連續(xù)信號頻域分析-3

1、1 在連續(xù)信號的時域分析中，是把信號表示為時移沖激在連續(xù)信號的時域分析中，是把信號表示為時移沖激信號的線性組合，然后通過卷積分析法來求解的。信號的線性組合，然后通過卷積分析法來求解的。 在連續(xù)信號的頻域分析中，也是將信號表示成一組基本在連續(xù)信號的頻域分析中，也是將信號表示成一組基本信號的線性組合，所不同的是選取的基本信號是復(fù)指數(shù)信號，信號的線性組合，所不同的是選取的基本信號是復(fù)指數(shù)信號，由此得到連續(xù)時間信號的傅里葉級數(shù)和傅里葉變換。由此得到連續(xù)時間信號的傅里葉級數(shù)和傅里葉變換。第三章第三章 連續(xù)信號頻域分析連續(xù)信號頻域分析)d()()(tftf3.1 引言引言)()()(thtfty 根據(jù)疊加

2、原理，根據(jù)疊加原理，LTI系統(tǒng)對任意一個由這些基本信號系統(tǒng)對任意一個由這些基本信號的線性組合組成的輸入信號的響應(yīng)，就是系統(tǒng)對這些基本的線性組合組成的輸入信號的響應(yīng)，就是系統(tǒng)對這些基本信號單獨作用所產(chǎn)生的響應(yīng)的線性組合。信號單獨作用所產(chǎn)生的響應(yīng)的線性組合。 但信號的這種頻域表示是非常有用的一類，在信號與但信號的這種頻域表示是非常有用的一類，在信號與系統(tǒng)分析中有重要的物理意義。系統(tǒng)分析中有重要的物理意義。2 信號可以表示為不同類型的基本信號的線性組合，但信號可以表示為不同類型的基本信號的線性組合，但所選擇的基本信號應(yīng)該具有以下兩個特性：所選擇的基本信號應(yīng)該具有以下兩個特性： 基本信號可以構(gòu)成廣泛有

3、用的信號；基本信號可以構(gòu)成廣泛有用的信號；tteHe)( 傅里葉分析的重要性大多來源于復(fù)指數(shù)信號的這兩個特傅里葉分析的重要性大多來源于復(fù)指數(shù)信號的這兩個特性性。復(fù)指數(shù)信號對連續(xù)時不變系統(tǒng)有：。復(fù)指數(shù)信號對連續(xù)時不變系統(tǒng)有：3.2 LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng) 線性時不變系統(tǒng)對線性時不變系統(tǒng)對基本信號的響應(yīng)應(yīng)該十分簡單，基本信號的響應(yīng)應(yīng)該十分簡單，以便求解系統(tǒng)對任意輸入信號的響應(yīng)。以便求解系統(tǒng)對任意輸入信號的響應(yīng)。H( )是復(fù)振幅因子是復(fù)振幅因子, 通常它是復(fù)變量通常它是復(fù)變量 的函數(shù)。稱的函數(shù)。稱 (t)=e t是是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，其特征值為系統(tǒng)的特征函數(shù)，其特征值

4、為H( )，因為，因為)()(ttH3設(shè)系統(tǒng)轉(zhuǎn)移算子為設(shè)系統(tǒng)轉(zhuǎn)移算子為 niiinppKpppppppNpH121)()()()(則單位沖激響應(yīng)為則單位沖激響應(yīng)為)()()()(1tUeKtpHthnitpii則則系統(tǒng)的響應(yīng)為系統(tǒng)的響應(yīng)為設(shè)輸入設(shè)輸入 f(t)=e t，對于單位沖激響應(yīng)為，對于單位沖激響應(yīng)為h(t)的的LTI系統(tǒng)，有系統(tǒng)，有dehedehthtftytt)( )()()()()()(10)(nipitdeKetyi4令令 = j ，H(p)的分母的分母D(p)=0的根的根pi中，只要有一個滿足中，只要有一個滿足 則 反之，反之，若若Repimax Re = ，則，則ReReip

5、)()(110)(HepKedeKetytniiitnipitippHH)()(與傳輸算子的關(guān)系為與傳輸算子的關(guān)系為H( )是復(fù)常數(shù)，其值取決于是復(fù)常數(shù)，其值取決于 ，它與系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)，它與系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的關(guān)系為的關(guān)系為)(10)(nipitdeKetyidehH)()(5設(shè)輸入信號由復(fù)指數(shù)信號線性組合而成，即設(shè)輸入信號由復(fù)指數(shù)信號線性組合而成，即根據(jù)特征函數(shù)的性質(zhì)有根據(jù)特征函數(shù)的性質(zhì)有 則系統(tǒng)的響應(yīng)為則系統(tǒng)的響應(yīng)為tttaaatf321eee)(321ttttttHaaHaaHaa312111e)(ee)(ee)(e333222111tttHaHaHaty321e )(e )(e )(

6、)(332211推廣：若一個連續(xù)推廣：若一個連續(xù)LTI系統(tǒng)的輸入可以表示成復(fù)指數(shù)信號系統(tǒng)的輸入可以表示成復(fù)指數(shù)信號的線性組合，即的線性組合，即ktkkatfe)(則可以求得系統(tǒng)的輸出為則可以求得系統(tǒng)的輸出為ktkkkHatye )()(6 n個正交矢量可構(gòu)成一個個正交矢量可構(gòu)成一個n維空間，此空間任意矢量可用這維空間，此空間任意矢量可用這n個正交個正交矢量表示。矢量表示。3.3 信號的完備正交函數(shù)集表示信號的完備正交函數(shù)集表示一、正交矢量一、正交矢量則稱這兩個矢量正交。則稱這兩個矢量正交。021AA1、平面空間：、平面空間：若矢量若矢量2211AcAcA2、三維空間：、三維空間：若矢量若矢量正

7、正交交。則則稱稱321,AAA 兩個正交矢量可構(gòu)成一個平面空間，此兩個正交矢量可構(gòu)成一個平面空間，此空間任意矢量可用這兩個正交矢量表示?？臻g任意矢量可用這兩個正交矢量表示。332211AcAcAcA3、n維空間：維空間：若矢量若矢量)(0jiAAjinji, 1,nnAcAcAcA2211)( 0jiAAji 三個正交矢量可構(gòu)成一個三維空間，此三個正交矢量可構(gòu)成一個三維空間，此空間任意矢量可用這三個正交矢量表示?？臻g任意矢量可用這三個正交矢量表示。3 ,2, 1; 3 ,2, 1ji正正交交。則則稱稱jiAA,7二、正交函數(shù)與正交函數(shù)集二、正交函數(shù)與正交函數(shù)集則稱則稱 f1(t) 和和 f2(

8、t)為正交函數(shù)。為正交函數(shù)。0 0) )d d( () )( (2 21 12 21 1ttftftt如果如果為歸一化正交函數(shù)集。則稱)(,),(1tftfn若實函數(shù)若實函數(shù) f1(t) 和和 f2(t)在在(t1 ，t2)上滿足上滿足ririttftfrtti1 10 0) )d d( () )( (2 21 1若若f1(t) ， fn(t)定義在區(qū)間定義在區(qū)間(t1，t2)上，并且在該區(qū)間內(nèi)上，并且在該區(qū)間內(nèi)有有1、實變函數(shù)、實變函數(shù)：rikrittftfirtti0 0) )d d( () )( (2 21 1則則f1(t) ， fn(t)在在(t1，t2)內(nèi)稱為正交函數(shù)集。內(nèi)稱為正交函

9、數(shù)集。80 0) )d d( () )( (2 21 1ttftitt2、復(fù)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)：若有若有n個復(fù)變函數(shù)個復(fù)變函數(shù) fi (t) （i=1，n）在區(qū)）在區(qū)間間(t1，t2)上滿足上滿足為歸一化正交函數(shù)集。則稱復(fù)函數(shù)集)(,),(1tftfn三、完備的正交函數(shù)集三、完備的正交函數(shù)集ririttftfrtti10) )d d( () )( (2 21 1 若若 f1(t) ， fn(t)在區(qū)間在區(qū)間(t1，t2)上為正交函數(shù)集，不上為正交函數(shù)集，不再存在任意函數(shù)再存在任意函數(shù) (t)與其正交。則與其正交。則 f1(t) ， fn(t)稱為完稱為完備正交函數(shù)集。備正交函數(shù)集。 即任意函數(shù)即

10、任意函數(shù) (t)與與正交函數(shù)集中的任一函數(shù)正交函數(shù)集中的任一函數(shù)fi (t)在區(qū)間在區(qū)間(t1，t2)上的積分一定不為零。上的積分一定不為零。9定理定理1. 若若 f1(t) ， fn(t) 在區(qū)間在區(qū)間(t1，t2)上為完備正交函上為完備正交函數(shù)集，則在數(shù)集，則在 (t1，t2)上任意函數(shù)上任意函數(shù) f(t)可用可用表示為：表示為：)()()()()(2211tfctfctfctfctfnnkk21212)()()(ttkttkkdttfdttftfc其中其中ck為加權(quán)系數(shù)，且有為加權(quán)系數(shù)，且有定理定理2. 若若 f (t)可用可用完備正交函數(shù)集完備正交函數(shù)集 f1(t) ， fn(t)表示

11、，表示，則則nkttkkttttfcttf1222121d)(d)(（Parserval定理）定理）物理意義：物理意義：一個信號所含有的能量一個信號所含有的能量(功率功率)恒等于此信號在完備恒等于此信號在完備正交函數(shù)集中各分量能量正交函數(shù)集中各分量能量(功率功率)之和。之和。101、三角函數(shù)集三角函數(shù)集) , 2 , 1 , 0 ,( sin)cosmntmtn) )( (, ,( (在區(qū)間在區(qū)間(t0，t0 +T)內(nèi)是一個完備的正交函數(shù)集。內(nèi)是一個完備的正交函數(shù)集。 并且有，為周期 2 T,T2、指數(shù)函數(shù)集指數(shù)函數(shù)集) 2, , 1 ,0( ntnj je e)0( )( 2)( 0d)co

12、s()cos(00mnTmnTmnttmtnTtt)( 2)0 ,( 0d)sin()sin(00mnTmnmnttmtnTtt在區(qū)間在區(qū)間(t0，t0 +T)內(nèi)也是一個完備的正交函數(shù)集。內(nèi)也是一個完備的正交函數(shù)集。 0d)sin()cos(00Tttttmtn113、抽樣函數(shù)集抽樣函數(shù)集4、沃爾什函數(shù)集沃爾什函數(shù)集Wal(k, t)在區(qū)間在區(qū)間(0, 1)內(nèi)內(nèi), 對于周期為對于周期為1的一類信號來說是一個的一類信號來說是一個完備的正交函數(shù)集。完備的正交函數(shù)集。) 2, 1, , 0( nntTSa 在區(qū)間在區(qū)間(t0，t0 +T)內(nèi)，對于有限帶寬信號來說是一個完內(nèi)，對于有限帶寬信號來說是一個

13、完備的正交函數(shù)集。備的正交函數(shù)集。 102cossgn),(Walprrrtktk其中，其中，kr是序數(shù)是序數(shù)k的二進制表示中各位的二進制表示中各位二進數(shù)字的值，它為二進數(shù)字的值，它為0或為或為1； r是二進是二進制數(shù)和十進制數(shù)相互變換時各位數(shù)中制數(shù)和十進制數(shù)相互變換時各位數(shù)中2的冪次數(shù)，的冪次數(shù)，p是是k的二進數(shù)的位數(shù)。的二進數(shù)的位數(shù)。12三角函數(shù)表示三角函數(shù)表示內(nèi)為完備正交函數(shù)集。直流分量直流分量220)(2TTdttfTa余弦分量幅度余弦分量幅度（基頻基頻）正弦分量幅度正弦分量幅度3.4 連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示對于周期信號對于周期信號 f (t)

14、=f (t+nT), 當(dāng)其滿足狄氏條件時當(dāng)其滿足狄氏條件時, 可展成：可展成：10sincos2)(nnntnbtnaatfT2周期信號周期信號 f (t)=f (t +T )可用在可用在(t0，t0 +T )內(nèi)完備正交函數(shù)集表示。內(nèi)完備正交函數(shù)集表示。) ,(.) , 1 , 0( sincos00Tttntntn在三角函數(shù)集) )( () ), ,( (22cos)(2TTntdtntfTa22sin)(2TTntdtntfTb132200 2nnnbaAaAnnnabarctannnnnnnAbAasin cos余弦形式余弦形式10sincos2)( ) 1 (nnntnbtnaatf1

15、0)cos()( )2(nnntnAAtf 可見，可見， 周期信號可分解為直流，基波和各次諧波的線周期信號可分解為直流，基波和各次諧波的線性組合。各分量的振幅性組合。各分量的振幅an、bn，An和相位和相位 n都是都是n 的函數(shù)的函數(shù),并有：并有： 三角函數(shù)形式三角函數(shù)形式 An和和an是是n 的偶函數(shù)的偶函數(shù), 即即An=An ， an=an ； n和和bn是是n 的奇函數(shù)的奇函數(shù), 即即 n= n ， bn=bn 。14tdtntbnsin1求下圖所示周期鋸齒波的傅里葉級數(shù)展開式。求下圖所示周期鋸齒波的傅里葉級數(shù)展開式。解：解：由圖可知由圖可知nnnn2) 1(cos21傅里葉級數(shù)展開式為

16、傅里葉級數(shù)展開式為：)3sin312sin21(sin2)(ttttf) , 2 , 1 , 0( 0cos 1cos)(22/2/nntdtttdtntfTaTTntttf )(12 ,2TT周期周期展開式系數(shù)展開式系數(shù)（n=1, 2, ）15( ， )，但，但。 指數(shù)函數(shù)集指數(shù)函數(shù)集 在在(t0，t0 +T)內(nèi)內(nèi)為完備正交函數(shù)集。為完備正交函數(shù)集。) ,2 , 1 ,0( netjn) , 2 , 1 , 0(n2222)(TTtjntjnTTtjnndteedtetfF對于周期信號對于周期信號 f (t)=f (t+nT), 當(dāng)其滿足狄氏條件時當(dāng)其滿足狄氏條件時, 可展成：可展成：tjn

17、nneFtf)(22)(1TTtjndtetfT指數(shù)形式指數(shù)形式16j2)(in ,2)cos(jjjjtntntntneetnseetn或者或者)e(ej2)e(e22 sincos2)(jjjj1010tntnntntnnnnnnbaatnbtnaatfntnnntnntnnFFFAj1jj0e)ee(2000aAF) 0( 22j) 0( 22jjjneAbaFneAbaFnnnnnnnnnnnnnnnAbaFje2)j(21指數(shù)函數(shù)形式與三角函數(shù)形式之間存在著確定的關(guān)系。指數(shù)函數(shù)形式與三角函數(shù)形式之間存在著確定的關(guān)系。17由此產(chǎn)生的誤差為三三. 傅里葉級數(shù)的收斂性傅里葉級數(shù)的收斂性NN

18、ntjnnNeFtf)( 周期信號f (t)可用有限項指數(shù)信號的線性組合來近似 可以證明，當(dāng)信號f (t)在一個周期內(nèi)平方可積時，即0e)(1 )(12j2tdFtfTdttfTTntnnT時，NNntjnnNNeFtftftfte)()()()( 可以證明在項數(shù)可以證明在項數(shù)N一定時，一定時，fN (t)中的系數(shù)取傅里葉級數(shù)中的系數(shù)取傅里葉級數(shù)的系數(shù)時，誤差能量的系數(shù)時，誤差能量 最小。最小。TNNtteEd)(2 說明，一個在一周期上具有有限能量的周期信號，保證說明，一個在一周期上具有有限能量的周期信號，保證了其傅里葉級數(shù)均方收斂。了其傅里葉級數(shù)均方收斂。18 工程實際中的信號大都在一個周

19、期內(nèi)具有有限能量的條工程實際中的信號大都在一個周期內(nèi)具有有限能量的條件，因而它們均可表示為傅里葉級數(shù)。件，因而它們均可表示為傅里葉級數(shù)。 (1) 在一個周期內(nèi)，如果有間斷點存在，則間斷點的數(shù)目在一個周期內(nèi)，如果有間斷點存在，則間斷點的數(shù)目應(yīng)是有限個；應(yīng)是有限個； (2) 在一個周期內(nèi)，在一個周期內(nèi)，f (t)具有有限個極大值和極小值。具有有限個極大值和極小值。傅里葉級數(shù)在除不連續(xù)點外逐點收斂于f (t)，在不連續(xù)點收斂于f (t)的左極限與右極限的平均值。 (3) 在一個周期內(nèi)，在一個周期內(nèi)，f (t)絕對可積，即絕對可積，即 。Tttdttf11)( 均方誤差為零，并不意味著 f (t) 與

20、其展開式逐點相等。傅里葉級數(shù)要逐點收斂于原信號 f (t)，必須滿足狄里赫利(Dirichlet)條件：19（2） f (t)為奇函數(shù)為奇函數(shù))()(tftf0naTntdtntfTb0sin)(2200sin)(4TtdtntfT（1） f (t)為偶函數(shù)為偶函數(shù))()(tftf200cos)(4TntdtntfTa20 波形移動波形移動 T/2，與原波形橫，與原波形橫軸對稱，稱為奇諧函數(shù)軸對稱，稱為奇諧函數(shù)。 傅里葉級數(shù)展開式中偶次諧傅里葉級數(shù)展開式中偶次諧波為零，只有正弦和余弦項的奇波為零，只有正弦和余弦項的奇次諧波分量。次諧波分量。 2Ttftf 波形移動波形移動 T/2，與原波形，與

21、原波形重合，稱為偶諧函數(shù)。重合，稱為偶諧函數(shù)。 傅里葉級數(shù)展開式中奇次諧波為零，只有直流和正弦傅里葉級數(shù)展開式中奇次諧波為零，只有直流和正弦與余弦的偶次諧波分量。與余弦的偶次諧波分量。（4）f (t)為偶諧函數(shù)為偶諧函數(shù)（3）f (t)為奇諧函數(shù)為奇諧函數(shù)21ntnnFtfje)( ) 1 (ntntnnFttfjj0ee)( )2(0若若 ，則，則 f (t)的傅里葉級數(shù)展開式具有以下的傅里葉級數(shù)展開式具有以下性質(zhì)：性質(zhì)：tnnneFtfj)(ntnnFntfjej)( )3(傅里葉級數(shù)的性質(zhì)傅里葉級數(shù)的性質(zhì)ntnnnFFttfj11e2)cos( )4(ntnnnFFttfj11e2j)s

22、in( )5(ntnnkkFntfj)(e)(j)(2210)cos()(nnntnAAtf 描述各次諧波振幅與頻率關(guān)系的圖形稱為振幅頻譜，描述各次諧波振幅與頻率關(guān)系的圖形稱為振幅頻譜，描述各次諧波相位與頻率關(guān)系的圖形稱為相位頻譜。描述各次諧波相位與頻率關(guān)系的圖形稱為相位頻譜。（1） 單邊頻譜單邊頻譜 若周期信號若周期信號 f (t)的傅里葉級數(shù)展開式為的傅里葉級數(shù)展開式為則對應(yīng)的振幅頻譜則對應(yīng)的振幅頻譜An( )和相位頻譜和相位頻譜 n( )稱為單邊頻譜。稱為單邊頻譜。23【解【解】 212d)(4200TttfTaT20dcos)(4TnttntfTann)4sin(20nb例例: 求圖示

23、周期信號的單邊頻譜。求圖示周期信號的單邊頻譜。20dcos4ttnT由圖可知，由圖可知，f (t)為偶函數(shù)，為偶函數(shù)，其傅里葉級數(shù)的系數(shù)為其傅里葉級數(shù)的系數(shù)為)2 ,4(TT因此因此)4(21)4(2)4sin(41200nSannAaAn24tnnneFtfj)(（2） 雙邊頻譜雙邊頻譜 若周期信號若周期信號 f (t)的傅里葉級數(shù)展開式為的傅里葉級數(shù)展開式為則對應(yīng)的振幅頻譜則對應(yīng)的振幅頻譜Fn( )和相位頻譜和相位頻譜 n( )稱為雙邊頻譜。稱為雙邊頻譜。例例: 求圖示周期信號的雙邊頻譜。求圖示周期信號的雙邊頻譜。【解【解】 22jde)(1TTtnnttfTFTntTnntnjeede1

24、2j2j22j)4(412)4sin(2nSann25（3） 周期信號頻譜的特點周期信號頻譜的特點1）離散性）離散性 : 頻譜由頻率離散而不連續(xù)的譜線組成；頻譜由頻率離散而不連續(xù)的譜線組成； 2）諧波性：各次諧波分量的頻率都是基波頻率的整數(shù)倍，）諧波性：各次諧波分量的頻率都是基波頻率的整數(shù)倍，而且相鄰諧波的頻率間隔是均勻的；而且相鄰諧波的頻率間隔是均勻的；3）收斂性：譜線幅度隨諧波頻率的增大而衰減趨于零。）收斂性：譜線幅度隨諧波頻率的增大而衰減趨于零。 可見：雙邊振幅頻譜是將除零頻以外的單邊頻譜的譜線一分可見：雙邊振幅頻譜是將除零頻以外的單邊頻譜的譜線一分為二對稱的畫在縱軸兩邊。為二對稱的畫在

25、縱軸兩邊。26以周期矩形脈沖信號為例，討論頻譜的特點。以周期矩形脈沖信號為例，討論頻譜的特點。)2(22sinnSaTEnnTE5T周期周期信號的信號的有效頻譜寬度有效頻譜寬度)2(5nSaEFn22jd1tEeTFtnn譜線的包絡(luò)線過零點。譜線的包絡(luò)線過零點。,) 2 1( 2時，當(dāng)mm把把 = 02 / 的頻率范圍稱的頻率范圍稱為信號的有效頻帶寬度為信號的有效頻帶寬度。記作記作1 2fBB27(4) (4) 有效頻寬：第一個零分量頻率。它只與脈沖寬度有效頻寬：第一個零分量頻率。它只與脈沖寬度 有關(guān)，而且成反比有關(guān)，而且成反比關(guān)系。關(guān)系。xxxSasin)(2) 直流分量、基波及各次諧波直流

26、分量、基波及各次諧波分量的大小正比于脈沖幅度分量的大小正比于脈沖幅度E和和脈沖寬度脈沖寬度 ，反比于周期，反比于周期T，其，其最大值在最大值在n=0處。處。 22mnmn2B例：例：語音信號頻率約為語音信號頻率約為 3003400Hz 音樂信號頻率約為音樂信號頻率約為 5015,000Hz 擴音器與揚聲器有效帶寬約為擴音器與揚聲器有效帶寬約為 1520,000Hz(3) (3) 零頻率：使得零頻率：使得Fn=0的頻率。的頻率。(1) (1) 頻譜具有離散性、諧波性和頻譜具有離散性、諧波性和衰減性，其包絡(luò)線服從抽樣函數(shù)衰減性，其包絡(luò)線服從抽樣函數(shù) 282 ) 1 (T結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)周期當(dāng)周期 變

27、大時變大時 零頻率不變：零頻率不變：B 或或Bf不變；不變； 減小，譜線間距減小，譜線變密；減小，譜線間距減小，譜線變密； 有效頻帶內(nèi)諧波分量增多；有效頻帶內(nèi)諧波分量增多； 譜線振幅減小，變化趨緩。譜線振幅減小，變化趨緩。1、設(shè)、設(shè) f (t)中的中的 E不變，不變， 不變，當(dāng)不變，當(dāng)周期周期 變化時，頻譜如何變化？變化時，頻譜如何變化？)2(nSaTEFn4 ) 2(T8 ) 3(T三、三、 周期信號頻譜與脈沖參數(shù)的關(guān)系周期信號頻譜與脈沖參數(shù)的關(guān)系292、設(shè)、設(shè) f (t)中的中的E不變，周期不變，周期 不變，當(dāng)不變，當(dāng) 變化時，頻譜如何變化？變化時，頻譜如何變化？結(jié)論：結(jié)論： 增大時：增大

28、時： 不變，譜線間距相等；不變，譜線間距相等； 零分量頻率減?。毫惴至款l率減?。築 或或Bf變??；變小；有效譜帶內(nèi)諧波分量減少；有效譜帶內(nèi)諧波分量減少； 譜線振幅增大，減小變化急速。譜線振幅增大，減小變化急速。10 ) 1 (T5 ) 2(T30 周期信號周期信號f (t)的平均功率定義為在的平均功率定義為在1 電阻上消耗的平均電阻上消耗的平均功率功率, 即即四、周期信號的功率譜四、周期信號的功率譜TdttfTP02)(1由于由于nnTFdttfTP202)(1離散譜。周期信號的功率譜也是簡稱功率譜。功率頻譜的關(guān)系稱為周期信號的或與頻率 ,)(2nFntje)(nnFtf上式稱為上式稱為帕塞瓦

29、爾帕塞瓦爾定理。它表明，周期信號在時域的平均功定理。它表明，周期信號在時域的平均功率等于頻域中的直流功率分量和各次諧波平均功率分量之和。率等于頻域中的直流功率分量和各次諧波平均功率分量之和。因此因此31W181. 0)5(51 )2(nSanSaTEFn例：例：求圖示信號求圖示信號f (t)在有效頻譜寬度內(nèi)，諧波分量所具有的在有效頻譜寬度內(nèi)，諧波分量所具有的平均功率占整個信號平均功率的百分比平均功率占整個信號平均功率的百分比。設(shè)。設(shè)E=1，T=1/4， =1/20?！窘狻窘狻?22423222120FFFFFPBW2 . 0)(102TdttfTP%5 .90PPB第一個零分量頻率為第一個零分

30、量頻率為4020在有效頻帶內(nèi)包含一個直在有效頻帶內(nèi)包含一個直流分量和流分量和4 4個諧波分量。個諧波分量。平均功率為平均功率為323.6 非周期信號頻譜非周期信號頻譜,時當(dāng)T周期信號周期信號 非周期信號非周期信號ntnneFtfTj)( ,有限時當(dāng)22jd)(1TTtnntetfTF離散譜離散譜 連續(xù)譜，幅度無限小連續(xù)譜，幅度無限小頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)fFTFFTnnn122jd)(TTtntetfndT ,2tetfTFtnTd)(limjtetfjFtd)()(j單位頻帶上的諧波幅度單位頻帶上的諧波幅度tnnneTFtfj2)(dejFtjT)(21記為記為一個一個非周期信號可以看作是

31、無限多個幅度無限小的復(fù)指數(shù)諧波之和。非周期信號可以看作是無限多個幅度無限小的復(fù)指數(shù)諧波之和。 33dtetfjFtj)()(dejFtftj)(21)()j ()(FtfF(j )反映單位頻率上幅值與相位分布情況，故稱反映單位頻率上幅值與相位分布情況，故稱頻譜密度頻譜密度函數(shù)。它一般為復(fù)數(shù)。函數(shù)。它一般為復(fù)數(shù)。)(j| )(|)(ejFjF)(sin| )j (| j)(cos| )j (|)j (FFF XRj)j ()()()(1FFtftfFjF簡記為簡記為相位頻譜幅度頻譜 )( , )j (F34d)(sinj21jd)(cosj21tFtFdeeFtftj)(jj21)()(j)(t

32、ftfir任一非周期信號任一非周期信號 f (t)可分解為無窮多個幅度為無窮小的連可分解為無窮多個幅度為無窮小的連續(xù)指數(shù)信號之和。續(xù)指數(shù)信號之和。若若f (t)為實函數(shù)，則為實函數(shù)，則|F(j )|是是 的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， ( )是是 的奇函的奇函數(shù)；并且數(shù)；并且 f (t)可分解為無窮多個幅度為無窮小的連續(xù)余弦可分解為無窮多個幅度為無窮小的連續(xù)余弦信號之和。信號之和。任一非周期信號任一非周期信號 f (t)也可分解為實函數(shù)和虛函數(shù)之和。也可分解為實函數(shù)和虛函數(shù)之和。d)(cos)j (1)(0tFtf35d)j (21)(j teFtf0d)()(2ttftf若若信號信號f (t)的能量有

33、限，則的能量有限，則那么那么F(j )就是有限的，傅里葉變換式就收斂，就有就是有限的，傅里葉變換式就收斂，就有ttfd)(2 一般來說，一般來說， f (t)存在傅里葉變換的充分條件為：在區(qū)間存在傅里葉變換的充分條件為：在區(qū)間(，)內(nèi)，內(nèi)，f (t)滿足狄里赫利條件。滿足狄里赫利條件。即應(yīng)滿足絕對可積即應(yīng)滿足絕對可積 dttf)( 但在實際中，此條件可以放寬，允許但在實際中，此條件可以放寬，允許 f (t)包含有限多個包含有限多個奇異函數(shù)。奇異函數(shù)。360)()(tUEetft22)j (EFarctan)(dtetfjFtj)()(0jdteEettjE37000e)( ttEetEetft

34、t0j0j dtEedteEettt222EdtetfjFtj)()(jjEE000)( tEetEetftt0j0j )j (dtEedteEeFttt222jEjjEE380101)sgn()(ttttfj2)2j(lim)j (220F)sgn(00 )(lim 0ttetetftt1)(tf100)(lim 0tetetftt0002lim)j (220F2d222 2jF 2139)()(tUtfj1)()()(lim)( 0tUtUetft2200jlimj1lim)j (F220220jlimlim)()(ttf1d)()(jtetjFt402)2sin(E)()(tEGtf2/

35、2/jjd d)()j (tEetetfFttj2/j2/jeeE)2/sin(2E)2( SaE41jE ( ),0tEeU t)sgn(tj2)(t1j1)()(tU)2( SaE)(tEG)(21423.7 例：例：)j ()( )j ()(2211FtfFtf)j ()j ()()(2121bFaFtbftaf)()(tUtf)(21j1)sgn(21t jjF1)( tsgn2121，若)j ()( Ftf)j()( Ftf則)()()()(為虛函數(shù)為實函數(shù)tfjFtfjF43)( 2)j ( ftF則，若)j ()( Ftf，即是偶函數(shù)，若)()( )(tftftf)( 2)j (

36、ftF則有例例：。求)j ( ,sin)(Ftttf解：解：)2( )(SatG)( 2)2( GtSa2(j ) ( )FtG例：例：。求)j ( ,1)(Fttf解：解：j2)sgn(t)sgn(2j2t)sgn(j)j (F)sgn(j44，若)j ()( Ftf)j (1)( aFaatf則例：例：。求)j ( ),()(2/FtEGtf解：解：)4(2)j (SaEF)2( )(SaEtEG)2()()(2/tEGtEGtf45例：例：) 1() 1()(22tGtGtf0j0)j ()( teFttf則。的頻譜求圖示信號)()(jFtf解：解：由于由于)(2)(2SatG)j()j

37、(21cos)(000FFttfjj)(2)(2)j (eSaeSaFsin)(4 j Sa)( j )( 0j0Fetft則)(j21sin ),(21cos0000jj0jj0tttteeteet，若)j ()( Ftf，若)j ()( Ftf則則)j()j(2jsin)(000FFttf46 f (t)乘以乘以cos 0t 等于對正弦信號的幅度進行調(diào)制。這等于對正弦信號的幅度進行調(diào)制。這種調(diào)制稱為幅度調(diào)制。正弦信號種調(diào)制稱為幅度調(diào)制。正弦信號cos 0t 稱為載波，稱為載波， f (t)稱稱為調(diào)制信號，為調(diào)制信號， 而而f (t)cos 0t 是已調(diào)制信號。是已調(diào)制信號。例：例：)j()

38、j(21cos)(000FFttf而而)102(2)102(2)j (SaSaY 頻移特性也稱頻移特性也稱調(diào)制特性。時域幅度調(diào)制，在頻域就將調(diào)制特性。時域幅度調(diào)制，在頻域就將整個頻譜相應(yīng)地搬移到整個頻譜相應(yīng)地搬移到 0位置。位置。 )j ( ),j ()(。求圖示系統(tǒng)，已知YFtf解：解：ttfty10cos)()()10( j 21)10( j 21)j (FFY)2(4)j()()(4SaFtGtf則則47例：例：。的頻譜求圖示信號)()(jFtf解：解：) 1(cos2)()()(jFjdttfdnnn)j(jd)(d Fttf則，若)j ()( Ftf)(1)(2)(1)( ttttf

39、jj2121)()()( eetfFjtfF)cos1 (2)j (2F)2( )2()2(sin 222Sa48)2(j1)()j (SaFj)j ()()0( )( FFdxxft則，若)j ()( Ftf例：例：。的頻譜求圖示信號)()(jFtf解：解：)(1)(tGtf)2(Saj)2()()0( )(SaSadxxft 因為因為t 時，時， f (t)0， 不能不能采用微分性質(zhì)，而應(yīng)采用積分性質(zhì)。采用微分性質(zhì)，而應(yīng)采用積分性質(zhì)。49例：例：d1(j )( )()djt U tt d)(d)()j( jFtft則nnnFtftd)j (d)()j(。的頻譜函數(shù)求)j ()()(FttU

40、tf1( )()jU t 解：解：，若)j ()( Ftf21)(j)(ttU50例：例：dxxFttftf)j()j()()()0( 則dxxFttf)j()j()(當(dāng)當(dāng) f (0)=0時，時，)1() 1(j22)ee(j21sinjjtttxxxttd)1() 1(j)j(sin)1() 1(jUU。，求已知)j (sin)( Ftttf解：解：，若)j ()( Ftf)( )1() 1()j (2GUUF則則51)j ()j ()()( 2121FFtftf則tetfftftfFtdd)()()()(j2121dd)()(j21tetfftdeFfj21)j ()(defFj12)()

41、j (證明證明：)j ()j (21FF 卷積定理揭示了時間域與頻率域的運算關(guān)系，在通訊、信息傳輸?shù)染矸e定理揭示了時間域與頻率域的運算關(guān)系，在通訊、信息傳輸?shù)裙こ填I(lǐng)域中具有重要理論意義和應(yīng)用價值工程領(lǐng)域中具有重要理論意義和應(yīng)用價值。（時移性質(zhì)）（時移性質(zhì)）)j ()( )j ()( 2211FtfFtf，若52。求圖示信號)j ( ),( Ftf解：解：)()(1)(tGtGtf例例:)2()2(1)j (SaSaF)2( )(SatG例例: 解：解：)j ()sgn(j)j (FF)2(2Sa。求，已知)j ( )j ()( ,1)()( FFtfttftfj2)sgn(t根據(jù)對稱性根據(jù)對稱

42、性)sgn(2j2t)sgn(j1t53)j ()j (21)()( 2121FFtftf則解：解：)j ()( )j ()( 2211FtfFtf，若例例: 利用頻域卷積定理求利用頻域卷積定理求f(t)=cos 0tU(t)的傅里葉變換的傅里葉變換F(j )。)()()(cos)(210tftfttUtf)()( cos)(201tUtfttf)()()j (001Fj1)()j (2F)j ()j (21)j (21FFF)( j1)( j121)()(20000)( j)()(2)j (20200F54推廣：推廣：d)j ()j (21d)()(2121FFttftf則有d)(21d)(

43、) 1 (22jFttfdFdttftf)j (21)( ,)( )2(22則為實函數(shù)若dFFdttftftftf)j ()j (21)()( )()( ) 3(212121則均為實函數(shù)，、若意義：意義：能量守恒。即：信號時域能量等于頻域能量。能量守恒。即：信號時域能量等于頻域能量。)j ()( )j ()( 2211FtfFtf，若55)()j ()()(2aGaFatSatf解：解：)()()(2atSaatSaatSadtatSa)(2求積分dGadtatSaa222 )(21)(adaaa2)(21)(21 由于dGdttt)( )(221sin 2所以56)()()()j ()(FF

44、F（1）當(dāng)）當(dāng) f (t)為實函數(shù)時，則：為實函數(shù)時，則：若若 f (t)為實偶函數(shù)，為實偶函數(shù)，即即 f (t)= f (t)，則：，則：)(j)(e )()j ()( )(jXRFFtf若)()()()(XXRR0)()()()j (XRFF若若 f (t)為實奇函數(shù)，即為實奇函數(shù)，即 f (t)= f (t)，則：，則：0)()(j)j (RXF（2）當(dāng)）當(dāng) f (t)為虛函數(shù)時，則：為虛函數(shù)時，則：)()()()(FF)()()()(XXRR573.8 周期信號的傅立葉變換周期信號的傅立葉變換te0j1 .1)(20)(21cos . 200jj0tteet)()(oo)()(joo)

45、(j21sin . 300jj0tteet58展為傅立葉級數(shù)：展為傅立葉級數(shù)：nTnTtttf)()()(ntnnTeFtj)(nnTjF2)(TdtetTdtetTFTTtnTTtnTn1)(1)(122j22j)(nn)(2jnetn59ntnneFtfj)(nnnnnFnFF)(2)(2)j (,d)( 2 22jTTtnntetfFT，式中，對上式兩邊取傅里葉變換，并利用其線性和頻移性，可得對上式兩邊取傅里葉變換，并利用其線性和頻移性，可得可見，一般周期信號的傅里葉變換可見，一般周期信號的傅里葉變換(頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù))是由無窮是由無窮多個沖激函數(shù)組成，這些沖激函數(shù)位于信號的各諧

46、波頻率多個沖激函數(shù)組成，這些沖激函數(shù)位于信號的各諧波頻率n (n=0, 1, 2, )處處，其強度為相應(yīng)傅里葉級數(shù)系數(shù)，其強度為相應(yīng)傅里葉級數(shù)系數(shù)Fn的的2 倍。倍。 對于周期為對于周期為T的一般周期信號的一般周期信號f (t)，其指數(shù)形式的傅立，其指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)展開式為葉級數(shù)展開式為60。求求圖圖示示信信號號)(),(jFtf解：方法解：方法1例：例： ntjnneFtf)()2(nSaT)(2nFnnntnneFtfj)()()2(2)j (nnSaTFnnnnSa)()2(22j)(1TTtnndtetfTF22j1dteTtnT=3 時時的頻譜圖的頻譜圖61方法方法2)2( )(

47、SatGnTnt)()()()(ttGtfTnnSaF)( )2( )j (*T=3 時時的頻譜圖的頻譜圖nnnSa)()2(623.9 功率譜與能量譜功率譜與能量譜功率頻譜功率頻譜 對于功率信號，可定義一個功率密度函數(shù)對于功率信號，可定義一個功率密度函數(shù)D( )，即單，即單位頻率的信號功率。位頻率的信號功率。dDP)(21信號的總功率為信號的總功率為信號信號f (t)的頻譜函數(shù)為的頻譜函數(shù)為F(j )，則由帕塞瓦爾定理可得，則由帕塞瓦爾定理可得dTFdttfTPTTTT22/2/2)j (21lim)(1lim比較上面兩式比較上面兩式, 有有TFDT2)j (lim)(D( )也稱為功率譜函

48、數(shù)，它是也稱為功率譜函數(shù)，它是 的偶函數(shù)，函數(shù)值取決于頻譜函數(shù)的模，而與相位無關(guān)。的偶函數(shù)，函數(shù)值取決于頻譜函數(shù)的模，而與相位無關(guān)。63dGE)(21信號的總能量為信號的總能量為信號信號f (t)的頻譜函數(shù)為的頻譜函數(shù)為F(j )，則由帕塞瓦爾定理可得，則由帕塞瓦爾定理可得dFdttfE22)j (21)(因此因此, 有有2)j ()(FGG( )描述其能量的頻率描述其能量的頻率特性，稱之為能量譜函數(shù)，能量譜只與信號的幅特性，稱之為能量譜函數(shù)，能量譜只與信號的幅頻函數(shù)的頻函數(shù)的模模| |F(j )|有關(guān)，而與相位無關(guān)，單位為焦有關(guān)，而與相位無關(guān)，單位為焦/赫（赫（J/Hz）。）。能量頻譜能量頻

49、譜 能量信號的頻譜密度函數(shù)，即：信號在單位頻率的能能量信號的頻譜密度函數(shù)，即：信號在單位頻率的能量。記為量。記為G( ).64例：例：的能量。求信號ttttf5sin997cos2)( )997()997(2997cos2t解：解：10)997()997(1010GGdFdttfE22)j (21)()()997(2)997(221)(10GjF)5(55sintSatt)()(10251010GG)()()(21tftftftttfttf5sin)( 997cos2)(2165本章要點：本章要點： 1、信號的分解；信號的分解； 2、周期信號頻域分析周期信號頻域分析： 傅立葉級數(shù)形式傅立葉級數(shù)

50、形式、性質(zhì)、頻譜特點；、性質(zhì)、頻譜特點； 3、非周期信號頻域分析非周期信號頻域分析： 傅立葉變換與反變換傅立葉變換與反變換 )()(21)()()()(1jFFdejFtftfFdtetfjFtjtj 常用信號的頻譜函數(shù)常用信號的頻譜函數(shù) 1 t jtU1)(2)(SatGjt2)sgn(jEtUEet)(j2166)j ()( )j ()(2211FtfFtf)()()()(2121jbFjaFtbftaf4 4、 傅立葉變換傅立葉變換)()(jFtf)(2)(fjtF)(1)(ajFaatf0j0)j ()(teFttf)( j )(0j0Fetft)j(j)(FdttdfjjFFdxxf

51、t)()()0()(djdFtfjt)()()(dxjxFjttftf)()()()()0()()()()(2121jFjFtftf)j ()j (21)()(2121FFtftfdFFdttftf)j ()j (21)()(21215 5、功率信號和能量信號及頻譜的概念功率信號和能量信號及頻譜的概念67例例1： 請畫出信號請畫出信號f (t)的幅度譜和相位譜。的幅度譜和相位譜。 )42cos(cos2sin1)(ttttf【解【解】 余弦形式：余弦形式：)42cos()15. 0cos(51)(tttf三角形式傅里葉級數(shù)系數(shù)：三角形式傅里葉級數(shù)系數(shù)：10A00236. 251A15.0112A25. 0268)()()(tftftfeo21)(tfe【解【解】 210