OH BD1，H為垂足，則 OH 為 A1C1與 BD1 的公垂線顯然 OH等于

8、直角三角形 BB1D1 斜邊上610.不等式高的一半，即 OH= 6 32的解集為 (0,1) (1,27 ) (4, ) 解】2即1log 1 x1或2 log 1 x2此時(shí) log 1 x22或 log 1 xlog1 x 0 解為 x2>4 或 0<x<1 或 1<x<2 7 即解集為(0,1)2(1,2 7 ) (4, ) 11函數(shù)yxx2 3x 2 的值域?yàn)?1,23) 2, ) 解】yxx2 3x 22x2 3x兩邊平方得 (2y3)x2，從而y 3且 x2y2 22y 3由yy2 23y 2yy2 3y 22y1y3或2任取2 ，令 x2y 3，易知

9、2，于是x2 3x0且yx x2 3x 2 任取同樣令 x2y 3，易知 x 1 ，3x 2x x2 3x 2 因此，所求函數(shù)的值域?yàn)?1,3) 2, ) 12 在一個(gè)正六邊形的六個(gè)區(qū)域栽種觀賞植物(如圖)要求同一塊中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物種不同的植物可供選擇，則有732現(xiàn)有種栽種方案解】 考慮 A、C、E種同一種植物，此時(shí)共有 4×3×3×3=108 種方法考慮 A、C、E種二種植物，此時(shí)共有 3×4×3×3×2×2=432 種方法考慮 A、C、E種三種植物，此時(shí)共有 P43×2×

10、;2×2=192 種方法故總計(jì)有 108+432+192=732 種方法三、解答題(本題滿分 60 分，每小題 20 分)13設(shè) an 為等差數(shù)列， bn 為等比數(shù)列，且 b1=a12，b2=a22，b3=a32(a1<a2) ，又nlim (b1 b2bn)2 1試求 an 的首項(xiàng)與公差解】 設(shè)所求公差為 d， a1<a2， d>0由此得224a12(a1+2d)2=(a1+d) 4化簡得 2a12+4a1d+d2=0解得 d=( 2 2) a1. 5分而 2 2<0，故 a1<0 2若 d=( 2 2) a 1，則 q a22 ( 2 1)2 ；a1

11、22若 d=( 2 2 )a1，則 q a22 ( 2 1)2 ；a1210分但 lim (b1 b2 nbn)2 1存在，故 | q|<1 于是 q ( 2 1) 2不可能2從而a12 2 1 a12 (2 2 2)( 2 1) 21 ( 2 1)21所以 a1= 2，d=( 2 2) a1=( 2 2)( 2 )=2 2 2 20 分214設(shè)曲線 C1： x2 y2 1( a為正常數(shù))與 C2：y2=2(x+m) 在 x 軸上方僅有一個(gè) a2公共點(diǎn) P 求實(shí)數(shù) m的取值范圍(用 a 表示)；1 O為原點(diǎn)，若 C1與 x 軸的負(fù)半軸交于點(diǎn) A，當(dāng) 0<a< 時(shí)，試求 OAP

12、的面積的最大值(用 a 表示)x y故當(dāng) 0<a 31時(shí) , a a(1 a) 12a 1 1, 【解】 由 a2 y 1, 消去 y 得， x2+2a2x+2a2m-a2=0 2y2 2(x m)設(shè) f(x)= x2+2a2x+2a2m-a2，問題轉(zhuǎn)化為方程在 x(- a，a) 上有唯一解或等根只須討論以下三種情況：2=0得 m= a 1此時(shí) xp= - a2，當(dāng)且僅當(dāng) - a<-a2<a，即 0<a<1時(shí)適合；2f(a)·f (- a)<0 當(dāng)且僅當(dāng) a<m<a； f(- a)=0 得 m=a此時(shí) xp=a-2 a2，當(dāng)且僅當(dāng) -

13、a< a-2 a2<a，即 0<a<1時(shí)適合f (a)=022得 m=- a，此時(shí) xp=- a-2 a ，由于 -a-2a <- a，從而 m -a綜上可知，當(dāng) 0<a<1時(shí)， m= a 1或- a<ma；210 分當(dāng) a 1 時(shí)， - a<m<a.1 【解】 OAP的面積 S=1 ayp2 0<a<1， 故 -a<m a 時(shí) ， 0 a2 a a2 1 2m a ， 由 唯 一 性 得22 xp= aa a2 1 2m 顯然當(dāng) m=a 時(shí)， xp取值最小 由于 xp>0，從而 yp21 xp 取值最大，此時(shí)

14、 yp=2 a a2 ， S=a a a12S= a 1 a2 22當(dāng) m= a 1 時(shí)， xp=-a2，yp= 1 a2 ，此時(shí)2面比較 a a a2 與 1 a 1 a2 的大小：2令 a a a2 = 1 a 1 a2 ，得 a=1.a2 此時(shí) Smax= 1 a 1 a222311當(dāng) 1<a<1 時(shí)，32a a(1 a)1a 1 a 此時(shí) Smax= a a a220分15用電阻值分別為 a1、a2、a3、 a4、a5 、 a6 （ a1>a2>a3>a4>a5>a6）的電阻組裝成一個(gè)如圖的組件， 在組裝中應(yīng)如何選取電阻，才能使該組件總電阻值最

15、?。孔C明你的結(jié)論解】 設(shè) 6個(gè)電阻的組件（如圖 3）的總電阻為 RFG當(dāng) Ri=ai ，i=3，4，5，6，R1，R2是 a1，a2 的任意排列時(shí)， RFG最小5分證明如下1°設(shè)當(dāng)兩個(gè)電阻 R1， R2并聯(lián)時(shí)，所得組件阻值為 R：則 1 1 RR11 故交換二電R2阻的位置，不改變 R值，且當(dāng) R1 或 R2 變小時(shí)， R也減小，因此不妨取R1>R22°設(shè) 3個(gè)電阻的組件 （ 如圖 1）的總電阻為 RAB：R1R2R1R2 R1R3 R2R3 ARABR1 R2R3R1R2圖R1 R2顯然 R1+R2越大， RAB越小，所以為使 RAB最小必須取R3 為所取三個(gè)電阻中

16、阻值最小的一個(gè)BR1DC圖24 個(gè)電阻的組件 （ 如圖 2） 的總電阻為 RCD：1 R1R2 R1R3 R1R4 R2R3R2 R4若記S1RiRj ，S2RiRjRk 則 S1、S2為定值1i j 4 1 i j k 4于是 RCDS2 R1R2R3S1 R3R4只有當(dāng) R3R4最小， R1R2R3最大時(shí)， RCD最小，故應(yīng)取 R4<R3，R3<R2，R3<R1，即得總電阻15分的阻值最小4°對(duì)于圖 3，把由 R1、R2、R3組成的組件用等效電阻 RAB代替要使 RFG最小，由 3° 必需使 R6<R5；且由 1°，應(yīng)使 RCE最小由

17、2°知要使 RCE最小，必需使 R5< R4，且應(yīng)使 RCD最小20分而由 3°，要使 RCD最小，應(yīng)使 R4< R3 < R2且 R4< R3 < R1這就說明，要證結(jié)論成立R1R3 BD R5R4圖3AD、BE、CF交于點(diǎn) H，直線 ED和 AB交于30分50分二一年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽 加試參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明：1評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評(píng)分檔次給分2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評(píng)卷時(shí)請(qǐng)參 照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分，可以 10 分為一個(gè)檔次，不要再增加其它中間檔次一如圖， ABC中， O為

18、外心，三條高 點(diǎn) M， FD 和 AC交于點(diǎn) N 求證：（1）OB DF， OC DE（2）OH MN 【證明】（1）A，C，D，F(xiàn) 四點(diǎn)共圓， BDF= BAC1又 OBC= （180 °- BOC）=90°- BAC，2OBDF同理 OC DE 10 分（2） CFMA，MC2 -MH 2=AC 2-AH 2BENA，2 2 2 2NB 2-NH 2=AB 2-AH 2DABC，BD 2-CD 2=BA 2-AC 2OBDF，BN 2-BD 2=ON2 -OD 2OCDE，CM2 -CD 2=OM2 -OD 2- +-，得NH 2-MH 2=ON 2-OM2 2 2 2

19、 2MO2 -MH 2=NO 2-NH 2所以 OHMN二設(shè) xi 0(i=1，2， n)，n2xi121kj n kj xkxjn1，求i1xi 的最大值與最小值解】先求最小值，因?yàn)閚(xi )2i12 xi i1xkxjnnxi 1，i1等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)存在 i 使得x i =1， xj=0，jinxi 的最小值為 1i110分再求最大值，令 kyk2 2kyk y j 1k11 k jnnn設(shè) M =xk =kykk1 k 1y1y2yna1,令y2yna2,ynan.則22 a1 a22 anxkn1n令 an+1=0，則30分M=k1ak 1)nkakk1nkak 1kakk1nk

20、1ak1n( k k 1)ak k1由柯西不等式得nM ( k k k11)212(k1ak2)21n(kk 1)2k1等號(hào)成立2 a1 12 ak2 an2a2( k k 1)22an( n n 1)22ak1 ( 2 1)2( n n 1)2( k k 1)2akk=1， 2， n）k k 11 n2 ( k k 1)2 k1由于 a1 a2an ，從而ykakak 12 k ( k 1 k 11) 0，即 xk 0 n2 ( k k 1)2k1所求最大值為n(kk 1)250分DCnk1三將邊長為正整數(shù) m，n 的矩形劃分成若干邊長均 為正整數(shù)的正方形每個(gè)正方形的邊均平行于矩形的相 應(yīng)邊試求這些正方形邊長之和的最小值A(chǔ) m B【解】記所求最小值為 f （ m， n），可以證明 f （m，n） =m+n- （m，n） （*）其中（m，n）表示 m和 n的最大公約數(shù)10 分事實(shí)上，不妨設(shè) m n（1） 關(guān)于 m歸納，可以證明存在一種合乎題意的分法，使所得正方形邊長之和恰為 m+n- （m，n） 當(dāng) m=1 時(shí) , 命題顯然成立假設(shè)當(dāng) m