計算機控制系統(tǒng) 第2章(第3次課 最少拍)

1、p需求與問題 經(jīng)歷最少的采樣周期（最短的時間），使輸出達到參考值。2.3.2 最少拍(dead-beat)控制系統(tǒng)設計 p解決的基本思路 使E(z)有限項（以z-1多次冪的多項式為有限項），且項數(shù)越少越好。 D(z)滿足物理可實現(xiàn)性 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性2.3.2 最少拍控制系統(tǒng)設計 最少拍（有限拍）控制是一種時間最優(yōu)控制方式。設計目標：設計一個數(shù)字控制器D(z)，使系統(tǒng)在典型輸入信號r(t)作用下，經(jīng)過最少的采樣周期，消除輸出和輸入之間的偏差，達到平衡。通常把一個采樣周期稱為一拍。設計準則：1）單位階躍輸入11()(), ( )1r kTu kTR zz 2）單位速度輸入3）單位加速度輸入典型輸入

2、信號的Z變換具有如下形式：11 2(), ( )(1)Tzr kTkT R zz11()( )(1)mA zR zz(1,2,3)m 控制系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間就是誤差e(kT)達到恒定值或趨于零的時間，根據(jù)誤差的Z變換定義：最少拍控制系統(tǒng)在典型信號輸入時， ， e(kT)等于零或為恒定值時，系統(tǒng)調(diào)整結束。因此，設計準則就是求出使k為最小的正整數(shù)N。120( )()(0)( )(2 )()kkkE ze kT zee T zeT ze kT zkN 由于 ，誤差E(z)與誤差傳遞函數(shù) 和輸入信號R(z)有關，因此，最少拍控制的設計是根據(jù)不同的R(z)選擇 ，使 只有有限項，且項數(shù)(N)越少越好。因為如

3、果選 能夠消去E(z)分母的因子 則E(z)為 的有限多項式，因此， 可選為( )( ) ( )eE zG z R z( )eG z( )eG z( )( )eR zG z11()( )( )( )( )(1)eemA zE zG zR zG zz( )eG z1(1)z1z( )eG z1( )(1)( )neG zzF z 式中， F(z)為 的有限多項式，當n=m時，且F(z)=1時，可使E(z)的項數(shù)最少，因而調(diào)節(jié)時間 最短，得到的數(shù)字控制器階數(shù)較少，結構也簡單。2.典型輸入時最少拍數(shù)字調(diào)節(jié)器D(z)根據(jù)上述最少拍控制設計準則可知，對于不同的輸入信號，應當選擇不同的誤差傳遞函數(shù)，求得最

4、少拍數(shù)字控制器D(z)。1zst( )eG z11()( )( )( )( )(1)eemA zE zG zR zG zz1( )( )1)neG zzF z 1）單位階躍輸入可選擇 ，則系統(tǒng)的閉環(huán)Z傳遞函數(shù)為 因此：系統(tǒng)的輸出為：由Z變換定義可以得到輸出序列：1( )1eG zz ( )1( )ceG zG z 111( )( )( )( )(1)( )eeG zzD zG z HG zzHG z11211( )( ) ( )1cY zG z R zzzzz(0)0, ( )(2 )(3 )1yy TyTy T1( )( )11( )( )eeE zG zR zG zz 輸出序列如圖2-14

5、(a)所示。如圖可見，單位階躍輸入時，最少拍控制系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間為一個采樣周期，即經(jīng)過一拍即可消除輸入和輸出之間的偏差。 2）單位速度輸入選擇則 輸出序列如圖2-14(b)所示。系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間為 (0)0, ( )0, (2 )2 , (3 )3 ,(),yy TyTT y TTy kTkT2stT1 2( )(1)eG zz12( )1( )2ceG zG zzz 121 22( )(1)( )zzD zzHG z112231 2( )(2)23(1)kTzY zzzTzTzkTzz11 2(1)( )( )( )( )eeE zG zR zGTzzz長除法，或利用Z反變換的線性性質，反推回Y

6、(z) 3）單位加速度輸入選擇系統(tǒng)的輸出序列圖2-14(C)為單位加速度時輸出響應?？梢?，經(jīng)過3個采樣周期，系統(tǒng)輸出跟蹤輸入。1 3123( )(1) ,( )1( )33eceG zzG zG zzzz 1231 333( )(1)( )zzzD zzHG z22239()(0)0, ( )0, (2 ), (3 ), (),222kTyy TyTTy TTy kT2111 3(1)2( )( )( )1)(eeTE zG zR zGzzzz例2-12 教材p.23已知被控對象的傳遞函數(shù)，若采樣周期T=0.5s，試設計在單位速度輸入時的數(shù)字控制器D(z)。解：采用零階保持器，系統(tǒng)的廣義對象的

7、脈沖傳函為：2( )(1 0.5 )G sss222111 2121111112( )(1 0.5 )2(1)(1 0.5 )211211()22211(1)(1)110.368(1 0.718)(1)(1 0.368)TsTsTsTeHG zsssessessssssTzzzzezzzzzZ ZZ ZZZZZ 系統(tǒng)的輸入為r(t)=t，誤差傳函選為則系統(tǒng)的輸出序列為1 2( )(1)eG zz11111( )5.435(1 0.5)(1 0.368)( )( )( )(1)(1 0.718)eeG zzzD zG z HG zzz12( )1( )2ceG zG zzz 1121 22345

8、( )( )( )(2)(1)2345cTzY zG zR zzzzTzTzTzTz 上述中各項系數(shù)即為y(kT)在各個采樣時刻的數(shù)值。即 輸出響應曲線如圖 2-15所示。 (0)0( )0(2 )2(3 )3(4 )4yy TyTTy TTyTT 例2-13 教材p.24在上例中求得D(z)的基礎上，若輸入信號改為單位階躍和單位加速度時，求系統(tǒng)的輸出序列并畫出響應曲線。解（1）單位階躍輸入各采樣時刻輸出序列為：系統(tǒng)的輸出響應曲線如圖2-16(a)所示。12112341( )( ) ( )(2)12cY zG z R zzzzzzzz(0)0, ( )2, (2 )1, (3 )1,yy Ty

9、Ty T （2）單位加速度輸入各個采樣時刻的輸出序列為：而輸入序列系統(tǒng)的輸入和輸出響應曲線如圖2-16(b)所示。222(0)0, ( )0, (2 ), (3 )3.5, (4 )7,yy TyTTy TTyTT2222(0)0, ( )0.5, (2 )2, (3 )4.5, (4 )8,yy TTy TTy TTy TT21112222324251 3( )( )( )(1)(2)3.5711.52(1)cY zG z R zT zzzzT zT zT zT zz 最少拍控制器中的最少拍是針對某一典型輸入設計的，對于其它典型輸入則不一定為最少拍，甚至引起大的超調(diào)和靜差。 2.3.3 和

10、的選擇按上述最少拍設計原則選擇 和 時，沒有考慮HG(z)對D(z)的影響，也沒有考慮D(z)的可實現(xiàn)性和穩(wěn)定性等因素。下面根據(jù)系統(tǒng)必須滿足的約束條件，考慮 和 的選擇原則。被控對象的HG(z)一般可寫為：( )cG z( )cG z( )eG z( )eG z1111(1)( )(1)lriiniizz zHG zp z( )cG z( )eG z 則D(z)可表示為：式中， 為HG(z)的零點， 為 HG(z)的極點， 為 D(z)的超前環(huán)節(jié)。1111(1)( )( )(1)nricileiizp zG zG zz zizip(0)rzr ( )( )=( )( )ceG zD zG z

11、HG z 和 的選擇原則1）保證調(diào)節(jié)時間最短： 包含 2）保證D(z)的可實現(xiàn)性： 包含有 項3）保證D(z)的穩(wěn)定性： 包含 中|zi|1的零點項， 包含不穩(wěn)定極點項 。4）保證 和 同階( )cG z( )eG zrz1(1)iz z1(1)mz( )cG z( )cG z( )eG z( )cG z( )eG z( )eG z)1 (1zpi（教材p.25）-1111( )( )(1)( )(1)clriieniiG zD zzz zG zp z例2-14設最小拍控制系統(tǒng)如圖2-17所示，設計單位速度輸入時的最少拍數(shù)字控制器D(z)，采樣周期T=1s。 解（1）求廣義對象Z傳遞函數(shù)（2）

12、選擇 ，因為HG(z)分子有 的因子，又有單位圓上的零點z=-1，故取：（3）選擇 ，按單位速度輸入， 中應含有 因子。所以：21111121 31 211(1)(1)( )(1)2(1)2(1)TseT zzzzHG zzsszzZ Z111( )(1)( )cG zzzF z1 2(1)z( )cG z1z( )eG z( )eG z （4） 和 階次相同，設：比較同冪系統(tǒng)，可得到求出：( )eG z( )cG z1101( )()F zaa z，12( )(1)F zbz( )1( )ceG zG z 1111 2101(1)()1 (1) (1)zzaa zzbz 011.25,0.7

13、5,0.75aab 111( )(1)(1.250.75)cG zzzz1 21( )(1) (1 0.75)eG zzz 數(shù)字控制器D(z)為：數(shù)字控制器D(z)的輸出表達式為：系統(tǒng)誤差為：可見當 后，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差1 21111 21111( )2 (1) (1)(1.250.75)( )( )( )(1) (1 0.75)(1)1 0.62.51 0.75ceG zzzzzzD zG z HG zzzzzz11111123450.543(1 0.5)(1 0.368)( )( ) ( )(1)(1 0.718)0.540.3190.3900.1190.246zzzU zD z E zzzz

14、zzzz111 2121 2( )(1 0.75)(1)0.75(1)TzE zzzTzTzz2k ()0e kT 最少拍控制系統(tǒng)只能保證在采樣點上的輸出跟蹤輸入，在采樣點之間呈現(xiàn)紋波。原因：控制控制量不量不是恒定的是恒定的，而是不停波動的，而是不停波動的, ,使得使得系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出產(chǎn)生紋產(chǎn)生紋波。波。 最少拍無紋波系統(tǒng)的設計 數(shù)字控制器和系統(tǒng)的輸出波形可用擴展Z變換求解采樣點之間的輸出 2.3.4 最少拍無波紋控制系統(tǒng)的設計 數(shù)字控制器D(Z)的輸出為若 是 的有限多項式，則經(jīng)過有限個采樣周期后， 可到達某個恒定值，系統(tǒng)的輸出沒有波紋。( )( ) ( )( )( ) ( )eU zD z

15、 E zD z G z R z( )( ) ( )eD z G z R z1z()u kT1111(1)( )( )( )( )( )(1)nirciecniip zG zD z G zG zzHG zz z(29) 當Gc(z)的零點包含HG(z)的全部零點，D(z)Ge(z)可能成為z-1的有限多項式。（有紋波系統(tǒng)只包括不穩(wěn)定|zi|1的零點項）最少拍無紋波系統(tǒng)的設計 最少拍無波紋系統(tǒng)設計中， 和 設計原則： （1） 的確定 （與最少拍有紋波相同）選擇 ，這樣便可以滿足快速性，又可抵消不穩(wěn)定極點 的影響。Ge包含不穩(wěn)定極點。( )cG z( )eG z( )eG z11()( )(1)mA

16、 zR zz，1111(1)( )(1)lriiniizz zHG zp z11( )(1)(1)( )meieG zp zzF zip1111(1)( )( )( )( )( )(1)nirciecniip zG zD z G zG zzHG zz z-1111( )( )(1)( )(1)clriieniiG zD zzz zG zp z （2） 的確定這樣可確保D(z)的可實現(xiàn)性和穩(wěn)定且無波紋的要求。Gc(z)包含HG(z)的全部零點。（3） 和 的確定根據(jù) 確定 和 ( )cG z( )eF z( )cF z( )cF z( )eF z( )1( )ceG zG z -1ic1(1)(

17、 )lrizz zF z1111(1)( )( )( )( )R(z)z)( ) ( )( )(1)nirciecniipzG zU zD z G zRG z R zzHG zz z（例2-15設廣義被控對象Z傳遞函數(shù)為試設計單位階躍輸入時的最少拍無波紋數(shù)字控制器D(z)。解（1）選擇誤差傳遞函數(shù) 和閉環(huán)傳遞函數(shù) ：輸入為單位階躍信號， HG(z)無不穩(wěn)定的極點，取 ： HG(z) 有 的因子和零點 z=-0.718?。?1110.368(1 0.718)( )(1)(1 0.368)zzHG zzz( )eG z( )cG z( )eG z11( )(1)(1)eG zzbz11( )(10

18、.718)cG zazz( )cG z1z 則由 即：可以解出：（2）求數(shù)字控制器D(z)( )1( )ceG zG z 1111(1 0.718)1 (1)(1)azzzbz 0.582,0.418ab1111111111( )0.582(1 0.718)(1)(1 0.368)( )( )( )(1)(1 0.418)0.368(1 0.718)1.582(1 0.368)(1 0.418)ceG zzzzzD zG z HG zzzzzzz （3）系統(tǒng)分析誤差：控制量：輸出量：11111( )( ) ( )(1)(1 0.418)1 0.4181eE zG z R zzzzz 11111.582(1 0.368)(1 0.418)( )( )( ) ( )(1 0.418)1.5820.582ezzU zD z G z R zzz 誤差、控制和輸出量的波形如圖2-18所示。由圖可見，當 時，