隨機(jī)過程考試真題

1、.1、設(shè)隨機(jī)過程X (t )R tC ， t(0,) ， C 為常數(shù)， R 服從 0,1 區(qū)間上的均勻分布。（ 1）求 X (t) 的一維概率密度和一維分布函數(shù)；（ 2）求 X (t) 的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。2、設(shè) W (t ),t是參數(shù)為2的維納過程， R N (1,4) 是正態(tài)分布隨機(jī)變量；且對任意的t， W (t ) 與 R 均獨(dú)立。令 X (t ) W (t )R ，求隨機(jī)過程X (t ),t的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。3、設(shè)到達(dá)某商場的顧客人數(shù)是一個泊松過程，平均每小時有180 人，即180 ；且每個顧客的消費(fèi)額是服從參數(shù)為s 的指數(shù)分布。 求一天內(nèi)（8 個小時）商

2、場營業(yè)額的數(shù)學(xué)期望與方差。4、設(shè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：0.30.70P00.20.80.700.3（1）求兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣P (2) 及當(dāng)初始分布為P X0 11,P X02P X030時，經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)2 的概率。（ 2）求馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布。5 設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間I1,2,3,4,5 ，轉(zhuǎn)移概率矩陣為：0.30.40.3000.60.4000P010000000.30.700010求狀態(tài)的分類、各常返閉集的平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的平均返回時間。6、設(shè)N (t ), t0 是參數(shù)為的泊松過程，計算E N (t )N (ts) 。7、考慮一個從底層啟動上升的電梯。以Ni 記在 i

3、第層進(jìn)入電梯的人數(shù)。假定N i 相互獨(dú)立，且 N i 是均值為i 的泊松變量。在第i 層進(jìn)入的各個人相互獨(dú)立地以概率pij 在第 j 層離開電梯，pij1 。令 O j 在第 j 層離開電梯的人數(shù)。ji;.（ 1）計算 E(O j )（ 2） Oj 的分布是什么（ 3） Oj 與 Ok 的聯(lián)合分布是什么8、一質(zhì)點(diǎn)在1，2，3 點(diǎn)上作隨機(jī)游動。若在時刻 t 質(zhì)點(diǎn)位于這三個點(diǎn)之一，則在 t ,th) 內(nèi)，它都以概率ho( h) 分別轉(zhuǎn)移到其它兩點(diǎn)之一。試求質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)游動的柯爾莫哥洛夫微分方程，轉(zhuǎn)移概率pi j (t) 及平穩(wěn)分布。1 有隨機(jī)過程 (t)， -< t< 和 (t)， -&l

4、t; t< ，設(shè)(t)= A sin(t+)，(t)= B sin(t+ ),其中 A，B， 為實常數(shù)，均勻分布于 0， 2 ，試求 R (s,t)2（ 15 分）隨機(jī)過程(t)= Acos( t+)，-< t <+，其中 A,是相互統(tǒng)計獨(dú)立的隨機(jī)變量，EA=2,DA=4,是在 -5, 5上均勻分布的隨機(jī)變量，是在 - ， 上均勻分布的隨機(jī)變量。試分析(t)的平穩(wěn)性和各態(tài)歷經(jīng)性。3 某商店顧客的到來服從強(qiáng)度為4 人每小時的Poisson 過程，已知商店9：00 開門，試求：（ 1）在開門半小時中，無顧客到來的概率；（ 2）若已知開門半小時中無顧客到來，那么在未來半小時中，仍無

5、顧客到來的概率。4 設(shè)某廠的商品的銷售狀態(tài)（按一個月計）可分為三個狀態(tài)：滯銷（用1 表示）、正常（用 2表示）、暢銷（用 3 表示）。若經(jīng)過對歷史資料的整理分析，其銷售狀態(tài)的變化（從這月到下月）與初始時刻無關(guān)，且其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為pij（ pij 表示從銷售狀態(tài)i 經(jīng)過一個月后轉(zhuǎn)為銷售狀態(tài) j 的概率），一步轉(zhuǎn)移開率矩陣為：11022511P993121636試對經(jīng)過長時間后的銷售狀況進(jìn)行分析。5 設(shè) X(t),t 0是獨(dú)立增量過程, 且 X(0)=0, 證明 X(t),t 0是一個馬爾科夫過程。6 設(shè)N(t),t0 是強(qiáng)度為的泊松過程，Yk ,k=1,2,是一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，且N(t)與

6、 N(t),t0 獨(dú)立，令 X(t)=Yk , t0 ，證明：若E(Y12 <) ，則 E X(t)tE Y1k=1;.7.設(shè)明天是否有雨僅與今天的天氣有關(guān)，而與過去的天氣無關(guān)。又設(shè)今天下雨而明天也下雨的概率為，而今天無雨明天有雨的概率為；規(guī)定有雨天氣為狀態(tài)0，無雨天氣為狀態(tài)1。設(shè)0.7,0.4 ，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。8 設(shè)t ,t是平穩(wěn)過程，令tt cos 0 t,t，其中0是常數(shù)，為均勻分布在0,2 上的隨機(jī)變量，且t ,t與相互獨(dú)立， R ( )和 S ()分別是t ,t的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度，試證：（1）t,t是平穩(wěn)過程，且相關(guān)函數(shù)：R1 Rcos02（2）t,t的功

7、率譜密度為：S1SS0049 已知隨機(jī)過程(t )的相關(guān)函數(shù)為：R2e，問該隨機(jī)過程(t )是否均方連續(xù)？是否均方可微？1、設(shè)隨機(jī)過程X (t)R tC ， t(0,) ， C 為常數(shù)，（ 1）求 X (t) 的一維概率密度和一維分布函數(shù)；（ 2）求 X (t) 的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)?！纠碚摶A(chǔ)】x（ 1） F ( x)f (t )dt ，則 f (t ) 為密度函數(shù)；（2） X (t) 為 ( a, b) 上的均勻分布，概率密度函數(shù)f ( x)R 服從 0,1 區(qū)間上的均勻分布。1, axbba，分布函數(shù)0, xa(b a)2F ( x)xa ,ax b ， E( x)a b ，

8、 D (x)；bab2121, x;.（3）參數(shù)為的指數(shù)分布，概率密度函數(shù)f (x)e x , x0 ，分布函數(shù)0, x01ex , x 0， E( x)11F ( x)0, x 0， D (x)2 ；2( x)212（4）E(x), D ( x)f ( x)e 2x，的正態(tài)分布， 概率密度函數(shù),21x(t)220,1時，其為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。分布函數(shù) F ( x)e 2dt,x，若2【解答】本題可參加課本習(xí)題2.1 及 2.2 題。（1）因 R 為 0, 1 上的均勻分布，C 為常數(shù)， 故 X (t) 亦為均勻分布。 由 R 的取值范圍可知，t 上的均勻分布， 因此其一維概率密度 f (x)1,

9、C x C t ，一維分布X (t) 為 C, Ct0, 其他0, xC函數(shù) F ( x)x C , CX C t ；tCt1, x（2）根據(jù)相關(guān)定義，均值函數(shù)mX (t )EX (t)tC ；1 stC (s2相關(guān)函數(shù) RX (s,t )E X (s) X (t)t) C 2 ；32st協(xié)方差函數(shù) BX (s,t )E X (s) mX (s) X (t)mX (t )（當(dāng) s t 時為方差函數(shù)）12【注】 D(X)E(X2)E 2 ( X ) ； BX (s,t )RX (s,t )mX ( s) mX (t )求概率密度的通解公式f t( )f(y) |y' () |f(y) /

10、 |x' (y) |xx2、設(shè) W (t ),t是參數(shù)為2是正態(tài)分布隨機(jī)變量；且的維納過程， R N (1,4)對任意的t， W (t ) 與 R 均 獨(dú) 立 。 令 X (t )W (t ) R ， 求 隨 機(jī) 過 程X (t ),t的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)?！窘獯稹看祟}解法同1 題。依題意， W (t) N (0,2 | t |) ， R N (1,4) ，因此 X (t )W (t )R 服從于正態(tài)分布。故：;.均值函數(shù) mX (t ) EX (t)1；相關(guān)函數(shù) RX (s,t )E X (s) X (t)5 ；協(xié)方差函數(shù) BX (s,t )EX (s)mX (s) X

11、(t )mX (t )4 （當(dāng) s t 時為方差函數(shù)）3、設(shè)到達(dá)某商場的顧客人數(shù)是一個泊松過程，平均每小時有180 人，即180 ；且每個顧客的消費(fèi)額是服從參數(shù)為s 的指數(shù)分布。 求一天內(nèi)（8 個小時）商場營業(yè)額的數(shù)學(xué)期望與方差。【解答】此題可參見課本習(xí)題3.10 題。由題意可知，每個顧客的消費(fèi)額Y 是服從參數(shù)為s 的指數(shù)分布，由指數(shù)分布的性質(zhì)可知：E(Y )112)2,D(Y)s2 ，故 E(Y2 ，則由復(fù)合泊松過程的性質(zhì)可得：一天內(nèi)商場營ss業(yè)額的數(shù)學(xué)期望 mX (8) 8 180E(Y) ；一天內(nèi)商場營業(yè)額的方差X2 (8)8180E(Y2)。4、設(shè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：0.30.

12、70P00.20.80.700.3（1）求兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣P (2) 及當(dāng)初始分布為PX011,PX02PX030時，經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)2 的概率。（ 2）求馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布?！窘獯稹靠蓞⒖冀滩睦?.3 題及 4.16 題（1）兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣0.30.700.30.700.090.350.56P( 2)PP00.20.800.20.80.560.040.40.700.30.700.30.420.490.09當(dāng)初始分布為 P X 011,P X0 2P X030 時，0.090.350.561000.560.040.40.090.350.560.420.490.09故經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)

13、2 的概率為 0.35。;.（2）因為馬爾可夫鏈?zhǔn)遣豢杉s的非周期有限狀態(tài)，所以平穩(wěn)分布存在。得如下方程組10.31020.720.710.2203010.820.31231333解上述方程組得平穩(wěn)分布為18 ,27 ,382323235、設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間 I1,2,3,4,5 ，轉(zhuǎn)移概率矩陣為：0.30.40.3000.60.4000P010000000.30.700010求狀態(tài)的分類、各常返閉集的平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的平均返回時間?！窘獯稹看祟}比較綜合，可參加例4.13 題和 4.16 題畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如下：42135（1）由上圖可知，狀態(tài)分類為G11,2,3; G2 4,5（ 2）由上圖

14、及常返閉集定義可知，常返閉集有兩個，下面分別求其平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的平均返回時間。A、對 G1 常返閉集而言，解方程組;.10.310.6220.410.4230.31021230101333解上述方程組得平穩(wěn)分布為37259371,2,3501590則各狀態(tài)的平均返回時間分別為t1115 , t2190 , t31501372259337B、對 G2 常返閉集而言，解方程組10.31120.710121解上述方程組得平穩(wěn)分布為221 10,2 71717則各狀態(tài)的平均返回時間分別為t1117 , t2117110276、設(shè)N (t ), t0 是參數(shù)為的泊松過程，計算E N (t )N (ts

15、) ?！窘獯稹縀 N (t) N (ts)E N (t) N (t s) N (t ) N (t )E N (t) N (t s) N (t )E N (t )2E N (t) E N (t s) N (t )E N (t )2t st( t )2t (1ts)7、考慮一個從底層啟動上升的電梯。以Ni 記在 i 第層進(jìn)入電梯的人數(shù)。假定N i 相互獨(dú)立，;.且 N i 是均值為i 的泊松變量。在第i 層進(jìn)入的各個人相互獨(dú)立地以概率pij 在第 j 層離開電梯，pij1 。令 O j 在第 j 層離開電梯的人數(shù)。j i（ 1）計算 E(O j )（ 2） Oj 的分布是什么（ 3） Oj 與 O

16、k 的聯(lián)合分布是什么【解答】此題與本書聯(lián)系不大，據(jù)有關(guān)方面信息，此次考試此題不考。以 Nij 記在第 i 層乘上電梯，在第j 層離去的人數(shù)，則Nij 是均值為i pij 的泊松變量 ,且全部Nij(i 0, ji ) 相互獨(dú)立。因此：(1)E O j E N ij i pijii(2)由泊松變量的性質(zhì)知，O jNij是均值為i pij的泊松變量iiikk i(3)因 Oi 與 Ok獨(dú)立 ，則 P(Oi Ok )P(Oi )P(Ok )eee 2 ， 為期望。i !k!i! k!8、一質(zhì)點(diǎn)在1，2，3 點(diǎn)上作隨機(jī)游動。若在時刻 t 質(zhì)點(diǎn)位于這三個點(diǎn)之一，則在 t ,th) 內(nèi)，它都以概率ho(

17、h) 分別轉(zhuǎn)移到其它兩點(diǎn)之一。試求質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)游動的柯爾莫哥洛夫微分方程，轉(zhuǎn)移概率pi j (t) 及平穩(wěn)分布?！窘獯稹繀⒁娊滩牧?xí)題5.2 題pij (t)(i j) 得， qij1(ij ) ，柯爾莫哥洛夫向前方程為依題意，由 limqijt 0tpij'2 pij (t)pi , j 1(t )pi, j 1(t) ，由于狀態(tài)空間 I1,2,3 ，故pij(t) pi , j1 (t)pi , j1 (t) 1，所以pij'2 pij (t)1pij (t )3 pij (t )1 ，解上述一階線性微分方程得：;.1tpij (t)ce 3由初始條件1，31, ijpij (0

18、)j0, i確定常數(shù) c ，得12epij (t)33113e31 t31 t3, ij, ij故其平穩(wěn)分布jlim pij (t )1 , j 1,2,3t31、有隨機(jī)過程 (t)，- < t< 和 (t)，- < t< ，設(shè) (t)= A sin( t+ )， (t)= B sin( t+ + ), 其中 A，B， ， 為實常數(shù)， 均勻分布于 0， 2 ，試求 R (s,t)1.解： f1,0220,其它21 dRs, tEstAsinsB sint0212ABcostscosts2d401ts,s, tAB cos22、隨機(jī)過程 (t)= Acos(t+)，-&l

19、t; t <+，其中 A,是相互統(tǒng)計獨(dú)立的隨機(jī)變量，EA=2,D A=4,是在 -5, 5上均勻分布的隨機(jī)變量，是在 -， 上均勻分布的隨機(jī)變量。試分析 (t)的平穩(wěn)性和各態(tài)歷經(jīng)性。2、解：mtEtE A costEA E cost152dcostd205def0m ,t;.R t ,tEt tE A costAcost2tcostE A E cos85dcostcostd20585dcoscos 2 t2d40585d4 sin 5def20cos5R5所以具有平穩(wěn)性。tlim1TtdtAsin T cos0 mA coslimT2TTTT故均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。lim 1TttAcos

20、tA costdtT 2T T2TAlimcostcostdtT 2T T2AcosRt2故相關(guān)函數(shù)不具有各態(tài)歷經(jīng)性。3、某商店顧客的到來服從強(qiáng)度為4 人每小時的Poisson 過程，已知商店9： 00 開門，試求：（ 1）在開門半小時中，無顧客到來的概率；（ 2）若已知開門半小時中無顧客到來，那么在未來半小時中，仍無顧客到來的概率。3、解：設(shè)顧客到來過程為N(t), t>=0，依題意 N(t) 是參數(shù)為的 Poisson 過程。（1）在開門半小時中，無顧客到來的概率為：10412e2eP N2（2）在開門半小時中無顧客到來可表示為N1，在未來半小時仍無顧客到來可表02示為 N1N10，

21、從而所求概率為：2;.P N(1) N10 | N1022PN (1)N10 | N1N0 022N (1)1411e 2PN0e224、設(shè)某廠的商品的銷售狀態(tài)（按一個月計）可分為三個狀態(tài)：滯銷（用1 表示）、正常（用2 表示）、暢銷（用3 表示）。若經(jīng)過對歷史資料的整理分析，其銷售狀態(tài)的變化（從這月到下月） 與初始時刻無關(guān)， 且其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為pij（ pij 表示從銷售狀態(tài)i 經(jīng)過一個月后轉(zhuǎn)為銷售狀態(tài) j 的概率），一步轉(zhuǎn)移開率矩陣為：110225P11399121636試對經(jīng)過長時間后的銷售狀況進(jìn)行分析。4、解答：由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣可知狀態(tài)互通，且pii>0 ，從而所有狀態(tài)都是遍歷狀態(tài)，于是極限分布就是平穩(wěn)分布。設(shè)平穩(wěn)分布為=1， 2， 3 ，求解方程組：= P,1+2+3=1即：1 11 22 311219259212得：16231631323 3318,9, 3612232323即極限分布為：8 ,9 ,6232323由計算結(jié)果可以看出：經(jīng)過相當(dāng)長時間后， 正常銷售狀態(tài)的可能性最大，而暢銷狀態(tài)的可能性最