導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1板塊五微積分與定積分的應(yīng)用學(xué)生版

1、wi智康教肓j laj laoban ,<om.咨詢 電話：400-8102600智康高中數(shù)學(xué).板塊五.微積分與定積分的應(yīng)用.題庫.學(xué)生版叩學(xué)音音3板塊五.微積分 與定積分的應(yīng)用gUdlt§ 知識內(nèi)容1. 函數(shù)定積分：設(shè)函數(shù)y = f (x)定義在區(qū)間a, b上.用分點(diǎn)a=xo 為川XnXn =b ,把區(qū)間a, b分為n個小區(qū)間，其長度依次為 Ax =X + X , i =0,1 , 2 ,川，n _1 .記人為這些小區(qū)間長度的最大值，當(dāng) A趨近于0時，所有的小區(qū)間長度都趨近于 0.在每個小區(qū)間n 1內(nèi)任取一點(diǎn)信，作和式In=£ f(U)AX .當(dāng)AT 0時，如果和式

2、的極限存在，我們把和式i z0In的極限叫做函數(shù)f(X)在區(qū)間a, b上的定積分,、一，八 bb一記作f(X)dX，即f(X)dX = ljm£ f(-i)X -a'a0 i 田其中f (x)叫做被積函數(shù)，a叫積分下限，b叫積分上限.f(X)dX叫做被積式.此時稱函數(shù)f(X)在區(qū)間a,b上可積.2. 曲邊梯形：曲線與平行于 y軸的直線和x軸所圍成的圖形，通常稱為曲邊梯形.根據(jù)定積分的定義，曲邊梯形的面積S等于其曲邊所對應(yīng)的函數(shù) y = f(x)在區(qū)間a ,b上的定積分， b即 S =f (x)dx . a求曲邊梯形面積的四個步驟：第一步：分割.在區(qū)間 k , b中插入n-1各

3、分點(diǎn)，將它們等分成n個小區(qū)間lx，X】(i =1 , 2，川，n ),區(qū)間 k,xi 的長度 Ax = X -X =,第二步：近似代替，以直代曲”，用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，求出每個小曲邊梯形面積的近似值.第三步：求和.第四步：取極限.3. 求積分與求導(dǎo)數(shù)互為逆運(yùn)算.bf F (x)dx =F(b) F(a)，即F (x)從a到b的積分等于F (x)在兩端點(diǎn)的取值N差. a4. 微積分基本定理b如果 F(x) = f(x)，且 f (x)在a,b上可積，則 f f(x)dx = F(b)F(a)，其中 F (x)叫做 f(x)的一個 a原函數(shù).由于F(x)+c= f(x) , F(

4、x)+c也是f (x)的原函數(shù)，其中 c為常數(shù).一般地，原函數(shù)在a,b上的改變量F(b)_F(a)簡記作F(x)；, b卜因此，微積分基本定理可以與成形式：a f (x)dx = F(x) a =F(b) F(a).耳地I匹 典例分析題型一：定積分的概念【例1】 求y=2xx2,y=0,0 < x < 2圍成圖形面積.i【例2】 根據(jù)定乂計算積分 J 1 x dx .2【例3】 根據(jù)定義計算定積分1 (x+1)dx.2【例4】 根據(jù)正義計算積分0寸4 x，x .1 h【例5】求正積分0M (x 1) x)dx .12【例6】.0/(x1)dx等于()A. ；B. ；C.兀D. 2

5、?！纠?】求定積分J；J16 +6xx2dx .【例9】【例8】 由y =cosx及x軸圍成的介于0與2兀之間的平面圖形的面積，利用定積分應(yīng)表達(dá)為 )dI f(x)dxbcdf(x)dx- f(x)dx f (x)dxa-b- c圖中陰影部分的面積總和可用定積分表示為( dA . f f (x)dxB .abcdC. f(x)dx+b f(x)dx+ f(x)dx D.y*h1 JaObgffllPcd X咨詢 電話：400-810-26SO【例10】 求曲線y=sinx以及直線x=二 乂=重，y=0所圍成的圖形的面積 S .2 4【例11】 已知函數(shù)f(x)=sinx,試用定積分表示y=si

6、nx與x軸圍成的介于x= _兀與x=兀之間的平面圖形的面積;，、，久，一 J冗，一.結(jié)合y =sin x的圖象猜出f (x)dx的值；-頊試將上述問題推廣到一般的情況.【例12】已知甲、乙兩車由同一起點(diǎn)同時出發(fā)，并沿同一路線(假定為直線)行駛.甲車、乙車的速度曲線分別為V甲和V乙(如圖所示).那么對于圖中給定的t0和t1,下列判斷中一定正確的是()A.在t時刻，甲車在乙車前面B . 4時刻后，甲車在乙車后面C.在t0時刻，兩車的位置相同D. 10時刻后，乙車在甲車前面v(t)【例13】 設(shè)y=f(x)為區(qū)間0 , 1上的連續(xù)函數(shù)，且恒有 0< f (x) < 1 ,可以用隨機(jī)模擬方

7、法近似計算 1積分0 f (x)dx ,先廣生兩組(每組N個)區(qū)間0 , 1上的均勻隨機(jī)數(shù)x1 , x2，xN和y1 , y2, yN ,由此得到 N 個點(diǎn)(xi , y1) (i =1 , 2，山,N),在數(shù)出其中滿足 y < f(x) (i =1, 2, III, N)1的點(diǎn)數(shù)Ni ,那么由隨機(jī)模擬方法可得積分0 f (x)dx的近似值為 .3【例14】仁 一dx=()*1 cosxA. 1B. -1C. 0D. 2【例15】 函數(shù)y = f(x)的圖象與直線x=a, x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f (x)在a,b上的面積，已知函數(shù)y=sinnx在0,當(dāng)上的面積為-(n w

8、n *), nn則函數(shù)y =sin3 x在0 ,旨上的面積為 .題型二：微積分基本定理1【例16】 偵2 x +3)dx =.率8智康教肓1 lai ,<am-8 o _【例17】汶乂=.5【例 18】0(2x _4)dx=.5【例 19】0(2x +1)dx =.2【例 20】0(2x ex)dx =.【例21】 函數(shù) f(x)=x2(x1)，求 10 f(x)dx 【例22】戶。等于1的積分是（)A . £ xdxB .|0 (x +1)dxC. j01dxD5【例23】1,0(e' +/)dx =().1A. e + eB.2eC.2 eD.1e -e【例24】計

9、算下列定積分的值: J(4x-x2)dx ; § (x-1)5dx ;2(x+sin x)dx .【例25】=2 11 xA. ln2+，8B. ln2-781D ln2 + 8【例26】 曲線y=cosx.0 V x < |與坐標(biāo)軸圍成的面積是（）A.4B.-2【例27】1A.2.| x 4 | dx =7()B.羹3【例28】10|A.2_x -8|dx =213()B.羹3智康高中數(shù)學(xué).板塊五.微積分與定積分的應(yīng)用C. 3D. 2C.23D.2533C.23D.2533.題庫.學(xué)生版吁學(xué)者智2智康教肓 www.J laj咨詢 電話：400-810260012【例 29】&

10、#39;(x十|x|) dx =【例30】由曲線y=g、直線x=1、X=6和X軸圍成的封閉圖形的面積為 .【例31】 設(shè)函數(shù) f(x) =ax2 十 c(a ,0).若 j f(x)dx = f(xo) , 0 < 冷 < 1 ,則 x° 的值為. 1 【例32】 有 J0(2x+k)dx=2，則 k=.k【例33】若(2x3x2)dx=0,則k等于()A . 0 B. 1 C. 0或1 D.不確定【例34】 已知a =，(sin x+cosx )dx ,則二項式a灰一 |展開式中含x2項的系數(shù)是 【例35】 已知m0，若，(2x1)dx=6,則m=.【例36】 求f2

11、COS2x dx的值. 0 cosx sin x 冗【例 37】2 (sin x+acosx )dx =2 ,則實數(shù) a=.【例38】J；exdx的值等于()-42_42A. e -e B. e +e C. e +e -2 D. e +e -2【例 39】0 sinxdx =()A. 0 B兀 C. 2兀 D. 4兀2【例40】0(3x +k)dx =10，則 k=.e 11【例41】 f dx =.2 x -1【例43】【例 42】已知 f (x) =ax2 +bx+c ,且 f(1)=2 , "(0)=0 , f(x)dx = 2,求 a、b、c 的值.)D. cos1T已知函數(shù)

12、 f (a) = sin xdx ,則 f(,0_2A . 1 B. 1 -cos1C. 0【例44】 試用定積分表示由直線 y=x , y=-x+1,及y軸圍成的平面圖形的面積，并求積分的值.【例45】 試用定積分表示由直線 y=x , y=_x+1,及x軸圍成的平面圖形的面積，并求積分的值.【例46】則點(diǎn)M取自陰影部分的概率從如圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個點(diǎn)M (x , y) 為.【例47】由曲線yA.12y=x3圍成的封閉圖形面積為(B. 1C.-43D.712【例48】 設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為R +，若對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fK(x)=K'f(x)V Kf(x), f

13、(x).K2則當(dāng)函數(shù)f(x)=-,K=1時，定積分1 fk(x)dx的值為()x3A. 2ln2 +2 B. 2ln2 -1C. 2ln2D. 2ln2 +1【例49】 已知自由落體的速度為 v = gt,則落體從t=0到t=t0所走過的路程為()A . gtoB . gtoC. gtoD , gto3 24【例50】 若f(xk px=；,則實數(shù)k的值為.【例51】 由直線x=1, x=2，曲線y=x2及x軸所圍圖形的面積為()A. 3B. 7C. -D.-33【例52】 給出以下命題：若(f (x)dx0 ,則 f (x) >0 ;"sin xdx =4 ;aa呵f (x)

14、的原函數(shù)為F(x),且F(x)是以T為周期的函數(shù)，則Lf(x)dx=L f(x)dx;其中正確命題的個數(shù)為()A. 1B. 2 C. 3 D. 0智康高中數(shù)學(xué).板塊五.微積分與定積分的應(yīng)用.題庫.學(xué)生版叩學(xué)音音#智康教肓咨詢電話：400-810-2630【例53】 給出下列四個命題： 已知a=sinxdx，點(diǎn)(J3,a)到直線 寸3x _y+1 =0的距離為1; 若f(x0)=0，則函數(shù)y=f(x)在x = xo取得極值； m> _1 ,則函數(shù)y =log1 (x2 -2x -m)的值域為R ; 在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(2 ,業(yè))到直線Psin(8 蘭)=3的距離是2 .36其中真命題是 (

15、把你認(rèn)為正確的命題序號都填在橫線上)【例54】 直線y=2x與拋物線y =x2 3所圍成圖形的面積為【例55】y =e及直線x =1所圍成的封閉圖形的面積S .【例56】 求曲線y =-x3+x2+2x與x軸所圍成的圖形的面積.【例57】如圖，求曲線xy=1及直線y=x , y=2所圍成的圖形的面積 S.y+【例58】 求曲線y2 =2x以及直線y=x-4所圍成的圖形的面積 S 【例59】已知f(x)為一次函數(shù)，且1f(x) =x+2°f(t)dt，則 f (x)=【例60】已知f(x)為一次函數(shù)，且1f(x) =2x+2° f (t)dt ,則 f (x)=【例61】 設(shè)y=f(x)是二次函數(shù)，方程 f(x)= 0有兩個相等的實根，且 fx)=2x+2.求y = f