高三數(shù)學(xué) 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念總復(fù)習(xí)

1、第十四章 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念（二）知識(shí)點(diǎn)詳析1知識(shí)體系表解2復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和性質(zhì)：(1)i稱為虛數(shù)單位,規(guī)定,形如a+bi的數(shù)稱為復(fù)數(shù),其中a，br(2)復(fù)數(shù)的分類(下面的a，b均為實(shí)數(shù))(3)復(fù)數(shù)的相等設(shè)復(fù)數(shù)，那么的充要條件是：(4)復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)z=a+bi（a，br）可用平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)z(a，b)來(lái)表示這時(shí)稱此平面為復(fù)平面，x軸稱為實(shí)軸，y軸除去原點(diǎn)稱為虛軸這樣，全體復(fù)數(shù)集c與復(fù)平面上全體點(diǎn)集是一一對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面內(nèi)還可以用以原點(diǎn)o為起點(diǎn)，以點(diǎn)z(a，b)向量所成的集合也是一一對(duì)應(yīng)的(例外的是復(fù)數(shù)0對(duì)應(yīng)點(diǎn)o，看成零向量)(7)復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)不同處任意兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小

2、，而任意兩個(gè)復(fù)數(shù)中至少有一個(gè)不是實(shí)數(shù)時(shí)就不能比較大小實(shí)數(shù)對(duì)于四則運(yùn)算是通行無(wú)阻的，但不是任何實(shí)數(shù)都可以開(kāi)偶次方而復(fù)數(shù)對(duì)四則運(yùn)算和開(kāi)方均通行無(wú)阻3有關(guān)計(jì)算：怎樣計(jì)算？（先求n被4除所得的余數(shù)， ）是1的兩個(gè)虛立方根，并且：3 復(fù)數(shù)集內(nèi)的三角形不等式是：，其中左邊在復(fù)數(shù)z1、z2對(duì)應(yīng)的向量共線且反向（同向）時(shí)取等號(hào)，右邊在復(fù)數(shù)z1、z2對(duì)應(yīng)的向量共線且同向（反向）時(shí)取等號(hào)。4 棣莫佛定理是：5 若非零復(fù)數(shù)，則z的n次方根有n個(gè)，即：它們?cè)趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在分布上有什么特殊關(guān)系？都位于圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓上，并且把這個(gè)圓n等分。6 若，復(fù)數(shù)z1、z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是a、b，則aob（o為坐標(biāo)原點(diǎn)）的

3、面積是。7 =。8 復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的幾個(gè)基本軌跡：軌跡為一條射線。軌跡為一條射線。軌跡是一個(gè)圓。軌跡是一條直線。軌跡有三種可能情形：a)當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；b)當(dāng)時(shí)，軌跡為一條線段；c)當(dāng)時(shí)，軌跡不存在。軌跡有三種可能情形：a)當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線；b)當(dāng)時(shí)，軌跡為兩條射線；c)當(dāng)時(shí)，軌跡不存在。4學(xué)習(xí)目標(biāo)(1)聯(lián)系實(shí)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算等內(nèi)容，加強(qiáng)對(duì)復(fù)數(shù)概念的認(rèn)識(shí)；(2)理順復(fù)數(shù)的三種表示形式及相互轉(zhuǎn)換：z=r(cos+isin)Û(z(a,b)Ûz=a+bi(3)正確區(qū)分復(fù)數(shù)的有關(guān)概念；(4)掌握復(fù)數(shù)幾何意義,注意復(fù)數(shù)與三角、解幾等內(nèi)容的綜合；(5)正確掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算：復(fù)

4、數(shù)代數(shù)形式的加、減、乘、除；三角形式的乘、除、乘方、開(kāi)方及幾何意義；虛數(shù)單位i及1的立方虛根的性質(zhì)；模及共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)；(6)掌握化歸思想將復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化（三角化、幾何化）；復(fù)數(shù)集純虛數(shù)集虛數(shù)集實(shí)數(shù)集(7)掌握方程思想利用復(fù)數(shù)及其相等的有關(guān)充要條件，建立相應(yīng)的方程，轉(zhuǎn)化復(fù)數(shù)問(wèn)題。（三）例題分析：.2004年高考數(shù)學(xué)題選1. (2004年四川卷理3)設(shè)復(fù)數(shù)i，則1a.b.2c.d.2(2004重慶卷2）)設(shè)復(fù)數(shù), 則（ ）a3 b3 c3i d3i3. （2004高考數(shù)學(xué)試題廣東b卷14）已知復(fù)數(shù)z與 (z +2)2-8i 均是純虛數(shù),則 z = .范例分析實(shí)數(shù)？虛數(shù)？純虛數(shù)？復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要

5、條件是：當(dāng)m2時(shí)復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)z是虛數(shù)的充要條件：當(dāng)m3且m2時(shí)復(fù)數(shù)z為虛數(shù)復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)的充要條件是：當(dāng)m1時(shí)復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)【說(shuō)明】要注意復(fù)數(shù)z實(shí)部的定義域是m3，它是考慮復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)，虛數(shù)純虛數(shù)的必要條件要特別注意復(fù)數(shù)za+bi(a，br)為純虛數(shù)的充要條件是a0且b0 ，所以，代入得，故選解法3：選擇支中的復(fù)數(shù)的模均為，又，而方程右邊為2+i，它的實(shí)部，虛部均為正數(shù)，因此復(fù)數(shù)z的實(shí)部，虛部也必須為正，故選擇b【說(shuō)明】解法1利用復(fù)數(shù)相等的條件；解法2利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)；解法3考慮選擇題的特點(diǎn)求：z【分析】確定一個(gè)復(fù)數(shù)要且僅要兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b，而題目恰給了兩個(gè)獨(dú)立條件采用待定系數(shù)法可求出a、b

6、確定z運(yùn)算簡(jiǎn)化解：設(shè)z=x+yi(x，yr)將z=x+yi代入|z4|z4i|可得xy，z=x+xi(2)當(dāng)|z1|13時(shí)，即有xx6=0則有x=3或x=2綜上所述故z0或z=3+3i或z=-22i【說(shuō)明】注意熟練地運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)其性質(zhì)有：(3)1+2i+3+1000【說(shuō)明】計(jì)算時(shí)要注意提取公因式，要注意利用i的冪的周期性，要記住常用的數(shù)據(jù)：，。（2）原式(3)解法1：原式=(1+2i34i)+(5+6i78i)+(997+998i9991000i)=250(22i)=500500i解法2：設(shè)s1+2i+3+1000，則isi+2+3+999+1000，(1i)s1+i+1000【說(shuō)明】充

7、分利用i的冪的周期性進(jìn)行組合，注意利用等比數(shù)列求和的方法【例5】（1）若，求： （2）已知，求的值。解：（1）【例6】已知三邊都不相等的三角形abc的三內(nèi)角a、b、c滿足、的值.【解】得3分上式化簡(jiǎn)為6分9分當(dāng)12分【例7】設(shè)z1=1-cos+isin，z2=a2+ai(ar)，若z1z20，z1z2+=0，問(wèn)在（0，2）內(nèi)是否存在使(z1-z2)2為實(shí)數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【分析】這是一道探索性問(wèn)題可根據(jù)復(fù)數(shù)的概念與純虛數(shù)的性質(zhì)及復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件，直接進(jìn)行解答【解】假設(shè)滿足條件的存在因z1z20，z1z2+=0，故z1z2為純虛數(shù)又z1z2=(1-cos+isin)(

8、a2+ai)=a2(1-cos)-asin+a(1-cos)+a2sini，于是，由知a0因(0，2)，故cos1于是，由得a=另一方面，因(z1-z2)2r，故z1-z2為實(shí)數(shù)或?yàn)榧兲摂?shù)又z1-z2=1-cos-a2+(sin-a)i，于是sin-a=0，或1-cos-a2=0若sin-a=0，則由方程組得=sin，故cos=0，于是=或=若1-cos-a2=0，則由方程組得()2=1-cos由于sin2=1-cos2=(1+cos)(1-cos)，故1+cos=(1-cos)2解得cos=0，從而=或=綜上所知，在(0，2)內(nèi)，存在=或=，使(z1-z2)2為實(shí)數(shù)【說(shuō)明】解題技巧：解題中充

9、分使用了復(fù)數(shù)的性質(zhì)：z0，z+=0Ûz純虛數(shù)Û以及z2rÛzr或z純虛數(shù)（注：re(z)，im(z)分別表示復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部）解題規(guī)律：對(duì)于“是否型存在題型”，一般處理方法是首先假設(shè)結(jié)論成立，再進(jìn)行正確的推理，若無(wú)矛盾，則結(jié)論成立；否則結(jié)論不成立【例8】設(shè)a為實(shí)數(shù)，在復(fù)數(shù)集c中解方程：z2+2|z|=a【分析】由于z2=a-2|z|為實(shí)數(shù)，故z為純虛數(shù)或?qū)崝?shù)，因而需分情況進(jìn)行討論【解】設(shè)|z|=r若a0，則z2=a-2|z|0，于是z為純虛數(shù)，從而r2=2ra解得r=(r=0，不合，舍去)故z=±()i若a0，對(duì)r作如下討論：（1）若ra，則z2=a-

10、2|z|0，于是z為實(shí)數(shù)解方程r2=a-2r，得r=(r=0，不合，舍去)故z=±()（2）若ra，則z2=a-2|z|0，于是z為純虛數(shù)解方程r2=2r-a，得r=或r=(a1)故z=±()i(a1)綜上所述，原方程的解的情況如下：當(dāng)a0時(shí)，解為：z=±()i；當(dāng)0a1時(shí)，解為：z=±()，z=±()i；當(dāng)a1時(shí)，解為：z=±()【說(shuō)明】解題技巧：本題還可以令z=x+yi(x、yr)代入原方程后，由復(fù)數(shù)相等的條件將復(fù)數(shù)方程化歸為關(guān)于x，y的實(shí)系數(shù)的二元方程組來(lái)求解【例9】（2004年上海市普通高校春季高考數(shù)學(xué)試卷18）已知實(shí)數(shù)滿足不

11、等式，試判斷方程有無(wú)實(shí)根，并給出證明.【解】由，解得，.方程的判別式.，由此得方程無(wú)實(shí)根.【例10】給定實(shí)數(shù)a，b，c已知復(fù)數(shù)z1、z2、z3滿足求az1+bz2+cz3的值【分析】注意到條件(1)，不難想到用復(fù)數(shù)的三角形式；注意到條件（2），可聯(lián)想使用復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件進(jìn)行求解【解】解法一由=1，可設(shè)=cos+isin，=cos+isin，則=cos(+)-isin(+)因=1，其虛部為0，故0=sin+sin-sin(+)=2sincos-2sincos=2sin（cos-cos）=4sinsinsin故=2k或=2k或+=2k，kz因而z1=z2或z2=z3或z3=z1若z1=z2，代

12、入（2）得=±i，此時(shí)az1+bz2+cz3=|z1|a+b±ci=類似地，如果z2=z3，則az1+bz2+cz3=；如果z3=z1，則az1+bz2+cz3=解法二由（2）知r，故=，即=由（1）得=(k=1，2，3)，代入上式，得=，即z12z3+z22z1+z32z2=z22z3+z32z1+z12z2，分解因式，得(z1-z2)(z2-z3)(z3-z1)=0，于是z1=z2或z2=z3或z3=z1下同解法一【說(shuō)明】解題關(guān)鍵點(diǎn)是巧妙利用復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件：zrÛz=，以及視，等為整體，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算解題易錯(cuò)點(diǎn)是拿到問(wèn)題不加分析地就盲目動(dòng)筆，而不注意充分

13、觀察題目的已知條件，結(jié)論特征等，從而使問(wèn)題的求解或是變得異常的復(fù)雜，或干脆就無(wú)法解出最終的結(jié)果（四）鞏固練習(xí)：設(shè)復(fù)數(shù)z=3cos+2isin，求函數(shù)y=-argz(0)的最大值以及對(duì)應(yīng)角的值【分析】先將問(wèn)題實(shí)數(shù)化，將y表示成的目標(biāo)函數(shù)，后利用代數(shù)法（函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等）以及數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解解法一、由0，得tan0，從而0argz由z=3cos+2isin，得tan(argz)=tan0于是tany=tan(-argz)=當(dāng)且僅當(dāng)，即tan=時(shí)，取“=”又因?yàn)檎泻瘮?shù)在銳角的范圍內(nèi)為增函數(shù)，故當(dāng)=arctan時(shí)，y取最大值為arctan解法二、因0，故cos0，sin0，0argz，且

14、cos(argz)=，sin(argz)=顯然y(-，)，且siny為增函數(shù)siny=sin(-argz)=sincos(argz)-cossin(argz)=當(dāng)且僅當(dāng)，即tan=，取“=”，此時(shí)ymax=arctan解法三、設(shè)z1=2(cos+isin)，z2=cos，則z=z1+z2，而z1、z2、z的輻角主值分別為、0，argz如圖所示，必有y=zoz1，且0y在zoz1中，由余弦定理得9圖xargzyoz1z2zcosy=+當(dāng)且僅當(dāng)4+5cos2=6，即cos=時(shí)，取“=”又因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在0為減函數(shù)，故當(dāng)=arccos時(shí)，ymax=arccos【說(shuō)明】解題關(guān)鍵點(diǎn)：將復(fù)數(shù)問(wèn)題通過(guò)化歸轉(zhuǎn)化

15、為實(shí)數(shù)問(wèn)題，使問(wèn)題能在我們非常熟悉的情景中求解解題規(guī)律：多角度思考，全方位探索，不僅使我們獲得了許多優(yōu)秀解法，而且還使我們對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)認(rèn)識(shí)更清楚，進(jìn)而更有利于我們深化對(duì)復(fù)數(shù)概念的理解，靈活駕馭求解復(fù)數(shù)問(wèn)題的能力解題易錯(cuò)點(diǎn)：因?yàn)榻夥ǖ亩鄻有裕慈呛瘮?shù)表示角的不唯一性，因而最后的表述結(jié)果均不一樣，不要認(rèn)為是錯(cuò)誤的四課后作業(yè)：1、下列說(shuō)法正確的是 a0i是純虛數(shù)b原點(diǎn)是復(fù)平面內(nèi)直角坐標(biāo)系的實(shí)軸與虛軸的公共點(diǎn)c實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)一定是實(shí)數(shù)，虛數(shù)的共軛復(fù)數(shù)一定是虛數(shù)d是虛數(shù)2、下列命題中，假命題是 a兩個(gè)復(fù)數(shù)不可以比較大小b兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小c兩個(gè)虛數(shù)不可以比較大小d一虛數(shù)和一實(shí)數(shù)不可以比較大小3、已知

16、對(duì)于x的方程+（12i）x+3mi=0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)m滿足 4、復(fù)數(shù)1+i+等于 ai b i c2i d2i5、已知常數(shù)，又復(fù)數(shù)z滿足，求復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡。6、設(shè)復(fù)數(shù)，記。（1）求復(fù)數(shù)的三角形式；（2）如果，求實(shí)數(shù)、的值。7、（2003年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(理17)）已知復(fù)數(shù)的輻角為，且是和的等比中項(xiàng)，求8、已知復(fù)數(shù)滿足，且。(1)求的值；(2)求證：；(3)求證對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒有。9、（1992·三南試題）求同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的所有復(fù)數(shù)z：(1)z+是實(shí)數(shù)，且1z+6；(2)z的實(shí)部和虛部都是整數(shù)參考答案1、解0i=0r故a錯(cuò)；原點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為0r故b錯(cuò)，i2=-1r，故d錯(cuò)，所以答案為c。2、解本題主要考察復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)，兩個(gè)不全是實(shí)數(shù)的復(fù)數(shù)不能比較大小，故命題b，c，d均正確，故a命題是假的。3、解本題考察復(fù)數(shù)相等概念，由已知4、解：因?yàn)閕的四個(gè)相鄰冪的和為0，故原式=1+i+i2+0+0=i，答案：a。5、解：z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，但應(yīng)除去原點(diǎn)。