2019高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)突破——立體幾何初步：直線、平面平行的判定及其性質(zhì)學(xué)案

1、 直線、平面平行的判定及其性質(zhì) 【考點(diǎn)梳理】 1.直線與平面平行的判定與性質(zhì) 判定 性質(zhì) 定義 定理 圖形 匕 u / /I IzEO 條件 aA a = ? a? a , b?a , a / b a / a 4 I a/ a , a? B , a A B = b 結(jié)論 a / a b / a a A a = ? 7 、p rX a/ b 2 面面平行的判定與性質(zhì) 判定 性質(zhì) 定義 定理 圖形 z / _ k /W / IzC7 1 / A / * /7 條件 a A B = ?、 a? B , b? B , 1 - - - aA b= P, a/ a , b/ a a / B , a A Y

2、 = a, B A Y = b a / B , a? B , 結(jié)論么 z /匕 a / B a / B a / b a / a 3.與垂直相關(guān)的平行的判定 (1) a丄a, b丄a ? a / b. (2) a 丄 a , a 丄 B ? a /B . 【考點(diǎn)突破】 考點(diǎn)一、與線、面平行相關(guān)命題真假的判斷 【例 1】已知m n是兩條不同的直線，a,B, 丫是三個不同的平面，則下列命題中正 確的是( ) A. ma,門/久貝 m n B. m/ n, ma，貝U n/a C. mX a , mX B ,V a / B D. a 丄 Y , B 丄 Y，V a / B2 答案C 解析A 中，m與n

3、平行、相交或異面， A 不正確；B 中，n/a或n? a , B 不正確; 根據(jù)線面垂直的性質(zhì)， C 正確；D 中，a / 3或a與B相交于一條直線，D 錯誤 【類題通法】 1 判斷與平行關(guān)系相關(guān)命題的真假，必須熟悉線、面平行關(guān)系的各個定義、定理，無 論是單項(xiàng)選擇還是含選擇項(xiàng)的填空題， 都可以從中先選出最熟悉最容易判斷的選項(xiàng)先確定或 排除，再逐步判斷其余選項(xiàng). 2. (1)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷. (2)特別注意定理所要求的條件是否完備， 圖形是否有特殊情形， 通過舉反例否定結(jié)論 或用反證法推斷命題是否正確. 【對點(diǎn)訓(xùn)練】 n表示不同的直線，a , 3表示不同的平面，則下列結(jié)

4、論中正確的是 答案D 考點(diǎn)二、直線與平面平行的判定與性質(zhì) 【例 2】如圖，四棱錐 P ABCD中, PA!底面 ABCD AD/ BC, AB= AD= AC= 3, PA= BC =4, M為線段 AD上一點(diǎn)，AM= 2MD N為PC的中點(diǎn) 證明：MN/平面PAB (2)求四面體N- BCM勺體積. A. m a , m/ n,貝U n/ a B. m? a , n? 3 , m/ 3 , n/ a ,貝 U C. 3,貝U rr/ n D. m n? 3 ,貝U ,m/ n,貝U n / a 或 n? n? 3 , m/ 3 , n/ a ,貝U a與3相交或平行，故 B 錯誤.在 C 中

5、，若 / 3 ,貝U mW n相交、平行或異面，故 C 錯誤.在 D 中，若a / 3 , m/ 則由線面平行的判定定理得 n/ 3 ,故 D 正確. 解析在 A 中，若m/ a a，故 A 錯誤.在 B 中，若 a 丄 3 , m a , n a , n / m n ? 3 , 3 解析 由已知得AM= 2AD= 2. 如圖，取BP的中點(diǎn)T,連接AT, TN 1 由 N為 PC中點(diǎn)知 TN/ BC TN= qBO2. 又AD/ BC故TN綉 AM所以四邊形 AMN為平行四邊形，于是 MIN/ AT 因?yàn)锳T?平面PAB MN平面PAB 所以M/平面PAB 因?yàn)镻AL平面ABCD N為PC的中

6、點(diǎn)， 1 所以N到平面ABC啲距離為 qPA 如圖，取 BC的中點(diǎn) E,連接 AE 由 AB= AC= 3 得 AELBC AE= . AB BE = 5. 1 由AM/ BC得M到BC的距離為，5,故 &BCZ寸4X 5= 2 5. 所以四面體 N- BCM勺體積VN BC= 【類題通法】 1 判斷或證明線面平行的常用方法有： (1) 利用反證法(線面平行的定義)； (2) 利用線面平行的判定定理 (a? a , b? a , a/ b? a/ a )； (3) 利用面面平行的性質(zhì)定理 (a / B , a? a ? a/ 3); 利用面面平行的性質(zhì)(a / 3 , a? 3 , a

7、 / a ? a / 3 ) 2利用判定定理判定線面平行，關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線常利用三角 形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面找其交線. 【對點(diǎn)訓(xùn)練】 如圖，四棱錐 F-ABC中，底面ABC助矩形，PAL平面ABCD E為PD的中點(diǎn). (1) 證明：PB/平面AEC (2) 設(shè)AP= 1, AD= ,3，三棱錐 RABD勺體積V=，求A到平面PBC的距離. 4 解析 設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為0,連接E05 因?yàn)樗倪呅蜛BC國矩形, 所以0為BD的中點(diǎn)， 又E為PD的中點(diǎn)， 解析 / G H分別是AiBi, AC的中點(diǎn), 6是厶ABC的中位線，GIH/ BCi. 又 BC

8、/ BC GIH/ BC B, C, H, G四點(diǎn)共面.所以 EO/ PB 因?yàn)?E0?平面AEC PB?平面AEC 所以 PB/平面 AEC 又V=#可得AB= |. 作AHL PB交PB于點(diǎn)H 由題設(shè)知BC丄平面PAB所以BCL AH 故AHL平面PBC 在 Rt PAB中，由勾股定理可得 PB= J3,所以AHh PA- AB_ 2 PB 13 所以A到平面PBC勺距離為 111. 考點(diǎn)三、平面與平面平行的判定與性質(zhì) 【例 3】如圖所示，在三棱柱 ABGABC 中，E, F, G H分別是 AB AC ABi , AC的中 點(diǎn)，求證: (1) B, C, H, G四點(diǎn)共面； 平面EFA/

9、平面BCHG 由 V= 1PA- AB- AD= 6 在厶ABC中, E, F分別為AB, AC的中點(diǎn)， EF/ BC / EF?平面 BCHG BC?平面 BCHG EF/平面 BCHG AG綊 EB 四邊形AiEBG是平行四邊形，貝U AE/ GB / AE?平面 BCHG G 平面 BCHG AE/平面 BCHG / A EQ EF= E, 平面EFA/平面BCHG 【變式 1】在本例條件下，若點(diǎn) D為BC的中點(diǎn)，求證：HD/平面ABBA 解析如圖所示，連接HD AB, / D為BC的中點(diǎn)，H為AC的中點(diǎn)， HD/ AB 又HD?平面ABBA AB?平面 ABBA HD/平面 ABBA

10、【變式 2】在本例中，若將條件“E, F , G H分別是AB AC AB , A C的中點(diǎn)” D分別為BC , BC的中點(diǎn)”，求證：平面 AiBD /平面ACD. 解析如圖所示,連接 AC交AC于點(diǎn)M 四邊形AACC是平行四邊形， M是AiC的中點(diǎn)，連接MD / D為BC的中點(diǎn)， AB/ DM T AB?平面 AiBD , DM平面 ABD , DM/ 平面 ABD , 又由三棱柱的性質(zhì)知，D C綉B(tài)D, 四邊形BDCD為平行四邊形，變?yōu)椤?D , 7 DG/ BD. 又DC?平面ABD, BD?平面 ABD, DG/平面 ABD, 又 DGQ DM= D, DG, DIM 平面 AGD,

11、因此平面 ABD /平面 AGD. 【變式 3】在本例中，若將條件“ E, F, G H分別是AB AG A1B1 , AG的中點(diǎn)”變?yōu)椤包c(diǎn) AD A D D分別是AG AQ上的點(diǎn),且平面 BGD/平面ABD”，試求D的值. 解析連接AB交AB于0,連接0D 由平面BGD/平面 ABD，且平面 A1BGQ平面BGD BG,平面 ABGQ平面 ABD= DiO, (1)面面平行的判定定理. (2)線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行 ). 2.面面平行的性質(zhì)定理的作用: (1)判定線面平行；(2)判斷線線平行，線線、 線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化是解決與平行 有關(guān)的問題的指導(dǎo)思想解題時要看清題目的具體條件，選擇正確的轉(zhuǎn)化方向. Ai D Ai 0 所以 BG/ DO,則 DG A1D DG 又由題設(shè)北=AD 0B= 1. DG 加 AD A -AC= 1 1. 【類題通法】 1判定面面平行的主要方法: Di An Ci 8 性質(zhì)定理 f 判定定理 判定定理 線尹行曬 E 線面平行盂青警平行 判定定理9 【對點(diǎn)訓(xùn)練】 一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示 (1)請將字母F, G H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說明理由)； 判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論 解析(1)點(diǎn)F，G H的位置如圖所示