數(shù)學規(guī)劃--食用油

1、食油生產(chǎn)問題食油生產(chǎn)問題 食油廠精煉兩種類型的原料油食油廠精煉兩種類型的原料油硬質(zhì)油和軟質(zhì)油，并將硬質(zhì)油和軟質(zhì)油，并將精制油混合得到一種食油產(chǎn)品。硬質(zhì)原料油來自兩個產(chǎn)地精制油混合得到一種食油產(chǎn)品。硬質(zhì)原料油來自兩個產(chǎn)地: :產(chǎn)產(chǎn)地地1 1和產(chǎn)地和產(chǎn)地2 2，而軟質(zhì)原料油來自另外三個產(chǎn)地：產(chǎn)地，而軟質(zhì)原料油來自另外三個產(chǎn)地：產(chǎn)地3 3，產(chǎn)地，產(chǎn)地4 4和產(chǎn)地和產(chǎn)地5 5。據(jù)預測，這。據(jù)預測，這5 5種原料油的價格從一至六月分別為：種原料油的價格從一至六月分別為： 表表1 原料油的價格（元原料油的價格（元/噸）噸）硬質(zhì)硬質(zhì)1硬質(zhì)硬質(zhì)2軟質(zhì)軟質(zhì)3軟質(zhì)軟質(zhì)4軟質(zhì)軟質(zhì)5一月一月1101201301101

2、15二月二月13013011090115三月三月11014013010095四月四月120110120120125五月五月100120150110105六月六月9011014080135 產(chǎn)品油售價為產(chǎn)品油售價為200200元元/ /噸。噸。 硬質(zhì)油和軟質(zhì)油需要由不同的生產(chǎn)線來精煉。硬質(zhì)硬質(zhì)油和軟質(zhì)油需要由不同的生產(chǎn)線來精煉。硬質(zhì)油生產(chǎn)線的每月最大處理能力為油生產(chǎn)線的每月最大處理能力為200200噸，軟質(zhì)油生產(chǎn)線最噸，軟質(zhì)油生產(chǎn)線最大處理能力為大處理能力為250250噸噸/ /月。五種原料油都備有貯罐，每個月。五種原料油都備有貯罐，每個貯罐的容量均為貯罐的容量均為10001000噸，每噸原料油

3、每月的存貯費用為噸，每噸原料油每月的存貯費用為5 5元。元。而各種精制油以及產(chǎn)品無油罐可存貯。精煉的加工而各種精制油以及產(chǎn)品無油罐可存貯。精煉的加工費用可略去不計。產(chǎn)品的銷售沒有任何問題。費用可略去不計。產(chǎn)品的銷售沒有任何問題。 產(chǎn)品食油的硬度有一定的技術(shù)要求，它取決于各種產(chǎn)品食油的硬度有一定的技術(shù)要求，它取決于各種原料油的硬度以及混合比例。產(chǎn)品食油的硬度與各種成原料油的硬度以及混合比例。產(chǎn)品食油的硬度與各種成份的硬度以及所占份的硬度以及所占比例成線性關系比例成線性關系。根據(jù)技術(shù)要求，產(chǎn)。根據(jù)技術(shù)要求，產(chǎn)品食油的硬度必須不小于品食油的硬度必須不小于3.03.0而不大于而不大于6.06.0。各種

4、原料油。各種原料油的硬度如下表（精制過程不會影響硬度）：的硬度如下表（精制過程不會影響硬度）： 表表2 各種原料油的硬度（無量綱）各種原料油的硬度（無量綱）硬質(zhì)硬質(zhì)1硬質(zhì)硬質(zhì)2軟質(zhì)軟質(zhì)3軟質(zhì)軟質(zhì)4軟質(zhì)軟質(zhì)58.86.12.04.25.0 假設在一月初，每種原料油都有假設在一月初，每種原料油都有500500噸存貯而要求在六月噸存貯而要求在六月底仍保持這樣的貯備。底仍保持這樣的貯備。 問題問題1 1：根據(jù)表根據(jù)表1 1預測的原料油價格，編制逐月各種原料預測的原料油價格，編制逐月各種原料油采購量、耗用量及庫存量計劃，使本年內(nèi)的利潤最大。油采購量、耗用量及庫存量計劃，使本年內(nèi)的利潤最大。 問題問題2：

5、考慮原料油價格上漲對利潤的影響。據(jù)市場預測考慮原料油價格上漲對利潤的影響。據(jù)市場預測分析，如果二月份硬質(zhì)原料油價格比表分析，如果二月份硬質(zhì)原料油價格比表1中的數(shù)字上漲中的數(shù)字上漲，則軟質(zhì)油在二月份的價格將比表則軟質(zhì)油在二月份的價格將比表1中的數(shù)字上漲中的數(shù)字上漲2，相應地，相應地，三月份，硬質(zhì)原料油將上漲三月份，硬質(zhì)原料油將上漲2，軟質(zhì)原料油將上漲，軟質(zhì)原料油將上漲4，依此類推至六月份。試分析依此類推至六月份。試分析從從1到到20的各情況下，利潤將如的各情況下，利潤將如何變化？何變化？ 問題問題3：在上述兩個問題中，附加以下條件，求解在上述兩個問題中，附加以下條件，求解新的問題：新的問題：1.

6、 每一個月所用的原料油不多于三種。每一個月所用的原料油不多于三種。2. 如果在某一個月用一種原料油，那么這種油如果在某一個月用一種原料油，那么這種油不能少于不能少于20噸。噸。3. 如果在一個月中用了硬質(zhì)油如果在一個月中用了硬質(zhì)油1或硬質(zhì)油或硬質(zhì)油2，則在這，則在這個月中就必須用軟質(zhì)油個月中就必須用軟質(zhì)油5。 設變量設變量x1, x2, x3, x4 和和x5 分別代表要采購的各種原分別代表要采購的各種原料油料油: 硬質(zhì)硬質(zhì)1、硬質(zhì)、硬質(zhì)2、軟質(zhì)、軟質(zhì)3、軟質(zhì)、軟質(zhì)4 和軟質(zhì)和軟質(zhì)5 的量的量. y 代代表應加工的產(chǎn)品數(shù)量表應加工的產(chǎn)品數(shù)量. z 為利潤為利潤. 則如果不允許存儲原油則如果不允

7、許存儲原油, 就可把一月份怎樣采購和怎樣配料的問題列出如下就可把一月份怎樣采購和怎樣配料的問題列出如下.(1) 單周期問題單周期問題123451234512345max 110120130110115 200200 250 8.86.124.2560 . . zxxxxxyxxxxxxxxxxyst 硬質(zhì)原料軟質(zhì)原料1234512345 8.86.124.2530 0 0; 0 (1,2,6) jxxxxxyxxxxxyxyj硬度上限硬度下限連續(xù)性非負性123451234123455max 110120130110115 200200 250 8.86.124.2560 . . zxxxxxy

8、xxxxxtxxxxysx 硬質(zhì)原料軟質(zhì)原料12345123450 8.86.124.2530 0; 0 (1,2,6) jxxxxxxxxxxyxyjy連硬度上限續(xù)性非負性硬度下限 要求產(chǎn)品的硬度處于上限要求產(chǎn)品的硬度處于上限6 和下限和下限3 之間之間. 經(jīng)常出現(xiàn)經(jīng)常出現(xiàn)的一個錯誤就是象下面那樣對這些限制條件建立的模型的一個錯誤就是象下面那樣對這些限制條件建立的模型:12345123458.86.124.2568.86.124.253xxxxxxxxxx12345123458.86.124.2568.86.124.253xxxxxxxxxx 左邊兩個表達式的量綱是硬度左邊兩個表達式的量綱是

9、硬度數(shù)量數(shù)量, , 而右邊數(shù)字的而右邊數(shù)字的量綱是硬度量綱是硬度. . 在上述兩個不等式中所需要的變量是在上述兩個不等式中所需要的變量是xi/y而而不是不是xi , , 因此因此, , 它代表配料成分之比例而不是代表絕對值它代表配料成分之比例而不是代表絕對值xi. . 當用當用xi/y取代取代xi 后后, , 最終的不等式能夠很容易地重新最終的不等式能夠很容易地重新將它們表示成象具有硬度上限和硬度下限約束條件一樣的將它們表示成象具有硬度上限和硬度下限約束條件一樣的線性形式線性形式. .最后最后, , 需要保證最終成品的重量等于各成分重需要保證最終成品的重量等于各成分重量之和量之和. . 這用最

10、后那個使重量具有連續(xù)性的約束條件來實這用最后那個使重量具有連續(xù)性的約束條件來實現(xiàn)現(xiàn). .對其他月份的單周期問題除了代表原油成本的目標系對其他月份的單周期問題除了代表原油成本的目標系數(shù)有所不同外與一月份的類同數(shù)有所不同外與一月份的類同. .上面的約束條件有量綱上的錯誤上面的約束條件有量綱上的錯誤. .(2) 多周期問題多周期問題可把為今后的使用作儲備的每月采購決策編入線性規(guī)劃可把為今后的使用作儲備的每月采購決策編入線性規(guī)劃模型中模型中. 為此建立為此建立“多周期多周期”模型模型.起始月份起始月份(零月零月) 和最后月份和最后月份(六月六月) 其庫存量是常值其庫存量是常值(500).決策變量決策變

11、量 采購量采購量 消耗量消耗量 庫存量庫存量 111216,BBBxxx111216,UUUxxx111216,SSSxxx硬質(zhì)硬質(zhì)1第第(t - 1) 月庫存量月庫存量+ 第第t月采購量月采購量=第第t月消耗量月消耗量+ 第第t月庫存月庫存量量由涉及硬質(zhì)由涉及硬質(zhì)1 的上述關系導出下面的約束條件的上述關系導出下面的約束條件:11111111121112121313131314141414151515151616 0 0 0 0 0 500BUSSBUSSBUSSBUSSBUSSBUxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx對其他五種原油也就確定類似的約束條件對其他五種原油也就確定類似的約束

12、條件.目標函數(shù)目標函數(shù) 分離變量分離變量 y1, y2,y6 等代表各月要加工的產(chǎn)品的數(shù)量等代表各月要加工的產(chǎn)品的數(shù)量. 這些變量每一個都具有這些變量每一個都具有200 元利潤元利潤(或或-200 元元“成本成本”).“采購采購”變量變量 將由各月相應的原油成本給出將由各月相應的原油成本給出.庫存變量庫存變量 將由將由5 元成本元成本(或或-5 元元“利潤利潤”) 給給出出.單一的目標函數(shù)的總模型其規(guī)模單一的目標函數(shù)的總模型其規(guī)模60 個個約約束束條條件件采購變量采購變量6 5 = 30 個個消耗變量消耗變量6 5 = 30 個個庫存變量庫存變量5 5 = 25 個個產(chǎn)品變量產(chǎn)品變量6個個總總

13、計計91個個變變量量配料約束條件配料約束條件(與單周期同與單周期同)6 5 = 30 個個存儲連接約束條件存儲連接約束條件6 5 = 30 個個硬質(zhì)硬質(zhì)1 問題問題2：考慮原料油價格上漲對利潤的影響。據(jù)市場預考慮原料油價格上漲對利潤的影響。據(jù)市場預測分析，如果二月份硬質(zhì)原料油價格比表測分析，如果二月份硬質(zhì)原料油價格比表1中的數(shù)字上漲中的數(shù)字上漲，則軟質(zhì)油在二月份的價格將比表，則軟質(zhì)油在二月份的價格將比表1中的數(shù)字上漲中的數(shù)字上漲2，相應地，三月份，硬質(zhì)原料油將上漲相應地，三月份，硬質(zhì)原料油將上漲2，軟質(zhì)原料油將，軟質(zhì)原料油將上漲上漲4，依此類推至六月份。試分析，依此類推至六月份。試分析從從1到

14、到20的各情況的各情況下，利潤將如何變化？下，利潤將如何變化？ 最優(yōu)解是怎樣隨未來市場價格增長而變化的最優(yōu)解是怎樣隨未來市場價格增長而變化的靈敏度分析靈敏度分析 把把cijxij替換成替換成cij(1ai/100)xij, i=2,j=2,j=3時時.可以規(guī)定一個附加表達式可以規(guī)定一個附加表達式, 附加在目標函數(shù)上附加在目標函數(shù)上. 對該對該模型來說模型來說, 這個表達式習慣上寫作這個表達式習慣上寫作:6123452iB iiB iiB iiB iiB iixxxxx2233445566:12,24,3,6,4,8,5,10.ii 其中系數(shù)與 取值為當當由由0 增加到增加到20 時時, 其組合

15、目標函數(shù)必將采取所期其組合目標函數(shù)必將采取所期望的形式并可能刻劃出最優(yōu)解的變化望的形式并可能刻劃出最優(yōu)解的變化.(3) 食油生產(chǎn)加工附加新條件后的求解食油生產(chǎn)加工附加新條件后的求解在配料問題中在配料問題中, 一些約定的額外限制條件是非常普一些約定的額外限制條件是非常普遍的遍的. 這些條件往往是這些條件往往是:1. 在配料中限制成分的數(shù)目在配料中限制成分的數(shù)目;2. 不考慮某種小量的成分不考慮某種小量的成分;3. 把把“邏輯條件邏輯條件”加在各成分的混合物上加在各成分的混合物上.在上述兩個問題中，附加以下條件，求解新的問題：在上述兩個問題中，附加以下條件，求解新的問題：1.每一個月所用的原料油不

16、多于三種。每一個月所用的原料油不多于三種。2.如果在某一個月用一種原料油，那么這種油不能如果在某一個月用一種原料油，那么這種油不能少于少于20噸。噸。3.如果在一個月中用了硬質(zhì)油如果在一個月中用了硬質(zhì)油1或硬質(zhì)油或硬質(zhì)油2，則在這，則在這個月中就必須用軟質(zhì)油個月中就必須用軟質(zhì)油5. 對其他配料成分可引入類似對其他配料成分可引入類似0-1 的變量和相應的的變量和相應的“連接連接”約束條件約束條件. 類似地類似地, 可以引入下面的約束條件和可以引入下面的約束條件和0-1 變量變量:0-1 變量變量例如例如, 與與xU11 相應的變量相應的變量, 可引入一個可引入一個0-1 變量變量xD11. 把這

17、些把這些變量用兩個限制條件連接起來變量用兩個限制條件連接起來, 下面的額外約束條件附加到下面的額外約束條件附加到模型上模型上:11111111112000, 200; 01UDUDDxxxxx 或者21212121213131313131414141414151515151512000, 200; 012500, 200; 012500, 200; 012000, 200; 01UDUDDUDUDDUDUDDUDUDDxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx或者或者或者或者( (一個月一個月) ) 第一個條件可用下面的約束條件加上第一個條件可用下面的約束條件加上: :11213141513DD

18、DDDxxxxx第三個條件可用下面的約束條件加上第三個條件可用下面的約束條件加上: :115121510,0DDDDxxxx11215120DDDxxx(2)(1)采用采用(1)的一對約束條件會使連續(xù)問題約束得的一對約束條件會使連續(xù)問題約束得“更緊更緊”, 因此給計算上帶來好處因此給計算上帶來好處. 對于全部六個月對于全部六個月, , 都要重復所有這些變量和約束條件都要重復所有這些變量和約束條件擴充后的模型增加的項擴充后的模型增加的項7878個額外約束條件個額外約束條件第第1 個條件的約束條件個條件的約束條件6 個個連接約束條件連接約束條件2 6 5 = 60 個個第第3 個條件的約束條件個條

19、件的約束條件2 6 = 12 個個0-1 變量變量6 5 = 30 個個額外變量額外變量(全為整數(shù)全為整數(shù))額外約束條件額外約束條件投資問題投資問題 投資的收益和風險投資的收益和風險二、基本假設和符號規(guī)定二、基本假設和符號規(guī)定三、模型的建立與分析三、模型的建立與分析4. 模型簡化：模型簡化：四、模型四、模型1 1的求解的求解模型模型1為為: 012340123412min 0.05, 0.27, 0.19, 0.185, 0.1851.011.021.0451.0651 0.025 0.015 . .Tfxxxxxxxxxxxaxst 34 0.055 0.02600,1,4iaxaxaxia=0;while(1.1-a)1