隨機變量的數(shù)學期望41實用教案

1、退出(tuch)第1頁/共30頁第一頁，共30頁。退出第2頁/共30頁第二頁，共30頁。一四二退出 三第3頁/共30頁第三頁，共30頁。退出(tuch)返回(fnhu)1. 定性(dng xng)定義 隨機變量 X 的平均取值稱為其數(shù)學期望, 記為() ,D X隨機變量X 對其平均取值以偏差平方的形式所給出的平均波動，稱為 X 的方差，記為 亦即 () .E X2() () .D XEXE X方差實際上也是一種數(shù)學期望，是隨機變量減其數(shù)學 期望的平方的數(shù)學期望. 用較為專業(yè)的術(shù)語講，它是隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望. 因此，求隨機變量平均取值以及隨機變量對其平均取值以偏差平方形式給出的平均波動問題

2、，從本質(zhì)上而言，歸根結(jié)底就是如何求隨機變量及其函數(shù)的數(shù)學期望問題.第4頁/共30頁第四頁，共30頁。 假設(shè)假設(shè)(jish)在在 n 個考試成績中，個考試成績中， xi 分的有分的有mi個個 ( i = 1, 2, , k), 那么全部考分的平均分那么全部考分的平均分 = ?x1m1 + + xkmkkiiimxn1 平均分 =n退出(tuch) 上式表明，將各種不同考分 xi ( i = 1, 2, , k)與其在全體考生中所占的百分比 fi相乘后再相加 結(jié)果就是全部考分的平均分 ！第5頁/共30頁第五頁，共30頁。類似(li s)地可解釋其還等于在整個平面上的重積分.退出(tuch)返回(f

3、nhu)()( )E Xxf x dx ()( , ) .E Xxf x y dxdy 1()iiiE Xx p 2. 隨機變量數(shù)學期望 E ( X ) 的定量算法 對離散型變量 對連續(xù)型變量11() ;iijjiE Xx p 或或f x dx( ) .【對連續(xù)變量求算公式的簡短解釋】依概率密度的含義，連續(xù)隨機變量在長為 dx 的區(qū)間上因此，該隨機變量在整xf x dx( )近似取值 x 的概率應(yīng)等于個實軸上的平均取值就應(yīng)等于前二者之乘積在整個實軸上的全部累加之和，即應(yīng)等于其在實軸上的積分E Xxf x dx()( ) . 第6頁/共30頁第六頁，共30頁。退出(tuch)返回(fnhu)3.

4、 六大常見分布的數(shù)學期望與分布參數(shù)的關(guān)系分布符號分布符號數(shù)學期望數(shù)學期望E ( X )備注備注B ( 1, p )p0-1分布分布B ( n, p )n p二項分布二項分布P ( ) 迫松分布迫松分布均勻分布均勻分布E ( )1 /指數(shù)分布指數(shù)分布N ( , 2 ) 正態(tài)分布正態(tài)分布2ab a bU( , )運用數(shù)學期望 的定量算法可以證實六大常見分布的數(shù)學期望與分布參數(shù)的關(guān)系如下表所示第7頁/共30頁第七頁，共30頁。退出(tuch)返回(fnhu)*1. 隨機變量(su j bin lin)的常見函數(shù)、數(shù)學期望及其名稱是 X 與Y 與各自數(shù)學期望之差的乘積的數(shù)學期望. k 階原點矩階原點矩

5、(), 1,2,kE Xk 【例如】恰是 X 自身的數(shù)學期望. X 的一階原點矩()E X是 X 平方的數(shù)學期望. X 的二階原點矩2()E X X 的二階中心矩2 () EXE X 是 X 減其數(shù)學期望的平方的數(shù)學期望. k + l 階混合中心矩 klEXE XYE Yk l () ( ) , ,1,2, k 階中心矩 () , 1,2,kEXE Xk X 的二階混合原點矩是 X 與Y 乘積的數(shù)學期望.E XY() X 的1+1階混合中心矩EXE X YE Y ()( ) k + l 階混合原點矩 klEX Yk l (), ,1,2, 第8頁/共30頁第八頁，共30頁。E g X Yg x

6、 y f x y dxdy (,)( , ) ( , ) . 退出(tuch)返回(fnhu) 定理(dngl)一 設(shè)一元函數(shù) g (x) 連續(xù)，則 ()( ) ( ) .E g Xg x f x dx 當 X 是連續(xù)型變量且其一維概率密度為 時( )f x1 ()() ;iiiE g Xg xp 當 X 是離散型變量且一維分布律為 時iiP Xxp 定理二 設(shè)二元函數(shù) g (x , y) 連續(xù)，則當 (X, Y )是連續(xù)型變量且二維聯(lián)合概率密度為 時( , )f x y11 (,)(,) ;ijijjiE g X Yg xyp 當 (X, Y ) 是離散型變量且二維分布律為 時,ijijP

7、Xx Yyp 2. 函數(shù)數(shù)學期望的一般算法第9頁/共30頁第九頁，共30頁。退出(tuch)( 設(shè) C 是常數(shù)(chngsh) )( )E CC ( ) ( )ECXECX()( )( )E X YE X E Y()() ( )E XYE X E Y又當 X，Y 相互(xingh)獨立時4)3)()()XCCEE X 1)2)返回【選證】E XYxy f x y dxdy ()() ( , ) xf x y dxdyyf x y dxdy( , ) ( , ) E XE Y()( ) . 若X，Y 相互獨立, 則E XYxyf x y dxdy()( , ) XYxyfx fy dxdy( )

8、( ) XYxfx dxyfy dy( )( ) E X E Y()( ) . 第10頁/共30頁第十頁，共30頁。退出(tuch)()( )E XE Y231返回(fnhu)試求隨機變量 U = 2X + 3Y + 1 與V =YZ4X 的數(shù)學期望. 解( )() ;2 53 11144( )()E VE YZX4( )( )( )()E VE Y E ZE X4()( )( ) .11 84 568 Y , Z 相互獨立, ()()E UEXY231()()E YZE X4例3-1 設(shè) X, Y , Z 相互獨立, E( X ) = 5, E( Y ) = 11, E( Z ) = 8.

9、()( )( )E YZE Y E Z, 第11頁/共30頁第十一頁，共30頁。 例例4 -1 已知已知 X 的分布的分布(fnb)律如下表所示，試求律如下表所示，試求 E ( X )， E ( X 2 ) 和和 E ( 2X3X 2 ).X2349Pi1/85/81/81/841()iiiE Xx p ( )( )( )( )151123498888 ,308 4221()iiiE Xx p ( )( )( )( )15114916818888 ,1468 EXX2(23)E XE X22 ()3 () .3788 解退出(tuch)返回(fnhu)第12頁/共30頁第十二頁，共30頁。ii

10、jiiijiE Xx px p323.111()0(0.1)1(0.3)2(0.6) . 1 5jijjjijjE Yy py p322.111( )( . )( . )1 0 62 0 4. 1 4 E XY() E XE Y()( ) .1 51 42 9解 例例4-2 已知已知 (X ,Y )的聯(lián)的聯(lián)合合(linh)分布律如右表所分布律如右表所示示. 求求 E( X ), E ( Y ) , E ( XY ) 和和 E ( XY ) . X Y01210.10.10.20.20.30.320 00.10.10.30.3ijijijE XYx y p3211() (0)(1)0.1(0)(

11、2)0(1)(1)0.2(1)(2)0.1(2)(1)0.3(2)(2)0.3 . 2 2 顯然(xinrn)，一般地講()() ( ) !E XYE X E Y 退出(tuch)返回jp ip 0.10.30.60.60.4第13頁/共30頁第十三頁，共30頁。例例4-3 隨機變量隨機變量(su j bin lin)X 的概率密度的概率密度Y =2X 1 和和 Y =X 2 1 的數(shù)學的數(shù)學(shxu)期望期望 .試求0,( )00,xxef xx 解EXxf x dx( 21)( 21) ( ) xxedx0( 21) EXxf x dx22(1)(1) ( ) xxedx20(1) .1

12、 退出(tuch)返回xxe21 2 0 xe xe xxedx( 21) xxeC(21) xxe21 x2 2 xe xe xxedx2(1) xxxeC2(21) 0 xe xxxe20(21)| 1|) 12(0 xex第14頁/共30頁第十四頁，共30頁。*例例4 -4 ( X , Y ) 的概率的概率密度密度 E (X) , E (Y ) ； E (XY) , E (X 2+Y 2) .試求yxyf x y20112,( , )0, 其其它它XY (1,1)0y = x( )( , )E Yyf x y dxdy 201(12)y xyydxdy 130012xdxy dy 140

13、3x dx 35 解x = 1()( , )E Xxf x y dxdy 201(12)y xxydxdy 120012xxdxy dy 1404x dx 45退出(tuch)返回(fnhu)(1)第15頁/共30頁第十五頁，共30頁。*例例4 -4 ( X , Y ) 的概率的概率密度密度 E (X) , E (Y ) ； E (XY) , E (X 2+Y 2) .試求yxyf x y20112,( , )0, 其其它它XY (1,1)0y = xE XYxyf x y dxdy()( , ) y xxyydxdy201(12) xxdxy dy130012 x dx1503 12 解x

14、= 12222()() ( , )E XYxyf x y dxdy 22201()(12)y xxyydxdy 12240012()xdxx yy dy 551012()35xxdx 1615 退出(tuch)返回(fnhu)(2)第16頁/共30頁第十六頁，共30頁。例例4-5 X 和和Y 相互相互(xingh)獨立獨立, 二二者的概率密度者的概率密度則則 E (XY ) ( ).2 , 01( )0 , Yyyfy 其其它它38 , 2( ) ,0 , Xxfxx 其其它它C. 8 / 3 D. 7 / 3CE Xdxx228()4 , E Yy dy1202( )23 EXYEXE Y8

15、 3 A. 4 / 3 B. 5 / 3退出(tuch)返回(fnhu)第17頁/共30頁第十七頁，共30頁。退出(tuch) *例4-6 天若無雨, 水果商每天可賺100元; 天若有雨, 水果商每天損失10元. 一年365天, 販賣(fnmi)水果地的下雨日約130日. 問水果商在該地賣水果, 每天可期望賺多少錢 ?返回(fnhu)21 ()iiiE Xx p 2351303651001()()0365 235/365,p 水果販賣地每天無雨與有雨的概率顯然依次為解130/365q 從而水果商每天所賺錢數(shù) X 的分布律為60.82 即水果商每天可期望賺 60.82 元 .XiP Xx 100

16、 10130/365235/365第18頁/共30頁第十八頁，共30頁。壽命(shumng)不到一年的概率顯然為 *例4-7 設(shè)備(shbi)的壽命XE( ). 該設(shè)備(shbi)售出一臺盈利100元 , 因年內(nèi)損壞而調(diào)換則虧損200元. 求出售一臺設(shè)備(shbi)的盈利數(shù)學期望. 因此，一臺設(shè)備出售的盈利(yn l)值Y 有分布律從而壽命超過一年的概率即111144400011( )()1.4xxP Xf x dxedxee 11441111(1)P XP Xee .退出返回解 可見YiP Yy 200 10014e 141e 21( )iiiE Yy p)ee 1

17、4200003e 第19頁/共30頁第十九頁，共30頁。 第 i 站有人下車記為Yi = 1，第 i 站無人(w rn)下車記為Yi = 0, （ i = 1,2, ,10）, 則專線車停車的次數(shù) *例4-8 載有20名旅客的專線車在無下車旅客的車站不停車。設(shè)各旅客在指定停靠的10個站下車的可能性相等，且是否(sh fu)下車相互獨立，那么若以 X 記專線車停車的次數(shù)，則 E（X）= ？.+ 202099100 ()11() 8.7841010 因各站下車的可能性相等，故旅客在任一站下車的概率(gil)為1/10，不下車的概率(gil)為9/10，從而，從而就有iiXY101 iP Y 209

18、0(),10iP Y20911() ,10iiE XE Y .101()() iiiE XE Y =E Y101()()10 () 退出返回解第20頁/共30頁第二十頁，共30頁。 .2 122任一彈著點與目標間的距離(jl)顯然為 *例4-9 用( X , Y )記炮擊的彈著點坐標. 設(shè)坐標XN( 0,2), 坐標Y N( 0,2) , 且二者相互(xingh)獨立. 試求彈著點與目標 ( 0, 0 ) 間的平均距離. X 與Y 相互(xingh)獨立，且XN( 0,2), YN( 0,2), 可見,彈ZXY22.xyXYf x yfx fye222()221( , )( )( )2 xyE

19、 Zxy edxdy222()22221()2 E ZEXYxy f x y dxdy .2222()()( , ) ed d222220012 退出返回解著點與目標間的平均距離應(yīng)為 從而ed222201 d e2220() ed2220 第21頁/共30頁第二十一頁，共30頁。韓旭里等編概率論與數(shù)理統(tǒng)計教材第四章 習題(xt)四 P112P117 批改題 P112: 1. ( 求離散變量的數(shù)學期望 ) P113: 5. 11.( 求連續(xù)變量的數(shù)學期望與方差 ) 7. ( 利用算子演算性質(zhì)計算數(shù)學期望與方差) 8. 9. （利用獨立性簡化數(shù)學期望的求算 ） 10. ( 求連續(xù)變量的數(shù)學期望 )

20、 12. ( 對實際問題求數(shù)學期望與方差 )退出(tuch)返回(fnhu)第22頁/共30頁第二十二頁，共30頁。退出(tuch)返回(fnhu)P112P113參考答案5. 122232017()( )(2) ,6E Xx f x dxx dxxx dx 221()()() .6D XE XEX 12201()( )(2)1 ,E Xxf x dxx dxxx dx1. 2222211115()( 1) ( )(0) ( )(1) ( )(2) ( ) ,82844E X (23)2()34 .EXE X 11111()( 1)( )(0)( )(1)( )(2)( ) ,82842E X

21、 第23頁/共30頁第二十三頁，共30頁。退出(tuch)返回(fnhu)P112P113參考答案8. 11300001,0122 .4xxy xxydxdyxdxydyx dx 2 .k ()( , )E XYxyf x y dxdy 7. 2222(32 )3()2( )3 (12)2 (16)172 .DXYD XD Y(32 )3()2( )3(3)2(3)3 ,EXYE XE Y XY (1,1)0y = xx = 11( , )f x y dxdy 10001,0 ,2xxyxkkdxdykdxdy 第24頁/共30頁第二十四頁，共30頁。退出(tuch)返回(fnhu)P112P113參考答案10. 22242400111()( )4()| ,488yyE Yy f y dyy edyyye 3 ()()( ) ,4E XYE XE Y9. (5)(5)55( )( )(1)|6 ,yyE Yyf y dyyedyye 1202 ()( )2 ,3E X