專題33第6章四邊形之與正方形有關(guān)的其他題型備戰(zhàn)2022中考數(shù)學(xué)解題方法系統(tǒng)訓(xùn)練（全國通用）（解析版）

1、33第6章四邊形之與正方形有關(guān)的其他題型一、單選題1如圖，四邊形是正方形，是的中點(diǎn)，連接與對角線相交于點(diǎn)，連接并延長，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)以下結(jié)論：；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（ ）a1b2c3d4【答案】d【分析】證明abedce，可得結(jié)論正確；由正方形的性質(zhì)可得ab=ad=bc=cd，be=ce，dce=abe=90°，abd=cbd=45°，可證abedce，abgcbg，可得bcf=cde，由余角的性質(zhì)可得結(jié)論；證明dcecbf可得結(jié)論，證明chfcbf即可得結(jié)論正確【詳解】解：四邊形abcd是正方形，點(diǎn)e是bc的中點(diǎn)，ab=ad=bc=cd，be=ce，dce=abe=9

2、0°，abd=cbd=45°，abedce（sas）dec=aeb，bae=cde，de=ae，故正確，ab=bc，abg=cbg，bg=bg，abgcbg（sas）bae=bcf，bcf=cde，且cde+ced=90°，bcf+ced=90°，che=90°，cfde，故正確，cde=bcf，dc=bc，dce=cbf=90°，dcecbf（asa），ce=bf，ce=bc=ab，bf=ab，af=bf，故正確，bcf+bfc=90°，dec=bfcbcf+decc=90°，che=90°che=fb

3、c又dec=bfcchfcbf bc=2ce， 故選：d【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵2如圖，正方期abcd的邊長為4，點(diǎn)e在對角線bd上，且為f，則ef的長為（ ） a2bcd【答案】d【分析】在af上取fg=ef，連接ge，可得efg是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得eg=，egf=45°，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得bae+aeg=egf，然后求出bae=aeg=22.5°，根據(jù)等角對等邊可得ag=eg，再根據(jù)正

4、方形的對角線平分一組對角求出abd=45°，然后求出bef是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得bf=ef，設(shè)ef=x，最后根據(jù)ab=ag+fg+bf列方程求解即可【詳解】解：如圖，在af上取fg=ef，連接ge，efab，efg是等腰直角三角形，eg=ef，egf=45°，由三角形的外角性質(zhì)得，bae+aeg=egf，bae=22.5°，egf=45°，bae=aeg=22.5°，ag=eg，在正方形abcd中，abd=45°，bef是等腰直角三角形，bf=ef，設(shè)ef=x，ab=ag+fg+bf，4=x+x+x，解得x=故

5、選：d【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出等腰直角三角形并根據(jù)正方形的邊長ab列出方程3如圖，已知正方形abcd的邊長為12，beec，將正方形邊cd沿de折疊到df，延長ef交ab于g，連接dg，現(xiàn)在有如下4個(gè)結(jié)論：adgfdg；gb2ag；gdb45°；sbef 在以上4個(gè)結(jié)論中，正確的有（）a1b2c3d4【答案】c【解析】試題解析：由折疊可知，df=dc=da，dfe=c=90°，dfg=a=90°，adgfdg，正確；正方形邊長是12，be=ec=ef=6，設(shè)ag=fg=x，則eg=x+6，bg=12-x，由

6、勾股定理得：eg2=be2+bg2，即：（x+6）2=62+（12-x）2，解得：x=4ag=gf=4，bg=8，bg=2ag，正確；be=ef=6，bef是等腰三角形，易知ged不是等腰三角形，錯誤；sgbe=×6×8=24，sbef=sgbe=，正確故選c考點(diǎn)：正方形綜合題.4如圖，已知正方形abcd的邊長為4，p是對角線bd上一點(diǎn)，于點(diǎn)e，于點(diǎn)f，連接ap，給出下列結(jié)論：；四邊形pecf的周長為8；一定是等腰三角形；的最小值為其中正確結(jié)論的序號為( ) abcd【答案】a【分析】根據(jù)正方形的對角線平分對角的性質(zhì)，得是等腰直角三角形，在中，求得；根據(jù)等腰直角三角形和矩形

7、的性質(zhì)可得其周長為2bc，則四邊形pecf的周長為8；根據(jù)p的任意性可以判斷不一定是等腰三角形；由pecf為矩形，則通過正方形的軸對稱性，證明；當(dāng)ap最小時(shí)，ef最小，ef的最小值等于【詳解】如圖，延長fp交ab與g，連pc，延長ap交ef與h，       pebc，pfcd，bcd=90°，四邊形pecf為矩形，pf=ce，gfbc，dpf=dbc，四邊形abcd是正方形，dbc=45°dpf=dbc=45°，pdf=dpf=45°，pf=ec=df，在rtdpf中，dp2=df2

8、+pf2=ec2+ec2=2ec2，dp=ec故正確；四邊形pecf為矩形，四邊形pecf的周長=2ce+2pe=2ce+2be=2bc=8，故正確；點(diǎn)p是正方形abcd的對角線bd上任意一點(diǎn)，adp=45，當(dāng)pad=45或67.5或90時(shí)，apd是等腰三角形，除此之外，apd不是等腰三角形，故錯誤；四邊形pecf為矩形，pc=ef，由正方形為軸對稱圖形，ap=pc，ap=ef，故正確；bd=，由ef=pc，當(dāng)pc最小時(shí)，ef最小，則當(dāng)pcbd時(shí)，即pc=bd=時(shí)，ef的最小值等于，故正確；綜上所述，正確，故選：a【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用本題難度較

9、大，綜合性較強(qiáng)，在解答時(shí)要認(rèn)真審題5如圖，在正方形中，點(diǎn)是上一動點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，給出結(jié)論：；若正方形的邊長為2，則點(diǎn)在射線上運(yùn)動時(shí)，有最小值其中結(jié)論正確的是（ ）abcd【答案】b【分析】延長ae交dc的延長線于點(diǎn)h，由“aas”可證amehce，可得aeeh，由直角三角形的性質(zhì)可得aeefeh，即可判斷；由四邊形內(nèi)角和定理可求2ade2edf270°，可得adf135°，即可判斷；由連接ac，過點(diǎn)e作epad于點(diǎn)p，過點(diǎn)f作fnep于n，交cd于g，連接cf，由梯形中位線定理可求pe（amcd），由“aas”可證apeenf，可得

10、apnead，即可求am2dg2×df，即可判斷；由垂線段最短，可得當(dāng)cfdf時(shí)，cf有最小值，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求cf的最小值，即可判斷【詳解】如圖，延長ae交dc的延長線于點(diǎn)h，點(diǎn)e是cm的中點(diǎn)，meec，abcd，maeh，amehce，amehce（aas），aeeh，又adh90°，deaeeh，ae繞點(diǎn)e順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ef，aeef，aef90°，aedeef，故正確；aedeef，daeade，edfefd，aefdaeadeedfefd360°，2ade2edf270°，adf135°，cdfad

11、fadc135°90°45°，故正確；epad，amad，cdad，ampecd，1，appd，pe是梯形amcd的中位線，pe（amcd），fdc45°，fncd，dfgfdc45°，dggf，dfdg，aepfen90°，aepeap90°，feneap，又aeef，apeenf90°，apeenf（aas），apnead，pe（amcd）nenpadnp，amnpdg，am2dg2×df，故錯誤；如圖，連接ac，過點(diǎn)e作epad于點(diǎn)p，過點(diǎn)f作fnep于n，交cd于g，連接cf，epad，fnep，

12、adc90°，四邊形pdgn是矩形，pndg，dgn90°，cdf45°，點(diǎn)f在df上運(yùn)動，當(dāng)cfdf時(shí)，cf有最小值，cd2，cdf45°，cf的最小值，故正確；故選：b【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線分線段成比例，梯形中位線的定理等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵6如圖，e、f分別是正方形abcd的邊bc、cd的中點(diǎn)，連接af、de交于點(diǎn)p，過b作bgde交ad于g，bg與af交于點(diǎn)m對于下列結(jié)論：afde；g是ad的中點(diǎn)；gbpbpe；sagm：sdec1：4正確的個(gè)數(shù)是（）a1

13、個(gè)b2個(gè)c3個(gè)d4個(gè)【答案】c【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)得出；，證，推出，求出即可判斷；證明四邊形gbed為平行四邊形，則可知正確；由平行線的性質(zhì)可得正確；證明，可得出：則不正確【詳解】解：正方形abcd，e，f均為中點(diǎn)adbcdc，ecdfbc，在adf和dce中，adfdce（sas），afddec，dec+cde90°，afd+cde90°dgf，afde，故正確，四邊形gbed為平行四邊形，gdbe，bebc，gdad，即g是ad的中點(diǎn)，故正確，gbpbpe，故正確，afde，afbg，angadf90°，gamfad，agmafd，設(shè)aga，則ad2a，af

14、a，adfdce，sagm：sdec1：5故錯誤故選：c【點(diǎn)評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與和性質(zhì)等知識，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵7如圖，在正方形abcd中，點(diǎn)e是邊bc上的點(diǎn)，且ce=2be，連接ae、de，分別交bd、ac于點(diǎn)p、q，過點(diǎn)p作pfae交cb的延長線于點(diǎn)f，下列結(jié)論：aed+eac+edb90°；ap=fp；ae=ao；若四邊形opeq的面積為2，則該正方形的面積為36；ce·ef=eq·de其中正確的結(jié)論有（）a1個(gè)b2個(gè)c3個(gè)d4個(gè)【答案】b【分析】先根據(jù)

15、正方形的性質(zhì)證得aop是直角，再利用三角形的外角的性質(zhì)即可判定；直接利用四點(diǎn)共圓可證afp=abp=45°；設(shè)be=a則ec=2a，然后利用勾股定理得到ae和oa的長，即可得出結(jié)論；利用相似得到bp與dp的比導(dǎo)出bp與op的比，同理求出oq與qc的比，設(shè)bep的面積為s，再利用同高時(shí)面積比即為底的比求出ope和oqe的面積，表示出四邊形opeq的面積，求出s的值，再通過正方形面積是24s即可求出結(jié)果；如果當(dāng)e是bc邊中點(diǎn)時(shí)可得fpedce，可得結(jié)論，因?yàn)橐阎衑c=2be時(shí)，所以fpe與dce不相似，所以錯誤【詳解】解：如圖，連接oe、 af，abcd是正方形，acbd，aop=90

16、°，aed+edb=apo，aed+eac+edb=apoeac=90°，故正確；pfae，apf=abf=90°，即a、p、b、f四點(diǎn)共圓，afp=abp=45°，paf=pfa=45°，pa=pf，故正確；設(shè)be=a，則ec=2a，則ae=a，oa=oc=ob=od=a， ，ae=ao，故錯誤；連接oe，ce=2be，be：ec：bc=1：2：3ad/bcbepdap，eqcdqa，bp：dp=1：3，cq：aq=2：3，bp：op=1：1，oq：cq=1：4，設(shè)sbep=s，則sope=s，則sbeo=2s，seco=4s，soeq=，s

17、bco=2s+4s=6s，四邊形opeq的面積是2，s+=2，s=，正方形abcd的面積=4sbco=24s=，故錯誤；be=2ecpebced，且fpe不一定與dce相似， ，又eqpe，ce·efeq·de，故錯誤；共有2個(gè)正確故選：b【點(diǎn)評】本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，綜合性強(qiáng)，難度大，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題是解答本題的關(guān)鍵8如圖，四邊形是邊長為2的正方形，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)，為的中點(diǎn)，射線交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)、交的延長線于點(diǎn)，則以下結(jié)論：；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)；當(dāng)時(shí)，成立的是abcd【答案】c【分

18、析】利用正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識一一判斷即可【詳解】解：如圖1，四邊形是正方形，故正確；，故不正確；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖2，是的中點(diǎn)，在和中，設(shè)，則，中，故正確；如圖3，是的中點(diǎn)，中，中，在和中，故不正確；本題成立的結(jié)論有：；故選：【點(diǎn)評】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用全等三角形解決問題二、填空題9如圖，已知矩形中，點(diǎn)，分別在邊，上，沿著折疊矩形，使點(diǎn)，分別落在，處，且點(diǎn)在線段上（不與兩端點(diǎn)重合），過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，_；若，則折疊后重疊部分的面積為_【答案】 【分析】根據(jù)正方形的

19、性質(zhì)證明，令，則，求得，得到，再證明，得到，即可得到結(jié)果；【詳解】解：四邊形為正方形，令，則，（不符合題意，舍去），即為的中點(diǎn)，折疊后重疊部分的面積為：，故答案為：；【點(diǎn)評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵10如圖，將邊長為1的正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到正方形的位置，則圖中陰影部分的面積為_【答案】【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證得ade為等邊三角形，由等腰三角形的判定可得mde為等腰三角形，繼而求得，然后設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列方程求解可得，進(jìn)而由三角形面積公式即可求解【詳解】如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，四邊形為正方形，正方形繞

20、點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到正方形的位置， ade為等邊三角形，mde為等腰三角形，.在中，設(shè)，則，解得：，（舍去），故答案為：【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，解直角三角形，利用等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)求出，是解題的關(guān)鍵11如圖，正方形abcd中，點(diǎn)e，f分別在bc，cd上，aef是等邊三角形，連接ac交ef于g，下列結(jié)論：bedf，aeb75°，egfg且age90°，befgsabescef其中正確結(jié)論是_（填序號）【答案】【分析】通過條件可以得出abeadf，從而得出baedaf，bedf，aeb75°；由正方形的性質(zhì)

21、就可以得出ecfc，得ac垂直平分ef，得egfg且age90°；設(shè)ecx，bey，由勾股定理就可以得出x與y的關(guān)系，表示出be與ef，利用三角形的面積公式分別表示出scef和2sabe，再通過比較大小就可以得出結(jié)論【詳解】解：四邊形abcd是正方形，abbccdad，bbcddbad90°aef等邊三角形，aeefaf，eaf60°bae+daf30°在rtabe和rtadf中，rtabertadf（hl），bedf，所以故正確；baedaf，bae+daf30°，baedaf15°，aeb75°，所以正確；bccd，bc

22、becddf，即cecf，aeaf，ac垂直平分ef，egfg且age90°，所以正確；設(shè)ecx，由勾股定理，得efx，aeefx，fgbgcgx，eag30°，agx，acag+cgx+x，abx，bebccexxx，befg，所以錯誤；scefce2x2，sabeabbe×xxx2，sabe×x2scef，所以正確綜上所述，正確，故答案為：【點(diǎn)評】本題考查正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答本題時(shí)運(yùn)用勾股定理的性質(zhì)解題時(shí)關(guān)鍵12如圖，在正方形abcd中，對角線ac與bd

23、相交于點(diǎn)o，e為bc上一點(diǎn)，ce=5，f為de的中點(diǎn)若cef的周長為18，則of的長為_ 【答案】【分析】由直角三角形的中線，求出de的長度，利用三角形中位線定理和勾股定理，求出be的長度，即可求出答案【詳解】解：四邊形abcd是正方形，dce=90°，od=ob，df=fe，cf=fe=fd，ec+ef+cf=18，ec=5，ef+fc=13，de=13，dc=， bc=cd=12，be=bc-ec=7，od=ob，df=fe，of=be=；故答案為：【點(diǎn)評】本題考查正方形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型13

24、如圖，已知正方形abcd的邊長為2，對角線ac、bd相交于點(diǎn)o，ae平分bac交bd于點(diǎn)e，則be的長為_【答案】【分析】過作于，根據(jù)正方形性質(zhì)得出，由勾股定理求出，在中，由勾股定理得：，求出即可【詳解】解：過作于，四邊形是正方形，則由勾股定理得：，平分，ae=ae,，,四邊形是正方形，在中，由勾股定理得：，即，故答案為：【點(diǎn)評】本題考查了角平分線性質(zhì)和正方形性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，注意：角平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等14如圖，正方形abcd中，ab3，點(diǎn)e為對角線ac上一點(diǎn)，efde交ab于f，若四邊形afed的面積為4，則四邊形afed的周長為_【答案】4+2【分析】連接be，df，

25、過e作enbf于點(diǎn)n，證明dcebce和bef為等腰三角形，設(shè)af=x，用x表示de與ef，由根據(jù)四邊形adef的面積為4，列出x的方程求得x，進(jìn)而求得四邊形adef的周長【詳解】解：如圖，連接be，df，過e作enbf于點(diǎn)n，四邊形abcd為正方形，cb=cd，bce=dce=45°，在bec和dec中，dcebce（sas），de=be，cde=cbe，ade=abe，dab=90°，def=90°，ade+afe=180°，afe+efb=180°，ade=efb，abe=efb，ef=be，de=ef，設(shè)af=x，則bf=3-x，fn=

26、bn=bf=，an=af+fn=，bac=dac=45°，anf=90°，en=an=，de=ef=，四邊形afed的面積為4，sadf+sdef=4，×3x+×，解得，x=-7（舍去），或x=1，af=1，de=ef=，四邊形afed的周長為：3+1+=4+，故答案為：4+.【點(diǎn)評】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由面積列出x的方程，屬于中考選擇題中的壓軸題15如圖，正方形abcd的邊長為1，ac、bd是對角線，將dcb繞著點(diǎn)d順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到dgh，hg交ab于點(diǎn)e，連接de交ac于

27、點(diǎn)f，連接fg則下列結(jié)論：四邊形aegf是菱形；hed的面積是1；afg135°；bc+fg其中正確的結(jié)論是_（填入正確的序號）【答案】【分析】依據(jù)四邊形aegf為平行四邊形，以及，即可得到平行四邊形aegf是菱形；依據(jù)，即可得到的面積；依據(jù)四邊形aegf是菱形，可得；根據(jù)四邊形aegf是菱形，可得，進(jìn)而得到【詳解】解：正方形abcd的邊長為1，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，和均為直角邊為的等腰直角三角形，在和中，且，四邊形aegf為平行四邊形，平行四邊形aegf是菱形，故正確；，的面積，故正確；四邊形aegf是菱形，故正確；四邊形aegf是菱形，故不正確故答案為：【點(diǎn)評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，

28、正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等16如圖，以rtabc的斜邊ab為一邊，在ab的右側(cè)作正方形abed，正方形對角線交于點(diǎn)o，連接co，如果ac=4，co=，那么bc=_【答案】8【分析】通過作輔助線使得caogbo，證明cog為等腰直角三角形，利用勾股定理求出cg后，即可求出bc的長【詳解】如圖，延長cb到點(diǎn)g，使bg=ac根據(jù)題意，四邊形abed為正方形，4=5=45°，eba=90°，1+2=90°又三角形bca為直角三

29、角形，ab為斜邊，2+3=90°131+5=3+4，故caogbo，在cao和gbo中，故caogbo，cogo=，7=6，7+8=90°，6+8=90°，三角形cog為等腰直角三角形，cg=，cg=cb+bg，cb=cgbg=124=8，故答案為8【點(diǎn)評】本題主要考查正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意建立正確的輔助線以及掌握正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵三、解答題17已知正方形abcd，點(diǎn)e在ab上，點(diǎn)g在ad，點(diǎn)f在射線bc上，點(diǎn)h在cd上（1）如圖1，def

30、g，求證：bfae+ag；（2）如圖2，dedf，p為ef中點(diǎn)，求證：bepc；（3）如圖3，eh交fg于o，goh45°，若cd4，bfdg1，則線段eh的長為 【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）作gmbc于m證daegmf，得aefm，agbm所以bfae+ag（2）作eqcp交bc于q證eq2cp，eqbe可得becp（3）作bmgf交ad于m，作bneh交cd于n，得bmgf，bfmg1，bneh，延長dc到p，使cpam2，證bambcp得abmcbp，bmbp，再證mbnpbn得mnpn，設(shè)cnx，則mnpncn+pcx+2，dn4x，在rtdmn中

31、，由dm2+dn2mn2求得x，再在bcn中利用勾股定理求解可得【詳解】解：（1）如圖1，過點(diǎn)g作gmbc于m，則gmbgmf90°，四邊形abcd是正方形，adab，ab90°，四邊形abmg是矩形，agbm，degf，ade+dgfade+aed90°，aeddgf，又dgfmfg，aedmfg，daegmf（aas），aemf，則bfbm+mfag+ae；（2）如圖2，過點(diǎn)e作eqpc，交bc于點(diǎn)q，p是ef的中點(diǎn)，pc是eqf的中位線，則eq2pc，qccf，adcedf90°，adecdf，又adcf90°，adcd，adecdf（a

32、sa），aecfqc，abbc，bebq，則beq45°，eqbe，則2pcbe，bepc；（3）如圖3所示，作bmgf交ad于m，作bneh交cd于n，則四邊形bfgm和四邊形behn是平行四邊形，bmgf，bfmg1，bneh，dg1，cdad4，am2，延長dc到p，使cpam2，babc，abcp90°，bambcp（sas），abmcbp，bmbp，goh45°，bneh，bmgf，mbn45°，abm+cbn45°，cbp+cbn45°，即pbn45°，mbnpbn（sas），mnpn，設(shè)cnx，則mnpncn+

33、pcx+2，dn4x，在rtdmn中，由dm2+dn2mn2可得22+（4x）2（x+2）2，解得x，則ehbn，故答案為：【點(diǎn)評】本題考查正方形背景中的線段和差，線段倍分，求線段長問題，掌握垂線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等知識，引垂線構(gòu)造全等，轉(zhuǎn)化線段的相等關(guān)系，利用平行線，構(gòu)造中位線與等腰直角三角形，確定倍數(shù)關(guān)系，利用勾股定理解決線段的長度問題18已知正方形abcd中ac與bd交于點(diǎn)o，點(diǎn)m在線段bd上，作直線am交直線dc于點(diǎn)e，過d作dhae于h，設(shè)直線dh交ac于點(diǎn)n（1）如圖1，當(dāng)m在線段bo上時(shí)，求證：omon；（2）如圖2，當(dāng)m在線段od上，連接ne

34、和mn，當(dāng)enbd時(shí)，求證：四邊形denm是菱形；（3）在（2）的條件下，若正方形邊長為4，求ec的長【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）先證明： 再證明：，可得結(jié)論；（2）利用正方形的性質(zhì)證明： 結(jié)合：，利用全等三角形的性質(zhì)證明： 可得： 結(jié)合： 從而可得結(jié)論；（3）利用正方形的性質(zhì)先求解 再利用菱形的性質(zhì)可得：ah是dn的垂直平分線，證明 求解 再證明： 利用勾股定理可得答案【詳解】（1）證明：dhae，dha90°，nah+anh90°，odn+dno90°，anhdno，odnnah，在和中， ，（aas），omon；（2）證明： 正方

35、形， 由（1）可知，omon，nmo45°cdo，ednm，endm，四邊形denm是平行四邊形，dnae，平行四邊形denm是菱形；（3）四邊形abcd為正方形，ad4，ac，四邊形denm是菱形，ah是dn的垂直平分線，anad4，nc，endm，encdoc90°，ecn45°，ec【點(diǎn)評】本題考查的是三角形全等的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平行四邊形的判定，菱形的判定，正方形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵19如圖，在正方形abcd中，e、f是對角線bd上兩點(diǎn)，且eaf45°，將adf繞點(diǎn)a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到ab

36、q，連接eq（1）求證：ea是qed的平分線；（2）已知be1，df3，求ef的長【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出aqeafe（sas），進(jìn)而得出aeqaef，即可得出答案；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得qeef，adfabq，再結(jié)合勾股定理得出答案【詳解】證明：（1）將adf繞點(diǎn)a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到abq，qbdf，aqaf，baqdaf，eaf45°，daf+bae45°，qae45°，qaefae，在aqe和afe中，aqeafe（sas），aeqaef，ea是qed的平分線；（2）由（1）得aqeafe，qee

37、f，adfabq，四邊形abcd是正方形，adbabd45°，abq45°，qbeabq+abd90°，在rtqbe中，qb2+be2qe2，又qbdf，ef2be2+df21+910，ef【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，證明aqeafe是解題關(guān)鍵20如圖1，在正方形abcd中，e為邊bc上一點(diǎn)（不與點(diǎn)b、c重合），垂直于ae的一條直線mn分別交ab、ae、cd于點(diǎn)m、p、n（1）求證aemn；（2）如圖2，若垂足p恰好為ae的中點(diǎn)，連接bd，交mn于點(diǎn)q，連接eq，并延長交邊ad于點(diǎn)f求aef的度數(shù)；（3）如圖3，若該正方形

38、abcd邊長為10，將正方形沿著直線mn翻折，使得bc的對應(yīng)邊bc恰好經(jīng)過點(diǎn)a，過點(diǎn)a作agmn，垂足分別為g，若ag6，請直接寫出ac的長_【答案】（1）見解析；（2）aef45°；（3）102【分析】（1）過點(diǎn)b作bfmn交cd于點(diǎn)f，則四邊形mbfn為平行四邊形，得出mnbf，bfae，由asa證得abebcf，得出aebf，即可得出結(jié)論；（2）連接aq，過點(diǎn)q作hiab，分別交ad、bc于點(diǎn)h、i，則四邊形abih為矩形，得出hiad，hibc，hiabad，證dhq是等腰直角三角形，得hdhq，ahqi，由hl證得rtahqrtqie，得aqhqei，證aqe90°

39、;，得aqe是等腰直角三角形，即可得出結(jié)果；（3）延長ag交bc于e，則egag6，得ae12，由勾股定理得be2，則cebcbe102，由折疊的性質(zhì)即可得出結(jié)果【詳解】（1）證明：四邊形abcd是正方形，abebcd90°，abbc，abcd，過點(diǎn)b作bfmn交cd于點(diǎn)f，如圖1所示：四邊形mbfn為平行四邊形，mnbf，bfae，abf+bae90°，abf+cbf90°，baecbf，在abe和bcf中，abebcf（asa），aebf，aemn；（2）解：連接aq，過點(diǎn)q作hiab，分別交ad、bc于點(diǎn)h、i，如圖2所示：四邊形abcd是正方形，四邊形ab

40、ih為矩形，hiad，hibc，hiabad，bd是正方形abcd的對角線，bda45°，dhq是等腰直角三角形，hdhq，ahqi，mn是ae的垂直平分線，aqqe，在rtahq和rtqie中，rtahqrtqie（hl），aqhqei，aqh+eqi90°，aqe90°，aqe是等腰直角三角形，eaqaeq45°，即aef45°；（3）解：延長ag交bc于e，如圖3所示：則egag6，ae12，在rtabe中，cebcbe102，由折疊的性質(zhì)得：ac'ce102，故答案為：102【點(diǎn)評】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、平

41、行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、平行線的性質(zhì)等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵21如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為4的正方形的頂點(diǎn)a、c分別在y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)o在原點(diǎn)現(xiàn)將正方形繞點(diǎn)o按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)點(diǎn)a第一次落在直線上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，邊交直線于點(diǎn)m，邊交x軸于點(diǎn)n（1）若時(shí)，求點(diǎn)a的坐標(biāo)；（2）設(shè)的周長為p，在旋轉(zhuǎn)正方形的過程中，p值是否有變化？請證明你的結(jié)論；【答案】（1）（2，2）；（2）不變【詳解】解：（1）如圖1，過a作ady軸，交y軸于點(diǎn)

42、dady軸，正方形的邊長是4ad=2，od=2a的坐標(biāo)是（2，2）（2）p值無變化證明：延長ba交y軸于e點(diǎn)（如圖2）在oae與ocn中oaeocn（aas）oe=on，ae=cn在ome與omn中，omeomn（sas）mn=me=am+ae，mn=am+cn，p=mn+bn+bm=am+cn+bn+bm=ab+bc=8在旋轉(zhuǎn)正方形oabc的過程中，p值無變化【點(diǎn)評】此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用圖形旋轉(zhuǎn)的變化規(guī)律得出對應(yīng)邊之間關(guān)系是解題關(guān)鍵22在abc中，bac90°，abac，點(diǎn)d為直線bc上一動點(diǎn)（點(diǎn)d不與b，c重合），以ad為邊在ad的

43、右側(cè)作正方形adef，連接cf（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)點(diǎn)d在線段bc上時(shí)，bc與cf的位置關(guān)系為： ；bc，cd，cf之間的數(shù)量關(guān)系為： （將結(jié)論直接寫在橫線上）（2）數(shù)學(xué)思考如圖2，當(dāng)點(diǎn)d在線段cb的延長線上時(shí)，結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明，（3）拓展延伸如圖3，當(dāng)點(diǎn)d在線段bc的延長線上時(shí)，延長ba交cf于點(diǎn)g，連接ge若ab2，cd1，請求出ge的長【答案】（1）bccf；bccf+cd；（2）bccf成立；bccd+cf不成立，cdcf+bc，見解析；（3）【分析】（1）由題意易得bacdaf90°，則有badcaf，進(jìn)而可證da

44、bfac，然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可求解；由dabfac可得cfbd，然后根據(jù)線段的數(shù)量關(guān)系可求解；（2）由題意易證dabfac，則可得acbabc45°，進(jìn)而可得bccf，然后根據(jù)線段的數(shù)量關(guān)系可求解；（3）過a作ahbc于h，過e作embd于m，encf于n，則有dhch+cd3，進(jìn)而可求四邊形cmen是矩形，然后可得adhdem，則可證bcg是等腰直角三角形，最后根據(jù)勾股定理可求解【詳解】解：（1）正方形adef中，adaf，daf90°，bacdaf90°，badcaf，在dab與fac中，dabfac（sas），bacf，acb+acf90°，

45、即bccf；故答案為：bccf；由得：dabfac，cfbd，bcbd+cd，bccf+cd；故答案為：bccf+cd；（2）bccf成立；bccd+cf不成立，cdcf+bc理由如下：正方形adef中，adaf，daf90°，bacdaf90°，badcaf，在dab與fac中，dabfac（sas），abdacf，bac90°，abac，acbabc45°abd180°45°135°，bcfacfacb135°45°90°，bccf，cddb+bc，dbcf，cdcf+bc；（3）解：過a作

46、ahbc于h，過e作embd于m，encf于n，如圖3所示：bac90°，acab2，bcab4，ahbc，ahbcbhch2，dhch+cd3，四邊形adef是正方形，adde，ade90°，bccf，embd，encf，四邊形cmen是矩形，necm，emcn，ahdadcemd90°，adh+edmedm+dem90°，adhdem，adhdem（aas），emdh3，dmah2，cnem3，encm3，abc45°，bgc45°，bcg是等腰直角三角形，cgbc4，gn1，在rtegn中，由勾股定理得：eg【點(diǎn)評】本題主要考查

47、正方形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)，數(shù)量掌握正方形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵23如圖1，已知正方形頂點(diǎn)，分別在軸和軸上，邊交軸的正半軸于點(diǎn)（1）若，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)（2）在（1）的條件下，若，點(diǎn)的坐標(biāo)（3）如圖2，連結(jié)交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)上方軸上一動點(diǎn)，以，為邊作平行四邊形，使點(diǎn)恰好落在邊上求證：【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析【分析】（1）由，得出（a-2）2=3，求出a2+4a+5=4，即可得出結(jié)果；（2）作dnoe于n，作amdn于m，連ae，由aas證得aobamd，得出am=ao=4，求出eo=3，在rtaoe中，ae2=ao2+e

48、o2=25，在rtade中，ad2+de2=ae2，設(shè)d（4，m），代入求出m=2，即可得出結(jié)果；（3）作fpad于p，連df，在rtafp中，得到，再證明bf=df=gf，得出點(diǎn)p是dg的中點(diǎn)，從而根據(jù)勾股定理得出pf2+dp2=df2，即，即可得出結(jié)果【詳解】（1），點(diǎn)的坐標(biāo)為（2）作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連，如圖，即，四邊形為正方形，在和中，四邊形是正方形，在中，在中，在中，在中，設(shè)，則，（3）過點(diǎn)作于，連，如圖，四邊形是平行四邊形，四邊形是正方形，是等腰直角三角形，故，在和中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，在中，即，【點(diǎn)評】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、

49、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵24已知，四邊形abcd是正方形，點(diǎn)e是正方形abcd所在平面內(nèi)一動點(diǎn)（不與點(diǎn)d重合），abae，過點(diǎn)b作de的垂線交de所在直線于f，連接cf提出問題：當(dāng)點(diǎn)e運(yùn)動時(shí)，線段cf與線段de之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變？探究問題：（1）首先考察點(diǎn)e的一個(gè)特殊位置：當(dāng)點(diǎn)e與點(diǎn)b重合（如圖）時(shí)，點(diǎn)f與點(diǎn)b也重合用等式表示線段cf與線段de之間的數(shù)量關(guān)系： ；（2）然后考察點(diǎn)e的一般位置，分兩種情況：情況1：當(dāng)點(diǎn)e是正方形abcd內(nèi)部一點(diǎn)（如圖）時(shí)；情況2：當(dāng)點(diǎn)e是正方形abcd外部一點(diǎn)（如圖）時(shí)在情況1或情況2下，線段cf與線段de之間的數(shù)量關(guān)系與（1）中的結(jié)論是否相同？如果都相同，請選擇一種情況證明；如果只在一種情況下相同或在兩種情況下都不相同，請說明理由；拓展問題：（3）連接af，用等式表示線段af、cf、df三者之間的數(shù)量關(guān)系： 【答案】（1）decf；（2）在情況1與情況2下都相同，詳見解析；（3）afcfdf或|afcf|df【分析】（1