備考2022年中考數(shù)學(xué)專題16 角平分線四大模型（解析版）

1、中考?？紟缀文Ｐ蛯ｎ}16 角平分線四大模型1、角平分線上的點向兩邊作垂線如圖，p 是mon 的平分線上一點，過點 p 作 paom 于點 a，pbon 于點 b。結(jié)論：pb=pa。2、截取構(gòu)造對稱全等如圖，p 是mon 的平分線上一點，點 a 是射線 om 上任意一點，在 on上截取 ob=oa，連接 pb。結(jié)論：opbopa。3、 角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形如圖，p 是mo 的平分線上一點，apop 于 p 點，延長 ap 于點 b。結(jié)論：aob 是等腰三角形。4、角平分線+平行線如圖，p 是mo 的平分線上一點，過點 p 作 pqon，交 om 于點 q。結(jié)論：poq 是等腰三角形。模型

2、精練：1（2019東平縣二模）如圖，abc的外角acd的平分線cp與內(nèi)角abc的平分線bp交于點p，若bpc40°，則cap（）a40°b45°c50°d60°【點睛】根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出bac的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出capfap，即可得出答案【解析】解：延長ba，作pnbd，pfba，pmac，設(shè)pcdx°，cp平分acd，acppcdx°，pmpn，bp平分abc，abppbc，pfpn，pfpm，bpc40°，abppbcpcdbpc（x40）°，bacacdab

3、c2x°（x°40°）（x°40°）80°，caf100°，在rtpfa和rtpma中，pa=papm=pf，rtpfartpma（hl），fappac50°故選：c2（2019桂平市期末）如圖，在abc中，c90°，ad平分cab，bc12cm，bd8cm，那么點d到直線ab的距離是（）a2cmb4cmc6cmd10cm【點睛】先求出cd的長，過點d作deab于點e，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)可得decd，從而得解【解析】解：如圖，過點d作deab于點e，bc12cm，bd8cm，cd

4、bcbd1284cm，c90°，ad平分cab，decd4cm，即點d到直線ab的距離是4cm故選：b3（2020浙江自主招生）如圖，在abc中，ad是a的外角平分線，p是ad上異于a的任意一點，設(shè)pbm，pcn，abc，acb，則（m+n）與（b+c）的大小關(guān)系是（）am+nb+cbm+nb+ccm+nb+cd無法確定【點睛】在ba的延長線上取點e，使aeac，連接ep，證明acp和aep全等，推出pepc，根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊即可得到m+nb+c【解析】解：在ba的延長線上取點e，使aeac，連接ep，ad是a的外角平分線，cadead，在acp和aep中，ae=ac

5、cad=eadap=ap，acpaep（sas），pepc，在pbe中，pb+peab+ae，pbm，pcn，abc，acb，m+nb+c故選：a4（2019蘭山區(qū)一模）如圖，在abc中，abc和acb的平分線交于點e，過點e作mnbc交ab于m，交ac于n，若bm+cn11，則線段mn的長為11【點睛】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出mebebc，nececb，根據(jù)角平分線定義得出mbeebc，nceecb，求出mebmbe，necnce，推出mebm，encn即可【解析】解：mnbc，mebebc，nececb，abc和acb的平分線交于點e，mbeebc，nceecb，mebmbe，necnce，m

6、ebm，encn，bm+cn11，em+en11，即mn11，故答案為：115如圖，已知等腰直角三角形abc中，abac，bac90°，bf平分abc，cdbd交bf的延長線于點d，試說明：bf2cd【點睛】作be的中點e，連接ae、ad，根據(jù)直角三角形得到性質(zhì)就可以得出aebeef，由bd平分abc就可以得出abedbc22.5°，從而可以得出baebaeacd22.5°，aef45°，由bac90°，bdc90°就可以得出a、b、c、d四點共圓，求出addc，證adcaeb推出becd，從而得到結(jié)論【解析】解：取bf的中點e，連接

7、ae，ad，bac90°，aebeef，abdbae，cdbd，a，b，c，d四點共圓，dacdbc，bf平分abc，abddbc，dacbae，ead90°，abac，abc45°，abddbc22.5°，aed45°，aead，在abe與adc中，abe=dacbae=acdae=ad，abeadc，becd，bf2cd6如圖，在abc中，abe2c，ad是bac的平分線，bead，垂足為e（1）若c30°，求證：ab2be（2）若c30°，求證：be=12（acab）【點睛】（1）由bead，得到aeb90°

8、，根據(jù)已知條件得到abe60°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到bae30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即刻得到結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到abaf，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到afeabe2c，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到ccbf，得到bfcf，于是得到結(jié)論【解析】解：（1）bead，aeb90°，abe2c，c30°，abe60°，bae30°，ab2be；（2）ad是bac的平分線，bead，abaf，afeabe2c，afec+cbf，ccbf，bfcf，bf2be，cfacabbe2be，be=12（acab）7（2019沂源縣期末）如圖，

9、在abc中，abac，abc40°，bd是abc的平分線，延長bd至e，使dead，求證：eca40°【點睛】在bc上截取bfab，連df，根據(jù)sas可證明abdfbd，得出dfdade，證明dcedcf，故ecadcb40°【解析】證明：在bc上截取bfab，連df，bd是abc的平分線，abdfbd，abdfbd（sas），dfdade，又acbabc40°，dfc180°a80°，fdc60°，edcadb180°abda180°20°100°60°，dcedcf（sa

10、s），故ecadcb40°8（2019臨洮縣期末）已知abc中，abac，a108°，bd平分abc，求證：bcac+cd【點睛】在線段bc上截取beba，連接de則只需證明cdce即可結(jié)合角度證明cdeced【解析】證明：在線段bc上截取beba，連接debd平分abc，abdebd=12abc在abd和ebd中，be=baabd=ebdbd=bd，abdebd（sas）beda108°，adbedb又abac，a108°，acbabc=12×（180°108°）36°，abdebd18°adbedb1

11、80°18°108°54°cde180°adbedb180°54°54°72°dec180°deb180°108°72°cdedeccdcebcbe+ecab+cd9（2019自貢期中）如圖，在四邊形abcd中，bcba，addc，（1）若bdcd，c60°，bc10，求ad的長；（2）若bd平分abc，求證：a+c180°【點睛】（1）由含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出dc，即可得出答案；（2）在bc上截取beba，連接de，推出ab

12、debd，推出abed，addedc，推出bed+c180°，即可得出答案【解析】（1）解：bdcd，c60°，cbd30°，dc=12bc5，addc5；（2）證明：在bc上截取beba，連接de，如圖所示：bd平分abc，abdebd，在abd和ebd中，ab=beabd=ebdbd=bd，abdebd（sas），abed，adde，addc，dedc，cdec，bed+deca+deca+c180°，即a+c180°10（2019宜昌期中）（1）已知：如圖1，等腰直角三角形abc中，b90°，ad是bac的外角平分線，交cb邊的

13、延長線于點d求證：bdab+ac；（2）對于任意三角形abc，abc2c，ad是bac的外角平分線，交cb邊的延長線于點d，如圖2，請你寫出線段ac、ab、bd之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明【點睛】（1）在ca的延長線上截取aeab，連接de，由角平分線的性質(zhì)就可以得出eadbad，得出aedabd90°，dbde，就可以得出dbab+ac；（2）在ca的延長線上取一點e，使aeab，連接de，由角平分線的性質(zhì)就可以得出aedabd，就可以得出dedb，aedabd，就可以得出defabc，就可以得出edcc，進(jìn)而得出結(jié)論【解析】證明：（1）在ca的延長線上截取aeab，連接dead平分e

14、ab，eadbad，在ead和bad中，ea=baead=badad=ad，eadbad（sas）aedabd，dbde，abbc，abc90°c45°，abd90°，aed90°，edc45°，edcc，deecbdececae+ac，bdae+acdbae+acab+ac；（2）bdab+ac，理由如下：在ca的延長線上取一點e，使aeab，連接de，ad平分eab，eadbad，在ead和bad中，ea=baead=badad=ad，eadbad（sas）aedabd，dbdeaed+fed180°，abd+abc180

15、6;，fedabcabc2c，fed2cfededc+c，2cedc+c，cedc，decebdececae+ac，bdae+acdbae+acab+ac11（2019潮南區(qū)期中）在abc中，bd是abc的平分線，adbd，垂足是d（1）求證：21+c；（2）若edbc，abd28°，求ade的度數(shù)【點睛】（1）如圖延長ad交bc于h證明bdabdh（asa）即可解決問題（2）求出ahc，再利用平行線的性質(zhì)即可解決問題【解析】解：（1）如圖延長ad交bc于hbdah，bdabdh90°，abdhbd，bdbd，bdabdh（asa），babh，2bha，bha1+c，21+

16、c（2）abd28°，bda90°，262°，ahb262°，ahc180°62°118°，deec，adeahc118°12（2019蔡甸區(qū)校級月考）如圖，在abc，ad平分bac，e、f分別在bd、ad上，且decd，efac，求證：efab【點睛】過e作ac的平行線于ad延長線交于g點，可證明degdca，可得egef，可證明efab【解析】解：過e作ac的平行線于ad延長線交于g點，egac在deg和dca中，adc=gdecd=eddeg=dca，degdca（asa），egef，gcad，又efac故e

17、gacad平分bac，badcad，egef，gefd，efdbad，efab13（2019崇安區(qū)校級月考）如圖，在梯形abcd中，adbc，ae平分bad，be平分abc，且ae、be交cd于點e試說明adabbc的理由【點睛】在ab上找到f使得afad，易證aefaed，可得afad，afed，根據(jù)平行線性質(zhì)可證cbfe，即可證明becbef，可得bfbc，即可解題【解析】證明：在ab上找到f使得afad，ae平分bad，eadeaf，在aef和aed中，ad=afead=eafae=ae，aefaed，（sas）afad，afed，adbc，d+c180°，afe+bfe180

18、°cbfe，be平分bad，fbec，在bec和bef中，bfe=cfbe=cbebe=be，becbef，（aas）bfbc，abaf+bf，abad+bc，即adabbc14（2019江夏區(qū)校級月考）如圖1，abcd，p為ab、cd之間一點（1）若ap平分cab，cp平分acd求證：apcp；（2）如圖（2），若bap=25bac，dcp=25acd，且ae平分bap，cf平分dcp，猜想e+f的結(jié)果并且證明你的結(jié)論；（3）在（1）的條件下，當(dāng)baq=13bap，dcq=13dcp，h為ab上一動點，連hq并延長至k，使qkaqak，再過點q作cqh的平分線交直線ak于m，問當(dāng)點

19、h在射線ab上移動時，qmk的大小是否變化？若不變，求其值；若變化，求其取值范圍【點睛】（1）依據(jù)平行線的性質(zhì)，以及角平分線的定義，即可得到p180°90°90°，進(jìn)而得到apcp；（2）過e作egab，過f作fhcd，依據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到aecbae+dce，afcbaf+dcf，再根據(jù)bap=25bac，dcp=25acd，ae平分bap，cf平分dcp，即可得到e+f108°；（3）過q作qeab，依據(jù)平行線的性質(zhì)可得aqcaqe+cqebaq+dcq，依據(jù)baq=13bap，dcq=13dcp，即可得出aqc30°，再根據(jù)mmqhk

20、進(jìn)行計算，即可得出qmk的大小不變，是定值15°【解析】解：（1）abcd，bac+acd180°，又ap平分cab，cp平分acd，cap=12cab，acp=12acd，cap+acp=12（bac+acd）=12×180°90°，acp中，p180°90°90°，即apcp；（2）e+f108°證明：如圖2，過e作egab，過f作fhcd，abcd，egabfhcd，bac+dca180°，baeaeg，dceceg，bafafh，dcfcfh，aecbae+dce，afcbaf+dcf，

21、bap=25bac，dcp=25acd，ae平分bap，cf平分dcp，bae=15bac，dcf=15dca，aec=15bac+25acd，afc=25bac+15dca，aec+afc=15bac+25acd+25bac+15dca=35acd+35bac=35（bac+dca）=35×180°108°；（3）如圖，過q作qeab，abcd，qecd，baqaqe，dcqcqe，aqcaqe+cqebaq+dcq，由（1）可得bap+dcp180°90°90°，又baq=13bap，dcq=13dcp，aqcbaq+dcq=13

22、bap+13dcp=13（bap+dcp）30°，aqh是aqk的外角，qaqk，k=12aqh，qm是cqh的平分線，mqh=12cqh，mqh是mqk的外角，mmqhk=12cqh-12aqh=12（cqhaqh）=12aqc=12×30°15°，即qmk的大小不變，是定值15°15（2019東湖區(qū)校級月考）（1）如圖1，已知：在abc中，abac10，bd平分abc，cd平分acb，過點d作efbc，分別交ab、ac于e、f兩點，則圖中共有5個等腰三角形；ef與be、cf之間的數(shù)量關(guān)系是be+cfef，aef的周長是20（2）如圖2，若將（1）中“abc中，abac10”改為“若abc為不等邊三角形，ab8，ac10”其余條件不變，則圖中共有2個等腰三角形；ef與be、cf之間的數(shù)量關(guān)系是什么？證明你的結(jié)論，并求出aef的周長（3）已知：如圖3，d在abc外，abac，且bd平分a