元二次方程的四種解法

1、一元二次方程的解法(1) 一元二次方程的概念一、考點(diǎn)、熱點(diǎn)回顧1、一元二次方程必須同時(shí)滿足的三個(gè)條件：(1)2、一元二次方程的一般形式：二、典型例題例1:判斷下列方程是否為一元二次方程： x x 1 x 1 x 2x3y0 x 3 (x 1)( x 4)ax? bxcO®mx2 0 (m是不為零常數(shù))例2： 元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).(X 2)23(6) (x 3)(x 3)0例3 ：當(dāng)m 時(shí)，尖于x的方程(m+2 x'm' +3mx+仁C是一元二次方程。三、課堂練習(xí)1、下列方程中，尖于x的一元二次方程是()21 1A3(x 1)22(x 1)20x

2、yC.ax t)x c 0 D.x 2x x 12、用換元法解方程用+x尸+ (x2 + x)二6時(shí)，如果設(shè)x2 + x二y,那么原方程可變形為()2C、y y + 6 n3、已知兩數(shù)的積是2D、y + y + 6 012,這兩數(shù)的平方和是25,以這兩數(shù)為根的一元二次方程是4、已知尖于x的一元二次方程x2 (k 1)x6 0的一個(gè)根是2,求k的值.四、課后練習(xí)1將方程3x(x1)5( x 2)化成一元二次方程的一般形式，得其中二次項(xiàng)系數(shù)是; 一次項(xiàng)系數(shù)是;常數(shù)項(xiàng)是：2. 方程(k 4)x2 5x2k30是一元二次方程，則k就滿足的條件是3. 已矢Im是方程x2-x-2=0的一個(gè)根，則代數(shù)式ni

3、-m=4. 在一幅長(zhǎng)80cm寬50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形 掛圖，如果要使整個(gè)掛圖的面積是 5400cm,設(shè)金色紙邊的寬為xcm ，則x滿足的方程是()(B) X2 65 x 350 0(A) x2 130x14000(C) x2 130X140002(D) x 65x35005 尖于x的方程3) x2 條件下是一兀一次方程?nxmo ,在什么條件下是一元二次方程？在什么(2) "直接開方法、考點(diǎn)、熱點(diǎn)回顧1、了解形如x2=a(a > 0)或(x+ h) 2= k(k > 0)的一元二次方程的解法開平方法 直接小結(jié)：如果一個(gè)一元二次方程具有(x

4、m)2 n( n 0)的形式，那么就可以用直接開 平方法求解。(用直接開平方法解一元二次方程就是將一元二次方程的左邊化為一個(gè) 完全平方式，右邊化為常數(shù)，且要養(yǎng)成檢驗(yàn)的習(xí)慣)【復(fù)習(xí)回顧】1 方程(k 4) x2 5x2k30是一元二次方程，則k就滿足的條件是2.若(a+1) x2+(x-1)2=0二次項(xiàng)的系數(shù)為乙貝U a 二、典型例題 例1 ：解下列方程：22 x 二 2(2) 4x 1 二 0例2、解下列方程：(l) (x 1)22(2)(x 1)240(3) 12(3 x)230推薦例3:用直接開平方法解下列方程(2) X 32 2 2 24 2x 1(3) x2 2ax a2 b 01 2

5、(1) 3x 11504三、課堂練習(xí)1.若方程(x4 ) 2=m-6可用直接開平方法解，則m的取值范圍是()A. m> 6 B m> o C m> 6 D m=6 2.方程(1x) 2=2的根是() 3 3 2 T +.2 j 2、 . 2 +13. 方程(3x 1)2=5的解是4. 用直接開平方法解下列方程：(1)4x 2=9;(2)(x+2) 2=16(3)(2x-1)2=3；(4)3(2x+1)2=122四、課后練習(xí)4的平方根是，方程胖4的解是-222、方程x 11的根是方程4x11的根是3、當(dāng)*取時(shí)，代數(shù)式昭5的值是2;若好.81 0,則x二4、尖于x的方程3x2k1

6、 0若能用直接幵平方法來(lái)解，則k的取值范圍是、k> 15、解下列方程：0X22 35x128 0(6)4x20.5y2036已知一個(gè)等腰三角形的兩邊是方程4 (x 10)2 0的兩根，求等腰三角形的面積(3) -配方法一、考點(diǎn)、熱點(diǎn)回顧1、經(jīng)歷探究將一元二次方程的一般式轉(zhuǎn)化為(X+ h)>k(n0)形式的過程,進(jìn)一步理解配方法的意義；2、填空：2 ； (2)x 2-2x+=(X-)2(1) X2+6X+=(x+)(3)x 2-5x+=(X-)22；(4)x +x+=(x+ )2(5)x 2+px+=(x+)23、將方程x2+2x-3=0化為(x+h) 2=k的形式為;小結(jié)1 :用配

7、方法解一元二次方程的一般步驟：1、把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；2、 在方程的兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊成為完全平方；3、利用直接開平方法解之。小結(jié)2：當(dāng)一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，用配方法解方程的步驟：二次項(xiàng)系數(shù)化為1;移項(xiàng)；直接開平方法求解.二、典型例題例1 :將下列各進(jìn)行配方：(1) x2 + 10x+= (x +(2) x2 6x +(x ) x2 - 5x +(4)x2 +bx +(x + 一)24'7例2 :解下列方程： x24x3°(2) x3x1推薦例3:用配方法解下列尖于x的方程：(1 )X 1 2 10 x 19 0(2) X2 6ax 9a2

8、4b2例4 ：例1解方程：睽5x 23X?4x例5、一個(gè)小球垂直向上拋的過程中，它離上拋點(diǎn)的距離h(m 與拋出后小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t(s)有如下尖系：h 24t5t2 o經(jīng)過多少秒后，小球離上拋點(diǎn)的高度是16m?推薦例6 ：求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，代數(shù)式 x2 4x 4.5的值恒大于零。三、課堂練習(xí)1 完成下列配方過程：2(1) x +8x+=(x+ )(2) xJ+=(X-_)2(3) x +4=(x+) X2- +3=(X)42.若 x2-mx+ 49 =(x+ Z 尸，貝 U m 的值為(255A. 7755C.145D.-呼53.用配方涔解下列方程：(1)x -6x-16=0 ;2+3x-2=

9、0;(3)x 2+2 . 3 x-(4)x2 22_c-x- =0.4=0 ;334 已知直角三角形的三邊且兩直角邊a、b滿足等式(a2+b2)2-2(a 2+b2)-15=0 求斜邊C的值。5.用配方法解方程2護(hù)5y=1時(shí)，方程的兩邊都應(yīng)加上()4<55AR24,5P'4D.51622+b +2a4b+5=(a+_+(b17用配方法解下列方程：(1)2x 斗仁 3x ；(2)3y2-y-2=0 ；3x -4x+1=0 ；22(4)2x=3-7x.8.若4x2-(4m-1)x+m2+1是一個(gè)完全平方式求m.四、課后練習(xí)1、用配方法解下列方程:22(1) x6x 160(2) x3

10、x20(3) x276x2110xx0452、把方程x2 3x p 0配方，得到X2 m 12(1)求常數(shù)P與m的值；(2)求此方程的解。3、用配方法解方程x2PX q 0( p24q 0)4、用配方法解下列方程：(1) X2 1510x(2) 3x212x103 4 X 2 - 12、一 2 X- 1 =0(4) 2x2 7x 20,2 3x + 2x 3二 0(6) 2x2 4x502、你能用配方法求：當(dāng)X為何值時(shí)，代數(shù)式 3x2 6x 5有最大值？(4)-公式法一、考點(diǎn)、熱點(diǎn)回顧221、把方程4x =3x化為ax+bx+c=O(a工0)形式為b2-4ac=. 2、方程x2+x-1=0的根

11、是。3、 方程3x2+2=4x的判別式b2-4ac=,所以方程的根的情況是14、一元二次方程x24x+4=0的根的情況是()A. 有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.沒有實(shí)數(shù)根D.不能確定總結(jié)：一元二次方程ax2+bx+c=0(a工0)的根的情況可由來(lái)判斷：當(dāng) b2-4ac0 時(shí)，當(dāng) b2-4ac=0 時(shí)，當(dāng) b2-4ac v 0 時(shí)，二、典型例題例1:解下列方程：22(1) x 3x20;(2)2x 7x 4變式：1、解方程：2x(x1)3;好1 x（ 2、5x）.例2：解下列方程:(1)X2x 1 0;(2)x2 2.3X3 0；(3)2x2 2x 1 0.例3：不解方程，判別下列

12、方程根的情況.(1 ) 2X2+3X+4=0；(2) 2X2-5=6X ;(3) 4x(x-1 )-3=0 ;(4) X2+5=2.5X.題變：1、試說明尖于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0必定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. 推薦例4 ：當(dāng)k為何值時(shí)，尖于X的方程kx2-( 2k + 1) x+ k+ 3 = 0有兩個(gè)不 相等的實(shí)數(shù)根？題變：1、已知一元二次方程(m-2)2x2+(2m4-1 )x+1 =0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.三、隨堂練習(xí)1.把方程(2x-1)(x+3)=x 2+1 化為 ax2 + bx + c = 0 的形式 b2-4ac=方程的根是2.方程(x1)(x3)

13、=2的根是()A. Xi=1,X2=3=2 2 .3 =2.3=-22,33尖于x的一元二次方程x2+4x-m=0的一個(gè)根是.5-2 則m，方程的另個(gè)根是2(3) 2x3x2=0 : 3x(3x2)+1=0.4右取簡(jiǎn)二次根式v m7和.、8m 2是同類二次根式，則的值為()或j5用公式法解下列方程：2 2(1) x -2x-8=0 ;(2) x +2x-4=0;6.方程(2x+1)(9x+8)=1的根的情況是()A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C 無(wú)實(shí)數(shù)根D.不能確定7 尖于x的方程游+2 、. kx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k()>-1 >-1 > 1

14、> 08. 要使尖于x的方程kx2-4x+3=0有實(shí)數(shù)根，則k應(yīng)滿足的條件是()A. k V 4/3>4/3<4/3>4/39. 已知方程x2-mx+n=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么符合條件的一組m n的值可以是m=10. 不解方程，判斷下列方程根的情況：(1) 3x2 x + 1 = 3x (2) 5 (x2 + 1) = 7x(3) 3x2 4、 3 X =-411-解下列方程：22x? 6x0;(2)X212X270(3)2y y 50；2(4)x 6x 160(3)4x -3x-1=x-2四、課后練習(xí)1 用公式法解方程、2好+4,3 x=2t2，其中求的b2-4a

15、c的值是（B. 4 C.322.用 公式法解方程x2-8x-15，其中b2-4ac=是.°3-用公式法解方程3X2+4=12X,下列代入公式正確的是（）12.14412B.=12.144 1222C.=12 一 144D.=12 144486的根，貝吐匕三角4三角形兩邊長(zhǎng)分別是 3和5,第三邊的長(zhǎng)是方程3x2-10x-8=0形是三角形.5. 如果分式關(guān)的值為零，那么x=二x 16. 用公式法解下列方程：(1) 3y 2-y-2 = 0(2) 2 x2+1 =3x2(4) 3x(x-3)= 2(x-1)(x+1)7下列方程中，沒有實(shí)數(shù)根的方程式()=9=3(4x-1)(x+1)=1+6

16、y+7=08.方程ax Jbx+c=O(a工0)有實(shí)數(shù)根，那么總成立的式子是(2> 0B. b-4ac v 022C. b -4ac < 0D. b-4ac > 09-如果方程9xjk+6)x+k+仁0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么 k=(4)-因式分解法一、考點(diǎn)、熱點(diǎn)回顧應(yīng)用回顧：下列哪些方法能用因式分解法解(1) x2 2x0(2) (x-3)2 (x 3)02(3) x 1 2(x 1)11(4) x2 90小結(jié)：因式分解法解一元二次方程的一般步驟：1 將方程的右邊化為02 將方程左邊因式分解.3 把原來(lái)的一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.4 分別解兩個(gè)一元一次方程，它們的

17、根就是原方程的根二、典型例題例1:用因式分解法解方程：2(1) x4x x3x(x3)0三、隨堂練習(xí)1如果方程X2-3X+C=0有一個(gè)根為1,那么C=，該方程的另一根為該方程可化為(X1 )( x_ ) =02. 方程xJx的根為()=0 B. Xi=0,X2=1 C. Xi=0,X2二 1 D. Xi=0,X2=23. 用因式分解法解下列方程：(1 ) (x+2) 2=3X+6;( 2) ( 3x+2) 2-4x2=0;22(3) 5 ( 2X-1 ) = (1-2x)(x+3) ;( 4) 2(X-3) + (3X-X ) =0.4. 用適當(dāng)方法解下列方程：(1 ) ( 3X-1 ) 2=1 ;( 2) 2 (x+1 ) 2=X2-1 ;(3) (2X-1) 2+2 (2X-1) =3 ;(4) (y+3)( 1-3y) =1+2,四、課后訓(xùn)練1下面哪個(gè)方程用因式分解法解比較簡(jiǎn)便(1 ) X22X50 (2)(2X 1 ) 2 10.2. 已知方程4X2-3X=0，下列說法正確的是()3A.只有一個(gè)根x=-B.只有一個(gè)根x=043 3C.有兩個(gè)根Xi=0,X2=D.有兩個(gè)根Xi=0,X2=4 43. 如果(X-1) (X+2) =0 那么以下結(jié)論正確的是()=2 或 X=-1D.必須X=1且X=-24