2^k析因設計資料

1、 2k析因設計析因設計1 引言 有k個因子，每個因子僅有兩個水平。完全重復共需要2k個觀測值，稱為2k析因設計。 基本假定： 因子是固定的 設計是完全隨機化的 滿足正態(tài)性 應用于實驗工作的早期階段，如因子篩選試驗(factor screening experiment)2 22設計 2個因子，每個因子2個水平。 例如：一個化學反應過程中反應物濃度(15%,25%)和催化劑量(1磅,2磅)對反應的產(chǎn)出率有影響。每個組合重復3次。符號表示法 效應 A代表因子A的效應； B代表因子B的效應； AB代表AB的交互作用效應。 水平 代表因子的低水平； 代表因子的高水平。處理組合及其的試驗結果的總和 處理

2、組合的表示 a代表因子A高B低；a=36+32+32=100 b代表因子A低B高；b=18+19+23=60 ab代表因子A高B高；ab=31+30+29=90 (1)代表因子A低B低；(1)=28+25+27=80效應的計算 一個因子的平均效應是這個因子的水平變化產(chǎn)生的響應變化在另一因子水平上取平均值。 A的主效應 A=(1/2n)ab+a-b-(1) B的主效應 B=(1/2n)ab-a+b-(1) AB的交互作用效應 AB=(1/2n)ab-a-b+(1) A效應是正的，說明反應物濃度從低水平增至高水平將增加產(chǎn)出率。反之，B效應是負的，說明催化劑的增加會降低產(chǎn)出率。相對主效應來說，交互作

3、用效應顯得較小。對照分析法 對照(constract)表示某因子的總效應。(未進行平均值運算的效應值) 對照A = ab+a-b-(1) 對照B = ab-a+b-(1) 對照AB= ab-a-b+(1) 三個對照是正交的，即相應對照系數(shù)的乘積之和為0。標準順序 Frank Yates提出的Yates順序。 將處理組合沿著a,b,c,d,的順序逐漸增加，每增加一個因子則與前面已有的因子進行組合。 例如： (1),a,b,ab,c,ac,ab,abc,d,ad,bd,abd,cd,acd,abd,abcd,效應代數(shù)符號表的設計 首先，按照標準順序寫出一列處理組合。 然后，在I列中全部標“+”號。

4、 然后，在處理組合中含有相應主效應處標“+”號，否則標“-”號。 最后，將相應的主效應所在列的符號相乘得到相應的交互作用列的符號。22設計的效應代數(shù)符號表 標準順序:(1),a,b,ab 代數(shù)符號對照 對照(constract)表示某因子的總效應。 用效應的代數(shù)符號表，將相應的效應列中的符號加到所對應的處理組合上，并求和，就得到該效應的對照。 如： 對照A=ab+a-b-(1)=90+100-60-80=50 對照B=ab+b-a-(1)=90+60-100-80=-30 對照AB=ab+(1)-a-b=90+80-100-60=10用對照估計效應和計算平方和 估計效應： 計算平方和：KAB1

5、-kn21KAB對照2KABkKABn21SS對照計算效應 一個因子的平均效應是那個因子的水平變化產(chǎn)生的響應變化在另一因子水平上取平均值。 A效應是正的，說明反應物濃度從低水平增至高水平將增加產(chǎn)出率。反之，B效應是負的，說明催化劑的增加會降低產(chǎn)出率。相對主效應來說，交互作用效應顯得較小。67. 16010080903212n1AB00. 58010060903212n1B33. 88060100903212n1AABBA對照對照對照對照平方和 對照代表總效應，所以對照平方和代表總變異。 對照平方和等于對照的平方除以對照中觀測值中屬于對照系數(shù)平方和的乘積。 SSA= SSB= SSAB= 由于S

6、ST= 所以SSE=SST-SSA-SSB-SSAB= ANOVA分析結果 結論：兩個主效應是顯著的，因子間無交互作用。與初步判斷一致。回歸模型 利用最小二乘法擬合回歸模型 線性回歸數(shù)據(jù)：21122222211122110 xxxxxxy兩因素正規(guī)方程組的矩陣形式 Xyn21k10nkn2n12k22211k1211n21,xxx1xxx1xxx1X,yyyy其中yXXX1回歸方程系數(shù)的最小二乘估計量回歸模型 由于無交互作用，則例題的回歸模型為 y=0+1x1+2x2+ 規(guī)范變量：x1,x2 自然變量：反應物濃度，催化劑量 x1=濃度-(濃度低+濃度高)/2/(濃度高-濃度低)/2 x2=催化

7、劑-(催化劑低+催化劑高)/2/(催化劑高-催化劑低)/2 擬合回歸模型： y=27.5+(8.33/2)x1+(-5/2)x2其中，截距是觀測值的總平均，回歸系數(shù)是響應因子效應估計量的一半。殘差與模型適合性 反應物濃度低水平(x1=-1)，催化劑量低水平(x2=-1)，產(chǎn)量預測值為 y=27.5+(8.33/2)(-1)+(-5/2)(-1)=25.835 殘差為e1=28-28.835=2.165e2=25-28.835=-0.835e3=27-28.835=1.165 同理可計算出12個殘差。 正態(tài)概率圖，殘差與預測產(chǎn)出率的關系 圖形是令人滿意的，沒有理由懷疑結論的有效性。響應曲面 將規(guī)

8、范變量轉換成自然變量后的回歸模型 y= 繪制三維圖形，可見隨反應物濃度的增加，催化劑的減少，產(chǎn)量增加。響應曲面可以找到過程的潛在改進方向，方法為最速上升法。3 23設計 3因子，2水平計算效應的代數(shù)符號 首先，按標準順序排序。 然后，標出主效應列的符號。含有處理組合的效應為+，否則為-。 最后，標出交互作用效應列的符號。相應主效應列的乘積。 計算平均效應： A=(1/4n)處理組合列乘以相應效應列符號 =(1/4n)對照A 同理可得其他效應值 性質(zhì)： 除列外，每列加號個數(shù)與減號個數(shù)相等 除列外，任意兩列符號乘積之和為零(正交) 列與任一列相乘，該列符號不變，即列是一個單位元素。 任意兩列相乘，

9、得表中另外一列。效應的平方和 用對照計算效應的平方和： SS=(對照)2/(8n)例1 晶片蝕刻試驗 單晶片等離子蝕刻過程。3個因子：A為電極間隙、B為C2F6氣體流速、C為RF功率。每個因子兩個水平。每個組合重復2次。實驗結果見表。模型評價指標 R2=SS模型/SS總和 R調(diào)整2=1-(SSE/dfE)(SS總和/DF總和)4 一般性2k設計 k個因子，每個因子2個水平 共k個主效應，Ck2個兩因子交互作用，Ck3個三因子交互作用，1個k因子交互作用。共2k-1個效應。 處理組合符號表示： 處理組合標準順序：每出現(xiàn)一個新因子，則與前面各項相乘得到新項。一般步驟1.估計因子效應估計每個因子和交

10、互作用效應，觀察大小和符號，做出初步判斷。2.建立初始模型如果是重復設計，用完全模型。如果不是重復設計，用效應的正態(tài)概率圖建立模型3.進行統(tǒng)計檢驗ANOVA4.改進模型將不顯著的效應變量去掉。5.分析殘差模型適合性檢查6.解釋結果圖形分析，如效應圖、響應曲面圖、等高線圖等。對照的計算 對照ABK=(a1)(b1) (k1) 原則：對照中包括的因子，則其相應項中取“-”號，不包括的則取“+”號。 例：用對照估計效應和計算平方和 估計效應： 計算平方和：KABkn22KAB對照2KABkKABn21SS對照5 2k設計的單次重復 2k完全析因設計的處理組合數(shù)量大，通常可用資源只允許做一次重復。 無

11、重復的風險：不能從模型中將噪音分解出來。無重復析因設計 假定某些高階的交互作用可被忽略，則將它們的均方組合起來用于估計誤差。 效應稀疏原理：多數(shù)系統(tǒng)的主效應和低階交互作用處于支配地位，而高階交互作用可被忽略。 方法：檢查效應估計量的正態(tài)概率圖?？杀缓雎缘男獣笾侣湓趫D上的一條直線附近；而顯著效應則不會落在這一直線上。例2 24設計的單次重復 一個化學產(chǎn)品的生產(chǎn)過程?？赡苡绊懏a(chǎn)品滲透率的因子有：溫度(A)、壓強(B)、甲醛濃度(C)、攪拌速度(D)。每個因子取2個水平。單次重復試驗，共16次試驗。工程師感興趣的是使?jié)B透率達到最大。當前生產(chǎn)條件下的滲透率為75加侖/小時。當前甲醛濃度(C)為高水

12、平。工程師希望盡可能減少甲醛濃度，但會造成滲透率太低。 對照常數(shù)的符號 由對照估計因子效應及平房和。 繪制效應的正態(tài)概率圖。沿直線上的效應可被忽略，大的效應則原理直線，故A、C、D、AC、AD是重要效應。 繪制重要效應的效應圖。 3個主效應都是正的。欲最大化滲透率則3個因子均取高水平。 由AC看出，當濃度C處于高水平是溫度A的效應很小，反之很大，在低濃度、高溫度時效應最大。 由AD看出，低溫時攪拌速度D效應小，反之有較大正效應。因此，當A和D處于高水平而C處于低水平時，會得到最好的滲透率。設計投影 由于B因子不顯著而且所有與B有關的交互作用也不可忽略。因此，可將B去掉，將一個單重復24析因設計

13、投影成一個兩次重復23設計。 對數(shù)據(jù)進行方差分析，可以得到相同的結論。 如果有一個2k設計的單次重復，其中h(hk)個因子可被忽略，則原數(shù)據(jù)對應于留下的k-h個因子，形成具有2h重復的兩水平析因設計。診斷檢查 回歸方程： 由顯著效應的估計值，得 計算預測值 計算殘差4131431xx2625.16xx2125.18x2625.14x2875. 9x2625.2106.70y 殘差的正態(tài)概率圖 點落在一條直線附近，支持A、C、D、AC、AD是僅有的顯著效應的論斷。響應曲面 如果要極大化滲透率，A和D應取高水平，過程相對于C具有穩(wěn)定性。與交互作用圖的結果類似。效應的半正態(tài)圖 效應估計的絕對值與它們

14、的累積正態(tài)概率的關系圖。 半正態(tài)圖過原點，接近50%分位點。 易于解釋5. 無重復析因設計的其他方法 代替正態(tài)概率圖來進行效應顯著性檢驗的方法：Lenth方法。析因設計的數(shù)據(jù)變換-例3 鉆頭的推進速率實驗。24析因設計。因子：鉆頭負荷(A)、流速(B)、旋轉速度(C)、泥漿類型(D)。實驗數(shù)據(jù)如下： 效應估計量的正態(tài)概率圖。 可見，B、C、D、BC、BD需要說明。 殘差的正態(tài)概率圖 顯然，正態(tài)性有問題。 殘差與推進速率預測值的關系圖 顯然，方差齊性有問題。 選擇對數(shù)變換 y*=lny 變換后效應估計量的正態(tài)概率圖。 只有B、C、D起作用，需要說明。簡化結構。 對數(shù)變換后的殘差的正態(tài)概率圖 圖形

15、令人滿意。 對數(shù)變換后殘差與推進速率預測值的關系圖 圖形令人滿意 ANOVA結果 結論：對于對數(shù)變換，模型僅需B、C、D就足以說明了。 模型的平方和 SS模型=SSB+SSC+SSD =5.345+1.339+0.431=7.115 R2=SS模型/SST=7.115/7.288=0.98 所以該模型解釋了鉆頭推進速率中大約98%的變異性。無重復析因中的位置效應和分散效應-例4 商用飛機內(nèi)壁嵌板的生產(chǎn)過程。壓制成形。當前生產(chǎn)條件下，嵌板的平均疵點太高（平均5.5個疵點/塊）。設計一個24析因設計。4個因子：溫度(A)、模壓時間(B)、樹脂流量(C)、壓機閉合時間(D)。實驗數(shù)據(jù)如下： 因子效應

16、的正態(tài)概率圖 可見，A和C是需要說明的。 分析效應圖，可知低溫度和高樹脂流量會減少嵌板疵點的發(fā)生率。 殘差的正態(tài)概率圖沒有顯示異常情況(略)。 殘差與B(模壓時間)的關系圖 顯然，少的模壓時間會使每塊嵌板的平均點數(shù)有較小的變異性。 去掉D，投影成一個兩次重復的23析因設計。 計算每個處理組合的平均疵點數(shù)和極差 可見，當B處于高水平時的平均極差為4.75，當B處于低水平時的平均極差為1.25。 工程師決定，取低的溫度和高的樹脂流量以減少疵點的平均數(shù)，取少的模壓時間以減少每塊嵌板疵點數(shù)的變異性，取少的壓機閉合時間(對響應沒有影響，但可以提高效率)。分散效應 如果因子i為正時試驗殘差的方差2(i+)

17、與因子i為負時試驗殘差的方差2(i-)，則統(tǒng)計量近似服從標準正態(tài)分布。 , 2 , 1iiSiSlnF22*B 分散效應Fi*的正態(tài)概率圖 可見，B是與生產(chǎn)過程的分散性有關的一個重要因子。響應的重復測量-例5 半導體工廠立式氧化爐的實驗。響應變量是晶片的氧化物厚度。因子為溫度(A)、時間(B)、壓強(C)、氣流(D)。實驗過程：將4個晶片放到爐中，設置由實驗設計要求的實驗條件的過程變量，實施實驗，測量4個晶片氧化物的厚度。 重復測量(duplicate measurement)，而非重復(replicate)實驗。重復實驗是每次在爐中試驗一個晶片。由于4個晶片同時處理，降低了變異性。 用厚度均

18、值作為響應變量估計效應。 可見，A、B、C、AB、AC的效應較大。 效應估計的正態(tài)概率圖 可見， A、B、C、AB、AC是顯著的。 方差分析結果為 預測平均氧化物厚度的模型為 y=399.19+21.56x1+9.06x2-5.19x3+8.44x1x2- 5.13x1x3 殘差分析是滿意的。 等高線圖 如將實驗結果錯誤的視為重復，則為一個四次重復的24析因設計。 可見，顯著的效應要多很多。 太多的因子被識別為重要因子將導致 試圖處理或優(yōu)化不重要因子造成資源浪費 其他感興趣的響應增加不必要的變異6 附加中心點設計 兩水平析因設計模型 含有主效應和交互作用 二階響應模型jijiijk1jjj0

19、xxxyk1j2jjjjijiijk1jjj0 xxxxy二階效應的估計 在2k析因實驗中，重復某些點可得到一個獨立的誤差估計。 例如：中心點，xi=0(i=1,2,k)處做n次重復試驗。 在設計中心處增加重復試驗不影響2k設計中通常的效應估計量。附加中心點的22設計 在中心點(0,0)處有nC個觀測值的22設計。判定方法 如果 很小，則中心點就處于或靠近通過因子點的平面上，故未發(fā)生彎曲。反之，則出現(xiàn)彎曲。CFyy 檢驗方法 利用中心點計算均方誤差 計算純二次項(彎曲)平方和 檢驗統(tǒng)計量 F=MS純二次項/MSE1nyy1nSSMSC2CiCEE中心點CF2CFCFnnyynnSS純二次項 對例2實驗增加4個中心點，得滲透率為73、75、66、69.4。 純二次項不顯著06.70y75.70yFC中心復合設計 Central composite design 在2k設計中增加軸試驗(axial run)。