三維坐標(biāo)變換教材

1、第第7章章 三維變換三維變換 7.1 簡介簡介 7.2 三維幾何變換三維幾何變換 7.3 三維坐標(biāo)變換三維坐標(biāo)變換7.1 簡介簡介三維平移變換、比例變換可看成是二維情況的三維平移變換、比例變換可看成是二維情況的直接推廣。但旋轉(zhuǎn)變換則不然，因為我們可選直接推廣。但旋轉(zhuǎn)變換則不然，因為我們可選取空間任意方向作旋轉(zhuǎn)軸，因此三維變換處理取空間任意方向作旋轉(zhuǎn)軸，因此三維變換處理起來更為復(fù)雜起來更為復(fù)雜。與二維變換相似，我們也采用齊次坐標(biāo)技術(shù)與二維變換相似，我們也采用齊次坐標(biāo)技術(shù)來描述空間的各點坐標(biāo)及其變換，這時，描來描述空間的各點坐標(biāo)及其變換，這時，描述空間三維變換的變換矩陣是述空間三維變換的變換矩陣是

2、44的形式。的形式。由此，一系列變換可以用單個矩陣來表示。由此，一系列變換可以用單個矩陣來表示。7.2 三維幾何變換三維幾何變換7.2.1 基本三維幾何變換基本三維幾何變換 1. 平移變換平移變換 若空間平移量為若空間平移量為(tx, ty, tz)，則平移變換為，則平移變換為zyxtzztyytxxP(x,y,z)P(x,y,z)xyz10100001000011 1 zyxtttzyxzyx補充說明：點的平移、補充說明：點的平移、物體的平移、多面體物體的平移、多面體的平移、逆變換的平移、逆變換2. 比例變換比例變換10000000000001 1 zyxssszyxzyx（1） 相對坐標(biāo)原

3、點的比例變換相對坐標(biāo)原點的比例變換一個點一個點P=(x,y,z)相對于坐標(biāo)原點的比例變換的矩相對于坐標(biāo)原點的比例變換的矩陣可表示為陣可表示為xyzzyxzszysyxsx,其中其中zyxsss,為正值。為正值。（2） 相對于所選定的固定點的比例變換相對于所選定的固定點的比例變換zxy（xf,yf,zf)zxy（xf,yf,zf)zxy（xf,yf,zf)zxy（xf,yf,zf)(1)(2)(3) 1111000000000,fzfyfxzyxfffzyxfffzsysxsssszyxTsssSzyxT3. 繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換 三維空間中的旋轉(zhuǎn)變換比二維空間中的旋轉(zhuǎn)變?nèi)S空間

4、中的旋轉(zhuǎn)變換比二維空間中的旋轉(zhuǎn)變換復(fù)雜。除了需要指定旋轉(zhuǎn)角外，還需指定旋轉(zhuǎn)換復(fù)雜。除了需要指定旋轉(zhuǎn)角外，還需指定旋轉(zhuǎn)軸。軸。 若以坐標(biāo)系的三個坐標(biāo)軸若以坐標(biāo)系的三個坐標(biāo)軸x,y,z分別作為旋轉(zhuǎn)軸，分別作為旋轉(zhuǎn)軸，則點實際上只在垂直坐標(biāo)軸的平面上作二維旋轉(zhuǎn)。則點實際上只在垂直坐標(biāo)軸的平面上作二維旋轉(zhuǎn)。此時用二維旋轉(zhuǎn)公式就可以直接推出三維旋轉(zhuǎn)變此時用二維旋轉(zhuǎn)公式就可以直接推出三維旋轉(zhuǎn)變換矩陣。換矩陣。 規(guī)定在右手坐標(biāo)系中，物體旋轉(zhuǎn)的正方向是右規(guī)定在右手坐標(biāo)系中，物體旋轉(zhuǎn)的正方向是右手螺旋方向，即從該軸正半軸向原點看是逆時針手螺旋方向，即從該軸正半軸向原點看是逆時針方向。方向。 （1）繞）繞 z 軸

5、旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)xxxyyyzzzzzyxyyxxcossinsincosxzyx（2）繞）繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)xxzyzzyycossinsincos（3）繞）繞 y 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)yyxzxxzzcossinsincos1000010000cossin00sincos1 1 zyxzyx10000cossin00sincos000011 1 zyxzyx10000cos0sin00100sin0cos1 1 zyxzyx繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)，則該軸坐標(biāo)的一列元素不變。按照二維圖旋轉(zhuǎn)，則該軸坐標(biāo)的一列元素不變。按照二維圖形變換的情況，將其旋轉(zhuǎn)矩陣形變

6、換的情況，將其旋轉(zhuǎn)矩陣cossinsincos中的元素添入相應(yīng)的位置中，即中的元素添入相應(yīng)的位置中，即對于單位矩陣對于單位矩陣1000010000100001xyzxyz旋轉(zhuǎn)變換矩陣規(guī)律旋轉(zhuǎn)變換矩陣規(guī)律:，繞哪個坐標(biāo)軸繞哪個坐標(biāo)軸(1) 繞繞z軸正向旋轉(zhuǎn)軸正向旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)后點的角，旋轉(zhuǎn)后點的z坐標(biāo)值不變坐標(biāo)值不變, x、y坐標(biāo)的變化相當(dāng)于在坐標(biāo)的變化相當(dāng)于在xoy平面內(nèi)作正平面內(nèi)作正角旋轉(zhuǎn)。角旋轉(zhuǎn)。1000010000cossin00sincos1 1 zyxzyx1000010000100001xyzxyz(2)繞繞x軸正向旋轉(zhuǎn)軸正向旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)后點的旋轉(zhuǎn)后點的x坐標(biāo)值不變，坐標(biāo)值不變， Y

7、、z坐標(biāo)的變化相當(dāng)于在坐標(biāo)的變化相當(dāng)于在yoz平面內(nèi)作正平面內(nèi)作正角旋轉(zhuǎn)。角旋轉(zhuǎn)。10000cossin00sincos000011 1 zyxzyx10000cos0sin00100sin0cos1 1 xyzxyz即即10000cos0sin00100sin0cos1 1 zyxzyx這就是說，繞這就是說，繞y軸的旋轉(zhuǎn)變換的矩陣與繞軸的旋轉(zhuǎn)變換的矩陣與繞x軸和軸和z軸軸變換的矩陣從表面上看在符號上有所不同。變換的矩陣從表面上看在符號上有所不同。(3) 繞繞y軸正向旋轉(zhuǎn)軸正向旋轉(zhuǎn)角，角，y坐標(biāo)值不變，坐標(biāo)值不變，z、x的坐標(biāo)相當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)相當(dāng)于在于在zox平面內(nèi)作正平面內(nèi)作正角旋轉(zhuǎn)，于是角旋轉(zhuǎn)，

8、于是7.2.2 組合變換組合變換1. 物體繞平行于某一坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換?；静襟E物體繞平行于某一坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換?；静襟E: (1) 平移物體使旋轉(zhuǎn)軸與所平行的坐標(biāo)軸重合平移物體使旋轉(zhuǎn)軸與所平行的坐標(biāo)軸重合; (2) 沿著該坐標(biāo)軸進(jìn)行指定角度的旋轉(zhuǎn)沿著該坐標(biāo)軸進(jìn)行指定角度的旋轉(zhuǎn); (3) 平移物體使旋轉(zhuǎn)軸移回到原位置。平移物體使旋轉(zhuǎn)軸移回到原位置。xyzxyz(a)(b)yxz(c)xz(d) 1TRTRx2. 繞任意軸旋轉(zhuǎn)的變換繞任意軸旋轉(zhuǎn)的變換(1)平移物體使旋轉(zhuǎn)軸通過坐標(biāo)原點平移物體使旋轉(zhuǎn)軸通過坐標(biāo)原點;xyzP1P2xyzP1P2(1)(2)旋轉(zhuǎn)物體使旋轉(zhuǎn)軸與某個坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)物體使旋轉(zhuǎn)軸

9、與某個坐標(biāo)軸(如如z軸軸)重合重合;(3)關(guān)于該坐標(biāo)軸進(jìn)行指定角度的旋轉(zhuǎn)關(guān)于該坐標(biāo)軸進(jìn)行指定角度的旋轉(zhuǎn);xyzP1P2(2)yxzP1P2(3)(4) 應(yīng)用逆旋轉(zhuǎn)變換將旋轉(zhuǎn)軸回到原方向應(yīng)用逆旋轉(zhuǎn)變換將旋轉(zhuǎn)軸回到原方向;(5) 應(yīng)用逆平移變換將旋轉(zhuǎn)軸變換到原位置。應(yīng)用逆平移變換將旋轉(zhuǎn)軸變換到原位置。xyzP1P2(4)xyzP1P2(5)例例. 求變換求變換AV，使過原點的向量，使過原點的向量V=(a,b,c)與與z軸的軸的正向一致。正向一致。xyzVxyz實現(xiàn)步驟實現(xiàn)步驟:(1)將將V繞繞x軸旋轉(zhuǎn)到軸旋轉(zhuǎn)到xz 平面上平面上;(2)再繞再繞y軸旋轉(zhuǎn)使之與軸旋轉(zhuǎn)使之與z軸正向重合。軸正向重合。旋

10、轉(zhuǎn)角度的確定：繞旋轉(zhuǎn)角度的確定：繞x軸旋轉(zhuǎn)的角度軸旋轉(zhuǎn)的角度 等于向量等于向量V在在yz 平平面上的投影向量與面上的投影向量與z 軸正向的夾角。軸正向的夾角。xyzV=(a,b,c)V1=(0,b,c)VV根據(jù)矢量的點乘與叉乘，可以算出根據(jù)矢量的點乘與叉乘，可以算出:2222cos,sincbccbb因此，因此， 10000000000122222222cbccbbcbbcbcRx 22, 0 ,cbaVRVx類似地，可以求出類似地，可以求出:22222222cos,sincbacbcbaa 1000000010002222222222222222cbacbcbaacbaacbacbRy yx

11、VRRA 利用這一結(jié)果，則繞任意軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣可表示為：利用這一結(jié)果，則繞任意軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣可表示為： 111TRRRRRTRxyzyxxyzP1P2xyzP1P21) TxyzP1P22)xzP1P23) yxRR zR給定具有單位長的旋轉(zhuǎn)軸給定具有單位長的旋轉(zhuǎn)軸A=ax,ay,az和旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)角 ， 則物體繞則物體繞OA軸旋轉(zhuǎn)變換的矩陣表示可確定如下：軸旋轉(zhuǎn)變換的矩陣表示可確定如下：xxxxxxxxxxxyzxyxxxaaaaaaaaaaaaaaaaaaATxyxzyzzzyzxzzyyyxyzxyxxxMPPAAIAMaaaaaaAaaaaaaaaaaaaaaaaaaAsincos

12、000*A軸角旋轉(zhuǎn)軸角旋轉(zhuǎn)7.2.3 繞任意軸旋轉(zhuǎn)變換的簡單算法繞任意軸旋轉(zhuǎn)變換的簡單算法xyzo其中其中TM表示表示M的轉(zhuǎn)置矩陣。的轉(zhuǎn)置矩陣。利用這一結(jié)果，則繞任意軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣可表示為：利用這一結(jié)果，則繞任意軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣可表示為：傳統(tǒng)的方法通過繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)變換的乘積表示繞任意軸旋傳統(tǒng)的方法通過繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)變換的乘積表示繞任意軸旋轉(zhuǎn)的變換。與之相比，這種方法更直觀。轉(zhuǎn)的變換。與之相比，這種方法更直觀。xyzP1P2xyzP1P2 1TMTRT其中旋轉(zhuǎn)軸其中旋轉(zhuǎn)軸A=ax,ay,az為為1212PPPPA7.2.4 三維變換矩陣的功能分塊三維變換矩陣的功能分塊stttpaaapaaapa

13、aazyxzyx332313322212312111（1）三維線性變換部分）三維線性變換部分（2）三維平移變換部分）三維平移變換部分（3）透視變換部分）透視變換部分（4）整體比例因子）整體比例因子7.3 三維坐標(biāo)變換三維坐標(biāo)變換幾何變換：在一個參考坐標(biāo)系下將物體從一個幾何變換：在一個參考坐標(biāo)系下將物體從一個位置移動到另一個位置的變換。位置移動到另一個位置的變換。坐標(biāo)變換：坐標(biāo)變換： 一個物體在不同坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)一個物體在不同坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換。如從世界坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的變換；變換。如從世界坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的變換；觀察坐標(biāo)到設(shè)備坐標(biāo)之間的變換。再如，對物觀察坐標(biāo)到設(shè)備坐標(biāo)之間的變換。再如

14、，對物體造型時，我們通常在局部坐標(biāo)系中構(gòu)造物體，體造型時，我們通常在局部坐標(biāo)系中構(gòu)造物體，然后重新定位到用戶坐標(biāo)系。然后重新定位到用戶坐標(biāo)系。坐標(biāo)變換的構(gòu)造方法坐標(biāo)變換的構(gòu)造方法:與二維的情況相同，為將物體的坐標(biāo)描述從一個系統(tǒng)轉(zhuǎn)與二維的情況相同，為將物體的坐標(biāo)描述從一個系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為另一個系統(tǒng)，我們需要構(gòu)造一個變換矩陣，它能使換為另一個系統(tǒng)，我們需要構(gòu)造一個變換矩陣，它能使兩個坐標(biāo)系統(tǒng)重疊。具體過程分為兩步：兩個坐標(biāo)系統(tǒng)重疊。具體過程分為兩步：（1）平移坐標(biāo)系統(tǒng)）平移坐標(biāo)系統(tǒng)oxyz，使它的坐標(biāo)原點與新坐標(biāo)系，使它的坐標(biāo)原點與新坐標(biāo)系統(tǒng)的原點重合；統(tǒng)的原點重合；（2）進(jìn)行一些旋轉(zhuǎn)變換，使兩坐標(biāo)系的

15、坐標(biāo)軸重疊。）進(jìn)行一些旋轉(zhuǎn)變換，使兩坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸重疊。有多種計算坐標(biāo)變換的方法，下面我們介紹一種簡單的有多種計算坐標(biāo)變換的方法，下面我們介紹一種簡單的方法。方法。xyz(0,0,0)000,zyxxuyuzuxzy設(shè)新坐標(biāo)系設(shè)新坐標(biāo)系oxyz 原點的原點的坐標(biāo)為（坐標(biāo)為（x0,y0,z0），相對），相對原坐標(biāo)系其單位坐標(biāo)矢量原坐標(biāo)系其單位坐標(biāo)矢量為：為：321,xxxxuuuu321,yyyyuuuu321,zzzzuuuu將原坐標(biāo)系將原坐標(biāo)系xyz下的坐標(biāo)下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成新坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換成新坐標(biāo)系xyz的坐標(biāo)的坐標(biāo)可由以下兩步完成：可由以下兩步完成：首先，首先， 平移坐標(biāo)系平移坐標(biāo)系xyz，使其

16、原點與新坐標(biāo)系，使其原點與新坐標(biāo)系xyz的的原點（原點（x0,y0,z0）重合；）重合；xyz(0,0,0)000,zyxxuyuzuxzyxyz(0,0,0)1010000100001000zyxT平移矩陣為：平移矩陣為：(x,y,z)第二步，利用單位坐標(biāo)向量構(gòu)造坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣第二步，利用單位坐標(biāo)向量構(gòu)造坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣1000000333222111zyxzyxzyxuuuuuuuuuR該矩陣該矩陣R將單位向量將單位向量xuyuzu分別變換到分別變換到x,y和和z 軸。軸。綜合以上兩步，從綜合以上兩步，從oxyz到到oxyz的坐標(biāo)變換的矩陣為的坐標(biāo)變換的矩陣為RzyxT000,RzyxTzyxzyx000,1 ,1 ,說明：變換矩陣說明：變換矩陣TR將一個直角坐標(biāo)系變換為另一個將一個直角坐標(biāo)系變換為另一個坐標(biāo)系。即使一個坐標(biāo)系是右手坐標(biāo)系，另一個為坐標(biāo)系。即使一個坐標(biāo)系是右手坐標(biāo)