考點24 解直角三角形-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)考點一遍過

1、考點24 解直角三角形一、銳角三角函數(shù)的定義在rtabc中，c=90°，ab=c，bc=a，ac=b，正弦：sina=；余弦：cosa=；正切：tana=根據(jù)定義求三角函數(shù)值時，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴格按照三角函數(shù)的定義求解，有時需要通過輔助線來構(gòu)造直角三角形.二、特殊角的三角函數(shù)值sincostan30°45°160°三、解直角三角形1在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形2解直角三角形的常用關(guān)系：在rtabc中，c=90°，則：（1）三邊關(guān)系：

2、a2+b2=c2；（2）兩銳角關(guān)系：a+b=90°；（3）邊與角關(guān)系：sina=cosb=，cosa=sinb=，tana=；（4）sin2a+cos2a=13科學(xué)選擇解直角三角形的方法口訣：已知斜邊求直邊，正弦、余弦很方便；已知直邊求直邊，理所當(dāng)然用正切；已知兩邊求一邊，勾股定理最方便；已知兩邊求一角，函數(shù)關(guān)系要記牢；已知銳角求銳角，互余關(guān)系不能少；已知直邊求斜邊，用除還需正余弦.四、解直角三角形的應(yīng)用1仰角和俯角仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角2坡度和坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比

3、叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作，i=tan坡度越大，角越大，坡面越陡3方向角（或方位角）指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角4解直角三角形中“雙直角三角形”的基本模型： 解題方法：這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時，往往通過這條邊為中介在兩個三角形中依次求邊，或通過公共邊相等，列方程求解.5解直角三角形實際應(yīng)用的一般步驟（1）弄清題中名詞、術(shù)語，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；（2）將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題；（3）選擇合適的邊角關(guān)系式，使運算簡便、準確；（

4、4）得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解考向一 求三角函數(shù)的值（1）分清直角三角形中的斜邊與直角邊.（2）正確地表示出直角三角形的三邊長，常設(shè)某條直角邊長為k（有時也可設(shè)為1），在求三角函數(shù)值的過程中約去k（3）正確應(yīng)用勾股定理求第三邊長（4）應(yīng)用銳角三角函數(shù)定義，求出三角函數(shù)值典例1 的值為abcd1【答案】c【解析】把sin45°=代入原式得：原式=2×=故選c1如圖，在abc中，c=90°若ab=3，bc=2，則sina的值為abcd考向二 利用特殊角的三角函數(shù)值求值銳角三角函數(shù)值與三角形三邊的長短無關(guān)，只與銳角的大小有關(guān).典例2

5、已知a為銳角，且sina=，那么a等于a15°b30°c45°d60°【答案】d【解析】sina=，a=60°故選d2已知是銳角，sin=cos60°，則等于a30°b45°c60°d不能確定考向三 解直角三角形的應(yīng)用解此類題的一般方法：（1）構(gòu)造直角三角形；（2）理清直角三角形的邊角關(guān)系；（3）利用特殊角的三角函數(shù)值解答問題.典例3 某山的山頂b處有一個觀光塔，已知該山的山坡面與水平面的夾角bdc為30°，山高bc為100米，點e距山腳d處150米，在點e處測得觀光塔頂端a的仰角為60

6、6;，則觀光塔ab的高度是a50米b100米c125米d150米【答案】a【解析】如圖，作efac于f，egdc于g，在rtdeg中，eg=de=75，bf=bc-cf=bc-ce=100-75=25，ef=25，aef=60°，a=30°，af=75，ab=af-bf=50（米），故觀光塔ab的高度為50米，故選a3如圖，某湖心島上有一亭子，在亭子的正東方向上的湖邊有一棵樹，在這個湖心島的湖邊處測得亭子在北偏西方向上，測得樹在北偏東方向上，又測得、之間的距離等于米，求、之間的距離（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：，）1如圖，在abc中，若c=90°，則asina= b

7、sina= ccosa= dcosa= 2計算的值為abcd3在中，若，則的長為abcd4在rtabc中，c=90°，則cosa等于abcd5菱形abcd的對角線ac=10cm，bd=6cm，那么tan為abcd6如圖是邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格圖，其中點a，b，c均為格點，則sinbac為abcd7在rtabc中，c=90°，若ab=10，sina=，則斜邊上的高等于a5b4.8c4.6d48如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，abc的三個頂點均在格點上，則tanabc的值為abcd19如圖，某水庫堤壩橫截面迎水坡的坡度是，堤壩高為，則迎水坡面的是a10如圖，一艘海

8、輪位于燈塔p的北偏東55°方向，距離燈塔為2海里的點a處如果海輪沿正南方向航行到燈塔的正東位置b處，海輪航行的距離ab長是a2海里b海里c海里d海里11釣魚是一項特別鍛煉心性的運動，如圖，小南在江邊垂釣，河堤ab的坡度為12.4，ab長為3.9米，釣竿ac與水平線的夾角是60°，其長為4.5米，若釣竿ac與釣魚線cd的夾角也是60°，則浮漂d與河堤下端b之間的距離約為（參考數(shù)據(jù)：1.732）a1.732米b1.754米c1.766米d1.823米12如圖，在rtabc中，c=90°，bc=12，tana=，則sinb=_13在abc中，ab=2，ac=，

9、tanb=，則bc的長度為_14已知相鄰的兩根電線桿與高度相同，且相距小王為測量電線桿的高度，在兩根電線桿之間某一處架起測角儀，如圖所示，分別測得兩根電線桿頂端的仰角為、，已知測角儀高，則電線桿的高度約為_（精確到，參考數(shù)據(jù)：，）15已知：如圖，在菱形abcd中，aebc，垂足為e，對角線bd=8，tancbd=（1）求邊ab的長；（2）求cosbae的值16如圖是小強洗漱時的側(cè)面示意圖，洗漱臺(矩形abcd)靠墻擺放，高ad=80cm，寬ab=48cm，小強的身高為166cm，其中下半身fg=100cm，洗漱時下半身與地面成80°角(fgk=80°)，身體前傾成125&#

10、176;角(efg=125°)，腳與洗漱臺的距離gc=15cm(點d，c，g，k在同一直線上)（1）此時小強的頭部點e與地面dk的距離是多少？（2）小強希望他的頭部e恰好在洗漱盆ab的中點o的正上方，他應(yīng)向前或后退多少？(sin80°0.98，cos80°0.17，1.41，結(jié)果精確到0.1cm)1（2019天津）的值等于a1bcd22（2019懷化）已知為銳角，且sin=，則=a30°b45°c60°d90°3（2019·宜昌）如圖，在5×4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，abc的頂點都在這些

11、小正方形的頂點上，則sinbac的值為abcd4（2019廣州）如圖，有一斜坡ab，坡頂b離地面的高度bc為30 m，斜坡的傾斜角是bac，若tanbac=，則此斜坡的水平距離ac為a75 mb50 mc30 md12 m5（2019蘇州）如圖，小亮為了測量校園里教學(xué)樓的高度，將測角儀豎直放置在與教學(xué)樓水平距離為的地面上，若測角儀的高度為，測得教學(xué)樓的頂部處的仰角為，則教學(xué)樓的高度是abcd6（2019廣西）小菁同學(xué)在數(shù)學(xué)實踐活動課中測量路燈的高度如圖，已知她的目高ab為1.5米，她先站在a處看路燈頂端o的仰角為35°，再往前走3米站在c處，看路燈頂端o的仰角為65°，則路

12、燈頂端o到地面的距離約為（已知sin35°0.6，cos35°0.8，tan35°0.7，sin65°0.9，cos65°0.4，tan65°2.1）a3.2米b3.9米c4.7米d5.4米7（2019·杭州）如圖，一塊矩形木板abcd斜靠在墻邊（ocob，點a，b，c，d，o在同一平面內(nèi)），已知ab=a，ad=b，bco=x，則點a到oc的距離等于aasinx+bsinxbacosx+bcosxcasinx+bcosxdacosx+bsinx8（2019甘肅）在abc中，c=90°，tana=，則cosb=_9（

13、2019杭州）在直角三角形abc中，若2ab=ac，則cosc=_10（2019天津）如圖，海面上一艘船由西向東航行，在a處測得正東方向上一座燈塔的最高點c的仰角為31°，再向東繼續(xù)航行30m到達b處，測得該燈塔的最高點c的仰角為45°，根據(jù)測得的數(shù)據(jù)，計算這座燈塔的高度cd（結(jié)果取整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：sin31°0.52，cos31°0.86，tan31°0.6011（2019深圳）如圖所示，某施工隊要測量隧道長度bc，ad=600米，adbc，施工隊站在點d處看向b，測得仰角為45°，再由d走到e處測量，deac，ed=500米，測得

14、仰角為53°，求隧道bc長（sin53°，cos53°，tan53°）12（2019河南）數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)測量炎帝塑像（塑像中高者）的高度如圖所示，炎帝塑像de在高55m的小山ec上，在a處測得塑像底部e的仰角為34°，再沿ac方向前進21m到達b處，測得塑像頂部d的仰角為60°，求炎帝塑像de的高度（精確到1m參考數(shù)據(jù)：sin34°0.56，cos34°=0.83，tan34°0.67，1.73）13（2019甘肅）為了保證人們上下樓的安全，樓梯踏步的寬度和高度都要加以限制中小學(xué)樓梯寬度的范

15、圍是260mm300mm含（300mm），高度的范圍是120mm150mm（含150mm）如圖是某中學(xué)的樓梯扶手的截面示意圖，測量結(jié)果如下：ab，cd分別垂直平分踏步ef，gh，各踏步互相平行，ab=cd，ac=900mm，acd=65°，試問該中學(xué)樓梯踏步的寬度和高度是否符合規(guī)定（結(jié)果精確到1mm，參考數(shù)據(jù)：sin65°0.906，cos65°0.423）14（2019江西）圖1是一臺實物投影儀，圖2是它的示意圖，折線bao表示固定支架，ao垂直水平桌面oe于點o，點b為旋轉(zhuǎn)點，bc可轉(zhuǎn)動，當(dāng)bc繞點b順時針旋轉(zhuǎn)時，投影探頭cd始終垂直于水平桌面oe，經(jīng)測量：a

16、o=6.8cm，cd=8cm，ab=30cm，bc=35cm（結(jié)果精確到0.1）（1）如圖2，abc=70°，bcoe填空：bao=_求投影探頭的端點d到桌面oe的距離（2）如圖3，將（1）中的bc向下旋轉(zhuǎn)，當(dāng)投影探頭的端點d到桌面oe的距離為6cm時，求abc的大?。▍⒖紨?shù)據(jù)：sin70°0.94，cos20°0.94，sin36.8°0.60，cos53.2°0.60）15（2019安徽）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具如圖1，明朝科學(xué)家徐光啟在農(nóng)政全書中用圖畫描繪了筒車的工作原理如圖2，筒車盛水桶的運行軌跡是以軸心o為圓心的圓已知圓心

17、在水面上方，且圓被水面截得的弦ab長為6米，oab=41.3°，若點c為運行軌道的最高點（c，o的連線垂直于ab），求點c到弦ab所在直線的距離（參考數(shù)據(jù)：sin41.3°0.66，cos41.3°0.75，tan41.3°0.88）16（2019貴陽）如圖所示是我國古代城市用以滯洪或分洪系統(tǒng)的局部截面原理圖，圖中op為下水管道口直徑，ob為可繞轉(zhuǎn)軸o自由轉(zhuǎn)動的閥門平時閥門被管道中排出的水沖開，可排出城市污水；當(dāng)河水上漲時，閥門會因河水壓迫而關(guān)閉，以防河水倒灌入城中若閥門的直徑ob=op=100cm，oa為檢修時閥門開啟的位置，且oa=ob（1）直接寫出

18、閥門被下水道的水沖開與被河水關(guān)閉過程中pob的取值范圍；（2）為了觀測水位，當(dāng)下水道的水沖開閥門到達ob位置時，在點a處測得俯角cab=67.5°，若此時點b恰好與下水道的水平面齊平，求此時下水道內(nèi)水的深度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）（=1.41，sin67.5°=0.92，cos67.5°=0.38，tan67.5°=2.41，sin22.5°=0.38，cos22.5°=0.92，tan22.5°=0.41）變式拓展1【答案】a【解析】在rtabc中，c=90°，ab=3，bc=2，sina=，故選a2【答案】a【

19、解析】sin=cos60°=，=30°故選a3【解析】如圖，過點作，垂足為點，由題意，得，在rt中，又，在rt中，又，（米）答：、之間的距離為米考點沖關(guān)1【答案】a【解析】a、sina=，此選項正確；b、sina=，此選項錯誤；c、cosa=，此選項錯誤；d、cosa=，此選項錯誤；故選a2【答案】d【解析】原式=1=，故選d3【答案】a【解析】如圖，cos53°=，ab=，故選a4【答案】b【解析】如圖所示：，cosa=故選b5【答案】a【解析】如圖，由題意得，aobo，ao=ac=5cm，bo=bd=3cm，則tan=tanoba.故選a.6【答案】d【解析】

20、如圖所示：連接bd，交ac于點e，由正方形的性質(zhì)可得：bdac，故bd=，ab=，則sinbac=故選d7【答案】b【解析】如圖所示，cdab，cd即為斜邊上的高，在rtabc中，c=90°，ab=10，sina=，sina=，即bc=6，根據(jù)勾股定理得：ac=8，sabc=acbc=cdab，cd=48，故選b8【答案】b【解析】abc所在的直角三角形的對邊是3，鄰邊是4，所以，tanabc=故選b9【答案】a【解析】堤壩橫斷面迎水坡ab的坡比是1：，bc=40m，ac=40m，ab=80m，故選a10【答案】c【解析】記燈塔p的正北方向為射線pc的方向.根據(jù)題意可知apc=55&

21、#176;，pcab，ap=2海里.pcab，apc=55°，pab=55°.在rtabp中，ap=2海里，pab=55°，ab=ap·cospab=2cos55°（海里）.故選c.11【答案】c【解析】如圖，延長ca交db延長線與點e，過點a作afbe于點f，則ced=60°，ab的坡比為12.4，則設(shè)af=5x，bf=12x，ab=3.9米，在直角abf中，由勾股定理知，3.92=25x2+144x2解得x=af=5x=，bf=12x=，ef=，c=ced=60°，cde是等邊三角形，ac=4.5米，de=ce=ac+a

22、e=4.5+（米），則bd=deefbf=4.5+1.766（米），答：浮漂d與河堤下端b之間的距離為1.766米故選c12【答案】【解析】在rtabc中，c=90°，bc=12，tana=，得，即，ac=5由勾股定理，得ab=所以sinb=，故答案為：13【答案】5【解析】如圖，過點a作adbc交于d，設(shè)ad=x，則bd=2x，ab=2，在abd中，由勾股定理得（2）2=x2+（2x）2，解得，x1=2，x2=2（不符合，舍去），bd=4，同理，在acd中，由勾股定理得，bc=dc+bd=4+1=5，故答案為：514【答案】【解析】過點f作ab、cd的垂線，垂足為點g、h，如圖所示

23、：設(shè)ag=x m，則有dh=x m，tan23°=，解得x15.0，ab=x+1.5=16.5電線桿的高度約為16.5 m故答案是：16.515【解析】（1）連接ac，ac與bd相交于點o，四邊形abcd是菱形，acbd，bo=bd=4，rtboc中，tancbd=，oc=2，ab=bc=2；（2）aebc，s菱形abcd=bc·ae=bd·ac，ac=2oc=4，2ae=×8×4，ae=，be=，cosabe=16【解析】（1）如圖，過點f作fndk于n，過點e作emfn于mef+fg=166，fg=100，ef=66，fgk=80°

24、;，fn=100sin80°98，efg=125°，efm=180°125°10°=45°，fm=66cos45°=46.53，mn=fn+fm144.5，此時小強頭部e點與地面dk相距約為144.5 cm（2）如圖，過點e作epab于點p，延長ob交mn于hab=48，o為ab中點，ao=bo=24，em=66sin45°46.53，ph46.53，gn=100cos80°17，cg=15，oh=24+15+17=56，op=ohph=5646.53=9.479.5，他應(yīng)向前9.5cm直通中考1【答案】

25、b【解析】銳角三角函數(shù)計算，=2×=，故選a2【答案】a【解析】為銳角，且sin=，=30°故選a3【答案】d【解析】如圖，過c作cdab于d，則adc=90°，ac=5sinbac=故選d4【答案】a【解析】bca=90°，tanbac=，bc=30m，tanbac=，解得ac=75，故選a5【答案】c【解析】過作交于，在中，故選c6【答案】c【解析】如圖，過點o作oeac于點e，延長bd交oe于點f，設(shè)df=x，tan65°=，of=xtan65°，bf=3+x，tan35°=，of=（3+x）tan35°，2

26、.1x=0.7（3+x），x=1.5，of=1.5×2.1=3.15，oe=3.15+1.5=4.654.7，故選c7【答案】d【解析】如圖，過點a作aeoc于點e，作afob于點f，四邊形abcd是矩形，abc=90°，abc=aec，bco=x，eab=x，fba=x，ab=a，ad=b，fo=fb+bo=acosx+bsinx，故選d8【答案】【解析】tana=，a=30°，c=90°，b=60°，cosb=cos60°=故答案為：9【答案】或【解析】若b=90°，設(shè)ab=x，則ac=2x，所以bc=x，所以cosc=

27、；若a=90°，設(shè)ab=x，則ac=2x，所以bc=，所以cosc=；綜上所述，cosc的值為或故答案為：或10【解析】在rtcad中，tancad=，則ad=cd，在rtcbd中，cbd=45°，bd=cd，ad=ab+bd，cd=cd+30，解得cd=45，答：這座燈塔的高度cd約為45 m11【解析】如圖，在rtabd中，ab=ad=600，作emac于m，則am=de=500，bm=100，在rtcem中，tan53°=，cm=800，bc=cmbm=800100=700（米）答：隧道bc長為700米12【解析】ace=90°，cae=34°，ce=55m，tancae=，ac=82.1（m），ab=21m，bc=acab=61.1（m），在rtbcd中，tan60°=，cd=bc1.73×61.1105.7（m），de=cdec=105.75551（m）.答：炎帝塑像de的高度約為51m13【解析】如圖，連接bd，作dmab于點m，ab=cd，ab，cd分別垂直平分踏步ef，gh，abcd，ab=cd，四邊形abdc是平行四邊形，c=abd，ac=bd，c=65°，ac=90