淺談初中數(shù)學教學中概念教學

1、淺談初中數(shù)學教學中的淺談初中數(shù)學教學中的概念教學概念教學 鹽城市教科院 吳彤 概念教學在數(shù)學教學中有概念教學在數(shù)學教學中有著極其重要的著極其重要的地位，它一地位，它一直是數(shù)學教學研究的一個主題當前的課改實踐中直是數(shù)學教學研究的一個主題當前的課改實踐中，存在，存在輕輕視數(shù)學概念視數(shù)學概念的教學，忽視的教學，忽視數(shù)學概念的抽象數(shù)學概念的抽象邏輯建構特征，過于強調情邏輯建構特征，過于強調情景景化、生活化、活動化化、生活化、活動化的傾向的傾向. . 所以，應更深入地研究概念教學，以豐富概所以，應更深入地研究概念教學，以豐富概念教學法的知識并指導實踐念教學法的知識并指導實踐. . 下面我們以下面我們以“

2、圓周角圓周角”、“函數(shù)函數(shù)”這兩個概這兩個概念的教學為例進行探討念的教學為例進行探討 一種是以一種是以“圓心角圓心角”為基礎，帶領學生進一步研究與為基礎，帶領學生進一步研究與圓有關的角圓有關的角. . 1 1、給出一些圓周角、給出一些圓周角, ,讓學生歸納出圓周角的定義：讓學生歸納出圓周角的定義：頂點在圓周上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角頂點在圓周上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角. . ( (學生利用已有認知結構中的有關知識理解新概念，這學生利用已有認知結構中的有關知識理解新概念，這種方式叫種方式叫概念同化概念同化. .) ) 2 2、通過圖形辨析鞏固圓周角的定義，對它進行分、通過圖形

3、辨析鞏固圓周角的定義，對它進行分類：圓心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內部；類：圓心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內部；圓心在圓周角的外部圓心在圓周角的外部. . 3 3、引導學生探究圓周角的性質：圓周角定理、引導學生探究圓周角的性質：圓周角定理 4 4 、利用圓周角解決有關數(shù)學問題以及生活中的實、利用圓周角解決有關數(shù)學問題以及生活中的實際問題際問題. . “ “圓周角圓周角”是一個幾何概念，對于它的教學常見的方是一個幾何概念，對于它的教學常見的方式有兩種：式有兩種： 另一種是以某種生活情景為背景，給出能用另一種是以某種生活情景為背景，給出能用“圓圓周角解決的實際問題，引出周角解決的實際問

4、題，引出“圓周角圓周角”，研究，研究“圓周圓周角角”.”. 與前一種的區(qū)別在于問題源于與前一種的區(qū)別在于問題源于“生活情景生活情景”.”.而前一而前一種是種是“數(shù)學情境數(shù)學情境”.”. 情境的英文是情境的英文是ContextContext，它的意思是上下文、前后，它的意思是上下文、前后有關聯(lián)的東西有關聯(lián)的東西 . .“情境情境”有別于有別于“情景情景”，情景，情景”的的“景景”是具體、直觀和吸引人的，而是具體、直觀和吸引人的，而“情境情境”的的“境境”是指構成和蘊涵在情景中的那些相互交織的因素及其相是指構成和蘊涵在情景中的那些相互交織的因素及其相互之間的關系，是一種以激發(fā)學生問題意識為價值取向

5、互之間的關系，是一種以激發(fā)學生問題意識為價值取向的刺激性的數(shù)據(jù)材料和背景信息的刺激性的數(shù)據(jù)材料和背景信息. . 從本質上講，產生學習的根本原因是從本質上講，產生學習的根本原因是“問題問題”沒沒有問題也就難以誘發(fā)和激起求知欲，感覺不到問題的有問題也就難以誘發(fā)和激起求知欲，感覺不到問題的存在，學生也就不會去深入思考存在，學生也就不會去深入思考. . 因此，情境創(chuàng)設應強調其問題導向性和衍生性，因此，情境創(chuàng)設應強調其問題導向性和衍生性，讓問題成為學習的動力、起點和貫穿學習過程中的主讓問題成為學習的動力、起點和貫穿學習過程中的主線，把學習過程看作是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問線，把學習過程看作是發(fā)現(xiàn)問題、

6、提出問題、分析問題、解決問題的過程，激發(fā)學生強烈的學習愿望，從題、解決問題的過程，激發(fā)學生強烈的學習愿望，從而注意力高度集中并積極主動地投入學習，培養(yǎng)學生而注意力高度集中并積極主動地投入學習，培養(yǎng)學生勇于探索、創(chuàng)造和追求真理的勇于探索、創(chuàng)造和追求真理的科學精神科學精神. . 我們再來探討函數(shù)概念的教學我們再來探討函數(shù)概念的教學. . 函數(shù)概念是中學數(shù)學中的最重要概念之一，函數(shù)函數(shù)概念是中學數(shù)學中的最重要概念之一，函數(shù)的思想和方法貫穿高中數(shù)學課程的始終理解函數(shù)概的思想和方法貫穿高中數(shù)學課程的始終理解函數(shù)概念及由其反映的數(shù)學思想方法，學會用函數(shù)的觀點和念及由其反映的數(shù)學思想方法，學會用函數(shù)的觀點和

7、方法解決數(shù)學問題和現(xiàn)實問題，是中方法解決數(shù)學問題和現(xiàn)實問題，是中學學階段最重要的階段最重要的數(shù)學學習任務之一因此，搞好函數(shù)概念的教學至關數(shù)學學習任務之一因此，搞好函數(shù)概念的教學至關重要重要 . . 另一方面，函數(shù)概念因其高度的抽象性而成為另一方面，函數(shù)概念因其高度的抽象性而成為最難把握的概念之一，無論是教師的教還是學生的學最難把握的概念之一，無論是教師的教還是學生的學，都存在很大困難，都存在很大困難 “ “函數(shù)函數(shù)”的教學一般都是從生活情景中選取實例，的教學一般都是從生活情景中選取實例，先抽象出常量和變量的概念，進而抽象、歸納出函數(shù)先抽象出常量和變量的概念，進而抽象、歸納出函數(shù)的概念的概念.

8、. 這是數(shù)學概念教學的另一類常見類型：概念形這是數(shù)學概念教學的另一類常見類型：概念形成成. . 概念形成是以學生的直接經(jīng)驗為基礎，用歸納的概念形成是以學生的直接經(jīng)驗為基礎，用歸納的方式抽取出一類事物的共同屬性，從而達到對概念的方式抽取出一類事物的共同屬性，從而達到對概念的理解理解. . 因此，在教學方法上的表現(xiàn)與布魯納倡導的因此，在教學方法上的表現(xiàn)與布魯納倡導的“發(fā)現(xiàn)法發(fā)現(xiàn)法”一致，適合低年級的學生學習數(shù)學概念，一致，適合低年級的學生學習數(shù)學概念，也適合也適合“原始概念原始概念”的學習的學習. . 因為原始概念多是建立因為原始概念多是建立在對具體事物的性質的概括上，依賴的是學生的直接在對具體事

9、物的性質的概括上，依賴的是學生的直接認識與直接經(jīng)驗認識與直接經(jīng)驗. . 數(shù)學概念形成的教學要強調讓學生經(jīng)歷概念的概數(shù)學概念形成的教學要強調讓學生經(jīng)歷概念的概括過程其基本環(huán)節(jié)：括過程其基本環(huán)節(jié)：情境情境引入；具體例證的屬引入；具體例證的屬性分析、比較、綜合；概括共同本質特征得到概念性分析、比較、綜合；概括共同本質特征得到概念的本質屬性；下定義（準確的數(shù)學語言描述）；的本質屬性；下定義（準確的數(shù)學語言描述）；概念的辨析概念的辨析以實例（正例、反例）為載體分析關以實例（正例、反例）為載體分析關鍵詞的含義；用概念作判斷鍵詞的含義；用概念作判斷形成用概念作判斷形成用概念作判斷的的“基本規(guī)范基本規(guī)范”；概

10、念的；概念的“精致精致”建立與相關建立與相關概念的聯(lián)系概念的聯(lián)系 而而“圓周角圓周角”的概念教學是：概念同化的概念教學是：概念同化. . 概念同化則以學生的間接經(jīng)驗為基礎，以數(shù)學語概念同化則以學生的間接經(jīng)驗為基礎，以數(shù)學語言為工具，依靠新、舊概念的相互作用理解概念，因言為工具，依靠新、舊概念的相互作用理解概念，因而在教學方法上多是直接呈現(xiàn)定義，與奧蘇貝爾（而在教學方法上多是直接呈現(xiàn)定義，與奧蘇貝爾（AusubelAusubel）的）的 “ “有意義地接受學習有意義地接受學習” ” 方法基本一致方法基本一致. . 由于數(shù)學概念具有多級抽象的特點，學生學習新概念由于數(shù)學概念具有多級抽象的特點，學生

11、學習新概念在很大程度上依賴舊概念以及原有的認知結構，因此在很大程度上依賴舊概念以及原有的認知結構，因此概念同化的學習方式在概念學習在經(jīng)常使用，特別對概念同化的學習方式在概念學習在經(jīng)常使用，特別對高年級學生的學習更加適用高年級學生的學習更加適用. .概念是什么？概念是什么？ 概念是人們在社會實踐中形成的思維形式，概念是人們在社會實踐中形成的思維形式，是人們對客觀事物的本質、事物的全體、事物的是人們對客觀事物的本質、事物的全體、事物的內部聯(lián)系的認識內部聯(lián)系的認識. . 每一個概念都包含著兩個方面每一個概念都包含著兩個方面：一個是它反映的事物的本質，這叫做概念的內一個是它反映的事物的本質，這叫做概念

12、的內涵涵；一個是它所反映的事物的范圍，也即所反映一個是它所反映的事物的范圍，也即所反映的事物的全體，這叫做概念的外延的事物的全體，這叫做概念的外延. .一一.概念、數(shù)學概念概念、數(shù)學概念 概念是人們對事物本質的認識，邏輯思維的概念是人們對事物本質的認識，邏輯思維的最基本單元和形式最基本單元和形式. . 概念的辯證法是指概念的形概念的辯證法是指概念的形成、變化和發(fā)展以及概念間的聯(lián)系和轉化的辯證成、變化和發(fā)展以及概念間的聯(lián)系和轉化的辯證關系關系. . 對概念的辯證本性的研究，是辯證邏輯的對概念的辯證本性的研究，是辯證邏輯的主要內容主要內容. . 從生動的直觀到抽象的思維，形成一從生動的直觀到抽象的

13、思維，形成一系列概念，這些概念的真理性又要返回實踐中接系列概念，這些概念的真理性又要返回實踐中接受檢驗受檢驗. . 如此循環(huán)往復，是人的認識日益接近于如此循環(huán)往復，是人的認識日益接近于客觀現(xiàn)實的一般途徑客觀現(xiàn)實的一般途徑. . 科學認識的主要成果就是科學認識的主要成果就是形成和發(fā)展概念形成和發(fā)展概念. .概念越深刻、越正確、越完全概念越深刻、越正確、越完全地反映客觀現(xiàn)實地反映客觀現(xiàn)實. . 概念的最基本特征是它的抽象概念的最基本特征是它的抽象性和概括性性和概括性. . 人們認識周圍事物最初形成的概念是前科學思人們認識周圍事物最初形成的概念是前科學思維時期的日常生活概念維時期的日常生活概念. .

14、 這種最初形成的概念，通常這種最初形成的概念，通常是作為對周圍事物的感性經(jīng)驗的直接概括，并不具是作為對周圍事物的感性經(jīng)驗的直接概括，并不具有很高的抽象性有很高的抽象性. . 科學思維中運用的概念即科學概念科學思維中運用的概念即科學概念，是在相關理論指導下形成的，而且它總是處于特，是在相關理論指導下形成的，而且它總是處于特定的理論系統(tǒng)之中，具有較高的抽象性和概括性定的理論系統(tǒng)之中，具有較高的抽象性和概括性. . 人們對于同一事物的認識，往往形成不同內容的科人們對于同一事物的認識，往往形成不同內容的科學概念學概念. .不同的學科對于同一事物會形成不同內容的不同的學科對于同一事物會形成不同內容的科學

15、概念，而在同一學科的不同理論中，對于同一科學概念，而在同一學科的不同理論中，對于同一事物也會形成不同內容的科學概念事物也會形成不同內容的科學概念. . 人們對于特定事人們對于特定事物的本質的認識，即科學概念的內容，并不是單一物的本質的認識，即科學概念的內容，并不是單一的、無條件的，而是多方面的、有條件的的、無條件的，而是多方面的、有條件的. . 概念總是概念總是隨著人的實踐和認識的發(fā)展，處于運動、變化和發(fā)隨著人的實踐和認識的發(fā)展，處于運動、變化和發(fā)展的過程中展的過程中. . 這種發(fā)展的過程或是原有概念的內容逐這種發(fā)展的過程或是原有概念的內容逐步遞加和累進，或是新舊概念的更替和變革步遞加和累進，

16、或是新舊概念的更替和變革. . 數(shù)學概念是什么數(shù)學概念是什么? ? 數(shù)學概念數(shù)學概念 是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關系和是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，即一種空間形式的本質特征的一種反映形式，即一種數(shù)學的思維形式數(shù)學的思維形式. . 在數(shù)學中，作為一般的思維形式的判斷與在數(shù)學中，作為一般的思維形式的判斷與推理，以定理、法則、公式的方式表現(xiàn)出來，推理，以定理、法則、公式的方式表現(xiàn)出來，而數(shù)學概念則是構成它們的基礎而數(shù)學概念則是構成它們的基礎. .正確理解并靈正確理解并靈活運用數(shù)學概念，是掌握數(shù)學基礎知識和運算活運用數(shù)學概念，是掌握數(shù)學基礎知識和運算技能、發(fā)展邏輯論證和空間

17、想象能力的前提技能、發(fā)展邏輯論證和空間想象能力的前提. . 數(shù)學概念是數(shù)學的邏輯起點，是學生認知數(shù)學概念是數(shù)學的邏輯起點，是學生認知的基礎，是學生進行數(shù)學思維的核心的基礎，是學生進行數(shù)學思維的核心. . 概念學習概念學習是數(shù)學學習的核心之一是數(shù)學學習的核心之一. . 概念學習的研究一直概念學習的研究一直是心理學研究的重要課題，包括對概念的分類、是心理學研究的重要課題，包括對概念的分類、概念的結構、概念獲得、概念的運用等方面的概念的結構、概念獲得、概念的運用等方面的研究研究. .概念獲得的研究是概念學習研究中的一部概念獲得的研究是概念學習研究中的一部分重要內容分重要內容. . 二十世紀以來，許多

18、學者從哲學、二十世紀以來，許多學者從哲學、心理學、數(shù)學本身及數(shù)學教育等不同方面揭示心理學、數(shù)學本身及數(shù)學教育等不同方面揭示了數(shù)學概念及其獲得的規(guī)律，為數(shù)學概念獲得了數(shù)學概念及其獲得的規(guī)律，為數(shù)學概念獲得的教與學的系統(tǒng)研究奠定了基礎的教與學的系統(tǒng)研究奠定了基礎. . 從數(shù)學本身的發(fā)展來看，數(shù)學概念的來從數(shù)學本身的發(fā)展來看，數(shù)學概念的來源一般認為有兩方面：一是直接從客觀事物源一般認為有兩方面：一是直接從客觀事物的數(shù)量關系和空間形式反映而得，二是在抽的數(shù)量關系和空間形式反映而得，二是在抽象的數(shù)學理論基礎上經(jīng)過多級抽象所獲象的數(shù)學理論基礎上經(jīng)過多級抽象所獲. . 所所以，數(shù)學概念既有抽象性，也有它的具

19、體內以，數(shù)學概念既有抽象性，也有它的具體內容容. . 也就是說，一方面，數(shù)學概念是感官對也就是說，一方面，數(shù)學概念是感官對外在經(jīng)驗的活動或思考，經(jīng)由抽象之后所得外在經(jīng)驗的活動或思考，經(jīng)由抽象之后所得的數(shù)、量、形的性質，或者是歷代數(shù)學家把的數(shù)、量、形的性質，或者是歷代數(shù)學家把前代的概念結果更加抽象化、一般化而得來前代的概念結果更加抽象化、一般化而得來的的. .二二.數(shù)學概念的基本特征數(shù)學概念的基本特征 但另一方面，從學生學習的角度看，數(shù)但另一方面，從學生學習的角度看，數(shù)學概念的獲得又不完全是一個邏輯的過程，學概念的獲得又不完全是一個邏輯的過程，將受到學生個體的思維發(fā)展水平及教學方式將受到學生個體

20、的思維發(fā)展水平及教學方式、環(huán)境等的影響、環(huán)境等的影響. . 因此，我們可以從兩個不因此，我們可以從兩個不同的角度來分析數(shù)學概念的特點：一是作為同的角度來分析數(shù)學概念的特點：一是作為科學對象，二是作為學習對象科學對象，二是作為學習對象. . 當然，兩者當然，兩者之間有著密切的聯(lián)系之間有著密切的聯(lián)系. . 另外，還需要說明的是，我們這里討論另外，還需要說明的是，我們這里討論的是數(shù)學概念的一般特征，而不是學生個體的是數(shù)學概念的一般特征，而不是學生個體所掌握的數(shù)學概念的特點所掌握的數(shù)學概念的特點. . 個體所掌握的數(shù)個體所掌握的數(shù)學概念是與他本人的數(shù)學認知結構水平相適學概念是與他本人的數(shù)學認知結構水平

21、相適應的，即同一個數(shù)學概念，由于認知水平的應的，即同一個數(shù)學概念，由于認知水平的不同，存在著不同水平的理解不同，存在著不同水平的理解. . 數(shù)學本身的一個基本特點就是抽象性，數(shù)學數(shù)學本身的一個基本特點就是抽象性，數(shù)學概念的發(fā)展也是一個抽象的結果概念的發(fā)展也是一個抽象的結果. . （1 1）數(shù)學抽象的基本方法）數(shù)學抽象的基本方法 數(shù)學抽象主要有兩條途徑：等勢抽象與理想數(shù)學抽象主要有兩條途徑：等勢抽象與理想化，其中最基本的是等勢抽象化，其中最基本的是等勢抽象. . 等勢抽象的過程涉等勢抽象的過程涉及以下四種本質的數(shù)學活動：構造集合及以下四種本質的數(shù)學活動：構造集合. . 首先要首先要根據(jù)目標明確集

22、合的性質，然后根據(jù)性質辨別所根據(jù)目標明確集合的性質，然后根據(jù)性質辨別所需對象的屬性，區(qū)分出滿足集合性質的元素，從需對象的屬性，區(qū)分出滿足集合性質的元素，從而最終確定集合的外延而最終確定集合的外延. . 建立等價關系建立等價關系. . 選擇一選擇一定的數(shù)學等價關系來劃分集合，檢驗等價關系應定的數(shù)學等價關系來劃分集合，檢驗等價關系應滿足的三個條件滿足的三個條件. . 確定等價關系確定等價關系. .也即根據(jù)已知也即根據(jù)已知的等價關系判斷元素之間的等價性，類化集合元的等價關系判斷元素之間的等價性，類化集合元素，并從每一個等價類中選定一個代表元素組成素，并從每一個等價類中選定一個代表元素組成一個新的集合

23、一個新的集合. . 符號化符號化. . 也即把所構造出來的新也即把所構造出來的新的數(shù)學對象用符號表示，并用形式符號代替具體的數(shù)學對象用符號表示，并用形式符號代替具體的對象參與思維，從而簡化思維過程的對象參與思維，從而簡化思維過程. .1.數(shù)學概念發(fā)展的抽象性數(shù)學概念發(fā)展的抽象性 數(shù)學中的另一種抽象途徑就是理想化數(shù)學中的另一種抽象途徑就是理想化. .所所謂理想化就是在現(xiàn)實原型的基礎上，抽象出謂理想化就是在現(xiàn)實原型的基礎上，抽象出本質的屬性或者推斷出潛在的可行性，然后本質的屬性或者推斷出潛在的可行性，然后摒棄所有其他的屬性，從而使原型蛻化為數(shù)摒棄所有其他的屬性，從而使原型蛻化為數(shù)學模型的過程學模型

24、的過程. .在理想化的過程中，最重要在理想化的過程中，最重要的一條數(shù)學能力就是構造數(shù)學模型的能力的一條數(shù)學能力就是構造數(shù)學模型的能力. . 從心理過程上看，數(shù)學概念的形成也有從心理過程上看，數(shù)學概念的形成也有兩種基本的抽象方式：兩種基本的抽象方式：“一般化抽象一般化抽象”，也即減少概念的限制，使其適用于更規(guī)范的也即減少概念的限制，使其適用于更規(guī)范的情境；情境；“分離式抽象分離式抽象”，也即通過將概念，也即通過將概念與背景相分離而達到抽象的目的與背景相分離而達到抽象的目的. . 數(shù)學中的大多數(shù)概念都是一般化抽象的結數(shù)學中的大多數(shù)概念都是一般化抽象的結果，分離式抽象一般只出現(xiàn)在一些由定義給果，分離

25、式抽象一般只出現(xiàn)在一些由定義給出的概念中出的概念中. . 數(shù)學定義并非一開始就是精確的數(shù)學定義并非一開始就是精確的，其中有一個抽象化和精致化的過程：產，其中有一個抽象化和精致化的過程：產生一個模糊的想法；嘗試對這個想法用語生一個模糊的想法；嘗試對這個想法用語言進行描述；通過形式的定義得到初步的言進行描述；通過形式的定義得到初步的概念；嘗試由定義給出具體的例子、推出概念；嘗試由定義給出具體的例子、推出某些性質、驗證相關的定理、尋找等價或者某些性質、驗證相關的定理、尋找等價或者相似的對象；對原先的定義進行修正以排相似的對象；對原先的定義進行修正以排除那些不合理的推論；調整、變更或者拓除那些不合理的

26、推論；調整、變更或者拓展對概念的理解，以便適應新的可能性展對概念的理解，以便適應新的可能性. .(2）數(shù)學抽象的特點）數(shù)學抽象的特點 可以說，人類社會中的幾乎所有的概念都是抽象可以說，人類社會中的幾乎所有的概念都是抽象的結果，但與其他學科相比，數(shù)學抽象有其自身的特點的結果，但與其他學科相比，數(shù)學抽象有其自身的特點. . 一是出于新結構的需要；二是構造一個新的抽象一是出于新結構的需要；二是構造一個新的抽象集合；三是通過確認新的結構而不斷重構已知的抽象集集合；三是通過確認新的結構而不斷重構已知的抽象集合，使其更便于使用合，使其更便于使用. . 第一，在數(shù)學的抽象中只保留量的關系和空間形第一，在數(shù)學

27、的抽象中只保留量的關系和空間形式而舍棄了其他一切；第二，數(shù)學的抽象是一級一級逐式而舍棄了其他一切；第二，數(shù)學的抽象是一級一級逐步提高的，它們所達到的抽象程度大大超出了其他學科步提高的，它們所達到的抽象程度大大超出了其他學科在的一般抽象；第三，數(shù)學本身幾乎完全周旋與抽象概在的一般抽象；第三，數(shù)學本身幾乎完全周旋與抽象概念和它們的相互關系的圈子之中念和它們的相互關系的圈子之中. .（3）數(shù)學抽象的水平分析）數(shù)學抽象的水平分析 其一是依據(jù)思維主體與客體之間的關系其一是依據(jù)思維主體與客體之間的關系. . 其二是依據(jù)對過程其二是依據(jù)對過程對象兩重性的反對象兩重性的反思水平思水平. . 其三是依據(jù)數(shù)學抽象

28、的復雜度其三是依據(jù)數(shù)學抽象的復雜度. . 概念表征是概念學習的一個重要研究課概念表征是概念學習的一個重要研究課題題. .所謂表征是用某一種形式，將事物或想所謂表征是用某一種形式，將事物或想法重新表現(xiàn)出來，以達到交流的目的；當其法重新表現(xiàn)出來，以達到交流的目的；當其所表現(xiàn)的意義能切實掌握后，表征可進一步所表現(xiàn)的意義能切實掌握后，表征可進一步地成為思維的材料，從而簡化解題過程地成為思維的材料，從而簡化解題過程. .表表征就是以一物代替另一物征就是以一物代替另一物. . 表征在活動中具備兩種功能：溝通工具表征在活動中具備兩種功能：溝通工具以及思維的材料以及思維的材料. .作為溝通的工具，是用特作為溝

29、通的工具，是用特定的表征形式，來描繪活動經(jīng)驗；作為思維定的表征形式，來描繪活動經(jīng)驗；作為思維的材料，是用表征來代表物化的數(shù)學概念或的材料，是用表征來代表物化的數(shù)學概念或內蘊化地活動類型，而對表征所代表的意義內蘊化地活動類型，而對表征所代表的意義進行思維操作進行思維操作. .2.數(shù)學概念表征的多元性數(shù)學概念表征的多元性 數(shù)學概念表征的多元性還反映在學習者數(shù)學概念表征的多元性還反映在學習者對概念的理解上，從概念的認知角度看，學對概念的理解上，從概念的認知角度看，學習者對概念的表征可以分為內部表征和外部習者對概念的表征可以分為內部表征和外部表征表征. .其中，內部表征是指個體對所學概念其中，內部表征

30、是指個體對所學概念的可能的心理構造，而因為是內部的，所以的可能的心理構造，而因為是內部的，所以這種表征一般不能被直接觀察到，需要通過這種表征一般不能被直接觀察到，需要通過合適的評價工具合適的評價工具. .與內部表征相反，外部表與內部表征相反，外部表征是一種物理的、可觀察的行為或對象，如征是一種物理的、可觀察的行為或對象，如文字、符號、圖形等，但通過這些可觀察的文字、符號、圖形等，但通過這些可觀察的外部表征并不總是能夠反映個體真實的內部外部表征并不總是能夠反映個體真實的內部表征表征. . 首先，根據(jù)數(shù)學概念發(fā)展的抽象性，都有一個按首先，根據(jù)數(shù)學概念發(fā)展的抽象性，都有一個按層次遞進的過程；其次，不

31、同的數(shù)學概念表征在一層次遞進的過程；其次，不同的數(shù)學概念表征在一定程度上反映個體對概念的不同理解定程度上反映個體對概念的不同理解. . 直接由感知得到的概念稱為初級概念，由初級概直接由感知得到的概念稱為初級概念，由初級概念再抽象之后得到的概念稱為二級概念念再抽象之后得到的概念稱為二級概念. . 具體化的概念；過程性的概念；形式化的概念具體化的概念；過程性的概念；形式化的概念. . 具體期；確認期；分類期；產生期；形式期具體期；確認期；分類期；產生期；形式期. .數(shù)數(shù)學概念理解的層次性除了有數(shù)學本身的特點所決定學概念理解的層次性除了有數(shù)學本身的特點所決定外，也與學習者個體的心理發(fā)展水平有關外，也

32、與學習者個體的心理發(fā)展水平有關. . 依據(jù)數(shù)學概念理解層次來探討合適的學習序列，依據(jù)數(shù)學概念理解層次來探討合適的學習序列，一直是數(shù)學教育工作者致力研究的方向一直是數(shù)學教育工作者致力研究的方向. .3.數(shù)學概念理解的層次性數(shù)學概念理解的層次性 數(shù)學概念的前三個特征直接導致了它的第四個特數(shù)學概念的前三個特征直接導致了它的第四個特征：數(shù)學概念具有廣泛的聯(lián)系征：數(shù)學概念具有廣泛的聯(lián)系. .這里的聯(lián)系既包括概這里的聯(lián)系既包括概念與其背景的聯(lián)系，也包括概念之間的聯(lián)系；既有念與其背景的聯(lián)系，也包括概念之間的聯(lián)系；既有縱向的聯(lián)系，也有橫向的聯(lián)系縱向的聯(lián)系，也有橫向的聯(lián)系. . 概念的系統(tǒng)化程度也是評價學生概念

33、理解的一條概念的系統(tǒng)化程度也是評價學生概念理解的一條重要指標重要指標. .學生要理解一個數(shù)學概念，就必須圍繞這學生要理解一個數(shù)學概念，就必須圍繞這個概念逐步建立一個概念網(wǎng)絡，這個網(wǎng)絡越豐富越個概念逐步建立一個概念網(wǎng)絡，這個網(wǎng)絡越豐富越復雜，這個學生的理解也就越深刻復雜，這個學生的理解也就越深刻. .4.數(shù)學概念聯(lián)結的系統(tǒng)性數(shù)學概念聯(lián)結的系統(tǒng)性三三.數(shù)學概念的學習數(shù)學概念的學習 1.數(shù)學概念的形成數(shù)學概念的形成 概念形成的核心是理解，而理解是一種心理結構的概念形成的核心是理解，而理解是一種心理結構的構造過程，因此概念就是理解狀態(tài)的某種心理表征，而構造過程，因此概念就是理解狀態(tài)的某種心理表征，而這

34、個結果又影響下一次的概念形成，構成了一個所謂的這個結果又影響下一次的概念形成，構成了一個所謂的理解循環(huán)理解循環(huán). . 特征分析理論認為概念是一組特征，這些特征的聯(lián)特征分析理論認為概念是一組特征，這些特征的聯(lián)結規(guī)則是從例子中抽象出來的，這些抽象出來的特征就結規(guī)則是從例子中抽象出來的，這些抽象出來的特征就是決定定義作用的一組特征是決定定義作用的一組特征. . 原型理論認為自然概念是原型，而不是一系列的特原型理論認為自然概念是原型，而不是一系列的特征征. . 一個類別的原型是該類別實例的核心趨勢，原型具一個類別的原型是該類別實例的核心趨勢，原型具有該類別大多數(shù)成員所共有的大多數(shù)屬性，且有非該類有該類

35、別大多數(shù)成員所共有的大多數(shù)屬性，且有非該類別成員的最少屬性，原型具有最高的提示效果，最能提別成員的最少屬性，原型具有最高的提示效果，最能提示某一實例屬于何種類別示某一實例屬于何種類別. . 實例對比理論是布魯克斯（實例對比理論是布魯克斯（Brooks,1978Brooks,1978）提出的）提出的. . 他認為概念形成是隱含的、非分析的，并不是有意識他認為概念形成是隱含的、非分析的，并不是有意識地提出假說地提出假說. . 他指出許多自然概念太復雜，不能通過分他指出許多自然概念太復雜，不能通過分析學習，而為了判斷類別成員而去檢驗關鍵性特征是析學習，而為了判斷類別成員而去檢驗關鍵性特征是否存在，這

36、又是個麻煩的方法否存在，這又是個麻煩的方法. . 因此，他認為人們在學因此，他認為人們在學會某一類別的一個實例后，鑒別后來的實例是通過已會某一類別的一個實例后，鑒別后來的實例是通過已知實例的總體相似性的比較而進行的知實例的總體相似性的比較而進行的. . 除此之外，維格諾德（除此之外，維格諾德（Vergnaud,1983Vergnaud,1983）用概念域）用概念域C=(S,I,R)C=(S,I,R)來說明概念的形成，并將一組情境（來說明概念的形成，并將一組情境（S S）視為）視為建立概念（建立概念（C C）的第一個維度，（）的第一個維度，（I I）是從一組情境中）是從一組情境中抽離出其不變性，

37、然后用符號表征（抽離出其不變性，然后用符號表征（R R）其不變性）其不變性. . 上述概念形成的方式雖有不同的理論和觀上述概念形成的方式雖有不同的理論和觀點，但概念形成基本上需要兩個條件：一是點，但概念形成基本上需要兩個條件：一是學習者必須從許多事物、事件或情境中認識學習者必須從許多事物、事件或情境中認識或抽象出它們的共有特征，以便進行概括；或抽象出它們的共有特征，以便進行概括；二是學習者必須能夠辨別與概念相關或不相二是學習者必須能夠辨別與概念相關或不相關的標志，以便進行區(qū)別歸類關的標志，以便進行區(qū)別歸類. . 換言之，在概換言之，在概念形成的過程中，具有分類和辨別的能力是念形成的過程中，具有

38、分類和辨別的能力是十分重要的十分重要的. . 斯根普（斯根普（Skemp,1971Skemp,1971）提出兩條教學原則）提出兩條教學原則：（：（1 1）超過個人已有概念層次的高價概念不）超過個人已有概念層次的高價概念不能用定義方式來溝通，只能搜集有關的例子能用定義方式來溝通，只能搜集有關的例子供其經(jīng)驗，再靠他自已抽象以形成概念供其經(jīng)驗，再靠他自已抽象以形成概念. .（2 2）在數(shù)學中，由于與所學概念相關的例子中常在數(shù)學中，由于與所學概念相關的例子中常常又會含有其他概念，因此在提供例子時必常又會含有其他概念，因此在提供例子時必須確定學生已經(jīng)形成這些預先概念須確定學生已經(jīng)形成這些預先概念. .2

39、數(shù)學概念的同化數(shù)學概念的同化 在教學中，利用學生已有的知識經(jīng)驗，以在教學中，利用學生已有的知識經(jīng)驗，以定義的方式直接提出概念，并揭露其本質屬性定義的方式直接提出概念，并揭露其本質屬性，由學生主動地與原認知結構中的有關概念聯(lián)，由學生主動地與原認知結構中的有關概念聯(lián)系去學習和掌握概念的方式，叫概念的同化系去學習和掌握概念的方式，叫概念的同化. . 概念同化的心理過程包括以下幾個階段：概念同化的心理過程包括以下幾個階段：（1 1）辨認）辨認. . 辨認定義中的新觀念哪些是已有概辨認定義中的新觀念哪些是已有概念念? ? 新舊觀念之間存在什么關系新舊觀念之間存在什么關系? ? 辨認構成包含辨認構成包含了

40、回憶與知識的重現(xiàn)了回憶與知識的重現(xiàn). .（2 2）同化）同化. . 建立新概念與建立新概念與原有概念之間的聯(lián)系，把新概念納入原認知結原有概念之間的聯(lián)系，把新概念納入原認知結構中，使新概念被賦予一定的意義構中，使新概念被賦予一定的意義. .（3 3）強化）強化. . 通過將新概念與某些反例相聯(lián)系，使新概念更通過將新概念與某些反例相聯(lián)系，使新概念更加穩(wěn)固和清晰加穩(wěn)固和清晰. . 概念形成是以學生的直接經(jīng)驗為基礎，用歸納的方概念形成是以學生的直接經(jīng)驗為基礎，用歸納的方式抽取出一類事物的共同屬性，從而達到對概念的理式抽取出一類事物的共同屬性，從而達到對概念的理解解. . 因此，在教學方法上的表現(xiàn)與布魯

41、納倡導的因此，在教學方法上的表現(xiàn)與布魯納倡導的“發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)法法”一致，適合低年級的學生學習數(shù)學概念，也適合一致，適合低年級的學生學習數(shù)學概念，也適合“原始概念原始概念”的學習的學習. . 因為原始概念多是建立在對具因為原始概念多是建立在對具體事物的性質的概括上，依賴的是學生的直接認識與體事物的性質的概括上，依賴的是學生的直接認識與直接經(jīng)驗直接經(jīng)驗. . 概念同化則以學生的間接經(jīng)驗為基礎，以數(shù)學語言概念同化則以學生的間接經(jīng)驗為基礎，以數(shù)學語言為工具，依靠新、舊概念的相互作用理解概念，因而為工具，依靠新、舊概念的相互作用理解概念，因而在教學方法上多是直接呈現(xiàn)定義，與奧蘇貝爾（在教學方法上多是直接呈現(xiàn)

42、定義，與奧蘇貝爾（AusubelAusubel）的）的 “ “有意義地接受學習有意義地接受學習” ” 方法基本一致方法基本一致. . 由于數(shù)學概念具有多級抽象的特點，學生學習新概念由于數(shù)學概念具有多級抽象的特點，學生學習新概念在很大程度上依賴舊概念以及原有的認知結構，因此在很大程度上依賴舊概念以及原有的認知結構，因此概念同化的學習方式在概念學習在經(jīng)常使用，特別對概念同化的學習方式在概念學習在經(jīng)常使用，特別對高年級學生的學習更加適用高年級學生的學習更加適用. . 應當指出，概念形成與概念同化不是相互獨立應當指出，概念形成與概念同化不是相互獨立和互不相關的和互不相關的. 概念形成包含著同化的因素，

43、要用概念形成包含著同化的因素，要用具體的、直接的感性材料同化新概念具體的、直接的感性材料同化新概念. 同樣，概念同樣，概念同化也不能脫離分析、抽象和概括，因而含有概念同化也不能脫離分析、抽象和概括，因而含有概念形成因素形成因素.在數(shù)學概念學習中，兩種方式不能孤立使在數(shù)學概念學習中，兩種方式不能孤立使用，如果僅用概念形成方式學習，顯然不符合學校用，如果僅用概念形成方式學習，顯然不符合學校學習的經(jīng)濟性原則；而僅僅用概念同化方式學習，學習的經(jīng)濟性原則；而僅僅用概念同化方式學習，由于數(shù)學概念的高度抽象性，學生比較難以把握概由于數(shù)學概念的高度抽象性，學生比較難以把握概念背后的豐富內容，難以理解概念的關鍵

44、屬性，因念背后的豐富內容，難以理解概念的關鍵屬性，因此應該把兩者結合起來使用此應該把兩者結合起來使用. 教師可以在揭示概念教師可以在揭示概念的定義后，引導學生在定義的指導下去觀察實際事的定義后，引導學生在定義的指導下去觀察實際事例，定義的向導可以使學生比較容易地揭示事例中例，定義的向導可以使學生比較容易地揭示事例中包含的與概念有關的關鍵屬性包含的與概念有關的關鍵屬性. 同時，通過正例與同時，通過正例與反例的應用，通過學生自己對事例的比較、分析、反例的應用，通過學生自己對事例的比較、分析、概括、分化和類化等，可以使概念的關鍵屬性變得概括、分化和類化等，可以使概念的關鍵屬性變得清晰，使事例成為理解

45、概念的一種思維載體，然后清晰，使事例成為理解概念的一種思維載體，然后引導學生將新概念與已有的認知結構中的有關概念引導學生將新概念與已有的認知結構中的有關概念建立聯(lián)系，形成概念系統(tǒng)建立聯(lián)系，形成概念系統(tǒng).3.數(shù)學化與尋找意義數(shù)學化與尋找意義 與形式化過程相關的是一種稱為與形式化過程相關的是一種稱為“數(shù)學化數(shù)學化”的過程的過程. . 數(shù)學化是弗賴登塔爾提出的數(shù)學教學的數(shù)學化是弗賴登塔爾提出的數(shù)學教學的基本原則之一，其含義是數(shù)學地組織現(xiàn)實世界的基本原則之一，其含義是數(shù)學地組織現(xiàn)實世界的過程過程. “. “籠統(tǒng)的說，人們在觀察現(xiàn)實世界時，運籠統(tǒng)的說，人們在觀察現(xiàn)實世界時，運用數(shù)學方法研究各種具體現(xiàn)象，

46、并加以整理組織用數(shù)學方法研究各種具體現(xiàn)象，并加以整理組織，對于這一過程，我稱之為數(shù)學化，對于這一過程，我稱之為數(shù)學化.” .” 他強調數(shù)他強調數(shù)學化的對象分為兩大類：一類是現(xiàn)實客觀事物，學化的對象分為兩大類：一類是現(xiàn)實客觀事物，另一類是數(shù)學本身另一類是數(shù)學本身. . 對客觀世界進行數(shù)學化的結對客觀世界進行數(shù)學化的結果是數(shù)學概念、運算法則、規(guī)律和定理、為解決果是數(shù)學概念、運算法則、規(guī)律和定理、為解決具體問題而構造的數(shù)學模型等；對數(shù)學本身進行具體問題而構造的數(shù)學模型等；對數(shù)學本身進行數(shù)學化，既可以是某些數(shù)學知識的深化，亦可以數(shù)學化，既可以是某些數(shù)學知識的深化，亦可以是對已有的數(shù)學知識進行分類、整理

47、、綜合、構是對已有的數(shù)學知識進行分類、整理、綜合、構造，以形成不同層次的公理體系和形式體系，使造，以形成不同層次的公理體系和形式體系，使數(shù)學知識體系更系統(tǒng)、更完美數(shù)學知識體系更系統(tǒng)、更完美. .4.數(shù)學概念學習的認知障礙數(shù)學概念學習的認知障礙 準確地了解學生在概念學習中遇到的認知障準確地了解學生在概念學習中遇到的認知障礙是教學中做到礙是教學中做到“對癥下藥對癥下藥”的前提的前提. . 維果茨基認為，概念學習主要有三個困難：維果茨基認為，概念學習主要有三個困難：一是遷移，即設法把特定情境中形成的概念運一是遷移，即設法把特定情境中形成的概念運用于一組新的物體或環(huán)境；二是給一個概念下用于一組新的物體

48、或環(huán)境；二是給一個概念下定義，即在不涉及任何具體情境或印象的抽象定義，即在不涉及任何具體情境或印象的抽象水平上加以系統(tǒng)的闡述；三是在最終掌握概念水平上加以系統(tǒng)的闡述；三是在最終掌握概念并在抽象水平上系統(tǒng)闡述概念以后，把概念運并在抽象水平上系統(tǒng)闡述概念以后，把概念運用于必須借助于這些抽象的術語來加以觀察的用于必須借助于這些抽象的術語來加以觀察的新的具體情境，這是最困難的新的具體情境，這是最困難的. .數(shù)學概念的教學主要涉及以下幾個環(huán)節(jié)：數(shù)學概念的教學主要涉及以下幾個環(huán)節(jié)： 學生學習數(shù)學，不僅要學習數(shù)學的思維結果，更要學習數(shù)學思維的方式方法，發(fā)展數(shù)學能力。思維方式的習得及能力的形成是一個緩慢的過程，它不是學生“懂”了，也不是學生“會”了，而是學生自己“悟”出了道理、規(guī)律和思考方法等，這種“悟”只有在數(shù)學學習活動的過程中才能獲得。 數(shù)學教學必須給學生提供探索交流的空間，組織、引導學生“經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學活動過程，并把活動經(jīng)驗的積累、數(shù)學思想的感悟有機地融合在這樣的“過程”之中。 這里的“過