高等數(shù)學上冊知識點

1、高等數(shù)學上冊第一章函數(shù)與極限（一） 函數(shù)1、 函數(shù)定義及性質（有界性、單調性、奇偶性、周期性）；2、 反函數(shù)、復合函數(shù)、函數(shù)的運算；3、 初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、雙曲函數(shù)、反雙曲函數(shù)；4、 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點；函數(shù) f (x) 在 x0 連續(xù)lim f ( x) f ( x0 )x x0第一類：左右極限均存在。間斷點可去間斷點、跳躍間斷點第二類：左右極限、至少有一個不存在。無窮間斷點、振蕩間斷點5、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質： 有界性與最大值最小值定理、 零點定理、介值定理及其推論。（二） 極限1、定義1）數(shù)列極限lim xn a0, N, n N , xn

2、 an2）函數(shù)極限lim f ( x) A0,0, x, 當 0 x x0時， f ( x) Ax x0左極限： f ( x0 )limf ( x)右極限： f ( x0 )lim f ( x)x x0x x0limf ( x) A 存在f ( x0 ) f ( x0 )xx02、極限存在準則1）夾逼準則：1） ynxnzn ( n n0 )lim ynlim zna lim xna2） nnn2）單調有界準則：單調有界數(shù)列必有極限。3、無窮?。ù螅┝?）定義：若 lim0 則稱為無窮小量； 若 lim則稱為無窮大量。2）無窮小的階：高階無窮小、同階無窮小、等價無窮小、k 階無窮小Th1o()

3、 ;Th2, lim存在，則limlim（無窮小代換）4、求極限的方法1）單調有界準則；2）夾逼準則；3）極限運算準則及函數(shù)連續(xù)性；4）兩個重要極限：a)lim sin x1x0x11 ) xb) lim (1x) xlim (1ex0xx5）無窮小代換：（ x0 ）a)x sin x tan x arcsin x arctan xb)1cosx 1 x22c) ex1 x（ ax1 xln a ）d)ln(1x) x（ loga (1x) x）ln ae)(1x)1 x第二章導數(shù)與微分（一） 導數(shù)1、定義：f ( x0 )limf ( x) f (x0 )x x0x x 0左導數(shù)： f(x0

4、 )limf ( x) f ( x0 )xx0x x0右導數(shù)： f(x0 )limf ( x) f ( x0 )xx0x x0函數(shù) f ( x) 在 x0 點可導f ( x0 ) f ( x0 )2、幾何意義： f( x0 ) 為曲線 yf (x) 在點 x0 , f ( x0 ) 處的切線的斜率。3、可導與連續(xù)的關系：4、求導的方法1） 導數(shù)定義；2） 基本公式；3） 四則運算；4） 復合函數(shù)求導（鏈式法則） ；5） 隱函數(shù)求導數(shù)；6） 參數(shù)方程求導；7） 對數(shù)求導法。5、高階導數(shù)d 2 yd dy1）定義： dx2dxdxuv (n )n2）Leibniz 公式：Ck u(k )v( n

5、k )nk0（二） 微分1） 定義：yf ( x0x)f ( x0 )A xo( x) ，其中 A 與x 無關。2）可微與可導的關系：可微可導，且dyf ( x0 ) xf ( x0 )dx第三章微分中值定理與導數(shù)的應用（一） 中值定理1、 Rolle 定理：若函數(shù)f (x) 滿足：1） f ( x)C a,b ；2） f ( x)D( a, b) ；3） f (a)f (b) ；則(a, b), 使 f ( )0 .2、3、1 ）Lagrange中值定理：若函數(shù)f (x) 滿足：1） f ( x)C a, b ；2） f ( x)D(a, b) ；則( a, b), 使 f (b)f (a)

6、f ( )(ba) .Cauchy 中值定理：若函數(shù)f ( x), F ( x) 滿足：f ( x), F ( x) C a,b ； 2 ） f ( x), F (x)D(a,b) ； 3 ）F ( x)0, x (a, b)則(a,b), 使 f (b)f (a)f ()F (b)F (a)F ()（二） 洛必達法則注意 :1、盡量先化簡（有理化、無窮小代換、分離非零因子）再用洛必達法則！如： lim 1 x24cos xx 0tanx2、對于某些數(shù)列極限問題，可化為連續(xù)變量的極限，然后用洛必達法則！如： limnnan bn2（三） Taylor 公式n 階 Taylor 公式：f ( x

7、) f (x0)f ( x0)( x x0)f ( x0 ) ( xx ) 22!0f( n) ( x0 )x )nf(n 1) ( )x)n 1( x( x0n!0(n 1)!在 x0 與 x 之間 .當 x00 時，成為 n 階麥克勞林公式：f ( x)f (0)f (0) xf (0) x2f ( n) (0) xnf (n1) ( ) xn 11!2!n!(n1)!在 0 與 x 之間 .常見函數(shù)的麥克勞林公式：1） ex1 x1 x21 xnexn 12!n!(n 1)!在 0 與 x 之間，x；2）x3x5x7( 1) m 1x2 m 1sin(2m 1)sin x x2 x2 m

8、 13!5!7!( 2m 1)!(2m 1)!在 0與x 之間，x；3）x2x4x6( 1) m 1x2 m 2cos2mcosx 12 x2m2!4!6!(2m 2)!( 2m)!在 0 與 x 之間，x；4） ln(1x)xx2x3x4(1)n 1 xn( 1) n xn 1n 1234n(n 1)(1)在 0與 x 之間，1x 15）(1 x)1x(1) x2(1)(2) x3(1)( n 1) xn2!3!n!( 1)(n)(1 ) n 1xn 1 ，(n1)!在 0 與 x 之間，1x 1 .（四） 單調性及極值1、單 調 性判 別 法 ： f ( x)Ca, b ， f ( x)D

9、 (a, b) ， 則 若f (x) 0 ，則 f (x) 單調增加；則若 f (x)0 ，則 f (x) 單調減少。2、極值及其判定定理：a)必要條件：f ( x) 在 x0 可導，若 x0 為 f ( x) 的極值點，則f (x0 )0 .b) 第一充分條件： f (x) 在 x0 的鄰域內(nèi)可導，且 f ( x0 )0 ，則若當 x x0 時， f ( x)0 ，當 x x0 時， f (x)0 ，則 x0為極大值點；若當 xx0 時， f ( x) 0 ，當 xx0 時，f (x) 0 ，則 x0 為極小值點；若在 x0 的兩側 f (x) 不變號，則 x0 不是極值點。c) 第二充分條

10、件： f ( x) 在 x0 處二階可導，且 f ( x0 )0 ，f ( x0 )0，則若 f ( x0 ) 0 ，則 x0 為極大值點；若 f (x0 )0 ，則 x0為極小值點。3、凹凸性及其判斷，拐點1） f ( x) 在區(qū)間 I 上連續(xù)，若x1, x2 I , f ( x1 x2 )f (x1 )f (x2 ) ，22則 稱f (x) 在 區(qū) 間I上的圖形是凹的；若x1 , x2I ,f ( x1x2 )f ( x1 )f (x2 ) ，則稱 f ( x) 在區(qū)間 I 上的圖22形是凸的。2）判定定理： f ( x) 在 a, b 上連續(xù)，在 (a, b) 上有一階、二階導數(shù)，則a)

11、若 x(a,b), f( x)0 ,則 f ( x) 在 a,b 上的圖形是凹的；b)若 x(a,b), f( x)0 ,則 f ( x) 在 a,b 上的圖形是凸的。3）拐點：設 yf ( x) 在區(qū)間 I 上連續(xù)， x0 是 f ( x) 的內(nèi)點，如果曲線 yf ( x) 經(jīng)過點 ( x0 , f (x0 ) 時，曲線的凹凸性改變了，則稱點( x0 , f (x0 ) 為曲線的拐點。（五） 不等式證明1、利用微分中值定理；2、利用函數(shù)單調性；3、利用極值（最值）。（六） 方程根的討論1、連續(xù)函數(shù)的介值定理；2、 Rolle 定理；3、函數(shù)的單調性；4、極值、最值；5、凹凸性。（七） 漸近線

12、1、 鉛直漸近線： lim f ( x)xa2、 水平漸近線： limx f ( x)3、 斜 漸 近 線 ： lim f ( x)xxykxb 為一條斜，則 xa 為一條鉛直漸近線；b ，則 y b 為一條水平漸近線；k lim f ( x)kxb 存 在 ， 則x漸近線。（八） 圖形描繪步驟 :1. 確定函數(shù) yf (x) 的定義域，并考察其對稱性及周期性；2. 求 f (x), f ( x) 并求出 f (x) 及 f (x) 為零和不存在的點；3. 列表判別函數(shù)的增減及曲線的凹向 , 求出極值和拐點 ;4. 求漸近線 ;5. 確定某些特殊點 , 描繪函數(shù)圖形 .第四章不定積分（一） 概

13、念和性質1、原函數(shù)：在區(qū)間I 上，若函數(shù) F (x) 可導，且 F ( x)f ( x) ，則 F (x) 稱為 f (x) 的一個原函數(shù)。2、不定積分：在區(qū)間 I 上，函數(shù) f (x) 的帶有任意常數(shù)的原函數(shù)稱為 f (x) 在區(qū)間 I 上的不定積分。3、 基本積分表（ P188 ，13 個公式）；4、 性質（線性性）。（二） 換元積分法1、第一類換元法（湊微分）：f ( x)( x)dxf (u)du u( x )2、第二類換元法（變量代換）：f ( x) dxf (t ) (t )dt1( x)t（三） 分部積分法：udvuvvdu（四） 有理函數(shù)積分1、“拆；”2、變量代換（三角代換、

14、倒代換等） 。第五章定積分（一） 概念與性質：bn1f (x)dxlimf ( i ) xi、 定義： a0i 12、 性質：（7 條）性質7 （積分中值定理）函數(shù) f (x) 在區(qū)間 a, b 上連續(xù)，則bf ( )( b a) a, b ， 使f ( x) dx（平均值：abf ( x) dxaf ()）ba（二） 微積分基本公式（ NL 公式）1、變上限積分：設(x)xaf (t)dt ，則( x)f ( x)d( x )推廣：dxf (t) dt f ( x) ( x) f ( x) ( x)( x)2、 NL公 式 ： 若 F (x) 為 f ( x) 的 一 個 原 函 數(shù) ， 則

15、bf ( x) dxF ( b)F ( a)a（三） 換元法和分部積分1bf ( x)dxf (t)(t)dt、 換元法： abuv bab2、 分部積分法：udvvduaa（四） 反常積分1、 無窮積分：tf ( x)dxlimf ( x)dxatabbf ( x)dxlimf (x)dxttf ( x ) dx0f ( x)dxf ( x) dx02、 瑕積分：blimbf ( x)dxf ( x)dx （a 為瑕點）atatblimtf ( x)dxf ( x)dx （b 為瑕點）atba兩個重要的反常積分：dx,p1a1p1)axp,p1p1(ba)1 q1bdxbdx, q1q2)a

16、 (xa)qa (bx)q,q1第六章定積分的應用（一） 平面圖形的面積b2 ( x) f1 ( x) dx1、 直角坐標： A fa2、 極坐標： A122()12 ( ) d2（二） 體積1、 旋轉體體積：a) 曲邊梯形 yf ( x ), xa, xb, x 軸，繞 x轉體的體積： Vxbf 2 ( x)dxab)曲邊梯形 yf ( x), xa, xb, x 軸，繞 y轉體的體積： Vybxf ( x) dx2a、 平行截面面積已知的立體： Vb2A( x) dxa（三） 弧長、 直角坐標： sbf( x ) 2 dx11a2、 參數(shù)方程： s( t )2( t )2 dt3、 極坐標

17、： s() 2( )2 d軸旋轉而成的旋軸旋轉而成的旋（柱殼法）第七章微分方程（一） 概念1、 微分方程：表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導數(shù)及自變量之間關系的方程。階：微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)。2、 解：使微分方程成為恒等式的函數(shù)。通解：方程的解中含有任意的常數(shù)，且常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同。特解：確定了通解中的任意常數(shù)后得到的解。（二） 變量可分離的方程g( y)dyf (x)dx ，兩邊積分g( y)dyf ( x) dx（三） 齊次型方程dy( y ) ，設 uydxxx或dx( x ) ，設 vxdyyy，則，則dyux dudxdx ；dxvy dvdydy（四）

18、一階線性微分方程dyP(x) yQ( x)dx用常數(shù)變易法或用公式：P( x) dxQ( x)eP( x) dxy edx C（五） 可降階的高階微分方程1、 y(n)2、 y3、 yf (x) ，兩邊積分 n 次；f ( x, y ) （不顯含有 y ），令 yp ，則 yp ；f ( y, y ) （不顯含有 x ），令 yp ，則 ydppdy（六） 線性微分方程解的結構1、 y1, y2 是齊次線性方程的解，則 C1 y1C2 y2也是；2、 y1, y2 是齊次線性方程的線性無關的特解，則C1 y1C2 y2 是方程的通解；3、 y C yC y2y* 為非齊次方程的通解，其中y , y為對應11212齊次方程的線性無關的解，y* 非齊次方程的特解。（七） 常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性方程：ypyqy0特征方程： r 2pr q0 ，特征根：r , r21