高一數(shù)學(xué)必修一重點(diǎn)方法講解[1]

1、高中必修一一些重點(diǎn)函數(shù)值域求法十一種2復(fù)合函數(shù)9一、復(fù)合函數(shù)的概念9二、求復(fù)合函數(shù)的定義域：9復(fù)合函數(shù)單調(diào)性相關(guān)定理10函數(shù)奇偶性的判定方法10指數(shù)函數(shù)：12冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)15函數(shù)值域求法十一種1. 直接觀察法對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過(guò)觀察得到。 例1. 求函數(shù)的值域。解：顯然函數(shù)的值域是： 例2. 求函數(shù)的值域。解：故函數(shù)的值域是： 2. 配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。 例3. 求函數(shù)的值域。解：將函數(shù)配方得：由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=1時(shí)，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)的值域是：4，8 3. 判別式法 例4. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)化為關(guān)于x的一元二次方程（1）當(dāng)時(shí)，解得：

2、（2）當(dāng)y=1時(shí)，而故函數(shù)的值域?yàn)?例5. 求函數(shù)的值域。解：兩邊平方整理得：（1）解得：但此時(shí)的函數(shù)的定義域由，得由，僅保證關(guān)于x的方程：在實(shí)數(shù)集R有實(shí)根，而不能確保其實(shí)根在區(qū)間0，2上，即不能確保方程（1）有實(shí)根，由 求出的范圍可能比y的實(shí)際范圍大，故不能確定此函數(shù)的值域?yàn)??？梢圆扇∪缦路椒ㄟM(jìn)一步確定原函數(shù)的值域。代入方程（1）解得：即當(dāng)時(shí)，原函數(shù)的值域?yàn)椋鹤ⅲ河膳袆e式法來(lái)判斷函數(shù)的值域時(shí)，若原函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集時(shí)，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域，將擴(kuò)大的部分剔除。 4. 反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以通過(guò)求其原函數(shù)的定義域來(lái)確定原函數(shù)的值域。 例6. 求函數(shù)值域。解：由原函數(shù)式可得：則其反

3、函數(shù)為：，其定義域?yàn)椋汗仕蠛瘮?shù)的值域?yàn)椋?5. 函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過(guò)函數(shù)的有界性，反客為主來(lái)確定函數(shù)的值域。 例7. 求函數(shù)的值域。解：由原函數(shù)式可得：解得：故所求函數(shù)的值域?yàn)?例8. 求函數(shù)的值域。解：由原函數(shù)式可得：，可化為：即即解得：故函數(shù)的值域?yàn)?6. 函數(shù)單調(diào)性法 例9. 求函數(shù)的值域。解：令則在2，10上都是增函數(shù)所以在2，10上是增函數(shù)當(dāng)x=2時(shí)，當(dāng)x=10時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?例10. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化為：令，顯然在上為無(wú)上界的增函數(shù)所以，在上也為無(wú)上界的增函數(shù)所以當(dāng)x=1時(shí)，有最小值，原函數(shù)有最大值顯然，故原函數(shù)的值域?yàn)?7.

4、換元法通過(guò)簡(jiǎn)單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單函數(shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。 例11. 求函數(shù)的值域。解：令，則又，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)的值域?yàn)?例12. 求函數(shù)的值域。解：因即故可令故所求函數(shù)的值域?yàn)?例13. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可變形為：可令，則有當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，而此時(shí)有意義。故所求函數(shù)的值域?yàn)?例14. 求函數(shù)，的值域。解：令，則由且可得：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)椤?例15. 求函數(shù)的值域。解：由，可得故可令當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?8. 數(shù)形結(jié)合法其題型是函數(shù)解析式具

5、有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離公式直線斜率等等，這類(lèi)題目若運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，往往會(huì)更加簡(jiǎn)單，一目了然，賞心悅目。 例16. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化簡(jiǎn)得：上式可以看成數(shù)軸上點(diǎn)P（x）到定點(diǎn)A（2），間的距離之和。由上圖可知，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?例17. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可變形為：上式可看成x軸上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和，由圖可知當(dāng)點(diǎn)P為線段與x軸的交點(diǎn)時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)?例18. 求函數(shù)的值域。解：將函數(shù)變形為：上式可看成定點(diǎn)A（3，2）到點(diǎn)P（x，0）的距離與定點(diǎn)到點(diǎn)的距離之差。即：由圖可知：（1）當(dāng)點(diǎn)P在x軸

6、上且不是直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，如點(diǎn)，則構(gòu)成，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有即：（2）當(dāng)點(diǎn)P恰好為直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，有綜上所述，可知函數(shù)的值域?yàn)椋鹤ⅲ河衫?7，18可知，求兩距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使A、B兩點(diǎn)在x軸的兩側(cè)，而求兩距離之差時(shí)，則要使A，B兩點(diǎn)在x軸的同側(cè)。如：例17的A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為：（3，2），在x軸的同側(cè)；例18的A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3，2），在x軸的同側(cè)。 9. 不等式法利用基本不等式，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過(guò)有時(shí)需要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。 例19. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)變形為：當(dāng)且

7、僅當(dāng)即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立故原函數(shù)的值域?yàn)椋?例20. 求函數(shù)的值域。解：當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。由可得：故原函數(shù)的值域?yàn)椋?10. 一一映射法原理：因?yàn)樵诙x域上x(chóng)與y是一一對(duì)應(yīng)的。故兩個(gè)變量中，若知道一個(gè)變量范圍，就可以求另一個(gè)變量范圍。 例21. 求函數(shù)的值域。解：定義域?yàn)橛傻霉驶蚪獾霉屎瘮?shù)的值域?yàn)?11. 多種方法綜合運(yùn)用 例22. 求函數(shù)的值域。解：令，則（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即時(shí)取等號(hào)，所以（2）當(dāng)t=0時(shí)，y=0。綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)椋鹤ⅲ合葥Q元，后用不等式法 例23. 求函數(shù)的值域。解：令，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)都存在，故函數(shù)的值域?yàn)樽ⅲ捍祟}先用換元法，后用配方法，然后再運(yùn)用

8、的有界性?？傊?，在具體求某個(gè)函數(shù)的值域時(shí)，首先要仔細(xì)、認(rèn)真觀察其題型特征，然后再選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，一般?yōu)先考慮直接法，函數(shù)單調(diào)性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。復(fù)合函數(shù)一、復(fù)合函數(shù)的概念如果y是u的函數(shù)，而u是x的函數(shù)，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y關(guān)于x的函數(shù)y = f g ( x ) 叫做函數(shù)f 與 g 的復(fù)合函數(shù)，u 叫做中間變量。注意：復(fù)合函數(shù)并不是一類(lèi)新的函數(shù)，它只是反映某些函數(shù)在結(jié)構(gòu)方面的某種特點(diǎn)，因此，根據(jù)復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)，將它折成幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)時(shí)，應(yīng)從外到里一層一層地拆，注意不要漏層。另外，在研究有關(guān)復(fù)合函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，要注意復(fù)合函數(shù)的存在

9、條件，即當(dāng)且僅當(dāng)g ( x )的值域與f ( u )的定義域的交集非空時(shí)，它們的復(fù)合函數(shù)才有意義，否則這樣的復(fù)合函數(shù)不存在。例：f ( x + 1 ) = (x + 1) 可以拆成y = f ( u ) = u2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = u2 與g ( x ) = x + 1 兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成。二、求復(fù)合函數(shù)的定義域：（1）若f(x)的定義域?yàn)閍 x b,則f g ( x ) 中的a g ( x ) b ，從中解得x的范圍，即為f g ( x )的定義域。 例1、y = f ( x ) 的定義域?yàn)?0 ， 1 ，求f (

10、2x + 1 )的定義域。 答案： -1/2 ，0 例2、已知f ( x )的定義域?yàn)椋?，1），求f ( x 2)的定義域。 答案： -1 ，1（2）若f g ( x ) 的定義域?yàn)椋╩ , n）則由m < x < n 確定出g ( x )的范圍即為f ( x )的定義域。例3、已知函數(shù)f ( 2x + 1 )的定義域?yàn)椋?，1），求f ( x ) 的定義域。 答案： 1 ，3 （3）由f g ( x ) 的定義域，求得f ( x )的定義域后，再求f h ( x ) 的定義域。例4、已知f ( x + 1 )的定義域?yàn)?2 ，3,求f ( 2x 2 2 ) 的定義域。 答案：-

11、3/2 ，-33/2 ，3三、求復(fù)合函數(shù)的解析式。1、待定系數(shù)法：在已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí)，可用待定系數(shù)法。例1 設(shè)是一次函數(shù)，且，求解：設(shè) ，則 2、 配湊法：已知復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式，求的解析式，的表達(dá)式容易配成的運(yùn)算形式時(shí)，常用配湊法。但要注意所求函數(shù)的定義域不是原復(fù)合函數(shù)的定義域，而是的值域。 例2 已知 ，求 的解析式解：， 3、換元法：已知復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，還可以用換元法求的解析式。與配湊法一樣，要注意所換元的定義域的變化。例3 已知，求解：令，則， 復(fù)合函數(shù)單調(diào)性相關(guān)定理1、引理1 已知函數(shù)y=fg(x).若u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)，其值域?yàn)?c，d)，又函數(shù)y=f(

12、u)在區(qū)間(c,d)上是增函數(shù)，那么，原復(fù)合函數(shù)y=fg(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)證 明 在區(qū)間(a,b)內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)x1,x2，使ax1x2b.因?yàn)閡=g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)，所以g(x1)g(x2),記u1=g(x1),u2=g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d).因?yàn)楹瘮?shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是增函數(shù)，所以f(u1)f(u2),即fg(x1)ff(x2)，故函數(shù)y=fg(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù).2、引理2 已知函數(shù)y=fg(x).若u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù)，其值域?yàn)?c，d)，又函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，那么，復(fù)合函

13、數(shù)y=fg(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù).證明 在區(qū)間(a,b)內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)x1,x2，使ax1x2b.因?yàn)楹瘮?shù)u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù)，所以g(x1)g(x2),記u1=g(x1),u2=g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d).因?yàn)楹瘮?shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，所以f(u1)f(u2),即fg(x1)ff(x2)，故函數(shù)y=fg(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù).3、總結(jié)同增異減函數(shù)奇偶性的判定方法1定義域判定法例1判定的奇偶性（非奇非偶）2定義判定法f(x)與f（-x）關(guān)系例2判斷的奇偶性（偶）3等價(jià)形式判定法例3判定的奇偶性（奇）評(píng)注：常用等價(jià)變形形式有

14、：若或，則為奇函數(shù)；若或，則為偶函數(shù)（其中）4性質(zhì)判定法例4若，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，試判定的奇偶性評(píng)注：在兩個(gè)函數(shù)（常函數(shù)除外）的公共定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下：兩個(gè)偶函數(shù)的和、差、積都是偶函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)的和、差是奇函數(shù)，積是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù)5、練習(xí)（1）.()函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則y=f(|x+1|)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是_ (,1（2）()若函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d滿足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0<x1<x2),且在x2,+上單調(diào)遞增，則b的取值范圍是_(,0）_.(1)令t=|x+1|,則t在(,1上遞減，又y=f

15、(x)在R上單調(diào)遞增，y=f(|x+1|)在(,1上遞減. (2)f(0)=f(x1)=f(x2)=0,f(0)=d=0.f(x)=ax(xx1)(xx2)=ax3a(x1+x2)x2+ax1x2x，b=a(x1+x2),又f(x)在x2,+單調(diào)遞增，故a>0.又知0x1x,得x1+x2>0,b=a(x1+x2)0.2.奇偶性記F(x)=fg(x)復(fù)合函數(shù)，則F(-x)=fg(-x)， 如果g(x)是奇函數(shù)，即g(-x)=-g(x) => F(-x)=f-g(x)， 則當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(-x)=-fg(x)=-F(x)，F(xiàn)(x)是奇函數(shù)； 當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(-

16、x)=fg(x)=F(x)，F(xiàn)(x)是偶函數(shù)。 如果g(x)是偶函數(shù)，即g(-x)=g(x) => F(-x)=fg(x)=F(x)，F(xiàn)(x)是偶函數(shù)。 所以由兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，當(dāng)里層的函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)是偶函數(shù)，不論外層是怎樣的函數(shù)；當(dāng)里層的函數(shù)是奇函數(shù)、外層的函數(shù)也是奇函數(shù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)里層的函數(shù)是奇函數(shù)、外層的函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)是偶函數(shù)。在其它的場(chǎng)合，就不能如此單純地判斷復(fù)合函數(shù)的奇偶性了。二 加減函數(shù) 1.增減性 對(duì)于F(x)=g(x)+f(x) ，增+增=增 ，減+減=減， 減+增則無(wú)定則 2.奇偶性 對(duì)于F(x)=g(x)+f(x) , 奇+奇

17、=奇, 奇-奇=奇, 偶+偶=偶 ,偶-偶=偶.奇+偶無(wú)定則三 相乘函數(shù) 1.增減性 對(duì)于F(x)=g(x)*f(x) ,一切皆無(wú)定則.知道你會(huì)不信 ,很好 ,我來(lái)舉個(gè)例子:f(x)=g(x)=-x ,都是減函數(shù),而F(x)=x2,有增有減. 2.奇偶性 對(duì)于F(x)=g(x)*f(x), 同樣滿足乘法定則(其實(shí)這名字是我取的,不要說(shuō)出去,不然沒(méi)人聽(tīng)的懂). 即 奇*偶=奇 ,偶*偶=偶 ,奇*奇=偶 除法就不用說(shuō)了,F(x)=g(x)/f(x) ,可以看成F(x)=g(x)1/f(x), 自己推.指數(shù)函數(shù)：定義：函數(shù)叫指數(shù)函數(shù)。定義域?yàn)镽，底數(shù)是常數(shù)，指數(shù)是自變量。要求函數(shù)中的a必須。因?yàn)槿?/p>

18、時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值不存在。，當(dāng)，函數(shù)值不存在。時(shí)，對(duì)一切x雖有意義，函數(shù)值恒為1，但的反函數(shù)不存在，因?yàn)橐蠛瘮?shù)中的。1、對(duì)三個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖象的認(rèn)識(shí)。圖象特征與函數(shù)性質(zhì)：圖象特征函數(shù)性質(zhì)（1）圖象都位于x軸上方；（1）x取任何實(shí)數(shù)值時(shí)，都有；（2）圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）；（2）無(wú)論a取任何正數(shù)，時(shí)，；（3）在第一象限內(nèi)的縱坐標(biāo)都大于1，在第二象限內(nèi)的縱坐標(biāo)都小于1，的圖象正好相反； （3）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，（4）的圖象自左到右逐漸上升，的圖象逐漸下降。（4）當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)。對(duì)圖象的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，（通過(guò)三個(gè)函數(shù)相互關(guān)系的比較）：所有指數(shù)函數(shù)的圖象交叉相交于點(diǎn)（0，1），如和相交于，當(dāng)時(shí)，

19、的圖象在的圖象的上方，當(dāng)，剛好相反，故有及。與的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。通過(guò)，三個(gè)函數(shù)圖象，可以畫(huà)出任意一個(gè)函數(shù)（）的示意圖，如的圖象，一定位于和兩個(gè)圖象的中間，且過(guò)點(diǎn)，從而也由關(guān)于y軸的對(duì)稱性，可得的示意圖，即通過(guò)有限個(gè)函數(shù)的圖象進(jìn)一步認(rèn)識(shí)無(wú)限個(gè)函數(shù)的圖象。2、對(duì)數(shù)：定義：如果，那么數(shù)b就叫做以a為底的對(duì)數(shù)，記作（a是底數(shù)，N 是真數(shù)，是對(duì)數(shù)式。）由于故中N必須大于0。當(dāng)N為零的負(fù)數(shù)時(shí)對(duì)數(shù)不存在。（1）對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化。由于對(duì)數(shù)是新學(xué)的，常常把不熟悉的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式解決問(wèn)題，如：求 解：設(shè)評(píng)述：由對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式可以解決問(wèn)題，反之由指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式也能解決問(wèn)題，因此必須因題而異。如求中的，

20、化為對(duì)數(shù)式即成。（2）對(duì)數(shù)恒等式：由將（2）代入（1）得運(yùn)用對(duì)數(shù)恒等式時(shí)要注意此式的特點(diǎn)，不能亂用，特別是注意轉(zhuǎn)化時(shí)必須冪的底數(shù)和對(duì)數(shù)的底數(shù)相同。計(jì)算： 解：原式。（3）對(duì)數(shù)的性質(zhì)：負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)；1的對(duì)數(shù)是零；底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1。（4）對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則：3、對(duì)數(shù)函數(shù)：定義：指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)。1、對(duì)三個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象的認(rèn)識(shí)。圖象特征與函數(shù)性質(zhì)：圖象特征函數(shù)性質(zhì)（1）圖象都位于 y軸右側(cè)；（1）定義域：R+，值或：R；（2）圖象都過(guò)點(diǎn)（1，0）；（2）時(shí)，。即；（3），當(dāng)時(shí)，圖象在x軸上方，當(dāng)時(shí)，圖象在x軸下方，與上述情況剛好相反；（3）當(dāng)時(shí)，若，則，若，則；當(dāng)時(shí)，若，則，若時(shí)，則；（

21、4）從左向右圖象是上升，而從左向右圖象是下降。（4）時(shí)，是增函數(shù)；時(shí)，是減函數(shù)。對(duì)圖象的進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)（通過(guò)三個(gè)函數(shù)圖象的相互關(guān)系的比較）：（1）所有對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)（1,0），但是與在點(diǎn)（1,0）曲線是交叉的，即當(dāng)時(shí)，的圖象在的圖象上方；而時(shí)，的圖象在的圖象的下方，故有：；。（2）的圖象與的圖象關(guān)于x 軸對(duì)稱。（3）通過(guò)，三個(gè)函數(shù)圖象，可以作出任意一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的示意圖，如作的圖象，它一定位于和兩個(gè)圖象的中間，且過(guò)點(diǎn)（1,0），時(shí)，在的上方，而位于的下方，時(shí)，剛好相反，則對(duì)稱性，可知的示意圖。因而通過(guò)課本上的三個(gè)函數(shù)的圖象進(jìn)一步認(rèn)識(shí)無(wú)限個(gè)函數(shù)的圖象。4、對(duì)數(shù)換底公式：由換底公式可得：由換底公

22、式推出一些常用的結(jié)論：（1） （2）（3）（4）5、指數(shù)方程與對(duì)數(shù)方程*定義：在指數(shù)里含有未知數(shù)的方程稱指數(shù)方程。 在對(duì)數(shù)符號(hào)后面含有未知數(shù)的方程稱對(duì)數(shù)方程。由于指數(shù)運(yùn)算及對(duì)數(shù)運(yùn)算不是一般的代數(shù)運(yùn)算，故指數(shù)方程對(duì)數(shù)方程不是代數(shù)方程而屬于超越方程。指數(shù)方程的題型與解法：名稱題型解法基本型同底數(shù)型不同底數(shù)型需代換型取以a為底的對(duì)數(shù)取以a為底的對(duì)數(shù)取同底的對(duì)數(shù)化為換元令轉(zhuǎn)化為的代數(shù)方程對(duì)數(shù)方程的題型與解法：名稱題型解法基本題對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式同底數(shù)型轉(zhuǎn)化為（必須驗(yàn)根）需代換型換元令轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)一、冪函數(shù)的定義一般地，形如（R）的函數(shù)稱為冪孫函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù).如等都是冪函

23、數(shù)，冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)一樣，都是基本初等函數(shù).分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：（，、，且）負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：（，、，且）1、 冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)冪函數(shù)隨著的不同，定義域、值域都會(huì)發(fā)生變化，可以采取按性質(zhì)和圖像分類(lèi)記憶的方法熟練掌握，當(dāng)?shù)膱D像和性質(zhì)，列表如下從中可以歸納出以下結(jié)論： 它們都過(guò)點(diǎn)，除原點(diǎn)外，任何冪函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸都不相交，任何冪函數(shù)圖像都不過(guò)第四象限 時(shí)，冪函數(shù)圖像過(guò)原點(diǎn)且在上是增函數(shù) 時(shí)，冪函數(shù)圖像不過(guò)原點(diǎn)且在上是減函數(shù) 任何兩個(gè)冪函數(shù)最多有三個(gè)公共點(diǎn)奇函數(shù)偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyxOy例1、 右圖為冪函數(shù)在第一象限的圖

24、像，則的大小關(guān)系是（ ） 解：取，由圖像可知：，應(yīng)選三兩類(lèi)基本函數(shù)的歸納比較： 定義對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：一般地，我們把函數(shù)（0且1）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+）冪函數(shù)的定義：一般地，形如（R）的函數(shù)稱為冪孫函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù).性質(zhì)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：定義域：（0，+）；值域：R；過(guò)點(diǎn)（1，0），即當(dāng)=1，=0；在（0，+）上是增函數(shù)；在（0，+）是上減函數(shù)冪函數(shù)的性質(zhì)：所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義，圖象都過(guò)點(diǎn)（1，1）0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都通過(guò)原點(diǎn)，在0，+上，、是增函數(shù)，在（0，+）上， 是減函數(shù)。例1已知函數(shù)，當(dāng) 為何值時(shí)，：（1）是冪函數(shù)；（2）是冪函數(shù)，且是上

25、的增函數(shù)；（3）是正比例函數(shù)；（4）是反比例函數(shù)；（5）是二次函數(shù)；簡(jiǎn)解：（1）或（2）（3）（4）（5）變式訓(xùn)練：已知函數(shù)，當(dāng) 為何值時(shí)，在第一象限內(nèi)它的圖像是上升曲線。簡(jiǎn)解：解得：小結(jié)與拓展：要牢記冪函數(shù)的定義，列出等式或不等式求解。例2比較大小：（1） （2）（3）（4）解：（1）在上是增函數(shù)， （2）在上是增函數(shù)，（3）在上是減函數(shù)，；是增函數(shù)，；綜上， （4），例1 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： y=log4(x24x+3)解法一：設(shè) y=log4u,u=x24x+3.由 u0, u=x24x+3，解得原復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)閤1或x3.當(dāng)x(，1)時(shí)，u=x24x+3為減函數(shù)，而y=log4

26、u為增函數(shù)，所以(，1)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)x(3，±)時(shí)，u=x24x+3為增函數(shù)y=log4u為增函數(shù)，所以，(3，+)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.解法二：u=x24x+3=(x2)21,x3或x1，(復(fù)合函數(shù)定義域)x2 (u減)解得x1.所以x(，1)時(shí)，函數(shù)u單調(diào)遞減.由于y=log4u在定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以由引理知：u=(x2)21的單調(diào)性與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性一致，所以(，1)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.下面我們求一下復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.u=x24x+3=(x2)21,x3或x1，(復(fù)合函數(shù)定義域)x2 (u增)解得x3.所以(3，+)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.例2 求下列復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： y=log (2xx2)解： 設(shè) y=logu,u=2xx2.由 u0 u=2xx2解得原復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)?x2.由于y=logu在定義域(0，+)內(nèi)是減函數(shù)，所以，原復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與二次函數(shù)u=2xx2的單調(diào)性正好相反.易知u=2xx2=(x1)2+1在x1時(shí)單調(diào)增.由 0x2 （復(fù)合函數(shù)定義域） x1，(u增)解得0x1,所以(0，1是原復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.又u=(x1)2+1在x1時(shí)單調(diào)減，由 x2， (復(fù)合函數(shù)定義域) x1， (u減)解得1x2