高等數(shù)學(xué)1試卷(附答案)

1、題號(hào)一二三四五六七八九十總分得分得分評(píng)閱人一、填空題 （共 6 小題，每小題 3 分，共 18 分）1 由曲線 r2cos所圍成的圖形的面積是。2 設(shè)由方程 x y22 所確定的隱函數(shù)為 yy( x) ，則 dyy。dx2x3 函數(shù) ysin 2x 的帶佩亞諾余項(xiàng)的四階麥克勞林公式為x21 x4o(x4 ) 。341xdx1。0 1x25 函數(shù) yx2 cos x 在區(qū)間0 ，上的最大值為3。266 limnnn2 =。22222nn1n2nn4得分評(píng)閱人二、選擇題 （共 7 小題，每小題 3 分，共 21 分）cosxxsin1, x0，則 x0 是 f (x) 的1. 設(shè) f (x)xD。

2、x2 1,x0A 可去間斷點(diǎn)B跳躍間斷點(diǎn)C振蕩間斷點(diǎn)D連續(xù)點(diǎn)2. 設(shè)f ( x)xx，則當(dāng)x0時(shí)，下列結(jié)論正確的是B。232A f ( x)與 x是等價(jià)無(wú)窮小B f ( x)與 x同階但非等價(jià)無(wú)窮小C f ( x )是比 x高階的無(wú)窮小D f ( x) 是比 x 低階的無(wú)窮小3.dxC。1xx21A不存在B0CD24. 設(shè) f ( x) 具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 f (0)0lim f ( x)1，則下列敘述正確， x 0的是A。A f (0)是 f (x) 的極大值 f (0)是 f (x)BC f (0) 不是 f (x) 的極值D f (0)是 f (x)的極小值的最小值5.曲線 yxcos

3、t d t 的全長(zhǎng)為D。2A 1B2C3D 46. 當(dāng) a, b 為何值時(shí)，點(diǎn) ( 1,3 )為曲線 yax3bx2 的拐點(diǎn)？A。A a3 ， b9B. a3 ， b92222C a3 ， b9D. a3 ， b922227. 曲線 yx 2 x 的凸區(qū)間為D。A.( ,2 )B. (2 ,)C.(2,)D. (,2 )ln 2ln 2ln 2ln 2得分評(píng)閱人三、計(jì)算題（共 7 小題，其中第 1 5 題每小題 6 分，第 67 題每小題 8 分，共 46 分）x21. lim cos1xx1 ,1解： 令 t原式 limcostt 2xt 0lim ln cost( 0型)t 0t20（3

4、分）elimsin t2 t costet 01e2（6 分）2. 設(shè)函數(shù) yy(x)由參數(shù)方程xln(1 t 2 )所確定 , 求 d 2 y。yt arctantdx211dyd (tarctant )t 2t解：1（3 分）dxd ln(1t2 )2t21 t 2ddytd2 ydxd ( 2)1111 t 2（6 分）dx2dxdtdx22t4tdt1 t 23.xex2 dx(ex1)解： 原式x d(x1)（2 分）e1=x1dxex1ex1=x(11xx1xx)deeee1=xx1ln xexC（6 分）ee14. 求4xdx0 1x解：令 xt (t0) ，則 xt 2，dx2

5、tdt（2 分）4xdx2t2tdt2 t 221)dt0 10 1t2dt 2 (t 1t 1x0 1 t0（6分）22 t 2tln 1t 2ln3205. 設(shè)曲線 f (x)xn 在(1,1) 處的切線與 x 軸的交點(diǎn)為 ( xn , 0) ，求 lim ( x n ) n 。n解： f (1)nxn 1x 1n ，所以 f ( x) 在點(diǎn) (1,1)處的切線方程為：y n( x 1)1.(*)(2分 )由題意知切線 (*) 與 x 軸的交點(diǎn)為 (xn , 0)，即 0 n( xn1) 1xn1(5分 )1n從而可得：lim ( xn ) nlim (11 )n e 1 (6分)nnn6

6、. 設(shè)連續(xù)函數(shù) f ( x) 滿足 f ( x)f (x)sin 2 x ，求積分 I解：方程兩端同乘 sin2 x并從積分到，得：2222f ( x)sin 2 x dx 22f (x)sin 2 xdx22 xdxf ( x)sin2(3分 )2 sin4 xdx 2 2 sin4 xdx 2I4(*)20又 2f (x)sin 2 xdx 令 tx22 f ( t )sin2 ( t )(dt )2 f ( t )sin2 tdt（5 分）22由 (*) 得：I22xdx12I 41 2313 (8分)f (x)sin221622427. 設(shè) f ( x) 連續(xù)， F (x)1lim f

7、 ( x)A（ A 為常數(shù)），0f (t x) dt ，且 x 0xdF ( x)求x。f ( x)解：由 limA 知： f (0)0。x 0x令 ut x，則t : 01duduu : 0，xdtdtxx1f (tx)dtxf (u) du1x于是 F( x)0f (u ) du ( x 0)0xx01x可見(jiàn)： F ( x)f (u ) du , x 0x 00 ,x 0(4分 )x當(dāng) x當(dāng) x1x1xf ( x)0f (u)du0時(shí) ， F ( x)f (x)； (6分)x20f (u) duxx20時(shí)，F(xiàn)(0)F (x)F (0)limxx01xf (u)du0limx0xx 0xf

8、(u)dulim0(x)2x0limf (x)12xA,x02xxf ( x)0f ( u) du, x0 (8分)所以：F ( x )x2A ,x02得分評(píng)閱人四、應(yīng)用題 （共 1 小題，每小題 9 分，共 9 分）設(shè)直線 ya x ( 0a1) 與拋物線yx2 所圍成的圖形為x 1所圍成的圖形為 D2 ，若 D1 、 D2 同時(shí)繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周得到一旋轉(zhuǎn)體， 試確定 a 的值，使該旋轉(zhuǎn)體的體積最小解： D1 :0xa ， D 2 :ax1x2yaxaxyx 2D1 ，它們與直線yyx2D2yaxaaD1(ax ) 2( x 2 )2a2 x 2x4dxa1xV 10dx0OV 21(x 2 )2( ax)2dx1x 4a2 x 2 dxaa V (a ) V1 V 2aa 2 x2x 4 dx1x 4a 2 x2 dx0aa 2 x3x5ax5a2 x3135053a4a 5a 25.(5分)153由 dV (a )4a 42a ，令 dV ( a)0得： a1 . (7分)da33da3 2又由d 2V ( a)1da2a 3 216 a3233 a 13 21612603233a1.(9分)32 166f ( x)a , ba ,