第02章 隨機(jī)信號(hào)分析通信原理第六版

1、第二章第二章隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析內(nèi)容結(jié)構(gòu)內(nèi)容結(jié)構(gòu)n引言引言；n隨機(jī)過(guò)程的一般描述隨機(jī)過(guò)程的一般描述；n平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程；n高斯過(guò)程（正態(tài)隨機(jī)過(guò)程）高斯過(guò)程（正態(tài)隨機(jī)過(guò)程）；n窄帶隨機(jī)過(guò)程窄帶隨機(jī)過(guò)程；n正弦波加窄帶隨機(jī)過(guò)程正弦波加窄帶隨機(jī)過(guò)程；n隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)；引言引言n隨機(jī)信號(hào)：隨機(jī)信號(hào)： 某個(gè)或某幾個(gè)參量不能被預(yù)知或某個(gè)或某幾個(gè)參量不能被預(yù)知或不能完全被預(yù)知的信號(hào)。不能完全被預(yù)知的信號(hào)。n隨機(jī)噪聲：隨機(jī)噪聲： 不能被預(yù)測(cè)的噪聲。不能被預(yù)測(cè)的噪聲。隨機(jī)過(guò)程的一般描述隨機(jī)過(guò)程的一般描述n隨機(jī)過(guò)程的基本概念隨機(jī)過(guò)程的基本概念： 隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量的全體；隨

2、時(shí)間變化的隨機(jī)變量的全體；兼有時(shí)間函數(shù)與隨機(jī)變量的特點(diǎn)。兼有時(shí)間函數(shù)與隨機(jī)變量的特點(diǎn)。n隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性：隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性： 分布函數(shù)與概率密度函數(shù)分布函數(shù)與概率密度函數(shù)； 數(shù)字特征：數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望（均值）數(shù)學(xué)期望（均值）、方差方差、自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)、自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)；第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程【例】n臺(tái)示波器同時(shí)觀測(cè)并記錄這n臺(tái)接收機(jī)的輸出噪聲波形 n樣本函數(shù)i (t)：隨機(jī)過(guò)程的一次實(shí)現(xiàn)，是確定的時(shí)間函數(shù)。n隨機(jī)過(guò)程： (t) =1 (t), 2 (t), , n (t) 是全部樣本函數(shù)的集合。隨機(jī)過(guò)程的基本概念隨機(jī)過(guò)程的基本概念n在觀察區(qū)間內(nèi)，隨機(jī)過(guò)程是時(shí)間的在觀察

3、區(qū)間內(nèi)，隨機(jī)過(guò)程是時(shí)間的函數(shù)，每次觀察結(jié)果（即每次實(shí)現(xiàn)）函數(shù)，每次觀察結(jié)果（即每次實(shí)現(xiàn)）均可視為一個(gè)樣本，無(wú)數(shù)次的結(jié)果均可視為一個(gè)樣本，無(wú)數(shù)次的結(jié)果亦即無(wú)數(shù)個(gè)樣本構(gòu)成了隨機(jī)過(guò)程的亦即無(wú)數(shù)個(gè)樣本構(gòu)成了隨機(jī)過(guò)程的樣本空間；樣本空間；n在任一時(shí)刻上觀察到的樣值是不確在任一時(shí)刻上觀察到的樣值是不確定的，是一個(gè)隨機(jī)變量；定的，是一個(gè)隨機(jī)變量；第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程n角度2：隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)變量概念的延伸。n在任一給定時(shí)刻t1上，每一個(gè)樣本函數(shù)i (t)都是一個(gè)確定的數(shù)值i (t1)，但是每個(gè)i (t1)都是不可預(yù)知的。n在一個(gè)固定時(shí)刻t1上，不同樣本的取值i (t1), i = 1, 2, , n是

4、一個(gè)隨機(jī)變量，記為 (t1)。n換句話說(shuō)，隨機(jī)過(guò)程在任意時(shí)刻的值是一個(gè)隨機(jī)變量。n因此，我們又可以把隨機(jī)過(guò)程看作是在時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻的隨機(jī)變量的集合。n這個(gè)角度更適合對(duì)隨機(jī)過(guò)程理論進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)描述。隨機(jī)過(guò)程的基本概念隨機(jī)過(guò)程的基本概念n隨機(jī)變量與隨機(jī)過(guò)程二者最大的區(qū)隨機(jī)變量與隨機(jī)過(guò)程二者最大的區(qū)別在于：別在于：隨機(jī)變量的樣本空間是一隨機(jī)變量的樣本空間是一個(gè)實(shí)數(shù)集合，而隨機(jī)過(guò)程的樣本空個(gè)實(shí)數(shù)集合，而隨機(jī)過(guò)程的樣本空間是一個(gè)時(shí)間函數(shù)的集合。間是一個(gè)時(shí)間函數(shù)的集合。分布函數(shù)與概率密度函數(shù)分布函數(shù)與概率密度函數(shù)n隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程 的一維分布函數(shù)：的一維分布函數(shù)：n隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程 的一維概率密

5、度函數(shù)：的一維概率密度函數(shù)：)(t)(t11111)(),(xtPtxF1111111),(),(xtxFtxf第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程n隨機(jī)過(guò)程 (t) 的二維分布函數(shù)：n隨機(jī)過(guò)程 (t)的二維概率密度函數(shù)：若上式中的偏導(dǎo)存在的話。 n隨機(jī)過(guò)程 (t) 的n維分布函數(shù)：n隨機(jī)過(guò)程 (t) 的n維概率密度函數(shù)：221121212)(,)() ,;,(xtxtPttxxF2121212221212),;,(),;,(xxttxxFttxxfnnnnnxtxtxtPtttxxxF)(,)(,)(),;,(22112121n21n21n21nnn21n21nx)tx()tx(xxttxxFttx

6、xf，；，；，分布函數(shù)與概率密度函數(shù)分布函數(shù)與概率密度函數(shù)n隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程 的的n維分布函數(shù)：維分布函數(shù)：n隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程 的的n維概率密度函數(shù)：維概率密度函數(shù)：nn越大，對(duì)隨機(jī)過(guò)程的描述越充分。越大，對(duì)隨機(jī)過(guò)程的描述越充分。)(t)(tnnnnxtxtxtPtttxxxF )(,)(,)(),;,(221121211nnnnnxxxtttxxxFtttxxxf ,),;,(),;,(212121121211n3.1.2 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征n均值（數(shù)學(xué)期望）：在任意給定時(shí)刻t1的取值 (t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，其均值式中 f (x1, t1) (t1)的概率密度函數(shù)由于t1是任取的，所以可以

7、把 t1 直接寫(xiě)為t， x1改為x，這樣上式就變?yōu)閐xtxxftE),()(1111111),()(dxtxfxtE第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程 (t)的均值是時(shí)間的確定函數(shù)，常記作a ( t )，它表示隨機(jī)過(guò)程的n個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心 :dxtxxftE),()(1a (t )隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望（均值）隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望（均值）n反映了隨機(jī)過(guò)程各個(gè)時(shí)刻的數(shù)學(xué)期望反映了隨機(jī)過(guò)程各個(gè)時(shí)刻的數(shù)學(xué)期望（均值）隨時(shí)間的變化情況；（均值）隨時(shí)間的變化情況；n本質(zhì)上就是隨機(jī)過(guò)程所有樣本函數(shù)的統(tǒng)本質(zhì)上就是隨機(jī)過(guò)程所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均函數(shù)；計(jì)平均函數(shù)；n它由隨機(jī)過(guò)程的一維概率分布決定；它由隨機(jī)過(guò)程的一維

8、概率分布決定；n表征了隨機(jī)信號(hào)的直流分量；表征了隨機(jī)信號(hào)的直流分量；)(),()(1tadxtxxftEn方差方差常記為 2( t )。這里也把任意時(shí)刻t1直接寫(xiě)成了t 。因?yàn)樗?，方差等于均方值與均值平方之差，它表示隨機(jī)過(guò)程在時(shí)刻 t 對(duì)于均值a ( t )的偏離程度。2)()()(tatEtD )()()(2)(2222222tatEtatEtatEtattatEtD212)(),(tadxtxfx均方值均值平方隨機(jī)過(guò)程的方差隨機(jī)過(guò)程的方差n反映了隨機(jī)過(guò)程在時(shí)刻反映了隨機(jī)過(guò)程在時(shí)刻 t 相對(duì)于均相對(duì)于均 值的偏離程度；值的偏離程度；n它由隨機(jī)過(guò)程的一維概率分布決定它由隨機(jī)過(guò)程的一維概率分布

9、決定；n表征了隨機(jī)信號(hào)的交流平均功率；表征了隨機(jī)信號(hào)的交流平均功率；n隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望（均值）和方差僅隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望（均值）和方差僅描述了各孤立時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性，無(wú)法反描述了各孤立時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性，無(wú)法反映不同時(shí)刻之間的聯(lián)系，為此我們引入映不同時(shí)刻之間的聯(lián)系，為此我們引入了了自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)，自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)，用來(lái)衡用來(lái)衡量隨機(jī)過(guò)程在任意兩個(gè)時(shí)刻上獲得的隨量隨機(jī)過(guò)程在任意兩個(gè)時(shí)刻上獲得的隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)相關(guān)特性機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)相關(guān)特性；n相關(guān)函數(shù)式中， (t1)和 (t2)分別是在t1和t2時(shí)刻觀測(cè)得到的隨機(jī)變量?？梢钥闯?，R(t1, t2)是兩個(gè)變量t1和t2的確定函數(shù)。n協(xié)方差

10、函數(shù)式中 a ( t1 ) a ( t2 ) 在t1和t2時(shí)刻得到的 (t)的均值 f2 (x1, x2; t1, t2) (t)的二維概率密度函數(shù)。 2121212212121),;,()()(),(dxdxttxxfxxttEttR 21212122211221121),;,()()( )()()()(),(dxdxttxxftaxtaxtattatEttB n相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系若a(t1) = a(t2)，則B(t1, t2) = R(t1, t2)n互相關(guān)函數(shù)式中(t)和(t)分別表示兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程。因此，R(t1, t2)又稱為自相關(guān)函數(shù)。 )()(),(),(212121

11、tatattRttB)()(),(2121ttEttR平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程n狹義平穩(wěn)（或嚴(yán)平穩(wěn)）隨機(jī)過(guò)程狹義平穩(wěn)（或嚴(yán)平穩(wěn)）隨機(jī)過(guò)程；n廣義平穩(wěn)（或?qū)捚椒€(wěn)）隨機(jī)過(guò)程廣義平穩(wěn)（或?qū)捚椒€(wěn)）隨機(jī)過(guò)程；n平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的“各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性”；n平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)；n平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度；狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程n平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性將不隨時(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性將不隨時(shí)間的推移而發(fā)生變化，即其任何間的推移而發(fā)生變化，即其任何n維分布函數(shù)或概率密度函數(shù)與時(shí)間維分布函數(shù)或概率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，亦即對(duì)于任意的正整數(shù)

12、起點(diǎn)無(wú)關(guān)，亦即對(duì)于任意的正整數(shù)n和任意的實(shí)數(shù)和任意的實(shí)數(shù) ，平穩(wěn)，平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程 的的n維概率密度函數(shù)滿維概率密度函數(shù)滿足：足：,21nttt )(t),;,(),;,(21212121 nnnnnntttxxxftttxxxf狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程n平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的一維分布與時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的一維分布與時(shí)間 t 無(wú)關(guān)，二維分布僅與時(shí)間間隔無(wú)關(guān)，二維分布僅與時(shí)間間隔 有關(guān)，即：有關(guān)，即：)(),(11xftxf);,(),;,(21211212xxfttxxf廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程n平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望與時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望與時(shí)間 t 無(wú)關(guān)，自相關(guān)函數(shù)僅與時(shí)間間

13、無(wú)關(guān)，自相關(guān)函數(shù)僅與時(shí)間間 隔隔 有關(guān)，即：有關(guān)，即：n除特別聲明，本課程所討論的均除特別聲明，本課程所討論的均 為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。)(),(;)(11RttRatE平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的“各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性”n只有平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程才具有各態(tài)歷經(jīng)只有平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程才具有各態(tài)歷經(jīng)性，即平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的任一實(shí)現(xiàn)均性，即平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的任一實(shí)現(xiàn)均經(jīng)歷了隨機(jī)過(guò)程的所有可能狀態(tài)，經(jīng)歷了隨機(jī)過(guò)程的所有可能狀態(tài)，因而我們可以用任一實(shí)現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)特因而我們可以用任一實(shí)現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)特性來(lái)描述平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，性來(lái)描述平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，進(jìn)而通過(guò)任一實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均特性進(jìn)而通過(guò)任一實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平

14、均特性得到平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)平均特性。得到平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)平均特性。平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的“各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性”dttxTaaTTT22)(1limdtatxTTTT22222)(1limdttxtxTRRTTT)()(1lim)()(22n 例例3-1 設(shè)一個(gè)隨機(jī)相位的正弦波為其中，A和c均為常數(shù)；是在(0, 2)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。試討論(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性?！窘饨狻?1)先求(t)的統(tǒng)計(jì)平均值：數(shù)學(xué)期望)cos()(tAtc2021)cos()()(dtAtEtac20)sinsincos(cos2dttAcc0sinsincoscos22020dtdtAcc自相關(guān)函數(shù)令

15、t2 t1 = ，得到可見(jiàn)， (t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)與t 無(wú)關(guān)，只與時(shí)間間隔 有關(guān)，所以(t)是廣義平穩(wěn)過(guò)程。0)(cos2212)(cos2)(cos22)(cos)(cos2)cos()cos()()(),(1222012212212122212121ttAdttAttAttttEAtAtAEttEttRccccccc)(cos2),(221RAttRc (2) 求(t)的時(shí)間平均值比較統(tǒng)計(jì)平均與時(shí)間平均，有因此，隨機(jī)相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。220)cos(1limTTcTdttATa22)(cos)cos(1lim)(TTccTdttAtATR22222)22cos(cos

16、2limTTTTcccTdttdtTAcAcos22)()(,RRaan3.2.3 平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)n平穩(wěn)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的定義：同前n平穩(wěn)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)n (t)的平均功率n 的偶函數(shù)n R()的上界即自相關(guān)函數(shù)R()在 = 0有最大值。n (t)的直流功率n 表示平穩(wěn)過(guò)程(t)的交流功率。當(dāng)均值為0時(shí)，有 R(0) = 2 。 )()0(2tER)()( RR)0()(RR22a)()(tER2)()0( RRn3.2.4 平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度n定義：n對(duì)于任意的確定功率信號(hào)f (t)，它的功率譜密度定義為式中，F(xiàn)T ( f )是f (t)的截短函數(shù)fT (t) 所對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)T

17、fFmi lfPTTf2)()(第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程n對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 (t) ，可以把f (t)當(dāng)作是(t)的一個(gè)樣本；某一樣本的功率譜密度不能作為過(guò)程的功率譜密度。過(guò)程的功率譜密度應(yīng)看作是對(duì)所有樣本的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均，故 (t)的功率譜密度可以定義為T(mén)fFEmi lfPEfPTTf2)()()(第第3章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程n功率譜密度的計(jì)算n維納-辛欽關(guān)系 非周期的功率型確知信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換。這種關(guān)系對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程同樣成立，即有簡(jiǎn)記為以上關(guān)系稱為維納維納-辛欽辛欽關(guān)系。它在平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的理論和應(yīng)用中是一個(gè)非常重要的工具，它是聯(lián)系頻域和時(shí)域兩種分析方法的

18、基本關(guān)系式。dePRdeRPjj)(21)()()()()(fPRn在維納-辛欽關(guān)系的基礎(chǔ)上，我們可以得到以下結(jié)論：n對(duì)功率譜密度進(jìn)行積分，可得平穩(wěn)過(guò)程的總功率：上式從頻域的角度給出了過(guò)程平均功率的計(jì)算法。n各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于過(guò)程的功率譜密度。也就是說(shuō)，每一樣本函數(shù)的譜特性都能很好地表現(xiàn)整個(gè)過(guò)程的的譜特性?！咀C】因?yàn)楦鲬B(tài)歷經(jīng)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)等于任一樣本的自相關(guān)函數(shù)，即 兩邊取傅里葉變換：即式中 dffPR)()0()()(RR )()(RRFF)()(fPfPf)()(fPR )(RfPfn功率譜密度P ( f )具有非負(fù)性和實(shí)偶性，即有和這與R()的實(shí)偶性相對(duì)應(yīng)。 0

19、)(fP)()(fPfPn例例3-2 求隨機(jī)相位余弦波(t) = Acos(ct + )的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度?！窘饨狻吭诶?-1中，我們已經(jīng)考察隨機(jī)相位余弦波是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程，并且求出其相關(guān)函數(shù)為因?yàn)槠椒€(wěn)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換，即有 以及由于有所以，功率譜密度為平均功率為 cARcos2)(2)()(PR)()(cosccc)()(2)(2ccAP2)(21)0(2AdPRS高斯過(guò)程（正態(tài)隨機(jī)過(guò)程）高斯過(guò)程（正態(tài)隨機(jī)過(guò)程）n高斯過(guò)程（正態(tài)隨機(jī)過(guò)程）的性質(zhì)高斯過(guò)程（正態(tài)隨機(jī)過(guò)程）的性質(zhì)；n高斯過(guò)程（正態(tài)隨機(jī)過(guò)程）的一維高斯過(guò)程（正態(tài)隨機(jī)過(guò)程）的一維分布：分布： 一維概

20、率密度函數(shù)一維概率密度函數(shù)； 一維分布函數(shù)一維分布函數(shù)；高斯過(guò)程的性質(zhì)高斯過(guò)程的性質(zhì)n對(duì)高斯過(guò)程對(duì)高斯過(guò)程 在在 時(shí)刻觀時(shí)刻觀 察得到的一組隨機(jī)變量察得到的一組隨機(jī)變量 ，其其n 維聯(lián)合概率密度維聯(lián)合概率密度函數(shù)僅由各隨函數(shù)僅由各隨 機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差和兩兩之機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差和兩兩之 間的歸一化協(xié)方差函數(shù)決定。間的歸一化協(xié)方差函數(shù)決定。n高斯過(guò)程寬平穩(wěn)亦即嚴(yán)平穩(wěn)。高斯過(guò)程寬平穩(wěn)亦即嚴(yán)平穩(wěn)。n若高斯過(guò)程中的各隨機(jī)變量?jī)蓛芍舾咚惯^(guò)程中的各隨機(jī)變量?jī)蓛芍?(tnttt,21 nxxx,21 高斯過(guò)程的性質(zhì)高斯過(guò)程的性質(zhì) 間互不相關(guān)，則它們之間也是相互間互不相關(guān)，則它們之間也是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立

21、的，即：統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，即：),(),(),(),;,(12211112121nnnnntxftxftxftttxxxf 高斯過(guò)程的一維概率密度函數(shù)高斯過(guò)程的一維概率密度函數(shù)222)(exp21)(axxf高斯過(guò)程的一維概率密度函數(shù)高斯過(guò)程的一維概率密度函數(shù)n 關(guān)于關(guān)于 對(duì)稱，即：對(duì)稱，即：n 在在 內(nèi)單調(diào)上升，在內(nèi)單調(diào)上升，在 內(nèi)單調(diào)下降，在內(nèi)單調(diào)下降，在 處有最大值處有最大值 ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ；n ，且有：，且有：)(xfax )()(xafxaf)(xf),(a),(aax 21x0)(xf1)(dxxf21)()(dxxfdxxfaa高斯過(guò)程的一維概率密度函數(shù)高斯過(guò)程的一維概率密度函數(shù)

22、n對(duì)不同的對(duì)不同的 （固定固定 ），表現(xiàn)為），表現(xiàn)為 的圖形左右平移；對(duì)不同的的圖形左右平移；對(duì)不同的 （固固定定 ），）， 的圖形將隨的圖形將隨 的減小的減小變高變窄。變高變窄。n當(dāng)當(dāng) 時(shí)，即正態(tài)分布的標(biāo)時(shí)，即正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化：準(zhǔn)化：a)(xfa)(xf1, 0a2exp21)(2xxf高斯過(guò)程的一維分布函數(shù)高斯過(guò)程的一維分布函數(shù) 其中：其中： 為誤差函數(shù)；為誤差函數(shù)； axaxerfcaxaxerfdzzfxFx,2211,22121)()(dttxerfx02exp2)(高斯過(guò)程的一維分布函數(shù)高斯過(guò)程的一維分布函數(shù) 為互補(bǔ)誤差函數(shù)；為互補(bǔ)誤差函數(shù)；n誤差函數(shù)與互補(bǔ)誤差函數(shù)的性質(zhì)誤差函數(shù)與

23、互補(bǔ)誤差函數(shù)的性質(zhì)；dttxerfxerfcx2exp2)(1)(誤差函數(shù)與互補(bǔ)誤差函數(shù)的性質(zhì)誤差函數(shù)與互補(bǔ)誤差函數(shù)的性質(zhì)n 在在 內(nèi)單調(diào)上升；內(nèi)單調(diào)上升；n 是奇函數(shù)，即：是奇函數(shù)，即： 且且n 在在 內(nèi)單調(diào)下降；內(nèi)單調(diào)下降；n 且且),()(xerf)(xerf)()(xerfxerf1)(erf)(xerfc),()(2)(xerfcxerfc0)(erfc1,exp1)(2xxxerfc窄帶隨機(jī)過(guò)程窄帶隨機(jī)過(guò)程n窄帶隨機(jī)過(guò)程及其描述窄帶隨機(jī)過(guò)程及其描述；n零均值平穩(wěn)窄帶高斯過(guò)程零均值平穩(wěn)窄帶高斯過(guò)程；n白噪聲與帶限白噪聲白噪聲與帶限白噪聲；窄帶隨機(jī)過(guò)程及其描述窄帶隨機(jī)過(guò)程及其描述n若隨

24、機(jī)過(guò)程若隨機(jī)過(guò)程 的頻譜被限制在某的頻譜被限制在某 個(gè)遠(yuǎn)離零頻率的中心頻率附近一個(gè)個(gè)遠(yuǎn)離零頻率的中心頻率附近一個(gè)窄的頻帶范圍內(nèi)，則稱之為窄帶隨窄的頻帶范圍內(nèi)，則稱之為窄帶隨機(jī)過(guò)程，即：機(jī)過(guò)程，即：)(tttttcsccsin)(cos)(0)(,)(cos)(tatttac)(exp)(Re)(ttjtatc窄帶隨機(jī)過(guò)程及其描述窄帶隨機(jī)過(guò)程及其描述 其中：其中： 和和 分別是窄帶隨機(jī)分別是窄帶隨機(jī) 過(guò)程過(guò)程 的包絡(luò)函數(shù)和隨機(jī)相位函的包絡(luò)函數(shù)和隨機(jī)相位函 數(shù)，數(shù)， 和和 分別稱為分別稱為 的同相的同相 分量和正交分量，且：分量和正交分量，且：)(t)(ta)(t)(tc)(ts)(t)()(ta

25、n)(,)()()(122ttttttacssc)(sin)()(,)(cos)()(ttatttatsc窄帶隨機(jī)過(guò)程及其描述窄帶隨機(jī)過(guò)程及其描述零均值平穩(wěn)窄帶高斯過(guò)程零均值平穩(wěn)窄帶高斯過(guò)程n一個(gè)均值為一個(gè)均值為 0 ，方差為，方差為 的平穩(wěn)窄的平穩(wěn)窄帶高斯過(guò)程帶高斯過(guò)程 ，其同相分量，其同相分量 和和正交分量正交分量 同樣是平穩(wěn)高斯過(guò)程，同樣是平穩(wěn)高斯過(guò)程，且均值都為且均值都為 0 ，方差均為，方差均為 ，即：，即：n另外，在同一時(shí)刻得到的另外，在同一時(shí)刻得到的 和和 是是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。)(t22)(tc)(tssc2222,0scscaaa零均值平穩(wěn)窄帶高斯過(guò)程零均值平穩(wěn)

26、窄帶高斯過(guò)程n一個(gè)均值為一個(gè)均值為 0 ，方差為，方差為 的平穩(wěn)的平穩(wěn) 窄帶高斯過(guò)程窄帶高斯過(guò)程 ，其包絡(luò)，其包絡(luò) 的的 一維分布是瑞利分布，相位一維分布是瑞利分布，相位 的的 一維分布是均勻分布，且就一維分一維分布是均勻分布，且就一維分布而言，在同一時(shí)刻得到的布而言，在同一時(shí)刻得到的 和和 是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，即：是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，即：2)(t)(ta)(ta零均值平穩(wěn)窄帶高斯過(guò)程零均值平穩(wěn)窄帶高斯過(guò)程200,2exp2)()(),(222aaafafaf20,21)(f0,2exp)(222aaaaf白噪聲與帶限白噪聲白噪聲與帶限白噪聲n白噪聲：功率譜密度在整個(gè)頻域內(nèi)白噪聲：功率譜密度在整個(gè)

27、頻域內(nèi)都是均勻分布的噪聲，即：都是均勻分布的噪聲，即： 可見(jiàn)，白噪聲在任意兩可見(jiàn)，白噪聲在任意兩 個(gè)時(shí)刻得到的隨機(jī)變量個(gè)時(shí)刻得到的隨機(jī)變量 均互不相關(guān)。均互不相關(guān)。HzWnP2)(0)(2)(0nR白噪聲與帶限白噪聲白噪聲與帶限白噪聲n帶限白噪聲：白噪聲的功率譜密度帶限白噪聲：白噪聲的功率譜密度被限制在某一頻率范圍內(nèi)，超出該被限制在某一頻率范圍內(nèi)，超出該范圍則為零，即：范圍則為零，即：HzWnP000,0,2)()()(000SafnR白噪聲與帶限白噪聲白噪聲與帶限白噪聲 可見(jiàn)，帶限白噪聲只在可見(jiàn)，帶限白噪聲只在 上得到的隨機(jī)變量才互不相關(guān)。上得到的隨機(jī)變量才互不相關(guān)。 , 3 , 2 , 1

28、,20kfk白噪聲與帶限白噪聲白噪聲與帶限白噪聲n若噪聲的任意若噪聲的任意 n 維分布都服從高斯維分布都服從高斯分布，則稱之為高斯噪聲。分布，則稱之為高斯噪聲。n若高斯噪聲的功率譜密度在整個(gè)頻若高斯噪聲的功率譜密度在整個(gè)頻域內(nèi)都是均勻分布的，則稱之為高域內(nèi)都是均勻分布的，則稱之為高斯白噪聲；若其功率譜密度被限制斯白噪聲；若其功率譜密度被限制在某一頻率范圍內(nèi)，超出該范圍即在某一頻率范圍內(nèi)，超出該范圍即為零，則稱之為窄帶高斯噪聲。為零，則稱之為窄帶高斯噪聲。正弦波加窄帶隨機(jī)過(guò)程正弦波加窄帶隨機(jī)過(guò)程)()cos()(tntAtrcttnttntAtAcsccccsin)(cos)(sinsincoscosttnAttnAcsccsin)(sincos)(cos正弦波加窄帶隨機(jī)過(guò)程正弦波加窄帶隨機(jī)過(guò)程n