備考2022數(shù)學專題11 一元二次方程及其應(yīng)用（解析版）

1、專題11 一元二次方程及其應(yīng)用1一元二次方程的定義：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程。2一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a0)。其中ax2 是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項。3一元二次方程的根：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。4一元二次方程的解法（1）直接開方法：適用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。（2）配方法：套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一

2、般步驟是：將已知方程化為一般形式； 化二次項系數(shù)為1； 常數(shù)項移到右邊；方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；變形為(x+p)2=q的形式，如果q0，方程的根是x=-p±q；如果q0,方程無實根（3）公式法：當b2-4ac0時，方程ax2+bx+c=0的實數(shù)根可寫為：的形式，這個式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。這種解一元二次方程的方法叫做公式法。其中：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式，通常用字母表示，即=b2-4ac。=b2-4ac0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。，=b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根。

3、=b2-4ac0時，方程無實數(shù)根。定義：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式，通常用字母表示，即=b2-4ac。（4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。5.解有關(guān)一元二次方程的實際問題的一般步驟第1步：審題。認真讀題，分析題中各個量之間的關(guān)系；第2步：設(shè)未知數(shù)。根據(jù)題意及各個量的關(guān)系設(shè)未知數(shù)；第3步：列方程。根據(jù)題中各個量的關(guān)系列出方程；第4步：解方程。根據(jù)方程的類型采用相應(yīng)的解法；第5步：檢驗。檢驗所求得的根是否滿足題意。第6步：答?！纠}1】（2020臨沂）

4、一元二次方程x24x80的解是（）ax12+2，x222bx12+2，x222cx12+2，x222dx123，x22【答案】b【分析】方程利用配方法求出解即可【解析】一元二次方程x24x80，移項得：x24x8，配方得：x24x+412，即（x2）212，開方得：x2±2，解得：x12+2，x222【對點練習】（2019浙江金華）用配方法解方程x2-6x-8=0時，配方結(jié)果正確的是（    ）a. (x-3)2=17     b. (x-3)2=14   

5、60; c. （x-6)2=44     d. (x-3）2=1【答案】a【解析】配方法解一元二次方程x2-6x-8=0，x2-6x+9=8+9，（x-3）2=17.【點撥】本題體現(xiàn)直接配方法解一元二次方程。【對點練習】（2019年山東省威海市）一元二次方程3x242x的解是【答案】x1，x2【解析】直接利用公式法解方程得出答案3x242x3x2+2x40，則b24ac44×3×（4）520，故x，解得：x1，x2【點撥】本題體現(xiàn)求根公式法解一元二次方程。【例題2】（2020菏澤）等腰三角形的一邊長是3，

6、另兩邊的長是關(guān)于x的方程x24x+k0的兩個根，則k的值為（）a3b4c3或4d7【答案】c【分析】當3為腰長時，將x3代入原一元二次方程可求出k的值；當3為底邊長時，利用等腰三角形的性質(zhì)可得出根的判別式0，解之可得出k值，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出兩腰之和，將其與3比較后可得知該結(jié)論符合題意【解析】當3為腰長時，將x3代入x24x+k0，得：324×3+k0，解得：k3；當3為底邊長時，關(guān)于x的方程x24x+k0有兩個相等的實數(shù)根，（4）24×1×k0，解得：k4，此時兩腰之和為4，43，符合題意k的值為3或4【對點練習】(2019內(nèi)蒙古包頭市)已知等腰三角形的三

7、邊長分別為a，b，4，且a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的兩根，則m的值是（ ）a. 34b.30c.30或34d.30或36【答案】a.【解析】分兩種情況討論： 若4為等腰三角形底邊長，則a，b是兩腰，方程x2-12x+m+2=0有兩個相等實根，=(-12)2-4×1×(m+2)=136-4m=0,m=34.此時方程為x2-12x+36=0，解得x1=x2=6.三邊為6，6，4，滿足三邊關(guān)系，符合題意. 若4為等腰三角形腰長，則a，b中有一條邊也為4，方程x2-12x+m+2=0有一根為4.42-12×4+m+2=0，解得，m=30.此時方程

8、為x2-12x+32=0，解得x1=4，x2=8.三邊為4，4，8，不滿足三邊關(guān)系，故舍去.綜上，m的值為34.【例題3】（2020貴州黔西南）已知關(guān)于x的一元二次方程(m1)x22x10有實數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）a. m2b. m2c. m2且m1d. m2且m1【答案】d【解析】根據(jù)二次項系數(shù)非零及根的判別式0，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍解：因為關(guān)于x的一元二次方程x22xm0有實數(shù)根，所以b24ac224(m1)×10，解得m2又因為(m1)x22x10是一元二次方程，所以m10綜合知，m的取值范圍是m2且m1，因此本題選d【點撥】本題考查

9、了根的判別式以及一元二次方程的定義，根據(jù)二次項系數(shù)非零及根的判別式0，找出關(guān)于m的一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵【對點練習】（2019湖北咸寧）若關(guān)于x的一元二次方程x22x+m0有實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（）am1bm1cm1dm1【答案】【解析】關(guān)于x的一元二次方程x22x+m0有實數(shù)根，（2）24m0，解得：m1【例題4】（2020衡陽）如圖，學校課外生物小組的試驗園地的形狀是長35米、寬20米的矩形為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設(shè)小道的寬為x米，則根據(jù)題意，列方程為（）a35×2035x20x+2x2600

10、b35×2035x2×20x600c（352x）（20x）600d（35x）（202x）600【答案】c【分析】若設(shè)小道的寬為x米，則陰影部分可合成長為（352x）米，寬為（20x）米的矩形，利用矩形的面積公式，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解【解析】依題意，得：（352x）（20x）600【對點練習】（2019哈爾濱）某商品經(jīng)過連續(xù)兩次降價，售價由原來的每件25元降到每件16元，則平均每次降價的百分率為（）a20% b40% c18% d36%【答案】a【解析】本題考查了一元二次方程實際應(yīng)用問題關(guān)于增長率的類型問題，按照公式a（1x）2b對照參數(shù)位置代入值即可，公式

11、的記憶與運用是本題的解題關(guān)鍵設(shè)降價的百分率為x根據(jù)題意可列方程為25（1x）216解方程得，（舍）每次降價得百分率為20%【點撥】本題體現(xiàn)直接開方法解一元二次方程。一、選擇題1（2020涼山州）一元二次方程x22x的根為（）ax0bx2cx0或x2dx0或x2【答案】c【分析】移項后利用因式分解法求解可得【解析】x22x，x22x0，則x（x2）0，x0或x20，解得x10，x22，2（2020懷化）已知一元二次方程x2kx+40有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為（）ak4bk4ck±4dk±2【答案】c【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式0，即可得出關(guān)于k的方程，解之即可得出

12、k值【解析】一元二次方程x2kx+40有兩個相等的實數(shù)根，（k）24×1×40，解得：k±43（2020黑龍江）已知關(guān)于x的一元二次方程x2（2k+1）x+k2+2k0有兩個實數(shù)根x1，x2，則實數(shù)k的取值范圍是（）ak1/4bk1/4ck4dk1/4且k0【答案】b【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍【解析】關(guān)于x的一元二次方程x2（2k+1）x+k2+2k0有兩個實數(shù)根x1，x2，（2k+1）24×1×（k2+2k）0，解得：k1/44（2020泰安）將一元二次方程x28x50化成

13、（x+a）2b（a，b為常數(shù)）的形式，則a，b的值分別是（）a4，21b4，11c4，21d8，69【答案】a【分析】將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可得出答案【解析】x28x50，x28x5，則x28x+165+16，即（x4）221，a4，b21，5（2020黑龍江）已知2+是關(guān)于x的一元二次方程x24x+m0的一個實數(shù)根，則實數(shù)m的值是（）a0b1c3d1【答案】b【分析】把x2+代入方程就得到一個關(guān)于m的方程，就可以求出m的值【解析】根據(jù)題意，得（2+）24×（2+）+m0，解得m16（2020濱州）對于任意實數(shù)k，關(guān)于x的方程x2/2

14、-（k+5）x+k2+2k+250的根的情況為（）a有兩個相等的實數(shù)根b沒有實數(shù)根c有兩個不相等的實數(shù)根d無法判定【答案】b【分析】先根據(jù)根的判別式求出“”的值，再根據(jù)根的判別式的內(nèi)容判斷即可【解析】x2/2-（k+5）x+k2+2k+250，（k+5）24（k2+2k+25）/2k2+6k25（k3）216，不論k為何值，（k3）20，即（k3）2160，所以方程沒有實數(shù)根.7. （2019湖南衡陽）國家實施”精準扶貧“政策以來，很多貧困人口走向了致富的道路某地區(qū)2016年底有貧困人口9萬人，通過社會各界的努力，2018年底貧困人口減少至1萬人設(shè)2016年底至2018年底該地區(qū)貧困人口的年平

15、均下降率為x，根據(jù)題意列方程得（）a9（12x）1b9（1x）21c9（1+2x）1d9（1+x）21【答案】b【解析】等量關(guān)系為：2016年貧困人口×（1下降率）22018年貧困人口，把相關(guān)數(shù)值代入計算即可設(shè)這兩年全省貧困人口的年平均下降率為x，根據(jù)題意得：二、填空題8（2020遼陽）若關(guān)于x的一元二次方程x2+2xk0無實數(shù)根，則k的取值范圍是 【答案】k1【分析】根據(jù)根的判別式即可求出答案【解析】由題意可知：4+4k0，k19（2020煙臺）關(guān)于x的一元二次方程（m1）x2+2x10有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是 【答案】m0且m1【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式

16、的意義得到m10且224（m1）×（1）0，然后求出兩個不等式的公共部分即可【解析】根據(jù)題意得m10且224（m1）×（1）0，解得m0且m110（2020揚州）方程（x+1）29的根是 【答案】x12，x24【分析】根據(jù)直接開平方法的步驟先把方程兩邊分別開方，再進行計算即可【解析】（x+1）29，x+1±3，x12，x2411（2020上海）如果關(guān)于x的方程x24x+m0有兩個相等的實數(shù)根，那么m的值是 【答案】4【分析】一元二次方程有兩個相等的實根，即根的判別式b24ac0，即可求m值【解析】依題意，方程x24x+m0有兩個相等的實數(shù)根，b24ac（4）24m

17、0，解得m4，12（2020天水）一個三角形的兩邊長分別為2和5，第三邊長是方程x28x+120的根，則該三角形的周長為【答案】13【分析】先利用因式分解法解方程x28x+120，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出第三邊的長，則該三角形的周長可求【解析】x28x+120，（x2）（x6）0，x12，x26，三角形的兩邊長分別為2和5，第三邊長是方程x28x+120的根，2+25，2+56，三角形的第三邊長是6，該三角形的周長為：2+5+61313.（2019年江蘇省揚州市）一元二次方程x（x2）x2的根是【答案】1或2【解析】移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可x（x2）x2，

18、x（x2）（x2）0，（x2）（x1）0，x20，x10，x12，x2114.（2019湖北十堰）對于實數(shù)a，b，定義運算“”如下：ab（a+b）2（ab）2若（m+2）（m3）24，則m【答案】3或4【解析】根據(jù)題意得（m+2）+（m3）2（m+2）（m3）224，（2m1）2490，（2m1+7）（2m17）0，2m1+70或2m170，所以m13，m2415. （2019吉林長春）一元二次方程x2-3x+1=0根的判別式的值為_.【答案】5【解析】a=1，b=-3，c=1，=b2-4ac=(-3)2-4×1×1=516.（2019年甘肅省天水市）中國“一帶一路”給沿線

19、國家和地區(qū)帶來很大的經(jīng)濟效益，沿線某地區(qū)居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入達到39200元則該地區(qū)居民年人均收入平均增長率為（用百分數(shù)表示）【答案】40%【解析】根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程，從而可以求得該地區(qū)居民年人均收入平均增長率，本題得以解決設(shè)該地區(qū)居民年人均收入平均增長率為x，20000（1+x）239200，解得，x10.4，x22.4（舍去），該地區(qū)居民年人均收入平均增長率為40%17.（2019年江蘇省連云港市）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+2c0有兩個相等的實數(shù)根，則+c的值等于【答案】2 【解析】根據(jù)“關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+2c0有

20、兩個相等的實數(shù)根”，結(jié)合根的判別式公式，得到關(guān)于a和c的等式，整理后即可得到的答案根據(jù)題意得：44a（2c）0，整理得：4ac8a4，4a（c2）4，方程ax2+2x+2c0是一元二次方程，a0，等式兩邊同時除以4a得：c2，則+c2三、解答題18（2020河北）有一電腦程序：每按一次按鍵，屏幕的a區(qū)就會自動加上a2，同時b區(qū)就會自動減去3a，且均顯示化簡后的結(jié)果已知a，b兩區(qū)初始顯示的分別是25和16，如圖如，第一次按鍵后，a，b兩區(qū)分別顯示：（1）從初始狀態(tài)按2次后，分別求a，b兩區(qū)顯示的結(jié)果；（2）從初始狀態(tài)按4次后，計算a，b兩區(qū)代數(shù)式的和，請判斷這個和能為負數(shù)嗎？說明理由【答案】見解

21、析?！痉治觥浚?）根據(jù)題意列出代數(shù)式即可；（2）根據(jù)題意得到25+4a2+（1612a），根據(jù)整式加減的法則計算，然后配方，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論【解析】（1）a區(qū)顯示的結(jié)果為：25+2a2，b區(qū)顯示的結(jié)果為：166a；（2）這個和不能為負數(shù)，理由：根據(jù)題意得，25+4a2+（1612a）25+4a21612a4a212a+9；（2a3）20，這個和不能為負數(shù)19（2020孝感）已知關(guān)于x的一元二次方程x2（2k+1）x+12k220（1）求證：無論k為何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程的兩個實數(shù)根x1，x2滿足x1x23，求k的值【答案】見解析?！痉治觥浚?）根據(jù)根的判別

22、式得出（2k+1）24×1×（12k22）2（k+1）2+70，據(jù)此可得答案；（2）先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x22k+1，x1x2=12k22，由x1x23知（x1x2）29，即（x1+x2）24x1x29，從而列出關(guān)于k的方程，解之可得答案【解析】（1）（2k+1）24×1×（12k22）4k2+4k+12k2+82k2+4k+92（k+1）2+70，無論k為何實數(shù)，2（k+1）20，2（k+1）2+70，無論k為何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x22k+1，x1x2=12k22，x1x23，（x1x2）29，

23、（x1+x2）24x1x29，（2k+1）24×（12k22）9，化簡得k2+2k0，解得k0或k220（2020重慶）為響應(yīng)“把中國人的飯碗牢牢端在自己手中”的號召，確保糧食安全，優(yōu)選品種，提高產(chǎn)量，某農(nóng)業(yè)科技小組對a，b兩個玉米品種進行實驗種植對比研究去年a、b兩個品種各種植了10畝收獲后a、b兩個品種的售價均為2.4元/kg，且b品種的平均畝產(chǎn)量比a品種高100千克，a、b兩個品種全部售出后總收入為21600元（1）求a、b兩個品種去年平均畝產(chǎn)量分別是多少千克？（2）今年，科技小組優(yōu)化了玉米的種植方法，在保持去年種植面積不變的情況下，預(yù)計a、b兩個品種平均畝產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上

24、分別增加a%和2a%由于b品種深受市場歡迎，預(yù)計每千克售價將在去年的基礎(chǔ)上上漲a%，而a品種的售價保持不變，a、b兩個品種全部售出后總收入將增加209a%求a的值【答案】見解析?！痉治觥浚?）設(shè)a、b兩個品種去年平均畝產(chǎn)量分別是x千克和y千克；根據(jù)題意列方程組即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論【解析】（1）設(shè)a、b兩個品種去年平均畝產(chǎn)量分別是x千克和y千克；根據(jù)題意得，y-x=10010×2.4(x+y)=21600，解得：x=400y=500，答：a、b兩個品種去年平均畝產(chǎn)量分別是400千克和500千克；（2）2.4×400×10（1+a%）+2.4（1+a%）×500×10（1+2a%）21600（1+209a%），解得：a10，答：a