備考2022數(shù)學(xué)專題16二次函數(shù)的存在性問題（解析版）

1、決勝2020中考數(shù)學(xué)壓軸題全揭秘精品專題16二次函數(shù)的存在性問題【典例分析】【考點(diǎn)1】二次函數(shù)與相似三角形問題【例1】已知拋物線與x軸分別交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)c（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)d的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)f是線段ad上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)如圖1，設(shè)，當(dāng)k為何值時(shí)，.如圖2，以a，f，o為頂點(diǎn)的三角形是否與相似？若相似，求出點(diǎn)f的坐標(biāo)；若不相似，請(qǐng)說明理由【答案】（1），d的坐標(biāo)為；（2）；以a，f，o為頂點(diǎn)的三角形與相似，f點(diǎn)的坐標(biāo)為或【解析】(1)將a、b兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法即求出拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，可求得頂點(diǎn)；(2)由a、c、d三點(diǎn)的坐標(biāo)求出，可得為直角三角形，若，則點(diǎn)

2、f為ad的中點(diǎn)，可求出k的值；由條件可判斷，則，若以a，f，o為頂點(diǎn)的三角形與相似，可分兩種情況考慮：當(dāng)或時(shí)，可分別求出點(diǎn)f的坐標(biāo)【詳解】(1)拋物線過點(diǎn)，解得：，拋物線解析式為；，頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為；(2)在中，為直角三角形，且，f為ad的中點(diǎn)，；在中，在中，若以a，f，o為頂點(diǎn)的三角形與相似，則可分兩種情況考慮：當(dāng)時(shí)，設(shè)直線bc的解析式為，解得：，直線bc的解析式為，直線of的解析式為，設(shè)直線ad的解析式為，解得：，直線ad的解析式為，解得：，當(dāng)時(shí)，直線of的解析式為，解得：，綜合以上可得f點(diǎn)的坐標(biāo)為或【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定與性

3、質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題【變式1-1】如圖，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，拋物線與直線交于，兩點(diǎn)（1）求拋物線的解析式；（2）坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)，使得是以為底邊的等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由（3）點(diǎn)在軸上且位于點(diǎn)的左側(cè)，若以，為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】（1）；（2）存在，或，理由見解析；（3）或【解析】（1）將a、c的坐標(biāo)代入求出a、c即可得到解析式；（2）先求出e點(diǎn)坐標(biāo)，然后作ae的垂直平分線，與x軸交于q，與y軸交于q'，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知q、與a、

4、e，q'與a、e組成的三角形是以ae為底邊的等腰三角形，設(shè)q點(diǎn)坐標(biāo)(0,x)，q'坐標(biāo)(0,y)，根據(jù)距離公式建立方程求解即可；（3）根據(jù)a、e坐標(biāo)，求出ae長(zhǎng)度，然后推出bae=abc=45°，設(shè)，由相似得到或，建立方程求解即可【詳解】（1）將，代入得：，解得拋物線解析式為（2）存在，理由如下：聯(lián)立和，解得或e點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-5)，如圖，作ae的垂直平分線，與x軸交于q，與y軸交于q'，此時(shí)q點(diǎn)與q'點(diǎn)的坐標(biāo)即為所求，設(shè)q點(diǎn)坐標(biāo)(0,x)，q'坐標(biāo)(0,y)，由qa=qe，q'a= q'e得：，解得，故q點(diǎn)坐標(biāo)為或（3），當(dāng)時(shí)

5、，解得或3b點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，由直線可得ae與y軸的交點(diǎn)為(0,-1)，而a點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0)bae=45°設(shè)則，和相似 或，即或解得或，或【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合問題，是中考常見的壓軸題型，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)，以及相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【變式1-2】如圖，已知拋物線(m0)與x軸相交于點(diǎn)a，b，與y軸相交于點(diǎn)c，且點(diǎn)a在點(diǎn)b的左側(cè).（1）若拋物線過點(diǎn)（2，2），求拋物線的解析式；（2）在（1）的條件下，拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)h，使ah+ch的值最小，若存在，求出點(diǎn)h的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）在第四象限內(nèi)，拋物線上是否存在

6、點(diǎn)m，使得以點(diǎn)a，b，m為頂點(diǎn)的三角形與acb相似？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）點(diǎn)h的坐標(biāo)為（1，）；（3）當(dāng)m=時(shí)，在第四象限內(nèi)拋物線上存在點(diǎn)m，使得以點(diǎn)a，b，m為頂點(diǎn)的三角形與acb相似. 【解析】分析：（1）把點(diǎn)（2，2）代入中，解出m的值即可得到拋物線的解析式；（2）由（1）中所得解析式求出點(diǎn)a、b、c的坐標(biāo)，由題意可知，點(diǎn)a、b關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，這樣連接bc與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)h，根據(jù)b、c的坐標(biāo)求出直線bc的解析式即可求得點(diǎn)h的坐標(biāo)；（3）由解析式可得點(diǎn)a、b、c的坐標(biāo)分別為（-2，0）、（m，0）和（0，2），如下圖，由圖可知ac

7、b和abm是鈍角，因此存在兩種可能性：當(dāng)acbabm，acbmba，分這兩種情況結(jié)合題中已知條件進(jìn)行分析解答即可.詳解：（1）把點(diǎn)（2，2）代入拋物線，得2=. 解得m=4. 拋物線的解析式為. （2）令，解得.則a（-2，0），b（4，0）. 對(duì)稱軸x=-. 中當(dāng)x=0時(shí)，y=2，點(diǎn)c的坐標(biāo)為（0，2）.點(diǎn)a和點(diǎn)b關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，連接bc與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)h，此時(shí)ah+ch的值最小，設(shè)直線bc的解析式為y=kx+b，把b（4，0），c（0，2）代入得： ，解得： ，直線bc的解析式為y=. 當(dāng)x=1時(shí)，y=.點(diǎn)h的坐標(biāo)為（1，）. （3）假設(shè)存在點(diǎn)m，使得以點(diǎn)a，b，m為頂點(diǎn)的三角

8、形與acb相似.如下圖，連接ac，bc，am，bm，過點(diǎn)m作mnx軸于點(diǎn)n，由圖易知，acb和abm為鈍角，當(dāng)acbabm時(shí)，有=，即.a（-2，0），c（0，2），即oa=oc=2，cab=bam=.mnx軸，bam=amn=45°，an=mn. 可設(shè)m的坐標(biāo)為：（x，-x-2）（x0），把點(diǎn)m的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，得：-x-2=.化簡(jiǎn)整理得：x=2m，點(diǎn)m的坐標(biāo)為：（2m，-2m-2）.am=.，ac=，ab=m+2，.解得：m=.m0，m=. 當(dāng)acbmba時(shí)，有=，即.cba=bam，anm=boc=，anmboc，=.bo=m，設(shè)on=x，=，即mn=（x+2）.令m（

9、x，）（x0），把m點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，得=.解得x=m+2.即m（m+2，）.，cb=，mn=，.化簡(jiǎn)整理，得16=0，顯然不成立. 綜上所述，當(dāng)m=時(shí)，在第四象限內(nèi)拋物線上存在點(diǎn)m，使得以點(diǎn)a，b，m為頂點(diǎn)的三角形與acb相似. 點(diǎn)睛：本題是一道二次函數(shù)和幾何圖形綜合的題目，解題的要點(diǎn)有以下兩點(diǎn)：（1）“知道點(diǎn)a、b是關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱的，連接bc與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)h”是解答第2小題的關(guān)鍵；（2）“能根據(jù)題意畫出符合要求的圖形，知道acb和abm為鈍角，結(jié)合題意得到存在：當(dāng)acbabm，acbmba這兩種可能情況”是解答第3小題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)2】二次函數(shù)與直角三角形問題

10、【例2】如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于、兩點(diǎn)求拋物線的解析式；設(shè)拋物線對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)，連接、，求的面積；點(diǎn)為直線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)，問是否存在點(diǎn)使為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】(1) ;(2)2;(3)見解析.【解析】（1）可設(shè)拋物線解析式為頂點(diǎn)式，把c點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式；（2）由拋物線解析式可求得a、b坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線bc解析式，利用對(duì)稱軸可求得d點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得ad2、ac2和cd2，利用勾股定理的逆定理可判定acd為直角三角形，則可求得其面積；（3）根據(jù)題意可分dfe=90°

11、和edf=90°兩種情況，當(dāng)dfe=90°時(shí)，可知dfx軸，則可求得e點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得e點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)edf=90°時(shí)，可求得直線ad解析式，聯(lián)立直線ac和拋物線解析式可求得點(diǎn)e的橫坐標(biāo)，代入直線bc可求得點(diǎn)e的坐標(biāo)【詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，可設(shè)拋物線解析式為，把代入可得，解得，拋物線解析式為；在中，令可得，解得或，設(shè)直線解析式為，把代入得：，解得，直線解析式為，由可知拋物線的對(duì)稱軸為，此時(shí)，是以為斜邊的直角三角形，；由題意知軸，則，為直角三角形，分和兩種情況，當(dāng)時(shí)，即軸，則、的縱坐標(biāo)相同，點(diǎn)縱坐標(biāo)為，點(diǎn)在拋物線上，解得，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)在直線

12、上，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為或；當(dāng)時(shí)，直線解析式為，直線解析式為，直線與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)，聯(lián)立直線與拋物線解析式有，解得或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為或，綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)，其坐標(biāo)為或或或【點(diǎn)睛】考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)，列出方程組，可以求出函數(shù)解析式.【變式2-1】如圖，經(jīng)過軸上兩點(diǎn)的拋物線（）交軸于點(diǎn)，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，若以為直徑的g經(jīng)過點(diǎn)，求解下列問題：（1）用含的代數(shù)式表示出的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）能否在拋物線上找到一點(diǎn)，使為直角三角形？如能，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)說明理由?！敬鸢浮浚?）點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2） 拋物線的解析式為；（3）滿足

13、題意的點(diǎn)有三個(gè)：、和 【解析】【試題分析】（1）是頂點(diǎn)式，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,當(dāng)x=0,則y=-3m,即點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）連接cd 、 bc，過點(diǎn)作軸于，如圖所示:根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得 ,出現(xiàn)“一線三等角模型”，得 得： ，解得，則拋物線的解析式為.（3）分三種情況分類討論： （圖）顯然與點(diǎn)重合，點(diǎn)坐標(biāo)為 ；=（圖）作軸于，軸于，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似，得，則，由于點(diǎn)坐標(biāo)，則，解得：由得坐標(biāo)： ；=（圖）延長(zhǎng)交軸于，作軸于，軸于,同理可證：，則，即,得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)所在的直線解析式為y=kx+b,用待定系數(shù)法，把m和d（1,4）代入得： 解得：則直線dm的解析式為 ,把代入得：

14、，解得，最后把代入 得,點(diǎn)的坐標(biāo)為綜上述，點(diǎn)有三個(gè)：、和 【試題解析】（1）y是頂點(diǎn)式點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)x=0時(shí)，y= -3m點(diǎn)的坐標(biāo)為（2） 連接cd 、 bc，過點(diǎn)作軸于，如圖所示：bd是g的直徑dcb=ecd+bco=ecd+edc=bco=edcdec=boc= 拋物線的解析式為（3）能在拋物線上找到一點(diǎn)q，使bdq為直角三角形很明顯，點(diǎn)即在拋物線上，又在g上，這時(shí)與點(diǎn)重合點(diǎn)坐標(biāo)為 如圖，若為，作軸于，軸于同理可證：點(diǎn)坐標(biāo)化簡(jiǎn)得：,解得：（不合題意，舍去），由得坐標(biāo)： 若為,如圖，延長(zhǎng)交軸于，作軸于，軸于,同理可證：則,得，點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)所在的直線解析式為y=kx+b,把m和d（1,4）代入得

15、： 解得：直線dm的解析式為 ,把代入得：解為：（不合題意，舍去），把代入 得,點(diǎn)的坐標(biāo)為 綜合上述，滿足題意的點(diǎn)有三個(gè)：、和 【方法點(diǎn)睛】本題目是一道二次函數(shù)的綜合題，涉及到頂點(diǎn)坐標(biāo)，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，一線三等角證相似，并且多次運(yùn)用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，直角三角形的確定（3種情況分類討論），難度較大.【變式2-2】已知拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，如圖，設(shè)它的頂點(diǎn)為b（1）求的值；（2）過a作x軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)c，求證：abc是等腰直角三角形；（3）將此拋物線向下平移4個(gè)單位后，得到拋物線，且與x軸的左半軸交于e點(diǎn)，與y軸交于f點(diǎn)，如圖請(qǐng)?jiān)趻佄锞€上求點(diǎn)p，使得是以ef為直角

16、邊的直角三角形？【答案】（1）m = 2；（2）證明見解析；（3）滿足條件的p點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）或（，）【解析】試題分析：（1）根據(jù)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)可知的值為0，由此得到一個(gè)關(guān)于m的一元一次方程，解此方程可得m的值；（2）根據(jù)拋物線的解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)a點(diǎn)在y軸上求出a點(diǎn)坐標(biāo)，再求c點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)得出abc為等腰直角三角形；（3）根據(jù)拋物線解析式求出e、f的坐標(biāo)，然后分別討論以e為直角頂點(diǎn)和以f為直角頂點(diǎn)p的坐標(biāo)試題解析：（1）拋物線y=x2-2x+m-1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，=（-2）2-4×1×（m-1）=0，解得，m=2；（2）由（1）知拋物線的解

17、析式為y=x2-2x+1=（x-1）2，易得頂點(diǎn)b（1，0），當(dāng)x=0時(shí)，y=1，得a（0，1）由1=x2-2x+1，解得，x=0（舍）或x=2，所以c點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，1）過c作x軸的垂線，垂足為d，則cd=1，bd=xd-xb=1在rtcdb中，cbd=45°，bc=同理，在rtaob中，ao=ob=1，于是abo=45°，ab=abc=180°-cbd-abo=90°，ab=bc，因此abc是等腰直角三角形；（3）由題知，拋物線c的解析式為y=x2-2x-3，當(dāng)x=0時(shí)，y=-3；當(dāng)y=0時(shí)，x=-1或x=3，e（-1，0），f（0，-3），即oe=

18、1，of=3第一種情況：若以e點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，設(shè)此時(shí)滿足條件的點(diǎn)為p1（x1，y1），作p1mx軸于mp1em+oef=efo+oef=90°，p1em=efo，得rtefortp1em，則，即em=3p1mem=x1+1，p1m=y1，x1+1=3y1由于p1（x1，y1）在拋物線c上，則有3（x12-2x1-3）=x1+1，整理得，3x12-7x1-10=0，解得，x1，或x2=-1（舍去）把x1代入中可解得，y1=p1（，）第二種情況：若以f點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，設(shè)此時(shí)滿足條件的點(diǎn)為p2（x2，y2），作p2ny軸于n同第一種情況，易知rtefortfp2n，得，即p2n=3fnp2n=

19、x2，fn=3+y2，x2=3（3+y2）由于p2（x2，y2）在拋物線c上，則有x2=3（3+x22-2x2-3），整理得3x22-7x2=0，解得x2=0（舍）或x2把x2代入中可解得，y2p2（，）綜上所述，滿足條件的p點(diǎn)的坐標(biāo)為：（，）或（，）.【考點(diǎn)3】二次函數(shù)與等腰三角形問題【例3】如圖，已知：二次函數(shù)yx2+bx+c的圖象與x軸交于a，b兩點(diǎn)，其中a點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)c，點(diǎn)d（2，3）在拋物線上（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)p，求出pa+pd的最小值；（3）若拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)m，使abm的面積等于abc的面積，求m點(diǎn)坐標(biāo)（4）拋物線的對(duì)稱軸上

20、是否存在動(dòng)點(diǎn)q，使得bcq為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由【答案】（1）yx2+2x3；（2）；（3）點(diǎn)m的坐標(biāo)為（1，3），（1+，3），（2，3）；（4）存在；點(diǎn)q的坐標(biāo)為（1，），（1，），（1，0），（1，6），（1，1）【解析】（1）由點(diǎn)a，d的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式；（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)b的坐標(biāo)，連接bd，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)p，由拋物線的對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可得出此時(shí)pa+pd取最小值，最小值為線段bd的長(zhǎng)度，再由點(diǎn)b，d的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出pa+pd的最小值；（3）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特

21、征可求出點(diǎn)c的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)m的坐標(biāo)為（x，x2+2x-3），由abm的面積等于abc的面積可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可求出點(diǎn)m的坐標(biāo)；（4）設(shè)點(diǎn)q的坐標(biāo)為（-1，m），結(jié)合點(diǎn)b，c的坐標(biāo)可得出cq2，bq2，bc2，分bq=bc，cq=cb及qb=qc三種情況，找出關(guān)于m的一元二次（或一元一次）方程，解之即可得出點(diǎn)q的坐標(biāo)【詳解】解：（1）將a（3，0），d（2，3）代入yx2+bx+c，得：，解得：，拋物線的表達(dá)式為yx2+2x3（2）當(dāng)y0時(shí)，x2+2x30，解得：x13，x21，點(diǎn)b的坐標(biāo)為（1，0）連接bd，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)p，如圖1所示papb，此時(shí)pa+pd取最小值，最小

22、值為線段bd的長(zhǎng)度點(diǎn)b的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)d的坐標(biāo)為（2，3），bd3，pa+pd的最小值為3（3）當(dāng)x0時(shí)，yx2+2x33，點(diǎn)c的坐標(biāo)為（0，3）設(shè)點(diǎn)m的坐標(biāo)為（x，x2+2x3）sabmsabc，|x2+2x3|3，即x2+2x60或x2+2x0，解得：x11，x21+，x32，x40（舍去），點(diǎn)m的坐標(biāo)為（1，3），（1+，3），（2，3）（4）設(shè)點(diǎn)q的坐標(biāo)為（1，m）點(diǎn)b的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)c的坐標(biāo)為（0，3），cq2（10）2+m（3）2m2+6m+10，bq2（11）2+（m0）2m2+4，bc2（01）2+（30）210分三種情況考慮（如圖2所示）：當(dāng)bqbc時(shí)，m2+41

23、0，解得：m1，m2，點(diǎn)q1的坐標(biāo)為（1，），點(diǎn)q2的坐標(biāo)為（1，）；當(dāng)cqcb時(shí)，m2+6m+1010，解得：m30，m46，點(diǎn)q3的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)q4的坐標(biāo)為（1，6）；當(dāng)qbqc時(shí)，m2+4m2+6m+10，解得：m51，點(diǎn)q5的坐標(biāo)為（1，1）綜上所述：拋物線的對(duì)稱軸上存在動(dòng)點(diǎn)q，使得bcq為等腰三角形，點(diǎn)q的坐標(biāo)為（1，），（1，），（1，0），（1，6），（1，1）【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式、三角形的面積、等腰三角形的性質(zhì)以及解一元二次（或一元一次）方程，解題的關(guān)鍵是：（1）由點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系

24、數(shù)法求出二次函數(shù)表達(dá)式；（2）利用兩點(diǎn)之間線段最短，找出點(diǎn)p的位置；（3）利用兩三角形面積相等，找出關(guān)于x的一元二次方程；（4）分bq=bc，cq=cb及qb=qc三種情況，找出關(guān)于m的方程【變式3-1】如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)a（1，0）和b（3，0）（1）求拋物線的解析式；（2）若拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)e，點(diǎn)f是位于x軸上方對(duì)稱軸上一點(diǎn)，fcx軸，與對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線交于點(diǎn)c，且四邊形oecf是平行四邊形，求點(diǎn)c的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)p，使ocp是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)p的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】（1）；（2）c（4，3）；（3）p

25、（）或（）或（）或（）【解析】試題分析：（1）把點(diǎn)a、b的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，解方程組求出a、b的值，即可得解；（2）根據(jù)拋物線解析式求出對(duì)稱軸，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分求出點(diǎn)c的橫坐標(biāo)，然后代入函數(shù)解析式計(jì)算求出縱坐標(biāo)，即可得解；（3）設(shè)ac、ef的交點(diǎn)為d，根據(jù)點(diǎn)c的坐標(biāo)寫出點(diǎn)d的坐標(biāo)，然后分o是頂角，c是頂角，p是頂角三種情況討論試題解析：（1）把點(diǎn)a（1，0）和b（3，0）代入得，解得，所以，拋物線的解析式為；（2）拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，四邊形oecf是平行四邊形點(diǎn)c的橫坐標(biāo)是4，點(diǎn)c在拋物線上，點(diǎn)c的坐標(biāo)為（4，3）；（3）點(diǎn)c的坐標(biāo)為（4，3），oc的長(zhǎng)為5，點(diǎn)o是頂

26、角頂點(diǎn)時(shí)，op=oc=5，oe=2，所以，點(diǎn)p的坐標(biāo)為（2，）或（2，-）；點(diǎn)c是頂角頂點(diǎn)時(shí)，cp=oc=5，同理求出pf=，所以，pe=，所以，點(diǎn)p的坐標(biāo)為（2，）或（2， ）；點(diǎn)p是頂角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)p在oc上，不存在.綜上所述，拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)p（2，）或（2，-）或（2，）或（2， ），使ocp是等腰三角形考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題【變式3-2】如圖，拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，且拋物線經(jīng)過點(diǎn).（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），過點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn).當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)； 是否存在點(diǎn)使為等腰三角形，若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】

27、（1）y=x2+4x+5；（2）p點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9）或（6，7）；（，）或（4+，48）或（4，48）或（0，5）【解析】試題分析：（1）由直線解析式可求得b點(diǎn)坐標(biāo)，由a、b、c三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）可設(shè)出p點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出e、d的坐標(biāo)，從而可表示出pe和ed的長(zhǎng)，由條件可知到關(guān)于p點(diǎn)坐標(biāo)的方程，則可求得p點(diǎn)坐標(biāo)；由e、b、c三點(diǎn)坐標(biāo)可表示出be、ce和bc的長(zhǎng)，由等腰三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于e點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得e點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得p點(diǎn)坐標(biāo)試題解析：（1）點(diǎn)b（4，m）在直線y=x+1上，m=4+1=5，b（4，5），把a(bǔ)、b、c三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，解得

28、，拋物線解析式為y=x2+4x+5；（2）設(shè)p（x，x2+4x+5），則e（x，x+1），d（x，0），則pe=|x2+4x+5（x+1）|=|x2+3x+4|，de=|x+1|，pe=2ed，|x2+3x+4|=2|x+1|，當(dāng)x2+3x+4=2（x+1）時(shí)，解得x=1或x=2，但當(dāng)x=1時(shí)，p與a重合不合題意，舍去，p（2，9）；當(dāng)x2+3x+4=2（x+1）時(shí)，解得x=1或x=6，但當(dāng)x=1時(shí)，p與a重合不合題意，舍去，p（6，7）；綜上可知p點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9）或（6，7）；設(shè)p（x，x2+4x+5），則e（x，x+1），且b（4，5），c（5，0），be=|x4|，ce=，bc=，當(dāng)b

29、ec為等腰三角形時(shí)，則有be=ce、be=bc或ce=bc三種情況，當(dāng)be=ce時(shí)，則|x4|=，解得x=，此時(shí)p點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；當(dāng)be=bc時(shí)，則|x4|=，解得x=4+或x=4，此時(shí)p點(diǎn)坐標(biāo)為（4+，48）或（4，48）；當(dāng)ce=bc時(shí)，則=，解得x=0或x=4，當(dāng)x=4時(shí)e點(diǎn)與b點(diǎn)重合，不合題意，舍去，此時(shí)p點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）；綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)p，其坐標(biāo)為（，）或（4+，48）或（4，48）或（0，5）考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題【考點(diǎn)4】二次函數(shù)與平行四邊形問題【例4】如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)a（3，0），b（1，0），與y軸相交于（0，），頂點(diǎn)為p（1）求拋物線

30、解析式；（2）在拋物線是否存在點(diǎn)e，使abp的面積等于abe的面積？若存在，求出符合條件的點(diǎn)e的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)f，使得以a、b、p、f為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？直接寫出所有符合條件的點(diǎn)f的坐標(biāo)，并求出平行四邊形的面積【答案】（1）y=x2+x（2）存在，（12，2）或（1+2，2）（3）點(diǎn)f的坐標(biāo)為（1，2）、（3，2）、（5，2），且平行四邊形的面積為 8【解析】（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，把（3，0），（1，0），（0，）代入求出a、b、c的值即可；（2）根據(jù)拋物線解析式可知頂點(diǎn)p的坐標(biāo)，由兩個(gè)三角形的底相同可得要使兩個(gè)三角形面積相

31、等則高相等，根據(jù)p點(diǎn)坐標(biāo)可知e點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入解析式求出x的值即可；（3）分別討論ab為邊、ab為對(duì)角線兩種情況求出f點(diǎn)坐標(biāo)并求出面積即可；【詳解】（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，將（3，0），（1，0），（0，）代入拋物線解析式得，解得：a=，b=1，c=拋物線解析式：y=x2+x（2）存在y=x2+x=（x+1）22p點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）abp的面積等于abe的面積，點(diǎn)e到ab的距離等于2，設(shè)e（a，2），a2+a=2解得a1=12，a2=1+2符合條件的點(diǎn)e的坐標(biāo)為（12，2）或（1+2，2）（3）點(diǎn)a（3，0），點(diǎn)b（1，0），ab=4若ab為邊，且以a、b、p、f為頂點(diǎn)的四邊

32、形為平行四邊形abpf，ab=pf=4點(diǎn)p坐標(biāo)（1，2）點(diǎn)f坐標(biāo)為（3，2），（5，2）平行四邊形的面積=4×2=8若ab為對(duì)角線，以a、b、p、f為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形ab與pf互相平分設(shè)點(diǎn)f（x，y）且點(diǎn)a（3，0），點(diǎn)b（1，0），點(diǎn)p（1，2） ，x=1，y=2點(diǎn)f（1，2）平行四邊形的面積=×4×4=8綜上所述：點(diǎn)f的坐標(biāo)為（1，2）、（3，2）、（5，2），且平行四邊形的面積為8【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的幾何應(yīng)用，分類討論并熟練掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法是解題關(guān)鍵.【變式4-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-23

33、x2+bx+c，經(jīng)過a（0，4），b（x1，0），c（x2，0）三點(diǎn)，且|x2-x1|=5（1）求b，c的值；（2）在拋物線上求一點(diǎn)d，使得四邊形bdce是以bc為對(duì)角線的菱形；（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)p，使得四邊形bpoh是以ob為對(duì)角線的菱形？若存在，求出點(diǎn)p的坐標(biāo)，并判斷這個(gè)菱形是否為正方形？若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】（1）b=-143，c=-4；（2）d（-72，256）；（3）存在一點(diǎn)p（3，4），使得四邊形bpoh為菱形，不能為正方形【解析】試題分析：（1）把a(bǔ)（0，4）代入可求c，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及|x2-x1|=5，可求出b；（2）因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直平分，故菱形的

34、另外一條對(duì)角線必在拋物線的對(duì)稱軸上，滿足條件的d點(diǎn)，就是拋物線的頂點(diǎn)；（3）由四邊形bpoh是以ob為對(duì)角線的菱形，可得ph垂直平分ob，求出ob的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式即可，再根據(jù)所求點(diǎn)的坐標(biāo)與線段ob的長(zhǎng)度關(guān)系，判斷是否為正方形即可試題解析：（1）拋物線y=-23x2+bx+c，經(jīng)過點(diǎn)a（0，4），c=4，又由題意可知，x1、x2是方程-23x2+bx-4=0的兩個(gè)根，x1+x2=32b，x1x2=6，由已知得(x2-x1)2=25，x12+x22-2x1x2=25，(x1+x2)2-4x1x2=25，94b2-24=25，解得：b=±143，當(dāng)b=143時(shí)，拋物線與x軸的交

35、點(diǎn)在x軸的正半軸上，不合題意，舍去b=-143；（2）四邊形bdce是以bc為對(duì)角線的菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)d必在拋物線的對(duì)稱軸上，又y=-23x2-143x-4=-23(x+72)2+256，拋物線的頂點(diǎn)（-72，256）即為所求的點(diǎn)d；（3）四邊形bpoh是以ob為對(duì)角線的菱形，點(diǎn)b的坐標(biāo)為（6，0），根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)p必是直線x=3與拋物線y=-23x2-143x-4的交點(diǎn)，當(dāng)x=3時(shí)，y=-23×(-3)2-143×(-3)-4=4，在拋物線上存在一點(diǎn)p（3，4），使得四邊形bpoh為菱形四邊形bpoh不能成為正方形，因?yàn)槿绻倪呅蝏poh為正方形，點(diǎn)p的坐標(biāo)只

36、能是（3，3），但這一點(diǎn)不在拋物線上考點(diǎn)：1二次函數(shù)綜合題；2探究型；3存在型；4壓軸題【變式4-2】如圖，拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，直線交軸與點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn).(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)連接，當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在軸上存在一點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；在的前提下，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.【答案】(1) y=x22x+4；(2) g（2，4）；(3)e（2，0）h（0，1）；【解析】試題分析:（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）先利用待定系數(shù)法求出直線ab

37、的解析式，進(jìn)而利用平行四邊形的對(duì)邊相等建立方程求解即可；（3）先判斷出要以點(diǎn)a，e，f，h為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，只有ef為對(duì)角線，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程即可；先取eg的中點(diǎn)p進(jìn)而判斷出pemmea即可得出pm=am，連接cp交圓e于m，再求出點(diǎn)p的坐標(biāo)即可得出結(jié)論試題解析：（1）點(diǎn)a（4，4），b（0，4）在拋物線y=x2+bx+c上，拋物線的解析式為y=x22x+4；（2）設(shè)直線ab的解析式為y=kx+n過點(diǎn)a，b，直線ab的解析式為y=2x+4，設(shè)e（m，2m+4），g（m，m22m+4），四邊形geob是平行四邊形，eg=ob=4，m22m+42m4=4，m=2，g（2，4）；（3）如

38、圖1，由（2）知，直線ab的解析式為y=2x+4，設(shè)e（a，2a+4），直線ac：y=x6，f（a，a6），設(shè)h（0，p），以點(diǎn)a，e，f，h為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，直線ab的解析式為y=2x+4，直線ac：y=x6，abac，ef為對(duì)角線，（4+0）=（a+a），（4+p）=（2a+4a6），a=2，p=1，e（2，0）h（0，1）；如圖2，由知，e（2，0），h（0，1），a（4，4），eh=，ae=2，設(shè)ae交e于g，取eg的中點(diǎn)p，pe=，連接pc交e于m，連接em，em=eh=，=，=，pem=mea，pemmea，pm=am，am+cm的最小值=pc，設(shè)點(diǎn)p（p，2p+4），e（2，

39、0），pe2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，pe=，5（p+2）2=，p=或p=（由于e（2，0），所以舍去），p（，1），c（0，6），pc=，即：am+cm=考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題【達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】一、單選題1將拋物線y=2x21向上平移若干個(gè)單位，使拋物線與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，如果這些交點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形，那么平移的距離為（ ）a個(gè)單位 b1個(gè)單位 c個(gè)單位 d個(gè)單位【答案】a【解析】試題分析設(shè)拋物線向上平移a（a1）個(gè)單位，使拋物線與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，且這些交點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形，則有平移后拋物線的解析式為：y=2x21+a，am=a，拋物線y=2x21與y軸的交點(diǎn)m為（0，1），

40、即om=1，oa=amom=a1，令y=2x21+a中y=0，得到2x21+a=0，解得：x=±，b（，0），c（，0），即bc=2，又abc為直角三角形，且b和c關(guān)于y軸對(duì)稱，即o為bc的中點(diǎn)，ao=bc，即a1=，兩邊平方得：（a1）2=，a10，a1=，解得：a=故選a【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換2如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若是以為底的等腰三角形，則的值為（ ）a或b或c或d或【答案】b【解析】作中垂線交拋物線于，（在左側(cè)），交軸于點(diǎn);連接p1d,p2d.易得 ，將代入中得，故選b.當(dāng)pcd是以cd為底的等腰三角形時(shí),則p點(diǎn)在線段cd的垂直平分線上,由c

41、、d坐標(biāo)可求得線段cd中點(diǎn)的坐標(biāo),從而可以知道p點(diǎn)的縱坐標(biāo),代入拋物線解析式可求得p點(diǎn)坐標(biāo).二、填空題3如圖，拋物線的頂點(diǎn)為，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，過作軸，垂足為如果以，為頂點(diǎn)的三角形與相似，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是_【答案】，【解析】根據(jù)拋物線的解析式，易求得a（-1，0），d（1，0），c（0，-1）；則acd是等腰直角三角形，由于apdc，可知bac=90°；根據(jù)d、c的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求出直線dc的解析式，而abdc，則直線ab與dc的斜率相同，再加上a點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出直線ab的解析式，聯(lián)立直線ab和拋物線的解析式，可求出b點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出ab、ac的長(zhǎng)在rta

42、bc和rtamg中，已知了bac=agm=90°，若兩三角形相似，則直角邊對(duì)應(yīng)成比例，據(jù)此可求出m點(diǎn)的坐標(biāo)【詳解】易知：a(1,0),d(1,0),c(0,1) ；則oa=od=oc=1 ，adc 是等腰直角三角形，acd=90 ° ,ac=  ；又ab dc ，bac=90 ° ；易知直線bd 的解析式為y=x1 ，由于直線ab dc, 可設(shè)直線ab 的解析式為y=x+b, 由于直線ab

43、0;過點(diǎn)a(1,0) ；則直線ab 的解析式為：y=x+1 ，聯(lián)立拋物線的解析式：  ，解得 ,；故b(2,3) ；ap=3  ；rtbac 和rtamg 中,agm=pac=90 ° , 且ba:ac=3 :  =3:1 ；若以a. m 、g 三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與bca 相似，則ag:mg=1:3 或3:1 ；設(shè)m 點(diǎn)坐標(biāo)為(m,m 2

44、 1),(m<1 或m>1) 則有：mg=m 2 1 ，ag=|m+1| ；當(dāng)am:mg=1:3 時(shí),m 2 1=3|m+1|,m 2 1=±(3m+3) ；當(dāng)m 2 1=3m+3 時(shí),m 2 3m4=0, 解得m=1( 舍去) ，m=4 ；當(dāng)m 2 1=3m3 時(shí),m 2 +3m+2=0, 解得

45、m=1( 舍去) ，m=2 ；m 1 (4,15),m 2 (2,3) ；當(dāng)am:mg=3:1 時(shí),3(m 2 1)=|m+1|,3m 2 3=±(m+1) ；當(dāng)3m 2 3=m+1 時(shí),3m 2 m4=0, 解得m=1( 舍去),m=  ；當(dāng)3m 2 3=m1 時(shí),3m 2 +m2=0, 解得m=

46、1( 舍去),m= ( 舍去) ；m 3 ( , ). 故符合條件的m 點(diǎn)坐標(biāo)為：(4,15),(2,3),  ( , ). 故答案為：:(4,15),(2,3),  ( , ).【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握二次函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用.4如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6（a0）相交于a（，）和b（4，m），點(diǎn)p是線段ab上異于a、b的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)p作pcx軸于點(diǎn)d，交拋物線于點(diǎn)c當(dāng)pac為直角三角

47、形時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo) 【答案】（3，5）或（，）【解析】試題分析：由于p點(diǎn)不可能為直角頂點(diǎn)，因此就只有兩種情況：若a為直角頂點(diǎn)，過a作ab的垂線與拋物線的交點(diǎn)即為c點(diǎn)，過c作y軸的平行線與ab的交點(diǎn)即為p點(diǎn)；若c為直角頂點(diǎn)，過a作x軸的平行線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)即為c點(diǎn)，過c作y軸的平行線與ab的交點(diǎn)即為p點(diǎn)解：直線y=x+2過點(diǎn)b（4，m），m=6，b（4，6）將a、b兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式得：，解得：拋物線的解析式為：y=2x28x+6若a為直角頂點(diǎn)，如圖1，設(shè)ac的解析式為：y=x+b，將a點(diǎn)代入y=x+b得b=3ac的解析式為y=x+3，由，解得：或（舍去）令p點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則縱坐標(biāo)為5

48、，p（3，5）；若c為直角頂點(diǎn)，如圖2，令，解得：x=或x=（舍去），令p點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則縱坐標(biāo)為，p（，）；故答案為（3，5）或（，）考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題5如圖，已知拋物線 與 軸交于a、c兩點(diǎn)，與 軸交于點(diǎn)b，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)q，使abq成為等腰三角形，則q點(diǎn)的坐標(biāo)是_. 【答案】q1，q2，q3（2，2），q4（2，3）【解析】先求得點(diǎn)a和點(diǎn)b的坐標(biāo)，由頂點(diǎn)式知拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸上的點(diǎn)q的坐標(biāo)為，分別求得，并用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng)，分三種情況構(gòu)造方程求得的值.【詳解】如圖， 拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2 當(dāng)y=0時(shí)， （x-2）2-1=0 解之：x1=3，x

49、2=1 點(diǎn)a的坐標(biāo)為（1，0） 當(dāng)x=0時(shí)，y=3 點(diǎn)b（0，3） 設(shè)點(diǎn)q的坐標(biāo)為（2，m）. ab2=32+1=10，bq2=（m-3）2+22=（m-3）2+4，aq2=m2+1， 要使abq為等腰三角形， 當(dāng)ab2=bq2時(shí)，則（m-3）2+4=10, 解之：m1= ， m2= ， 點(diǎn)q1 ， q2. 當(dāng)bq2=aq2時(shí)，則（m-3）2+4=m2+1, 解之：m=2 所以點(diǎn)q2（2，2）； 當(dāng)ab2=aq2時(shí)，則10=m2+1, 解之：m=±3 若m=-3，則點(diǎn)b、a，q在同一直線上， m=-3舍去， 點(diǎn)q4（2，3） 故答案為：，q2，（2，2），（2，3）【點(diǎn)睛】本題考查了

50、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)難點(diǎn)在于符合條件的等腰三角形可能有多種情形，需要分類討論6如圖，拋物線yx2+2x+4與y軸交于點(diǎn)c，點(diǎn)d（0，2），點(diǎn)m是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)若mcd是以cd為底的等腰三角形，則點(diǎn)m的坐標(biāo)為_【答案】（1+，3）或（1，3）【解析】當(dāng)mcd是以cd為底的等腰三角形時(shí)，則m點(diǎn)在線段cd的垂直平分線上，由c、d坐標(biāo)可求得線段cd中點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可知p點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得m點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】mcd是以cd為底的等腰三角形，點(diǎn)m在線段cd的垂直平分線上，如圖，過m作軸于點(diǎn)e，則e為線段cd的中點(diǎn)，拋物線與y軸交于點(diǎn)c，c(0,4),且d(0

51、,2)，e點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)，m點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，在中,令,可得,解得，m點(diǎn)坐標(biāo)為或，故答案為或.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)進(jìn)行解答.7如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線y=x2+2x+3與x軸交于a，b兩點(diǎn)，點(diǎn)m在這條拋物線上，點(diǎn)p在y軸上，如果四邊形abmp是平行四邊形，則點(diǎn)m的坐標(biāo)為_【答案】（4，-5）.【解析】根據(jù)拋物線y=x2+2x+3與x軸交于a，b兩點(diǎn)，可求出a、b兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出ab的長(zhǎng)度，由四邊形abmp是平行四邊形，可知m點(diǎn)在x軸右邊，pm/ab，且pm=ab=4 ，即可求出m點(diǎn)坐

52、標(biāo).【詳解】y=x2+2x+3與x軸交于a，b兩點(diǎn)，a（-1，0）；b（3，0）ab=4，四邊形abmp是平行四邊形，ab/pm，pm=ab=4，p點(diǎn)在y軸上，p點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，p點(diǎn)在拋物線y=x2+2x+3上，x=4時(shí)，y=-16+8+3=-5，m點(diǎn)的坐標(biāo)為：（4，-5）.故答案為（4，-5）【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，求出a、b的長(zhǎng)度利用ab=pm求出m的橫坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.8已知拋物線y（x2）2，p是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)點(diǎn)，直線xt分別與直線yx、拋物線交于點(diǎn)a，b，若abp是等腰直角三角形，則t的值為_【答案】0或3或或3±或【解析】首先求出拋物線與直線y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)，再

53、分四種情形列出方程即可解決問題【詳解】解：由題意a（t，t），p（2，m）bt，（t2）2，當(dāng)點(diǎn)a或b是直角頂點(diǎn)時(shí)，|2t|t（t2）2|，解得t3±或2±，當(dāng)點(diǎn)p是直角頂點(diǎn)時(shí)，|t（t2）2|2|2t|，解得t或0或3，綜上所述，滿足條件的t的值為0或3或2±或3±或故答案是：0或3或或3±或【點(diǎn)睛】考查二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、等腰直角三角形的性質(zhì)、一元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問題.9將拋物線向右平移2個(gè)單位,得到拋物線的圖象是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線平行于y軸,分別與直線、拋物線交

54、于點(diǎn)a、若是以點(diǎn)a或點(diǎn)b為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,求滿足條件的t的值,則 _ .【答案】或或或【解析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)律，將向右平移2個(gè)單位,橫坐標(biāo)減2表示出拋物線的函數(shù)解析式.然后再根據(jù)題目條件表示出點(diǎn)a、b的坐標(biāo),進(jìn)而能夠表示出ab的長(zhǎng)度與ap的長(zhǎng)度,然后根據(jù)等腰直角三角形的兩直角邊相等列出方程求解即可.【詳解】解：拋物線向右平移2個(gè)單位, 拋物線的函數(shù)解析式為, 拋物線的對(duì)稱軸為直線, 直線與直線、拋物線交于點(diǎn)a、b, 點(diǎn)a的坐標(biāo)為,點(diǎn)b的坐標(biāo)為, , , 是以點(diǎn)a或b為直角頂點(diǎn)的三角形, , 或, 整理得, 解得, 整理得, 解得, 綜上所述,滿足條件的t值為：或或或, 故答案為：或或或.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換,等腰直角三角形的性質(zhì),根據(jù)拋物線與直線的解析式表示出ab、ap或的長(zhǎng),然后根據(jù)等腰直角