隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望41實用教案

1、退出(tuch)第1頁/共30頁第一頁，共30頁。退出第2頁/共30頁第二頁，共30頁。一四二退出 三第3頁/共30頁第三頁，共30頁。退出(tuch)返回(fnhu)1. 定性(dng xng)定義 隨機(jī)變量 X 的平均取值稱為其數(shù)學(xué)期望, 記為() ,D X隨機(jī)變量X 對其平均取值以偏差平方的形式所給出的平均波動，稱為 X 的方差，記為 亦即 () .E X2() () .D XEXE X方差實際上也是一種數(shù)學(xué)期望，是隨機(jī)變量減其數(shù)學(xué) 期望的平方的數(shù)學(xué)期望. 用較為專業(yè)的術(shù)語講，它是隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望. 因此，求隨機(jī)變量平均取值以及隨機(jī)變量對其平均取值以偏差平方形式給出的平均波動問題

2、，從本質(zhì)上而言，歸根結(jié)底就是如何求隨機(jī)變量及其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望問題.第4頁/共30頁第四頁，共30頁。 假設(shè)假設(shè)(jish)在在 n 個考試成績中，個考試成績中， xi 分的有分的有mi個個 ( i = 1, 2, , k), 那么全部考分的平均分那么全部考分的平均分 = ?x1m1 + + xkmkkiiimxn1 平均分 =n退出(tuch) 上式表明，將各種不同考分 xi ( i = 1, 2, , k)與其在全體考生中所占的百分比 fi相乘后再相加 結(jié)果就是全部考分的平均分 ！第5頁/共30頁第五頁，共30頁。類似(li s)地可解釋其還等于在整個平面上的重積分.退出(tuch)返回(f

3、nhu)()( )E Xxf x dx ()( , ) .E Xxf x y dxdy 1()iiiE Xx p 2. 隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望 E ( X ) 的定量算法 對離散型變量 對連續(xù)型變量11() ;iijjiE Xx p 或或f x dx( ) .【對連續(xù)變量求算公式的簡短解釋】依概率密度的含義，連續(xù)隨機(jī)變量在長為 dx 的區(qū)間上因此，該隨機(jī)變量在整xf x dx( )近似取值 x 的概率應(yīng)等于個實軸上的平均取值就應(yīng)等于前二者之乘積在整個實軸上的全部累加之和，即應(yīng)等于其在實軸上的積分E Xxf x dx()( ) . 第6頁/共30頁第六頁，共30頁。退出(tuch)返回(fnhu)3.

4、 六大常見分布的數(shù)學(xué)期望與分布參數(shù)的關(guān)系分布符號分布符號數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望E ( X )備注備注B ( 1, p )p0-1分布分布B ( n, p )n p二項分布二項分布P ( ) 迫松分布迫松分布均勻分布均勻分布E ( )1 /指數(shù)分布指數(shù)分布N ( , 2 ) 正態(tài)分布正態(tài)分布2ab a bU( , )運用數(shù)學(xué)期望 的定量算法可以證實六大常見分布的數(shù)學(xué)期望與分布參數(shù)的關(guān)系如下表所示第7頁/共30頁第七頁，共30頁。退出(tuch)返回(fnhu)*1. 隨機(jī)變量(su j bin lin)的常見函數(shù)、數(shù)學(xué)期望及其名稱是 X 與Y 與各自數(shù)學(xué)期望之差的乘積的數(shù)學(xué)期望. k 階原點矩階原點矩

5、(), 1,2,kE Xk 【例如】恰是 X 自身的數(shù)學(xué)期望. X 的一階原點矩()E X是 X 平方的數(shù)學(xué)期望. X 的二階原點矩2()E X X 的二階中心矩2 () EXE X 是 X 減其數(shù)學(xué)期望的平方的數(shù)學(xué)期望. k + l 階混合中心矩 klEXE XYE Yk l () ( ) , ,1,2, k 階中心矩 () , 1,2,kEXE Xk X 的二階混合原點矩是 X 與Y 乘積的數(shù)學(xué)期望.E XY() X 的1+1階混合中心矩EXE X YE Y ()( ) k + l 階混合原點矩 klEX Yk l (), ,1,2, 第8頁/共30頁第八頁，共30頁。E g X Yg x

6、 y f x y dxdy (,)( , ) ( , ) . 退出(tuch)返回(fnhu) 定理(dngl)一 設(shè)一元函數(shù) g (x) 連續(xù)，則 ()( ) ( ) .E g Xg x f x dx 當(dāng) X 是連續(xù)型變量且其一維概率密度為 時( )f x1 ()() ;iiiE g Xg xp 當(dāng) X 是離散型變量且一維分布律為 時iiP Xxp 定理二 設(shè)二元函數(shù) g (x , y) 連續(xù)，則當(dāng) (X, Y )是連續(xù)型變量且二維聯(lián)合概率密度為 時( , )f x y11 (,)(,) ;ijijjiE g X Yg xyp 當(dāng) (X, Y ) 是離散型變量且二維分布律為 時,ijijP

7、Xx Yyp 2. 函數(shù)數(shù)學(xué)期望的一般算法第9頁/共30頁第九頁，共30頁。退出(tuch)( 設(shè) C 是常數(shù)(chngsh) )( )E CC ( ) ( )ECXECX()( )( )E X YE X E Y()() ( )E XYE X E Y又當(dāng) X，Y 相互(xingh)獨立時4)3)()()XCCEE X 1)2)返回【選證】E XYxy f x y dxdy ()() ( , ) xf x y dxdyyf x y dxdy( , ) ( , ) E XE Y()( ) . 若X，Y 相互獨立, 則E XYxyf x y dxdy()( , ) XYxyfx fy dxdy( )

8、( ) XYxfx dxyfy dy( )( ) E X E Y()( ) . 第10頁/共30頁第十頁，共30頁。退出(tuch)()( )E XE Y231返回(fnhu)試求隨機(jī)變量 U = 2X + 3Y + 1 與V =YZ4X 的數(shù)學(xué)期望. 解( )() ;2 53 11144( )()E VE YZX4( )( )( )()E VE Y E ZE X4()( )( ) .11 84 568 Y , Z 相互獨立, ()()E UEXY231()()E YZE X4例3-1 設(shè) X, Y , Z 相互獨立, E( X ) = 5, E( Y ) = 11, E( Z ) = 8.

9、()( )( )E YZE Y E Z, 第11頁/共30頁第十一頁，共30頁。 例例4 -1 已知已知 X 的分布的分布(fnb)律如下表所示，試求律如下表所示，試求 E ( X )， E ( X 2 ) 和和 E ( 2X3X 2 ).X2349Pi1/85/81/81/841()iiiE Xx p ( )( )( )( )151123498888 ,308 4221()iiiE Xx p ( )( )( )( )15114916818888 ,1468 EXX2(23)E XE X22 ()3 () .3788 解退出(tuch)返回(fnhu)第12頁/共30頁第十二頁，共30頁。ii

10、jiiijiE Xx px p323.111()0(0.1)1(0.3)2(0.6) . 1 5jijjjijjE Yy py p322.111( )( . )( . )1 0 62 0 4. 1 4 E XY() E XE Y()( ) .1 51 42 9解 例例4-2 已知已知 (X ,Y )的聯(lián)的聯(lián)合合(linh)分布律如右表所分布律如右表所示示. 求求 E( X ), E ( Y ) , E ( XY ) 和和 E ( XY ) . X Y01210.10.10.20.20.30.320 00.10.10.30.3ijijijE XYx y p3211() (0)(1)0.1(0)(

11、2)0(1)(1)0.2(1)(2)0.1(2)(1)0.3(2)(2)0.3 . 2 2 顯然(xinrn)，一般地講()() ( ) !E XYE X E Y 退出(tuch)返回jp ip 0.10.30.60.60.4第13頁/共30頁第十三頁，共30頁。例例4-3 隨機(jī)變量隨機(jī)變量(su j bin lin)X 的概率密度的概率密度Y =2X 1 和和 Y =X 2 1 的數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)(shxu)期望期望 .試求0,( )00,xxef xx 解EXxf x dx( 21)( 21) ( ) xxedx0( 21) EXxf x dx22(1)(1) ( ) xxedx20(1) .1

12、 退出(tuch)返回xxe21 2 0 xe xe xxedx( 21) xxeC(21) xxe21 x2 2 xe xe xxedx2(1) xxxeC2(21) 0 xe xxxe20(21)| 1|) 12(0 xex第14頁/共30頁第十四頁，共30頁。*例例4 -4 ( X , Y ) 的概率的概率密度密度 E (X) , E (Y ) ； E (XY) , E (X 2+Y 2) .試求yxyf x y20112,( , )0, 其其它它XY (1,1)0y = x( )( , )E Yyf x y dxdy 201(12)y xyydxdy 130012xdxy dy 140

13、3x dx 35 解x = 1()( , )E Xxf x y dxdy 201(12)y xxydxdy 120012xxdxy dy 1404x dx 45退出(tuch)返回(fnhu)(1)第15頁/共30頁第十五頁，共30頁。*例例4 -4 ( X , Y ) 的概率的概率密度密度 E (X) , E (Y ) ； E (XY) , E (X 2+Y 2) .試求yxyf x y20112,( , )0, 其其它它XY (1,1)0y = xE XYxyf x y dxdy()( , ) y xxyydxdy201(12) xxdxy dy130012 x dx1503 12 解x

14、= 12222()() ( , )E XYxyf x y dxdy 22201()(12)y xxyydxdy 12240012()xdxx yy dy 551012()35xxdx 1615 退出(tuch)返回(fnhu)(2)第16頁/共30頁第十六頁，共30頁。例例4-5 X 和和Y 相互相互(xingh)獨立獨立, 二二者的概率密度者的概率密度則則 E (XY ) ( ).2 , 01( )0 , Yyyfy 其其它它38 , 2( ) ,0 , Xxfxx 其其它它C. 8 / 3 D. 7 / 3CE Xdxx228()4 , E Yy dy1202( )23 EXYEXE Y8

15、 3 A. 4 / 3 B. 5 / 3退出(tuch)返回(fnhu)第17頁/共30頁第十七頁，共30頁。退出(tuch) *例4-6 天若無雨, 水果商每天可賺100元; 天若有雨, 水果商每天損失10元. 一年365天, 販賣(fnmi)水果地的下雨日約130日. 問水果商在該地賣水果, 每天可期望賺多少錢 ?返回(fnhu)21 ()iiiE Xx p 2351303651001()()0365 235/365,p 水果販賣地每天無雨與有雨的概率顯然依次為解130/365q 從而水果商每天所賺錢數(shù) X 的分布律為60.82 即水果商每天可期望賺 60.82 元 .XiP Xx 100

16、 10130/365235/365第18頁/共30頁第十八頁，共30頁。壽命(shumng)不到一年的概率顯然為 *例4-7 設(shè)備(shbi)的壽命XE( ). 該設(shè)備(shbi)售出一臺盈利100元 , 因年內(nèi)損壞而調(diào)換則虧損200元. 求出售一臺設(shè)備(shbi)的盈利數(shù)學(xué)期望. 因此，一臺設(shè)備出售的盈利(yn l)值Y 有分布律從而壽命超過一年的概率即111144400011( )()1.4xxP Xf x dxedxee 11441111(1)P XP Xee .退出返回解 可見YiP Yy 200 10014e 141e 21( )iiiE Yy p)ee 1

17、4200003e 第19頁/共30頁第十九頁，共30頁。 第 i 站有人下車記為Yi = 1，第 i 站無人(w rn)下車記為Yi = 0, （ i = 1,2, ,10）, 則專線車停車的次數(shù) *例4-8 載有20名旅客的專線車在無下車旅客的車站不停車。設(shè)各旅客在指定?？康?0個站下車的可能性相等，且是否(sh fu)下車相互獨立，那么若以 X 記專線車停車的次數(shù)，則 E（X）= ？.+ 202099100 ()11() 8.7841010 因各站下車的可能性相等，故旅客在任一站下車的概率(gil)為1/10，不下車的概率(gil)為9/10，從而，從而就有iiXY101 iP Y 209

18、0(),10iP Y20911() ,10iiE XE Y .101()() iiiE XE Y =E Y101()()10 () 退出返回解第20頁/共30頁第二十頁，共30頁。 .2 122任一彈著點與目標(biāo)間的距離(jl)顯然為 *例4-9 用( X , Y )記炮擊的彈著點坐標(biāo). 設(shè)坐標(biāo)XN( 0,2), 坐標(biāo)Y N( 0,2) , 且二者相互(xingh)獨立. 試求彈著點與目標(biāo) ( 0, 0 ) 間的平均距離. X 與Y 相互(xingh)獨立，且XN( 0,2), YN( 0,2), 可見,彈ZXY22.xyXYf x yfx fye222()221( , )( )( )2 xyE

19、 Zxy edxdy222()22221()2 E ZEXYxy f x y dxdy .2222()()( , ) ed d222220012 退出返回解著點與目標(biāo)間的平均距離應(yīng)為 從而ed222201 d e2220() ed2220 第21頁/共30頁第二十一頁，共30頁。韓旭里等編概率論與數(shù)理統(tǒng)計教材第四章 習(xí)題(xt)四 P112P117 批改題 P112: 1. ( 求離散變量的數(shù)學(xué)期望 ) P113: 5. 11.( 求連續(xù)變量的數(shù)學(xué)期望與方差 ) 7. ( 利用算子演算性質(zhì)計算數(shù)學(xué)期望與方差) 8. 9. （利用獨立性簡化數(shù)學(xué)期望的求算 ） 10. ( 求連續(xù)變量的數(shù)學(xué)期望 )

20、 12. ( 對實際問題求數(shù)學(xué)期望與方差 )退出(tuch)返回(fnhu)第22頁/共30頁第二十二頁，共30頁。退出(tuch)返回(fnhu)P112P113參考答案5. 122232017()( )(2) ,6E Xx f x dxx dxxx dx 221()()() .6D XE XEX 12201()( )(2)1 ,E Xxf x dxx dxxx dx1. 2222211115()( 1) ( )(0) ( )(1) ( )(2) ( ) ,82844E X (23)2()34 .EXE X 11111()( 1)( )(0)( )(1)( )(2)( ) ,82842E X

21、 第23頁/共30頁第二十三頁，共30頁。退出(tuch)返回(fnhu)P112P113參考答案8. 11300001,0122 .4xxy xxydxdyxdxydyx dx 2 .k ()( , )E XYxyf x y dxdy 7. 2222(32 )3()2( )3 (12)2 (16)172 .DXYD XD Y(32 )3()2( )3(3)2(3)3 ,EXYE XE Y XY (1,1)0y = xx = 11( , )f x y dxdy 10001,0 ,2xxyxkkdxdykdxdy 第24頁/共30頁第二十四頁，共30頁。退出(tuch)返回(fnhu)P112P113參考答案10. 22242400111()( )4()| ,488yyE Yy f y dyy edyyye 3 ()()( ) ,4E XYE XE Y9. (5)(5)55( )( )(1)|6 ,yyE Yyf y dyyedyye 1202 ()( )2 ,3E X